Nhóm abel thương chia được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Hiếu

NHĨM ABEL THƯƠNG CHIA ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Hiếu

NHĨM ABEL THƯƠNG CHIA ĐƯỢC

Chun ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số

: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM THỊ THU THỦY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thu
Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số và lý thuyết số với đề tài: “ Nhóm Abel
thương chia được” được hồn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản
thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020
Tác giả

Trần Văn Hiếu


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới cô giáo hướng dẫn TS. Phạm Thị Thu Thủy, người đã định hướng chọn
đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm và hồn thiện
luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới q thầy cơ trong khoa Tốn
- Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Q thầy cơ đã
trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi rất nhiều trong việc hồn thành luận văn này.
Tơi cũng khơng qn bày tỏ lịng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban giám
hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là q thầy cơ
trong phịng Sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và làm
việc trong suốt q trình học Cao học.
Nhân dịp này tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và
bạn bè, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ, ủng hộ tôi cả về vật

chất và tinh thần trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt q trình thực hiện đề tài, song có
thể cịn có những mặt hạn chế, thiếu sót. Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng
góp và sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo và các bạn học viên.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020
Tác giả

Trần Văn Hiếu


MỤC LỤC

Lời cam đoan

1

Lời cảm ơn

1

Lời mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

Tập được sắp thứ tự và Bổ đề Zorn . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Các lớp nhóm Abel quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Hệ p-độc lập tuyến tính

15

2.1

Hệ p-độc lập tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3 Nhóm Abel thương chia được

23

3.1

Khái niệm và ví dụ về nhóm thương chia được . . . . . . . . . .

23

3.2

Các tính chất quan trọng của nhóm thương chia được . . . . . .

27

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

39


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhóm Abel là một trong các nhánh quan trọng của đại số hiện

đại. Khái niệm về nhóm thương chia được khơng xoắn được R. Beaumont và R.
Pierce đưa ra vào năm 1961 trong [5]. Cho A là nhóm khơng xoắn thì A được gọi
là nhóm thương chia được nếu A chứa một nhóm con B sao cho B là tự do và
A/B là nhóm xoắn và là tổng trực tiếp của một nhóm chia được và một nhóm
bị chặn. Khái niệm này đã được mở rộng cho trường hợp các nhóm hỗn hợp bởi
W. Wickless và A.Fomin vào năm 1998 trong [3].Trong bài báo của mình, W.
Wickless và A. Fomin đã chỉ ra sự đối ngẫu của hai phạm trù: phạm trù nhóm
Abel thương chia được và phạm trù nhóm Abel khơng xoắn hạng hữu hạn với
các xạ là các giả đồng cấu. Từ đó, việc nghiên cứu các tính chất của nhóm Abel
thương chia được cho phép đạt được các kết quả tương ứng đối với nhóm Abel
khơng xoắn hạng hữu hạn. Nhóm thương chia được cũng nhận được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học U. Albrecht, S. Breaz, C. Vinsonhaler, S. Files, P.
Schultz, O. Davydova, P. Krylov, E. Pakhomova, và A. Tsarev trong [6-12].
Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu và trình bày có hệ thống những
kết quả về nhóm Abel thương chia được. Các nội dung chính được lấy từ bài
báo A. A. Fomin, “To quotient divisible group theory. I“, Fundam. Prikl. Mat.,
17:8 (2012), 153–167; J. Math. Sci., 197:5 (2014), 688–697.
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày các kiến thức cần thiết về
tập hợp và nhóm Abel để tìm hiểu các chương 2 và 3.
Chương 2: “Hệ p-độc lập tuyến tính” trình bày về khái niệm quan trọng
trong nghiên cứu về nhóm Abel thương chia được là khái niệm p-độc lập tuyến


MỤC LỤC

5

tính và p-cơ sở. Định nghĩa và tính chất về hệ p-độc lập tuyến tính và p-hạng
của nhóm Abel được nêu trong bài 2.1. Bài 2.2 trình bày các kết quả về nhóm

p-cơ sở và tính bị chặn của phần xoắn nhóm A có p-hạng hữu hạn.
Chương 3: “Nhóm Abel thương chia được” là chương trọng tâm của
luận văn. Chương 3 gồm 2 bài. Bài 3.1 trình bày khái niệm và các ví dụ về nhóm
thương chia được. Bài 3.2 trình bày các tính chất quan trọng của nhóm thương
chia được và nhóm con Ulm thứ nhất của nhóm thương chia được.


