Giáo án toán 11 – Phương trình lượng giác cơ bản

Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 7-12: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY:
1. Về kiến thức:
Giúp học sinh
- Hiểu phương pháp xây dựng cơng thức nghiệm của các phương trình lượng giác
cơ bản (sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, cơsin, tang, cơtang và tính
tuần hồn của các hàm số lượng giác)
- Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản
2. Về kĩ năng:
- Giúp học sinhBiết vận dụng thành thạo công thức nghiệm của các phương trình
lượng giác cơ bản;
- Biết cách biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn
lượng giác.
3. Về thái độ, tư duy:
II.
CHUẨN BỊ:
1. Về phía thầy:: Đồ dùng dạy học như thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị các HSLG
2. Về phía trị:: Đồ dùng học tập như thước kẻ, com pa,..,
III. GỢI Ý PHƯƠNG PHÁP:
Gợi mở ,vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
TIẾT 7
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò

Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên
Học sinh làm theo yêu cầu gv
của các HSLG
2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trị
1. Phương trình sinx = m
a. Để làm ví dụ, ta xét một phương trình
cụ thể, chẳng hạn:
H1: Tìm nghiệm của phương trình (1)
Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể làm
như thế nào ?

sinx =

1
2

(1)

Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể
làm như sau:
Xét đường trịn lượng giác gốc A. Trên
trục sin, ta lấy điểm K sao cho OK 

1
.
2

Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

B
x
M2

1/2 K

A'

0

M1

trôc sin

/6

Đường thẳng qua K và vng góc với trục
sin cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1
và M2; 2 điểm này đối xứng với nhau qua
trục sin (h. 1.19). Ta có : sin(OA, OM1)=

A

B'

Dễ thấy, số đo (rađian) của các góc lượng giác

(OM, OM1) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm
của (1). Lấy một nghiệm tuỳ ý của (1), chẳng
hạn x =

VŨ MINH THU


. Khi đó các góc (OA, OM1) có số đo
6


 k2 ; các góc (OA, OM2) có số đo
6

   k2  , (k  Z).
6

sin(OA, OM2) = OK 
Vậy :

sin x 

hoặc x   

1
.
2

1


 x   k2
2
6


 k2 (k  Z).
6

Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc", ta
có thể viết lại kết quả trên như sau


 x  6  k2
1
sin x   
k  Z .
2
 x      k2 

6

b. Giả sử m là một số đã cho. Xét phương
(I)
Hiển nhiên phương trình (I) xác định với mọi trình: sinx = m
x  R.
Làm tương tự đối với phương trình (1), ta
Ta đã biết, sinx  1 với mọi x. Do đó, phương có
trình (I) vơ nghiệm khi m > 1. Mặt khác, khi x
Nếu  là một nghiệm của
thay đổi, sinx nhận mọi giá trị từ -1 đến 1 nên

phương trình (I),
phương trình (I) ln có nghiệm khi m  1.
nghĩa là sin = m thì
Kể từ đây, để cho gọn, ta quy ước rằng nếu
 x    k2
trong một biểu thức nghiệm của phương trình
sin x  m  
 k  Z  (Ia)
x





k2

lượng giác có chứa k mà khơng giải thích gì

thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z.
Ta nói rằng x =  + k2 và x =  -  +
Chẳng hạn x =  + k2 có nghĩa là x lấy mọi giá
k2 là 2 họ nghiệm của phương trình (I).
trị thuộc tập hợp
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
{,   2,   4,   6, ...}
1) sinx = 
Giải các phương trình

3
;

2

2) sinx =

2
3

Giải
 

3

1) Do sin     
nên
2
 3


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU



x    k2 

3
3

 
sin x  
 sin x  sin     
2
 x        k2 
 3








 x   3  k2
2
2
2) Vì  1 nên có số  để sin = . Do đó  
3
3
 x  4   k2 

3
 x    k2 
2
sin x   sin x  sin   
3
 x      k2 

H2: Giải phương trình sin x 

2
2

H3: Trên đồ thị hàm số y = sinx (h. 1.20), hãy
chỉ ra các điểm có hồnh độ trong khoảng (0;
5) là nghiệm của phương trình sinx =

2
.
2

Ví dụ 2: Tìm số x thoả mãn phương trình




sin  2x    sin   x 
5

5


Giải

Trong mặt phẳng toạ độ, nếu vẽ đồ thị (G)
của hàm số y = sinx và đường thẳng (d): y =
m thì hồnh độ mỗi giao điểm của (d) và
(G) (nếu có) là một nghiệm của phương
trình sinx = m.

