Bài giảng Hình học 12 tiết 34 bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ ĐẾN
DỰ GIỜ THĂM LỚP 12C


Bài cũ:
1. Nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ?

r
r
Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường

thẳng nếu nó có giá song song hoặc nằm trên đường
thẳng đó.
z


r
u

O

x

ur
u'

y


2.a) Nhắc lại phương trình tham số và phương trình chính tắc
của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy ?

r
b) Tìm một véc tơ chỉ phương u và một điểm M thuộc đường
thẳng() có phương trình tham số

�x  2  t
(t �R )
�
�y  3  2t
Đáp án:
a/ Phương trình tham
số:

�x  x0  at
�
�y  y0  bt

trong đó M ( x0 ; y0 ) �()
r
u  (a; b) là VTCP
x - x0 y  y0
Phương trình chính tắc:
trong đó M ( x0 ; y0 ) �()

r
a
b
u  (a; b) là VTCP có a.b �0

r
b/ Điểm M(2,-3) � và véc tơ chỉ phương u  ( 1; 2)

Tiết 34:
§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHƠNG GIAN


Cầu sông Hàn tp Đà Nẵng


Cầu Tràng Tiền – Huế


Cầu Hàm Rồng -Vinh


Cầu Cổng vàng (Mỹ)


Bài tốn :
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng(d)đi qua điểm M0(x0,y0,z0)
và nhận

r
a  (a1; a2 ; a3 )

làm vec tơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để

điểm M(x,y,z) nằm trên (d)

uuuuuu
r Giải
M 0 M   x  xo , y  y0 , z  z0 

r
phương với a
uuuuuu
r r
� t �R : M 0 M  ta

z
M

uuuuuu
r
Điểm M �(d ) � M 0 M cùng

x  x0  a1t
�x  x0  ta1
�
�
� �y  y0  ta2 hay �
�y  y0  a2t
�z  z  ta
�
x
z

z


a
t
3
� 0
0
3
�

0

r
a
y

M0
d


I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định lý (SGK)
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
�
() : �
r
VTCP a  ( a1 ; a2 ; a3 )
�

�x  x0  a1t

�
M(x; y; z)�( ) � có một số thực t sao cho: �y  y0  a2t
�z  z  a t
3
� 0


2. Định nghĩa (SGK)
Phương trình tham số của đường thẳng
x  x0  a1t
�
có dạng:
�
(I ) �
y  y0  a2t ; (t ��)
�
z  z0  a3t
�

�qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
(d) : �
r
�VTCP a  (a1; a2 ; a3 )

Nhận xét:
r
1) Trong trường hợp VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) có a1.a2 .a3 �0
khử t trong PT (I) ta được PT (II) như sau
x  x0
y  y0

z  z0


( II )
a1
a2
a3

PT (II) được gọi là PT chính tắc của đường thẳng (d)


2)Để xác định một đường thẳng trong không gian ta cần
• Một điểm thuộc đường thẳng
• Một véctơ chỉ phương của đường thẳng
z

r
u


M

O
x

y


Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của
đường thẳng (d)biết:

r
a)(d) đi qua điểm M(1,-2,3) và có véc tơ chỉ phương a  2,3, 4 
b)(d) đi qua hai điểm A(1; -2; 3) và B(3; -2; 0)
Giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:

�x  1  2t
�
�y  2  3t ; (t �R )
�z  3  4t
�
Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

x  1x  1y  y(22) z  3
 

2 2
33
4


Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của
đường thẳng (d)biết
b)(d) đi qua hai điểm A(1; -2; 3) và B(3; -2; 0)
Giải
r r
r uuu
b)Vectơ chỉ phương của đường thẳng:a  AB � a  (2;0; 3)
Điểm thuộc đường thẳng (d) là A(1;-2;3)

*) Phương trình tham số của đường thẳng (d)
là:
�x  1  2t

�
�y  2 ;  t �R 
�z  3  3t
�

*) Không có phương trình chính tắc của đường
thẳng.

r
a
A

B


Ví dụ 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng
a)(d) đi qua N(-1;3;2) và song song với