MỤC LỤC

Ký hiệu
N: Tập hợp các số tự nhiên.
Z: Tập hợp các số nguyên.
Q: Tập hợp các số hữu tỷ.
P: Tập hợp các sô nguyên tố.
∅: Tập hợp rỗng.
|S|: Lực lượng của tập S.
S : Nhóm con sinh bởi tập hợp S.
∩, ∪ : giao, hợp của tập hợp.
A ≤ B: A là nhóm con của B.
A/B: nhóm thương của nhóm A theo nhóm con B.
A ⊕ B: Tổng trực tiếp của nhóm A và nhóm B.
A∼
= B: Nhóm A đẳng cấu với nhóm B.
Zp : trường các số nguyên mod p.
o(a): cấp của phần tử a.
Z(p∞ ) : nhóm tựa cyclic kiểu p.
(m, n): Ước chung lớn nhất của hai số nguyên m và n.
dimZp (A): số chiều của nhóm A trên trường Zp .
Ai : tích trực tiếp ngồi của các nhóm Ai , i ∈ I
i∈I

Ai : tổng trực tiếp của các nhóm Ai , i ∈ I.
i∈I

t(A): phần xoắn của nhóm A.
tp (A): p-thành phần của nhóm A.

6


CHƯƠNG

1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Tập được sắp thứ tự và Bổ đề Zorn

Định nghĩa 1.1.1. Một quan hệ hai ngôi ≤ trên một tập L được gọi là một
quan hệ thứ tự từng phần nếu thỏa các điều kiện dưới đây :
1. Với mọi a ∈ L ta có a ≤ a.
2. Với mọi a, b ∈ L nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b.
3. Với mọi a, b, c ∈ L nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ b.
Tập hợp L là tập sắp thứ tự nếu trong L có một quan hệ thứ tự từng phần.
Định nghĩa 1.1.2.

1. Hai phần tử a, b của một tập sắp thứ tự được gọi là

so sánh được nếu a ≤ b hoặc b ≤ a.

2. Một quan hệ thứ tự trong đó mọi cặp phần tử đều so sánh được được gọi
là quan hệ thứ tự toàn phần.
3. Tập hợp L cùng quan hệ thứ tự ≤ được gọi là tập sắp thứ tự toàn phần
nếu ≤ là quan hệ thứ tự toàn phần.


1.2 Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel

8

Định nghĩa 1.1.3. Cho L là một tập sắp thứ tự. Khi đó
1. Phần tử a ∈ L được gọi là phần tử tối đại của L nếu với mọi phần tử
x ∈ L, nếu a ≤ x thì x = a.
2. Cho X là một tập con của L. Một phần tử a ∈ L được gọi là một chặn
trên của X nếu x ≤ a với mọi x ∈ X.
Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Zorn) Nếu một tập hợp sắp thứ tự L khác rỗng có tính
chất: “mọi tập con sắp thứ tự tồn phần của L đều có ít nhất một chặn trên
thuộc L” thì tập L có ít nhất một phần tử tối đại.

1.2
1.2.1

Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel
Độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1. Nhóm là một tập hợp A = ∅, trên đó đã xác định một
phép tốn hai ngơi thỏa các điều kiện:
i) Với mọi x, y, z ∈ A ta có (x + y) + z = x + (y + z).
ii) Tồn tại 0 ∈ A sao cho với mọi x ∈ A, ta có x + 0 = 0 + x = x.
iii) Với mọi x ∈ A, tồn tại −x ∈ A sao cho (−x) + x = x + (−x) = 0.

Nếu nhóm A thỏa mãn x + y = y + x với mọi x, y ∈ A thì A được gọi là
nhóm Abel.
Trong luận văn này mọi nhóm được xét đều là nhóm Abel, nên để đơn giản
khi ghi “nhóm” ta mặc nhiên hiểu là “nhóm Abel”.
Định nghĩa 1.2.2. Tập con G của một nhóm A được gọi là nhóm con của A
nếu thỏa mãn các điều kiện:
i) G = ∅.
ii) Với mọi a, b ∈ G ta có a + (−b) ∈ G.


1.2 Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel

9

Nếu G là nhóm con của A thì ta ký hiệu G ≤ A.
Định nghĩa 1.2.3. Cho nhóm A và phần tử a ∈ A. Cấp của phần tử a, kí hiệu
o(a), là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho na = 0 hoặc bằng ∞ nếu không
tồn tại số nguyên dương n như vậy.
Định nghĩa 1.2.4. Cho A là nhóm.
1. Một hệ {a1 ,...,ak } các phần tử khác 0 của nhóm A được gọi là độc lập tuyến tính
nếu với mọi số nguyên n1 , . . . , nk , từ
n1 a1 + ... + nk ak = 0
suy ra
n1 a1 = . . . = nk ak = 0.
2. Một hệ L được gọi là độc lập tuyến tính tối đại trong A nếu L thỏa hai
điều kiện sau:
(a) L độc lập tuyến tính trong A.
(b) Với mọi a ∈ A, a ∈
/ L, hệ {L, a} khơng độc lập tuyến tính trong A với
mọi phần tử a ∈ A \ L.