CHÚ Ý:
 Khi m  [0; 1], công thức (Ia) có
thể viết gọn như sau:

 k2 
2

sin x  1  x    k2
2
sin x  0  x  k
sin x  1  x 

 

2x    x  k2 

5 5




 Dễ thấy với m cho trước mà m  1,
sin  2x    sin   x   




5
5






phương trình sinx = m có đúng 1 nghiệm
 2x  5     5  x   k2 

  
nằm trong đoạn   ;  . Người ta thường
2

 2 2
2
x
 k2


x
 k2
5
kí hiệu nghiệm đó là arcsinm (đọc là ác-sin


5

m). Khi đó
 x    k 2
3x    k2

3

3
 x  arcsin m  k2 
sin x  m  
2
 x    arcsin m  k2 
Vậy các số x phải tìm là x   k2  và
3


Tr­êng THPT Lê Q Đơn

x


2
 k ,kZ
3
3

H4: Giải phương trình sin2x = sinx

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

Vậy ở ví dụ 1, câu 2) có thể viết
2

x  arcsin  k2 


2
3
sin x   
3
 x    arcsin 2  k2

3

 Từ (Ia) ta thấy rằng: Nếu  và  là 2
số thực thì sin = sin khi và chỉ khi có số
nguyên k để  =  + k2 hoặc  =  -  +
k2, k  Z
3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m.
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 8
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của thầy
Nhắc lại cơng thức nghiệm của phương
trình lượng giác sinx = m.
Làm bài tập
2. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy

Hoạt động của trò
Học sinh làm theo yêu cầu gv

Hoạt động của trị

(l)

B
+

M1
A'

trơc cosin
0

m
H

A
M2

B'

Do m  1 nên đường thẳng (l) cắt đường
tròn lượng giác tại 2 điểm M 1 và M2. Hai
điểm này đối xứng nhau qua trục côsin
(chúng trùng nhau nếu m = 1). Ta thấy
số đo các góc lượng giác (OA, OM1) và

(OA, OM2) là tất cả các nghiệm của (II).
Nếu  là số đo của một góc trong chúng
nói cách khác, nếu  là một nghiệm của
(II) thì các góc đó có các số đo là
 + k2 và - + k2.
H5: Giải phương trình sau :
cosx = 

2
2

H6: Hãy giải phương trình
cos (2x + 1) = cos (2x - 1)

2. Phương trình cosx = m
Xét phương trình: cosx = m
(II)
trong đó m là một số cho trước. Hiển nhiên
phương trình (II) xác định với mọi x  R. Dễ thấy
rằng:
Khi m > 1, phương trình (II) vơ nghiệm.
Khi m  1, phương trình (II) ln có nghiệm.
Để tìm tất cả các nghiệm của (II), trên trục cơsin ta
lấy điểm H sao cho OH = m. Gọi (l) là đường
thẳng đi qua H và vng góc với trục cơsin (h.
1.12)
Vậy ta có:
Nếu  là một nghiệm của phương trình (II),
nghĩa là
cos = m thì

 x    k2 
cos x  m  
 x    k2 

CHÚ Ý
 Đặc biệt, khi m  {0; 1},
cơng thức (IIa) có thể viết gọn như sau:
cos x  1  x  k2 
cos x  1  x    k2 

cos x  0  x   k
2

(IIa)


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà m 
1, phương trình cosx = m có đúng 1 nghiệm nằm
trong đoạn [0; ]. Người ta thường kí hiệu nghiệm
đó là arccos m
(đọc là ác-cơsin m). Khi đó:
 x  arccos m  k2 
cos x  m  
 x   arccos m  k2 

mà cũng thường được viết là
x =  arccos m + k2.
 Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu  và  là 2 số thực
thì cos = cos khi và chỉ khi có số nguyên k để 
=  + k2, k  Z
3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =
m
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 9
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của thầy
Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên
của các HSLG
3. Nội dung bài mới:
Hoạt động của thầy
B
+

0

A

trơc tang

A'

T
m

M1

M2
B'

Ta có tan (OA, OM1) = tan (OA, OM2)
= AT = m. Gọi số đo của một trong
các góc lượng giác (OA, OM1) và
(OA, OM2) là ; nói cách khác,  là
một nghiệm nào đó của phương trình
(III). Khi đó, các góc lượng giác (OA,
OM1) và (OA, OM2) có các số đo là 
+ k. Đó là tất cả các nghiệm của
phương trình (III) (hiển nhiên chúng
thoả mãn ĐKXĐ của (III)).
Giải

Hoạt động của trò
Học sinh làm theo yêu cầu gv

Hoạt động của trò
3. Phương trình tan x = m
Cho m là một số tuỳ ý.

