sang kien kinh nghiem

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>KINH NGHIỆM DẠY PHẦN SO SÁNH PHÂN SỐ</b>

<b> Ở MƠN TỐN 6</b>

<b>I. Đặt vấn đề</b>

Tốn là mơn học cơ bản trong chương trình phổ thơng nói chung và trong
chương trình THCS nói riêng. Học tốn hay giải bài toán là yêu cầu thường
xuyên trong mọi hoạt động và suy nghĩ. Do đó, trong q trình dạy học tốn
nói chung cũng như trong q trình dạy giải tốn số học nói riêng, người dạy
học và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là : Sau khi học xong
lí thuyết cần phải nắm chắc kiến thức cơ bản từ đó vận dụng sáng tạo, có hiệu
quả vào bài tốn, tìm được lời giải của bài tốn đó rồi dù là đơn giản hay phức
tạp cần suy nghĩ, kiểm tra lí thuyết, lật lại vấn đề xem có cách nào cho ta kết
quả hay hơn, tìm được cái mới hơn rồi lại đi tìm cái mới hơn nữa, cứ thế
chúng ta sẽ tìm ra được những điều thú vị.

Là một người trực tiếp chỉ đạo về công tác chuyên môn tôi nghĩ làm thế
nào để tổ chức các chuyên đề cho giáo viên, để giáo viên truyền lại cho học
sinh nắm được bài, hiểu bài và biết vận dụng để từ đó giải được các bài tập từ
đơn giản đến phức tạp và có kết quả cao trong các kỳ thi. Chính vì vậy tơi đã
tìm tòi, đọc tài liệu tham khảo … để cùng với các giáo viên khác làm cho học
sinh biết vận dụng sáng tạo, có hiệu quả “phương pháp so sánh phân số” vào
các bài toán so sánh phân số. Loại toán này quen thuộc đối với học sinh lớp 6.
Đó là điều băn khoăn trăn trở đối với tôi trong quá trình chỉ đạo và giảng dạy.
Từ đó tơi nghĩ đến việc vận dụng sáng tạo lí thuyết các phương pháp so sánh
phân số vào các bài tốn có liên quan đến so sánh phân số mà hiện nay học
sinh đang nghèo nàn về phương pháp. Bài viết này tôi xin đưa ra một số
phương pháp so sánh phân số. Đó là điều băn khoăn trăn trở đối với tôi trong
quá trình chỉ đạo và giảng dạy. Từ đó tơi nghĩ đến việc vận dụng sáng tạo lí
thuyết các phương pháp so sánh phân số vào các bài tốn có liên quan đến so
sánh phân số mà hiện nay học sinh đang nghèo nàn về phương pháp. Bài viết

này tôi xin đưa ra một số phương pháp so sánh phân số.

<b>II. Giải quyết vấn đề.</b>

Tóm tắt lí thuyết các phương pháp so sánh phân số.
(Trong tập hợp Q+) quen thuộc là :

1. Quy đồng các phân số đã cho rồi so sánh các tử số với nhau

2. Viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số cùng tử số rồi so sánh các
mẫu với nhau.

3. So sánh phân số theo tính chất: nếu ad < bc thì <i>_ba</i> <i>_dc</i>

4. So sánh tỉ số các phân số đã cho với 1 theo tính chất : Nếu x : y <1 thì x < y
(y ≠ 0)

5. Viết các phân số dưới dạng số thập phân rồi so sánh các số thập phân.

6. So sánh các số nghịch đảo của các phân số theo tính chất : Cho a,b,c d ≠ 0,
nếu <i>_ab</i>  <i>d_c</i> thì

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

7. Dựa vào tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự : Nếu <i>_ba</i> <i>m_n</i> và
<i>d</i>
<i>c</i>

<i>n</i>
<i>m</i>

 thì

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>



8. So sánh “phần bù của một phân số đối với đơn vị” theo tính chất nếu

1
; 

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

và 1 <i>_ba</i> 1 <i>_dc</i> thì
<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>



Tiếp theo tơi xin nêu thêm vài cách so sánh khác :
9. Ta có tính chất.