3. Phần tử a ∈ A được gọi là phụ thuộc vào tập con L của A nếu tồn tại
n, n1 , . . . , nk ∈ Z và a1 , . . . , ak ∈ L sao cho
0 = na = n1 a1 + ... + nk ak .
Một tập con K của A được gọi là phụ thuộc vào L nếu mọi phần tử a ∈ K
phụ thuộc vào L.

1.2.2

Tổng trực tiếp và tích trực tiếp

Định nghĩa 1.2.5. Cho một họ khơng rỗng các nhóm Ai , i ∈ I. Khi đó tập
tích Descartes

Ai cùng với phép tốn định nghĩa
i∈I

(xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈

Ai
i∈I

tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp các nhóm Ai , i ∈ I.


1.2 Một số khái niệm cơ bản về nhóm Abel

10

Định nghĩa 1.2.6. Cho một họ khơng rỗng các nhóm Ai , i ∈ I. Tập con của
Ai gồm các bộ x = (xi )i∈I , xi ∈ Ai mà hầu hết trừ ra một số hữu hạn các

i∈I

thành phần xi đều bằng 0, là nhóm con trong

Ai , gọi là tổng trực tiếp ngồi
i∈I

của các nhóm Ai , i ∈ I và kí hiệu là

Ai .
i∈I

Định nghĩa 1.2.7. Cho họ {Ai }i∈I các nhóm con của nhóm G thỏa
i)

Ai = G.
i∈I

ii) Với mọi j ∈ I ta có Aj ∩

Ai = 0.
i∈I,i=j

thì G gọi là tổng trực tiếp trong của các nhóm con Ai , i ∈ I.
Ghi chú 1.2.8.

1. Hai cách định nghĩa tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp

ngoài là tương đương nhau.
2. Để đơn giản khi ghi

ai trong nhóm A, ta hiểu là chỉ có một số hữu hạn
i∈I

các thành phần ai khác 0, còn lại đều bằng 0.
Mệnh đề 1.2.9. Cho A =

Ai . Khi đó
i∈I

1. Mọi phần tử a ∈ A đều biểu diễn được duy nhất được dưới dạng a =
ai1 + . . . + aik với i1 , . . . , ik ∈ I.
ai ∈ A với ai ∈ Ai , i ∈ I. Nếu

2. Cho
i∈I

ai = 0 thì ai = 0 với mọi i ∈ I.
i∈I

Mệnh đề 1.2.10. Cho {ai |i ∈ I} độc lập tuyến tính thì ai

i∈I

=

ai .
i∈I

1.2.3

Hạng của nhóm Abel

Định nghĩa 1.2.11. Cho A là một nhóm.
1. Tập hợp L0 = {ai }i∈I với ai là các phần tử của A có bậc là ∞ và tối đại
trong số các tập con độc lập tuyến tính của A có tính chất trên. Khi đó ta
gọi |L0 | với |L0 | là lực lượng của tập hợp L0 là hạng không xoắn của A và
ký hiệu là r0 (A).


1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng

11

2. Cho tập hợp L = {ai }i∈I với ai là các phần tử của A có bậc là ∞ hoặc lũy
thừa của số nguyên tố và L tối đại trong số các tập con độc lập tuyến tính
của A có tính chất trên. Khi đó ta gọi lực lượng |L| là hạng của A và ký
hiệu r(A).
Bổ đề 1.2.12. Nếu nhóm A có hạng vơ hạn thì |A| = r(A).

1.2.4

Đồng cấu nhóm

Định nghĩa 1.2.13. Cho A và B là các nhóm. Ta có các định nghĩa sau:
1. Một ánh xạ từ A đến B được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f (x) + f (y) =
f (x + y) với mọi x, y ∈ A. Nếu A = B thì f được gọi là tự đồng cấu của
A.
2. Nếu một đồng cấu là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu.
3. Nếu một đồng cấu là tồn ánh thì nó được gọi là toàn cấu.

4. Một đồng cấu được gọi là đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là tồn cấu.
5. Nếu có một đẳng cấu từ A đến B thì ta nói A và B là đẳng cấu với nhau,
ký hiệu A ∼
= B.
Định lý 1.2.14. Nếu đồng cấu nhóm f : A → B là tồn cấu thì A/ Ker f ∼
= B.
Định lý 1.2.15. Cho H, K là các nhóm con của G, với K ≤ H. Khi đó
G/H ∼
= (G/K)/(H/K)

1.3
1.3.1

Các lớp nhóm Abel quan trọng
Nhóm xoắn và nhóm khơng xoắn

Định nghĩa 1.3.1. Nhóm A được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử của A
đều có cấp hữu hạn. Nhóm A được gọi là nhóm không xoắn nếu tất cả phần tử
của A ngoại trừ phần tử 0 đều có cấp vơ hạn.