Xét phương trình tanx = m
(III)
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (III)
là cos x  0
Ta đã biết, khi x thay đổi, tan x nhận mọi giá trị từ
- —> +. Do đó, phương trình (III) ln có
nghiệm.
Để tìm tất cả các nghiệm của (III), trên trục tang,
ta lấy điểm T sao cho AT = m. Đường thẳng OT cắt
đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1 và M2 (h. 1.22).
Vậy ta có:
Nếu  là một nghiệm của phương trình (III),
nghĩa là tan = m thì tanx = m  x =  + k
(IIIa)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

 
1) Vì -1 = tan    nên tanx =  4

1  x =   k .
4

2) Gọi  là một số mà tan = 3.
Khi
đó
tan

x
x

 3     k  x  3  k3
3
3

(Có thể tìm được một số  thoả mãn
tan = 3 bằng cách tra bảng số hoặc
dùng máy tính bỏ túi. Cụ thể là  
1,249)

1) tanx = -1

x
3

2) tan =3


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

H7 : Giải phương trình tan2x = tanx
CHÚ Ý :
 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương
trình tanx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng
  
  2 ; 2  . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là




arctan m (đọc là ác-tang m). Khi đó : tanx = m  x
= arctan m + k
 Từ (IIIa) ta thấy rằng : Nếu  và  là 2 số thực
mà tan , tan  xác địnhb thì tan = tan khi và chỉ
khi có số nguyên k để  =  + k.
3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =
m, tanx = m
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

TIẾT 10
1. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của thầy
Nhắc lại cơng thức nghiệm của
phương trình lượng giác sinx = m.,
cosx = m ; tanx = m
Làm các bài tập

Hoạt động của trò
Học sinh làm theo yêu cầu gv

2. Nội dung bài mới:

Hoạt động của thầy

Hoạt động của trị
4. Phương trình cotx = m
Cho m là một số tuỳ ý,
xét phương trình cotx = m
(IV)
ĐKXĐ của phương trình (IV) là sinx  0. Tương tự
như đối với phương trình tanx = m, ta có:
Nếu  là một nghiệm của phương trình
(IV), nghĩa là cot = m thì cotx = m  x
=  + k.
(IVa)
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

Giải:

1
1 1) cotx =  3
1.Gọi  là một số mà cot =  ,
3

2) cot3x = 1

tức là tan = -3 (chẳng hạn, bằng bản
số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được 
1
3

 -1,249). Khi đó cotx =   x = 

+ k.
2.cot3x = 1

4


x=
k .
12
3

 cot3x = cot  3x =


+ k
4

H8: Giải phương trình
1
 2x  1 
= tan .

3
 6 

cot 

H9: Giải các phương trình sau:

CHÚ Ý:

 Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương
trình cotx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng
(0; ). Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccot
m (đọc là ác-cơtang m). Khi đó
cotx = m  x = arccot m + k.


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

1) cos(3x – 150) = 

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

2
2

2) 2) tan5x = tan 250

VŨ MINH THU

5. Một số điều cần lưu ý
+ Khi đã cho số m, ta có thể tính được các giá trị
arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m bằng máy
tính bỏ túi với các phím sin-1, cos-1, tan-1.
+ Arcsin m, arccos m (với m  1), arctan m và
arccot m có giá trị là những số thực.
+ Khi xét các phương trình lượng giác ta đã coi ẩn
số x là số đo rađian của các góc lượng giác. Trên thực
tế, ta cịn gặp những bài tốn u cầu tìm số đo độ
của các góc (cung) lượng giác sao cho sin (côsin,

tang hoặc côtang) của chúng bằng số m cho trước
chẳng hạn sin (x + 200) =

3
. Khi giải các phương
2

trình này (mà lạm dụng ngơn ngữ, ta vẫn gọi là giải
các phương trình lượng giác), ta có thể áp dụng các
công thức nêu trên và lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ
trong “cơng thức nghiệm” cho thống nhất, chẳng hạn
viết x = 300 + k3600 chứ không viết x = 300 + k2.
Tuy nhiên, ta quy ước rằng nếu khơng có giải thích
gì thêm hoặc trong phương trình lượng khơng sử
dụng đơn vị đo góc là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo
rađian của góc lượng giác.
Ví dụ 5:
Giải các phương trình sin (x + 200) =

Giải
Vì

3
= sin 600
2

nên sin (x + 200) =
200) = sin 600

3

 sin (x +
2


0

0

 x  20  60  k360 0
 x  40 0  k360 0



0
0
0
0
0
0
 x  20  180  60  k360
 x  100  k360

3
.
2


Tr­êng THPT Lê Quý Đôn

ĐẠI SỐ 11 NÂNG CAO

VŨ MINH THU

3.Củng cố:Nhắc lại cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx =
m ,tanx = m, cotx = m
4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập