BÀI 3 TÍCH của VECTƠ với một số

BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
MỤC TIÊU
Kiến thức
-Hiểu được định nghĩa tích một vectơ với một số.
-Nắm được các tính chất của tích vectơ với một số, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm.
-Nắm được điều kiện vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng.
Kỹ năng
-Xác định được vectơ tích một vectơ với một số
-Chứng minh được các vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng.
-Phân tích được một vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu k.a .
• Nếu k  0 thì k .a cùng hướng với a .
• Nếu k  0 thì k .a ngược hướng với a .
Độ dài của kia là: ka  k a . a .

Tính chất
Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có

k (a  b )  ka  kb ;
(h  k )a  ha  ka;
h(ka )  ( hk ) a;
1.a  a;( 1) a   a.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
• b cùng phương a (a  0) khi và chỉ khi có số k thỏa mãn b  ka.

Mở rộng: Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là có số k sao cho AB  k AC.
Phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương
Cho a khơng cùng phương với b . Khi đó mọi vectơ x luôn biểu diễn được dạng x  ma  nb và biểu
diễn đó là duy nhất (có đúng một bộ số m,n).

Trang 1


II.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải
Bài tốn chứng minh một đẳng thức vectơ, ngồi việc sử dụng các quy tắc cộng, trừ hai vectơ, thì trong
bài này cịn sử dụng tính chất của phép nhân vectơ với một số. Ta lưu ý một số vấn đề sau
• k  0 và a  0. Tích k .a là một vectơ có
+ Phương: Cùng phương với vectơ a .
+ Hướng: k  0 : cùng hướng với vectơ a .

k  0 : ngược hướng với vectơ a .
+ Độ dài: | k.a || k | . | a |
Quy ước: Oa  O và kO  O.
• Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có MA  MB  2MI .
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có MA  MB  2MI .
Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
Chứng minh rằng
a) AB  EC  2OA  CA.
Hướng dẫn giải

b) DE  DF  DA  DB  DC  3DA

Trang 2


a) Ta Có AB  EC  2OA  (ED  EC)  2OA
 CD  DA  CA (điều phải chứng minh).

b) Ta có

DE  DF  DA  DB  DC
 ( DE  DC )  DF  DA  DB
 DO  ( DE  DO)  DA  ( DO  DC )
 3DO  ( DE  DC )  DA
 4 DO  DA  2 DA  DA
 3DA (điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng

a) CB  CD  CA  0.
b) OD  OC  DA  DB.
c) AB  3 AC  AD  4 AC.
d) AB  AD  AC  4OC.
e) AB  CD  AC  DB.
f) AD  BC  AC  BD.
g) AC  BD  2 BC.
h) OD  OC  AO  OB  AC.
Hướng dẫn giải

a) Theo quy tắc hình bình hành ta có (CB  CD)  CA  CA  CA  0 (điều phải chứng minh).

OD  OC  CD

b) Theo quy tắc trừ hai vetơ chung điểm đầu ta có : 
.
DA

DB


BA


Mà ABCD là hình bình hành nên CD  BA  OD  OC  DA  DB (điều phải chứng minh).
c) Theo tắc hình bình hành ta có





AB  3 AC  AD  AB  AD  3 AC  AC  3 AC  4 AC (điều phải chứng minh).

Trang 3






d) Ta có AB  AD  AC  AB  AD  AC  AC  AC  2 AC  4OC (điều phải chứng minh).
e) Ta có AB  CD  AC  DB  AB  AC  CD  DB  CB  CB (hiển nhiên).
Ta suy ra điều phải chứng minh.
f) Ta Có AD  BC  AC  BD  AD  AC  BD  BC  CD  CD (hiển nhiên).
Ta suy ra điều phải chứng minh.



 




 2 BC   AB  AB   2 BC (điều phải chứng minh).
h) Ta có OD  OC  AO  OB   OD  OB    AO  OC   0  AC  AC (điều phải chứng minh).
g) Ta có AC  BD  AB  BC  BC  CD  2 BC  AB  CD

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật PQRS tâm O.
a) Chứng minh PQ  RP  SR  SQ.
b) Chứng minh RQ  OP  QO  OS  SP  RO  4OP .
c) Chứng minh MP  MR  MQ  MS với mọi điểm M.
Hướng dẫn giải

a) Ta có PQ  RP  SR  SR  RP  PQ  SQ (điều phải chứng minh).



 

 

b) Ta có RQ  OP  QO  OS  SP  RO  RQ  QO  OS  SP  RO  OP



 RO  OP  RP  RP  RP
 2 RP  2.2.OP  4OP (điều phải chứng minh).
c) Cách 1. Với mọi điểm M ta có


 

 
  MQ  MS    QP  QP   MQ  MS .

 

MP  MR  MQ  QP  MS  SR  MQ  MS  QP  SR



Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2. Vi O là trung điểm của PR và QS nên với mọi điểm M ta có

 MP  MR  2MO

 MP  MR  MQ  MS (điều phải chứng minh).

MQ

MS

2
MO


Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB và gọi I là
trung điểm AM. Chứng minh
a) AB  AC  3 AG.
c) GM  GN  GP  0
Hướng dẫn giải

b) IB  IC  2 IA  0.
d) HA  HB  HC  3HG với mọi điểm H.

Trang 4


3
a) Theo tính chất của trung điểm ta có AB  AC  2 AM  2. AG  3 AG (điều phải chứng minh).
2

b) Theo tính chất của trung điểm ta có ( IB  IC)  2IA  2MM  2IA  2(M  IA)  2.0  0 (điều phải
chứng minh).
1
1
1
1
1
c) GM  GN  GP   GA  GB  GC   (GA  GB  GC )   0  0 (điều phải chứng minh).
2
2
2
2
2
d) Với điểm H bất kỳ, ta có

d HA  HB  HC  ( HG  GA)  (HG  GB)  (HG  GC )  3HG  (GA  GB  GC )
 3HG  0  3HG

(điều phải chứng

minh).
Ví dụ 4. Nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A ' B ' C ' thì
AA '  BB '  CC '  3GG ' Từ đó suy ra hai tam giác ABC và tam giác A ' B ' C ' có cùng trọng tâm khi và

chỉ khi AA '  BB '  CC '  0
Hướng dẫn giải
Với G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A'B'C', ta có

AA  BB  CC   ( AG  GG  G A )  ( BG  GG  G B )  (CG  GG  GC 
 ( AG  BG  CG)  (G A  G B  GC  )  3GG  0  0  3GG  3GG
(điều phải chứng minh).
Đặc biệt:
Hai tam giác ABC và tam giác A ' B ' C ' có cùng trọng tâm

 G  G  3GG  0  AA  BB  CC  0 (điều phải chứng minh).
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Gọi H,E, F lần lượt là các điểm trên cạnh AB,BC và CA sao cho
AB  3 AH , CB  3BE, CA  3CE. Chứng minh hai tam giác ABC và HEF có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải

Trang 5


1
1
1
1
1
AB  BC  CA  ( AB  BC  CA)  0  0
3
3

3
3
3
Suy ra tam giác ABC và tam giác HEF có cùng trọng tâm.
Lưu ý: Từ bài toán này trở đi, để chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm G và G' ta

Ta có AH  BE  CF 

chứng minh trực tiếp hai trọng tâm G và G' trùng nhau hoặc chứng minh AA  BB  CC  0.
Bài tập tự luyện dạng 1.
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ a , ka luôn cùng hướng.
B. Hai vectơ a , ka luôn cùng phương.
C. Hai vectơ a , ka có độ dài bằng nhau.
D. Hai a , ka luôn ngược hướng.
Câu 2. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai?
1
A. AB  2 AM .
B. AC  2 NC.
C. BC  2 MN .
D. CN   AC.
2
Câu 3. Phát biểu nào là sai?
A. Nếu AB  CD thì AB  CD .
B. AB  CD thì A,B,C,D thẳng hàng.
C. Nếu 3 AB  7 AC  0 thì A,B,C thẳng hàng.
D. AB  CD  DC  BA.
Câu 4. Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB  AC  AD  0.