1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng

12

Định nghĩa 1.3.2. Cho nhóm A, khi đó
1. Phần tử có cấp hữu hạn của A được gọi là phần tử xoắn của A.
2. Tập tất cả các phần tử xoắn của A được gọi là phần xoắn của A, kí hiệu
là t(A).
3. Với mỗi số nguyên tố p, tập hợp tp (A) tất cả các phần tử có cấp là lũy

thừa của p được gọi là p-thành phần của A.
Mệnh đề 1.3.3. Trong nhóm A, phần xoắn t(A) và các p-thành phần tp (A)
của A là nhóm xoắn và A/t(A) là nhóm khơng xoắn.
Mệnh đề 1.3.4. Cho A là nhóm xoắn. Khi đó A =

tp (A) với P là tập hợp
p∈P

các số nguyên tố.

1.3.2

Nhóm tự do

Định nghĩa 1.3.5. Một nhóm F được gọi là nhóm tự do nếu F bằng tổng trực
ai với o(ai ) = ∞ với mọi i ∈ I.

tiếp của các nhóm cyclic vơ hạn hay F =
i∈I

Khi đó hạng của nhóm tự do F là lực lượng của I.
Ghi chú 1.3.6. Hạng của F là |F |.
Mệnh đề 1.3.7. Nhóm F là nhóm tự do khi và chỉ khi F có hệ sinh độc lập
tuyến tính trong đó mọi phần tử có bậc ∞.
Mệnh đề 1.3.8. Một nhóm tự do là nhóm khơng xoắn.
Mệnh đề 1.3.9. Nếu A là nhóm tự do và f là đơn cấu thì f (A) là nhóm tự do.

1.3.3

Nhóm Abel chia được

Định nghĩa 1.3.10. Phần tử a của nhóm A được gọi là chia hết cho số nguyên
dương n và ký hiệu n|a nếu tồn tại b ∈ A thỏa a = nb.


1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng

13

Bổ đề 1.3.11. Cho nhóm A và G là nhóm con của A. Với mọi m ∈ Zvà a ∈ A
ta có m|a + G trong nhóm thương A/G khi và chỉ khi tồn tại g ∈ G thỏa m|a +
g trong A.
Định nghĩa 1.3.12. Một nhóm A được gọi là chia được nếu mọi phần tử của
A đều chia hết cho mọi số nguyên dương.
Mệnh đề 1.3.13. Cho A là một nhóm. Khi đó, các khẳng định sau tương
đương:
1. A là nhóm chia được.
2. mA = A với mọi số nguyên dương m.
3. pA = A, với mọi số nguyên tố p.
Nếu A là p-nhóm thì A chia được khi và chỉ khi pA = A.
Ngoài các kết quả trên, ta chứng minh thêm một số khẳng định liên quan
đến nhóm chia được mà sẽ được sử dụng ở chương sau.
Bổ đề 1.3.14. Cho A là nhóm xoắn và chia được, G là nhóm con của A. Khi
đó A/G xoắn và chia được.
Bổ đề 1.3.15. Nếu A là nhóm cyclic bậc n và số nguyên tố p thỏa (p, n) = 1
thì pk A = A.
Mệnh đề 1.3.16. Nếu nhóm G chứa hạng tử trực tiếp là nhóm cyclic khác 0
thì G khơng chia được.
Một ví dụ quan trọng của nhóm xoắn chia được là nhóm tựa cyclic.
Định nghĩa 1.3.17. Nhóm A được gọi là nhóm tựa cyclic kiểu p (ký hiệu

Z(p∞ )) nếu A = a1 , a2 , . . . và thỏa điều kiện pa1 = 0, pai+1 = ai , i = 1, 2, . . ..
Nhận xét 1.3.18.

1. Do tính chất pa1 = 0, pai+1 = pai nên với mọi x ∈ A,

tồn tại m ∈ Z và i ∈ N thỏa x = mai .


1.3 Các lớp nhóm Abel quan trọng

14

2. Cho A là nhóm tựa cyclic kiểu p. Khi đó A là một p-nhóm thỏa tính chất
pA = A nên theo mệnh đề 1.3.13, A là nhóm chia được.
Định lý 1.3.19 ([4]). Một nhóm Abel là chia được nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu
với tổng trực tiếp các bản sao của Q và các nhóm tựa cyclic.

1.3.4

Nhóm bị chặn

Định nghĩa 1.3.20. Nhóm A được gọi là nhóm bị chặn nếu tồn tại n ∈ N∗
thỏa nA = 0.
Định lý 1.3.21 ([4]). Nhóm bị chặn là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic.
Mệnh đề 1.3.22. Nhóm bị chặn thì khơng chia được.


