Tài liệu 7 cách tiếp cận một bài tích phân

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm
nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn.
Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì?
1. Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.
2. Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó.
3. Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp.
Chúc các bạn thành công ! !
Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau:
Bài toán : Tính tích phân I =
2
0
sin
sin cos
x
dx
x x
π
+
∫

Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến thức
sẽ sử dụng cho hàm phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm
ln | |
dx
x C
x
= +
∫
Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó !
Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác là sinx và cosx . Vậy có cách nào biểu

diễn thông qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết.
- Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được
1 1 1
( ) 1
cos 1 1 1
sinx tgx tgx
f x
sinx x tgx tgx tgx
+ −
= = = = −
+ + + +
từ đó đặt t= tgx
⇒ I =
∫ ∫ ∫∫ ∫






+
+
+
+
−=
++
−
dt
t
CBt

dt
t
A
dx
tt
tdt
dx
22
11)1)(1(
- Hướng 2: Đặt
tan
2
x
t =
thì
2
2 2
2 1- t
sin ; cosx=
1 1
t
x
t t
=
+ +

Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau:
1 1 1
2 2 2
sin cos

sin cos
b
a
a x b x c
I dx
a x b x c
+ +
=
+ +
∫
Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!
Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx . Điều gì đặc biệt trong cận của tích phân ?
- Hướng 3: Đặt x=
0:
2 2
: 0
2
dx dt
t x t
x t
π π
π


= −


− ⇒ = =




= =


( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận
của tích phân đã có dịp trao đổi cùng các bạn).
Khi đó :
2 2 2
0 0 0
sin s s
sin cos sin cos sin cos
x co t co x
I dx dt dx
x x t t x x
π π π
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
⇒
2 2 2
0 0 0
sin s
2
sin cos sin cos 2 4
x co x
I dx dx dx I
x x x x
π π π
π π
= + = = ⇒ =

+ +
∫ ∫ ∫
Thật đáng kinh ngạc !!!!!
Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau:
2
0
sin
sin s
n
m
n nm m
x
I
x co x
π
=
+
∫
Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!
Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ?
- Hướng 4: Biến đổi f(x) =













+−=






+






−+
4
cot1
2
1
4
sin2
44
sin
π
π
ππ
xg

x
x
và ta tính được bình
thường.
- Hướng 5: Biến đổi
f(x) =






+−=






−
−
=
−
−
1
2cos
1
2
2
1

2cos
2
2cos1
2sin
2
1
sincos
)sin(cossin
22
x
xtg
x
x
x
xx
xxx

và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác.
Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết
được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá !
- Hướng 6: Biến đổi
cos cos 1 cos
( )
cos 2( cos ) 2 2( cos )
sinx sinx x sinx x x sinx
f x
sinx x sinx x sinx x
+ + − −
= = = −
+ + +

Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sự sai khác của tử số và mẫu số, vậy nếu ta
tìm được một tích phân khác có “họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích phân
2
0
s
sin cos
co x
J dx
x x
π
=
+
∫
( gọi là tích phân liên kết của tích phân I) .
Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ :
I J
I J
+ =


− =

sẽ tìm được I .