Nếu <i>_ba</i> <i>_dc</i> thì

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>





Chứng minh :
Từ

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

 => ad < bc

 ad + ab < bc + ab => a(b+d) < b(a+c)



<i>d</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>




 (1)

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

 => ad < bc => ad + dc < bc + dc

 d(a+c) < c(b+d) => <i>_ba</i> <i>_dc</i> <i>_dc</i>



(2)
Từ (1) và (2) =>

<i>b</i>

<i>a</i>

<

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>






(đpcm)

10. Từ tính chất đã nêu ở cách 9 ta dễ dàng suy ra tính chất sau : Nếu <i>_ba</i>  <i>_dc</i> thì
<i>b</i>

<i>a</i>
<

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<i>bn</i>

<i>c</i>
<i>an</i>





(n = 1,2,3…)
Chứng minh :

Từ <i>_ba</i>  <i>_dc</i> => ad <bc

 ad + abn < bc + abn => a(d+bn) < b (c+an)


<i>bn</i>
<i>d</i>

<i>an</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>




 (1)

Lại có từ : <i>_ba</i> <i>_dc</i> => ad<bc

 adn < bcn => adn + dc < bcn + dc
 d(an+c) < c(bn+d)



<i>d</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<i>bn</i>

<i>c</i>
<i>an</i>




 ₍₂₎

Từ (1) và (2) => <i>_ba</i> <<i>_bnan</i> <i>_dc</i> <i>_dc</i>


<b>Xin giới thiệu một số ví dụ .</b>

<b>Bài 1</b>: So sánh bằng nhiều phương pháp khác nhau. Xem trong hai phân số ₇5
và ₁₆13 thì phân số nào lớn hơn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ở bài tốn này do 4 số 5,7,13,16 đơi một nguyên tố cùng nhau. Nên khi
áp dụng các cách giải 1,2,3,4 vào bài toán trên ta đều qui về so sánh 5,16
và 7,13 .

Vận dụng cách thứ 9 ta làm như sau :
Vì ₇5 ₃2 nên

3
2
2
7

3
5
7
5





Từ ₇5 ₉8 suy ra

9
8
16
13
7
5



 vậy

16
13
7
5



Hoặc vận dụng cách thứ 10 ta làm như sau :
Vì ₇5 ₃2 nên

3
2
2
2
.
7

3
2
.
5
7
5





 suy ra

16
13
7
5



<b>Ví dụ 2</b>: So sánh các phân số ₈₂35 và ₈₃36; 97₉₉ và 969₉₉₁; ₂₀₁₀2006 và 2009₂₀₁₃

Khi so sánh các phân số trên rõ ràng ta nên áp dụng các cách 6,7,8 tương
ứng là hợp lý nhất.

+ Để vận dụng cách thứ 10 vào ví dụ 1 ta cần viết :
13 = 5.2 + 3 ; 16 = 7.2 + 2

Tương tự chẳng hạn ta so sánh 2 phân só sau : 89₉₅ và ₉₅₄895
Ta có ₉₅89 < ₄5 nên ₉₅89<₉₅89_..₁₀10 5₄




< ₄5
Do đó ₉₅89 < ₉₅₄895

<b>*</b> Một điều thú vị là nhờ so sánh các phân số mà ta có một cách chứng minh
tính chất sau :

Cho a , b , c, d  N , nếu a < b  c < d và a + d = b + c thì ad < bc

Thật vậy từ giả thiết suy ra

















<i>d</i>

<i>b</i>

<i>d</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

0

=> <i>d</i>

<i>c</i>
<i>d</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i> 




=> <i>ad</i> <i>bc</i>

<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>d</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>







 1

1 

Nghĩa là : Cho hai số tự nhiên biến thiên có tổng khơng đổi, thế thì tích của
chúng càng lớn nếu hiệu của chúng càng nhỏ.

Ví dụ : 95.98 > 94.99

a2_{> (a-1)(a+1) (1)}

Thật ra tính chất này cũng đúng với a,b,c, d  Q+

Khi đó ta xét các tỉ số tương ứng thay cho phân số, rõ ràng bài toán đơn gian
nhưng cũng chứa nhiều vấn đề lý thú

Sau đây ta xét tiếp một số ví dụ:
<b>Ví dụ 3: </b>

a. So sánh các phân số theo cách hợp lí nhất:

96
47

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

100
49
96
47
100
49
4
96
2
47
4
2
96
47









b.
91
18

và₁₄23

Hướng dẫn: 18₉₁18₉₀ ₅1₁₁₅23 ₁₁₄23

c. 1 ₅₂₃310

523
213
;
520
310
1
520
210
52
21







Ta có: ₅₂₀310 ₅₂₃310 Nên

523
213
52
21


d. 1313₉₁₉₁ và ₇₃₇₃1111 ₇1

Hướng dẫn:
7373
1111
73
11
77
11
7
1
91
13
9191
1313






e. ₃


<i>n</i>

<i>n</i>

và ( )