CHƯƠNG

2

HỆ p-ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

2.1

Hệ p-độc lập tuyến tính

Định nghĩa 2.1.1. Cho nhóm A và số nguyên tố p. Một tập hợp {a1 , . . . , an }
các phần tử khác 0 của A được gọi là p-độc lập tuyến tính nếu với mọi 0 < s ∈ Z,
nếu
thì

m1 a1 + . . . + mn an ∈ ps A với mi ai = 0, mi ∈ Z
mi ∈ ps Z.

(1)
(2)

Một tập con vô hạn các phần tử được gọi là p-độc lập tuyến tính nếu mọi
tập hợp con hữu hạn của nó đều là p-độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 2.1.2. Trong nhóm A, mọi tập hợp p-độc lập tuyến tính thì cũng độc
lập tuyến tính.
Chứng minh:
Cho tập hợp {a1 , . . . , ak } là p-độc lập tuyến tính và giả sử m1 a1 +. . .+mk ak =
0 thì (1) đúng với mọi số nguyên s nên mi ∈ ps Z với mọi số nguyên s, suy ra
mi = 0. Do đó tập hợp a1 , . . . , ak độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 2.1.3. Nếu phần tử a của một tập hợp p-độc lập tuyến tính trong
nhóm A có cấp hữu hạn thì o(a) là một lũy thừa của p.
Chứng minh:

2.1 Hệ p-độc lập tuyến tính

16

Thật vậy giả sử a có cấp là n và n = pk n1 với (n1 , p) = 1 thì na = pk n1 a = 0.
Khi đó phần tử a1 = pk a = 0 sinh một nhóm con cyclic a1 cấp n1 . Do
(n1 , pk+1 ) = 1 nên áp dụng Bổ đề 1.3.15 phần tử pk a chia hết cho pk+1 trong
nhóm a1 . Suy ra {a} khơng p-độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với giả thuyết.
Bổ đề 2.1.4. Nếu một tập con S của một nhóm A là p-độc lập tuyến tính,
nhưng tập S ∪ {b}, 0 = b ∈ A, khơng là tập hợp p-độc lập tuyến tính thì tồn tại
r, s ∈ Z, 0 ≤ r < s, pr b = 0, a1 , . . . , an ∈ S, m1 , . . . , mn ∈ Z thỏa
pr b + m1 a1 + . . . + mn an ∈ ps A.
Chứng minh:
Vì S ∪ {b} khơng là tập hợp p-độc lập tuyến tính nên với a1 , . . . , an ∈ A và
s > 1 tồn tại một tổ hợp tuyến tính các hệ số nguyên
kb + m1 a1 + . . . + mn an = pz ∈ ps A

(2.1)

sao cho không phải tất cả các số hạng đều chia hết cho ps . Rõ ràng k không chia
hết cho ps và kb = 0. Giả sử k = pr k1 với 0 ≤ r < s và (k1 , p) = 1. Tồn tại hai
số nguyên u, v thỏa uk1 + vps−r = 1. Suy ra uk1 = 1 − vps−r . Nhân hai vế của
đẳng thức (2.1) với u ta được pr k1 bu + (um1 )a1 + . . . + (umn )an = ps zu, suy ra
pr b + (um1 )a1 + . . . + (umn )an = ps (uz + vb) ∈ ps A và pr b = 0.
Định lý 2.1.5. Mỗi nhóm đều chứa tập p-độc lập tuyến tính tối đại với mọi số
nguyên tố p.
Chứng minh:
Hiển nhiên tập con của một tập p-độc lập tuyến tính cũng là p-độc lập tuyến
tính, tập rỗng cũng là p-độc lập tuyến tính. Hợp của một dãy tăng dần các tập
p-độc lập tuyến tính S1 ⊂ S2 ⊂ . . . cũng là tập p-độc lập tuyến tính. Áp dụng

Bổ đề 1.1.4, ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.1.6. p-hạng của nhóm A là lực lượng của tập hợp p-độc lập
tuyến tính tối đại của nhóm A, ký hiệu là rp (A).
Bổ đề 2.1.7. Nếu A là nhóm thỏa pA = 0 thì A là khơng gian véc-tơ trên
trường Zp với phép nhân ngồi ma = ma.