�x  1  5t
đt: () : �
�y  9  4t
�z  7  t
�

b)(d) đi qua M(1;4;3) và vng góc với mp (P):2x +3y -2z +4 = 0
Giải

a)Vì d    d nhận u(5;4;1) làm VTCP


u

*) Phương trình tham số của đường thẳng là:
x = -1 + 5t
y = 3 + 4t
z = 2 + 1t
*) Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

x -x(-1)
+1  yy 33  zz  22
55  44  11

N

()

d


Ví dụ 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng
b)(d) đi qua M(1;4;3) và vng góc với mp (P):2x +3y -2z +4 = 0
Giải


np

M

b)Vì d  (P)  (d) nhận np (2;3;-2) làm VTCP
*) Phương trình tham số của đường thẳng là:

P

x = 1 + 2t
y = 4 + 3t
z = 3 - 2t
*) Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

x 1 y  4 z  3


2
3
2

d


Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua
điểm M (4; 1; 2) và song song với giao tuyến của 2 mp:
(P): 3x - y + z – 4 = 0, (Q): x - 2y - z = 0
Giải

r
nP

d

r
ad

∆

M

r
nQ
P

uur
Gọi ad là véc tơ chỉ phương của (d)

uur uur
�
�ad  nP uur �uur uur�
Do�uur uur � ad  �nP ;nQ � (3;4;5)
�ad  nQ

Phương trình tham số của d là:
Q

�x  4  3t
�
�y  1  4t ,  t �R 
�z  2  5t
�

Ví dụ 4:Trong khơng gian với hệ tạ độ Oxyz cho 2 mặt phẳng
(P):x+2y - z+1=0 và (Q): x+y+2z+3=0.Viết phương trình đường
thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q)
Giải

r
nP

r
ad

d

r
nQ
P

�x  2y z  1 0
Xét hệ phương trình:�
�x  y 2z  3  0
�x  5
� A(5;2;0) �d
Chọn z=0 ta được �
r
�y  2
Gọi u là véctơ chỉ phương của d.
r uu
r
�

r
uu
r uur
u  nP
�
� (5;3;1).
n
;
n
Ta có �r uur � u  �
P
Q
�
�
u

n
�
Q
Vậy phương trình tham số của d là:
Q

�x  5 5t
�
�y  2  3t ; (t ��)
�z   t
�


Củng Cố

Để xác định một đường thẳng trong không gian ta cần
1. Một điểm thuộc đường thẳng
2. Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
z

r
u


M

O
x

y


Củng cố . Phương trình tham số của đường thẳng
(d) đi qua
r
điểm M (x 0 ; y 0 ;z 0 ) và có VTCP a  a1 ; a2 ; a3  là:
�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t; (t��)
�z  z  a t
� 0 3

Củng cố . Phương trình chính tắc của đường rthẳng (d) đi qua
điểm M  x0 ; y0 ; z0  và có VTCP a  a1 ; a2 ; a3 
với a1.a2 .a3 �0 là:

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3


Củng cố
Đường thẳng
Qua 2 điểm A, B
Vng góc với mp (P) cho trước
Song song với đt (∆) cho trước
Giao tuyến của 2 mp (P) & (Q)

VTCP

uuu
r
AB
r
nP

r
a
r r
�
nP , nQ �
�

�


x = 1 +4t
1 Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số là: y = 2 + 3t
z = 3 – 7t
Tọa độ điểm M trên (d) và tọa độ một véc tơ chỉ phương
của (d) là:




A M(1; 2;3) vµu

= (4;3;7)


vµu

= (4;3;-7)

C


M(1;2;3) vµu

= (4;3;-7)

D


M(4;3;-7) vµu

B

M(1;3;2)

= (1;2;3)


2

x=1- 2t
�
�
y= 2 +t
Cho đường thẳng có ptts: �
�z   3t
�

Điểm nào sau đây thuộc d?

A M(1;2; -3)

B M( -1;3; 3)

C M(-2;1; -3)

D M( -2;1;0)

Bài tập củng cố
Bài tập 1
Cho đường thẳng d có phương trình tham số

�x  5  t
�
�y  3  2t
�z  1  3t
�

a) Hãy tìm một vec tơ chỉ phương và một điểm thuộc
đường thẳng trên
b) Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d


Bài tập củng cố
Bài tập 2
Viết phương trình tham số của đường thẳng có phương
trình chính tắc là:
x 1 y  2 z  3
(d )


2
4
5
Bài tập 3
Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình

�x  1  t
�
(d ) �y  3  2t
�z  2  4t
�
vuông góc với mặt phẳng    : 2 x  4 y  8 z  7  0