3
6
1
3
<i>N</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>




Hướng dẫn: ₂ ₁ ₆3 ₃ ₆3 1₃





 <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
g.
8
10
5
10
7
7


và
7
10
6
10
8
8


Hướng dẫn:
8
10
13
1
8
10
5
10

7
7
7





Và
7
10
13
1
7
10
6
10
8
8
8





 _Do

7
10
13

8
10
13
8
7



Nên
7
10
6
10
8
10
5
10
8
8
7
7





f.
1
10
1

10
2009
2010




<i>A</i> và

1
10
1
10
2010
2011



<i>B</i>
Hướng dẫn:
10
10
9
1
10 2010



<i>A</i>
và

10
10
9
1
10 2011



<i>B</i>
Do ₁₀20109 ₁₀ ₁₀20119 ₁₀




 Nên <i>B</i> <i>A</i>

<b>Ví dụ 4</b>:

a. So sánh hai phân số sau:

1
10
1
10
16
15


và
1

10
1
10
17
16


Giải:

Ở bài này trước hết ta so sánh:

1
10
)
1
10
.(
10
16
15


và
1
10
)
1
10
.(
10

17
16


Ta có
1
10
)
1
10
.(
10
16
15

 ₌
1
10
9
1
1
10
10
10
16
16
16







Nếu cộng 1 số tự nhiên 0 vào tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 thì

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ví dụ 5:

a. So sánh hai biểu thức
A=
100
1
...
3
1
2
1

1   

B = ₄5

Hướng dẫn giải : ở biểu thức A ta tách làm 2 nhóm số hạng :
A= (
50
1
...
2
1

1   )+(

100
1
...
52
1
51
1



 )>  .50

100
1
50
.
50
1
2
3
2
1
1 

Vậy A> ₂3 > ₄5 do đó A>B
b. Cho A= 2 2 2 ₁₀₀2

1
...

4
1
3
1
2
1





So sánh A với

4
3

Hướng dẫn giải : Ta có
A<
100
.
99
1
...
4
.
3
1
3
.
2

1
2
1

2     = ₁₀₀)

1
99
1
(
...
)
4
1
3
1
(
)
3
1
2
1
(
4
1








4
3
2
1
4
1
100
49
4
1
100
1
2
1
4
1









Vậy A< ₄3

Ví dụ 6: Chứng minh rằng :

a. ... ₁₀₀1 ₁₀₀99

3
1
2
1
2
2

2    

b. ... 1 ₄1
3
1
2
1
3
3

3   <i>_n</i> 

Giải :

Ở bài toán này cần hướng dẫn cho học sinh biết.
a. Ta có : n2 _{>n(n-1) =>}

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
1
1
1
)
1
(
1
1

2  _  _ 
Nên
2
1
1
2
1

2  

₃12  ₂1 ₃1

………..
₉₉1 ₁₀₀1

100
1

2  

Cộng theo vế ta có

100
99
100
1
1
100
1
...
3
1
2
1
2
2

2      

b.
4
1
1
...
3
1
2
1
3
3

3   <i>_n</i> 

Bài này cần phân tích được vấn đề là : Ta áp dụng tính chất (1) vừa nêu
trên thì

n2 _{>(n+1)(n-1) => n}3_{>(n-1)n(n+1) =>}

)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
2
2

3  <i>_n</i>_ <i>_n</i> <i>_n</i>_  <i>_n</i>_ <i>_n</i> <i>_n</i> <i>_n</i>_

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

(n= 1,2,3…..)
Cách giải : Ta có

12
1
4
1
2

1

3  

24
1
12

1
3

1

3  

………..

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> 2( 1)

1
)

1
(
2

1
1

3  _  _

Cộng theo vế ta có :

4
1
)
1
(
2

1
4

1
1
...
3

1

2

1

3
3

3 








<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> (đpcm)

<b>III. Kết luận </b>Kiến thức về phân số nhìn một cách đơn thuần thì nó đơn
giản nhưng thực chất nó chứa đựng nhiều vấn đề phức tạp và rộng, nên khi
dạy phần phân số giáo viên cần khai thác tìm tịi thêm nhiều tài liệu khác
mà trong chương trình học của khối 6 chưa đề cập tới

Ở bài viết này bản thân tôi mới nêu ra được vấn đề nhỏ là một số
phương pháp so sánh phân số mà tôi đã áp dụng khi dạy cho học sinh đại
trà và một số chi tiết sử dụng khi dạy cho học sinh khá và giỏi

</div>

<!--links-->