2.1 Hệ p-độc lập tuyến tính

17

Chứng minh:
Lấy a ∈ A, m, n ∈ Z thỏa ma = na. Suy ra (m−n)a = 0. Suy ra m − n·a = 0.
Suy ra (m − n)a = 0. Do đó ma = na.
Ta có A là nhóm nên phép tốn cộng trên A thỏa mãn tính chất giao hốn,
kết hợp, có phần tử trung hịa và có phần tử đối. Lấy a, b ∈ A, m, n ∈ Zp ta có
• m(a + b) = m(a + b) = ma + mb = ma + mb.
• (m + n)a = m + n · a = (m + n)a = ma + na = ma + na.
• m(na) = m(na) = mna = mn · a = m · na.
• 1a = 1a = a.
Vậy A là không gian véc-tơ trên trường Zp .
Định lý 2.1.8. Lấy S = {ai |i ∈ I} là tập p-độc lập tuyến tính tối đại của nhóm
A và ai = ai + pA ∈ A/pA, i ∈ I thì tập các phần tử S = {ai |i ∈ I} là một cơ
sở của không gian véc-tơ A/pA trên trường Zp = Z/pZ.
Chứng minh:
Giả sử m1 · a1 + . . . + mn · an = 0 với ai ∈ S, mi = mi + pZ ∈ Zp , mi ∈ Z,
i = 1, . . . , n thì m1 a1 + . . . + mn an ∈ pA. Mà tập hợp {ai } là tập hợp p-độc
lập tuyến tính nên tất cả hệ số mi , i = 1, . . . , n đều chia hết cho p. Suy ra
m1 = . . . = mn = 0. Do đó S = {ai |i ∈ I} độc lập tuyến tính.
Lấy phần tử 0 = b ∈ A. Vì S = {ai |i ∈ I} là tập p-độc lập tuyến tính tối đại

nên tập S ∪ {b} không phải là tập p-độc lập tuyến tính. Do đó áp dụng Bổ đề
2.1.4 tồn tại hai số nguyên 0 ≤ r < s thỏa
pr b + m1 a1 + . . . + mn an ∈ ps A, mi ∈ Z và pr b = 0

(2.2)

Ta chứng minh b = b + pA ∈ A/pA là một tổ hợp tuyến tính các véc-tơ của
S = {ai |i ∈ I} bằng cách quy nạp theo r. Với r = 0, ta có b+m1 a1 +. . .+mn an ∈
ps A ⊂ pA vì s > 0. Do đó b ∈ m1 a1 + . . . + mn an + pA. Khơng mất tổng qt
có thể giả sử r > 0 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa (2.2) và (2.2) đúng với mọi
0 ≤ t < r. Khi đó từ (2.2) ta có pr b + m1 a1 + . . . + mn an = ps z với z ∈ A suy ra
m1 a1 + . . . + mn an = pr (ps−r z − b) ∈ pr A

(2.3)


2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel

18

Mà tập {ai } là p-độc lập tuyến tính nên tất cả hệ số mi , i ∈ I đều chia hết cho
pr . Suy ra mi = pr mi với mọi i ∈ I. Đặt c = b + m1 a1 + . . . + mn an − ps−r z, từ
(2.3) suy ra pr c = pr (b + m1 a1 + . . . + mn an − ps−r z) = 0. Do tính nhỏ nhất của
r nên
o(c) = pr

(2.4)

• TH1: c ∈ S, suy ra b + m1 a1 + . . . + mn an − ps−r z ∈ S. Do đó b ∈ S + pA.
Vì vậy b ∈ S.

• TH2: c ∈
/ S. Vì S là tập p-độc lập tuyến tính tối đại nên S ∩ {b} khơng
phải là tập p-độc lập tuyến tính, áp dụng Bổ đề 2.1.4 tồn tại hai số nguyên
0 ≤ t < u thỏa
pt c + k1 a1 + . . . + kn an ∈ pu A, ki ∈ Z và pt c = 0.
Suy ra pt b + (pt m1 + k1 )a1 + . . . + (pt mn + kn )an ∈ pu A. Vì pt c = 0, từ (2.4)
ta có t < r. Do đó áp dụng giả thiết quy nạp tồn tại l1 , . . . , ln ∈ Z thỏa
c = l1 a1 + . . . + ln an . Mặt khác từ (2.3) ta có c = m1 a1 + . . . + mn an . Suy
ra b = (l1 − m1 )a1 + . . . + (ln − mn )an là một tổ hợp tuyến tính các phần
tử của S.
Vậy tập các phần tử S = {ai |i ∈ I} là một cơ sở của không gian véc-tơ A/pA
trên trường Zp = Z/pZ.
Hệ quả 2.1.9. Cho A là nhóm và p là một số nguyên tố. Số chiều của khơng
gian véc-tơ A/pA trên trường Zp chính là p-hạng của nhóm A.

2.2

Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel

Định nghĩa 2.2.1. Một tập p-độc lập tuyến tính tối đại S của nhóm A được
gọi là một p-cơ sở của A. Nhóm con S sinh bởi S được gọi là nhóm con p-cơ
sở của nhóm A.
Định lý 2.2.2. Cho nhóm A khơng là nhóm p chia được và S = {ai |i ∈ I} là
một p-cơ sở của nhóm A. Cho 0 < n ∈ Z. Đặt ai = ai + pn A ∈ A/pn A. Khi đó
A/pn A =

ai .
i∈I

2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel

19

Chứng minh:
Lấy
b ∈ ai

aj
j=i

với i ∈ I. Khi đó b = mi ai = m1 aj1 + . . . + mn ajn nên mi ai − m1 aj1 − . . . mn ajn ∈
pn A. Vì S là tập p-độc lập tuyến tính nên mi chia hết cho pn . Do đó b = mi ai = 0.
Vì vậy
ai =

ai .
i∈I

i∈I

Ta chứng minh
A/pn A ⊆

ai .
i∈I

Thật vậy lấy b ∈ A/pn A. Từ Định lý 2.1.8 ta có S = {ai |i ∈ I} là một cơ sở của
không gian véc-tơ A/pA trên trường Zp nên với phần tử b ∈ A ta có
b = k11 a1 + k12 a2 + . . . + k1m am + pz,

(2.5)

với 0 ≤ k1i < p, ai ∈ S, i = 1, . . . , m, z ∈ A. Cũng từ Định lý 2.1.8 ta có
z = k21 a1 + . . . + k2m am + pv.
Thay z vào (2.5) ta được
b = (k11 + k21 p)a1 + (k12 + k21 p)a2 + . . . + (k1m + k2m p)am + p2 v.
Tương tự áp dụng Định lý 2.1.8 cho phần tử v và thay vào đẳng thức lần thứ n
ta được
b = (k11 + k21 p + . . . + kn1 pn−1 )a1 + . . . + (k1m + k2m p + . . . + knm pn−1 )am + pn w.
Vì vậy
b = a1 + · · · + am ⊂

ai =
i∈I

ai .
i∈I

Do đó
A/pn A ⊆

ai .
i∈I

Mặt khác lấy b ∈

mi ai ∈ A/pn A. Do đó

ai thì b =

i∈I

i∈I

ai ⊆ /pn A.
i∈I

Vậy
A/pn A =

ai .
i∈I


2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel

20

Hệ quả 2.2.3. Cho B là một nhóm con p-cơ sở của nhóm A được sinh bởi tập
p-cơ sở {ai |i ∈ I}. Khi đó
1. B =

ai .
i∈I

2. A = B + pn A với mọi 0 < n ∈ Z.
Định lý 2.2.4. Cho p là số nguyên tố. Nếu một nhóm A khơng chứa nhóm tựa
cyclic kiểu p và rp (A) < ∞ thì A = tp (A) ⊕ A và
1. tp (A) = C1 ⊕ · · · ⊕ Cm là tổng trực tiếp của hữu hạn các p-nhóm cyclic.
2. tp (A ) = 0.

3. m + rp (A ) = rp (A).
Chứng minh:
Lấy ai , . . . , ar , r = rp (A) là một p-cơ sở của nhóm A. Theo Mệnh đề 2.1.3
mọi phần tử trong A hoặc có cấp ∞ hoặc có cấp là lũy thừa của p nên giả sử
các phần tử a1 , . . . , ar có cấp tương ứng là pt1 , . . . , ptm , 0 ≤ m ≤ r, và các phần
tử am+1 , . . . , ar có cấp vơ hạn. Xét B là nhóm con p-cơ sở sinh bởi tập p-cơ sở
{ai }, áp dụng Hệ quả 2.2.3 cho B ta có
B = a1 ⊕ · · · ⊕ ar .
Hơn nữa,
t(B) = tp (B) = a1 ⊕ · · · ⊕ am .
Khi đó nhóm
B = am+1 ⊕ · · · ⊕ ar
là tự do. Lấy s = max{t1 , . . . , tm } thì ps tp (B) = 0. Ta chứng minh tp (B) =
tp (A).
Hiển nhiên ta có tp (B) ⊂ tp (A).
Lấy x1 ∈ tp (A) bất kỳ có cấp pt . Theo hệ quả 2.2.3 ta có A = B + ps A nên
(1)

tồn tại z ∈ A, k1 , . . . , kr(1) ∈ Z thỏa
(1)

x1 = k1 a1 + · · · + kr(1) ar + ps z.

(2.6)


2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel

21

Nhân hai vế của đẳng thức trên với pt+s ta được
(1)

0 = ps+t km+1 am+1 + . . . + ps+t kr(1) ar + p2s+t z

(2.7)

(1)

Suy ra ps+t km+1 am+1 +. . .+ps+t kr(1) ar = −p2s+t z ∈ p2s+t A. Mà tập {am+1 , . . . , ar }
(1)

là p-độc lập tuyến tính nên các hệ số km+1 , . . . , kr(1) chia hết cho ps . Do đó từ
(2.6) suy ra
(1)

(1)

(1)
x1 − k1 a1 + · · · + km
am = km+1 am+1 + · · · + kr(1) ar + ps z

(2.8)

chia hết cho ps trong A. Suy ra tồn tại x2 ∈ A sao cho
(1)

(1)
x1 − k1 a1 + · · · + km
am = ps x2 .

(1)

(1)
Khi đó từ (2.7) và (2.8) ta có p2s+t x2 = ps+t x1 − k1 a1 + · · · + km
am

=

(1)

ps+t km+1 am+1 + · · · + kr(1) ar + ps z = 0 nên x2 ∈ tp (A).
(1)

(1)
am . Lặp lại các bước làm như trên ta được
Đặt v1 = x1 − k1 a1 + · · · + km
(2)

(2)
v2 = x2 − k1 a1 + · · · + km
am = ps x3 ,

...
(n−1)

vn−1 = xn−1 − k1

(n−1)
a1 + · · · + km
am = ps xn ,

(n)

(n)
am = ps xn+1 ,
vn = xn − k1 a1 + · · · + km

...
Với mọi n = 2, 3, . . . ta có ps vn = vn−1 . Nếu tất cả phần tử v1 , v2 , . . . đều khác
0 thì nhóm con sinh bởi v1 , v2 , . . . là nhóm tựa cyclic kiểu p, điều này là mâu
thuẫn với giả thiết vì A khơng chứa các nhóm con như vậy. Do đó tồn tại n ∈ N
sao cho vn = 0. Mặt khác vì vn−1 = ps vn = 0 nên theo quy nạp vn = vn−1 =
(n)

· · · = v1 = 0. Khi đó với 1 ≤ i ≤ n ta có xn = k1 a1 + · · · + kr(m) am ∈ tp (B). Do
đó tp (A) ⊂ tp (B).
Vậy
tp (B) = tp (A).
Ta có A = B + ps A = tp (B) + B + ps A nên A = tp (A) + B + ps A. Đặt
A = B + ps A ta có
A = tp (A) + A
Lấy x ∈ tp (A) ∩ A . Suy ra tồn tại z ∈ A, k1 , . . . , kr ∈ Z thỏa
x = k1 a1 + · · · + km am = km+1 am+1 + · · · + kr ar + ps z.

(2.9)


2.2 Nhóm con p-cơ sở của nhóm Abel

22

Suy ra
k1 a1 + · · · + km am − km+1 am+1 − · · · − kr ar ∈ ps A.
Do tập hợp {a1 , . . . , ar } là p-độc lập tuyến tính nên ki ai = 0 hoặc ki chia hết
cho ps . Suy ra ki ai = 0 với mọi i = 1, . . . , m. Vì vậy x = 0 nên
tp (A) ∩ A = 0

(2.10)

Từ (2.9) và (2.10) suy ra
A = tp (A) ⊕ A .
Ta có Mục 1, 2 của định lý là hiển nhiên.
Mặt khác ta có {a1 , . . . , am } và {am+1 , . . . , ar } là tập p-cơ sở của tp (A) và
A . Khi đó p-hạng của tổng trực tiếp hai nhóm bằng với tổng p-hạng của mỗi
nhóm nên
rp (A) = rp (tp (A) ⊕ A ) = m + rp (A ).

Hệ quả 2.2.5. Cho A là nhóm có p-hạng hữu hạn và A khơng chứa nhóm tựa
cyclic kiểu p. Khi đó nhóm con tp (A) bị chặn nghĩa là tồn tại 0 ≤ s ∈ Z thỏa
ps tp (A) = 0
Chứng minh:
Vì A là nhóm có p-hạng hữu hạn và A khơng chứa nhóm tựa kiểu p nên
áp dụng Định lý 2.2.4 ta có tp (A) = a1 ⊕ · · · ⊕ am là tổng trực tiếp hữu
hạn của m p-nhóm cyclic. Giả sử cấp của a1 , . . . , am lần lượt là p1 , . . . , pm . Đặt
s = max{p1 , . . . , pm }. Khi đó ps tp (A) = ps

a1 ⊕ · · · ⊕ am

= 0.

CHƯƠNG

3
NHĨM ABEL THƯƠNG CHIA ĐƯỢC

3.1

Khái niệm và ví dụ về nhóm thương chia
được

Định nghĩa 3.1.1. Một nhóm A được gọi là nhóm thương chia được nếu
1. Nhóm A chứa một nhóm con tự do F hạng hữu hạn thỏa nhóm thương
A/F xoắn và chia được.
2. Nhóm A khơng chứa nhóm con xoắn chia được khác 0.
Hạng và cơ sở của nhóm con F được gọi là hạng và cơ sở của nhóm thương
chia được A.
Ví dụ 3.1.2.
1. Nhóm tự do có hạng hữu hạn là nhóm thương chia được.
Giả sử A là nhóm tự do có hạng hữu hạn. Ta có nhóm A/A = 0 là nhóm
xoắn và chia được. Hơn nữa A là nhóm tự do nên là nhóm khơng xoắn.
2. Nhóm chia được khơng xoắn có hạng hữu hạn là nhóm thương chia được.