B. AB  AC  AD  2 AC.

C. AB  AC  AD  3 AC.
D. AB  AC  AD  4 AC.
Câu 5. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. AB  BC  AC .

B. AB  AD  AC.

C. BA  BC  2 BM .
D. MA  MB  MC  MD.
Câu 6. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2MA  MB  3MC  AC  2 BC.

B. 2MA  MB  3MC  2 AC  BC.

C. 2MA  MB  3MC  2CA  CB.
D. 2MA  MB  3MC  2CB  CA.
Câu 7. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 2 IA  IB  IC  0.

B. IA  IB  IC  0.

C. 2 IA  IB  IC  4 IA.
D. IB  IC  IA.
Câu 8. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. AC  DB  2MN .

B. AC  BD  2 MN .

C. AB  DC  2MN .
D. MB  MC  2MN .
Câu 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm G,O là một điểm bất kì. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. AO  BO  CO  0.

B. OA  OB  OC  2OG.

C. AO  BO  CO  3GO.
D. AG  GB  BO  0.
Câu 10. Cho ABC và A ' B ' C ' có trọng tâm lần lượt là G và G . Khi đó, tổng của ba vectơ
AA  BB '  CC ' bằng .

A. GG '
*Đáp án trắc nghiệm

B. 2GG

C. 3GG.

D. GG.

*Hướng dẫn giải
Trang 6


Câu 7.

Ta có 2 IA  IB  IC  2 IA  IM  MB  IM  MC  (2IA  2MM )  (MB  MA)  0  0  0
Câu 8.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó

AC  BD  ( AI  IJ  JC)  (BI  IJ  JD)  ( AI  BI )  2IJ  ( JC  JD)  2IJ  2MN
Câu 9.
Ta có AO  BO  CO  AG  GO  BG  GO  CG  GO  ( AG  BG  CG)  3GO  0  3GO  3GO .
Câu 10.
Ta có AA '  BB '  CC '  AG  GG  G A  BG  GG  G B  CG  GG  GC
= ( AG  BG  CG)  (G A  G B  GC  )  3GG
= 0  0  3GG  3GG

Dạng 2. Phân tích biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ cho trước
Phương pháp giải
• Cho a và b khơng cùng phương và x bất kì. Khi đó có duy nhất cặp số h,k sao cho x  ha  kb .
• Dùng các phép tốn cộng, trừ, nhân vectơ với một số để phân tích vectơ x chỉ phụ thuộc theo a và b
• Bài tốn phân tích số 1: Với điểm M như hình vē, ta có

AM 

n
m
AB 
AC.
mn
mn

Trang 7


1
1

AB  AC .
2
2
• Bài tốn phân tích số 2: Với điểm M như hình vē, ta có

Đặc biệt: Nếu M là trung điểm BC thì AM 

mn
m
AB  AC;
n
n
mn
m
AM 
AC  AB.
n
n
AM 

• a, b  0 cùng phương  k : a  k .b
• A, B,C thẳng hàng  AB cùng phương AC
 k 

: AB  k AC.

• Nếu AB  kCD và hai đường thẳng AB,CD phân biệt thì AB / /CD.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC,N là trung điểm AM và P là điểm đối xứng với M qua

AN , AP theo hai vecto u  AB và v  AC.

Hướng dẫn giải

Vì N là trung điểm của AM và M là trung điểm của BC nên ta có
1
11
1

AN  AM   AB  AC 
2
22
2

1
1
1
1
 AB  AC  u  v
4
4
4
4
1
 AB  BP  AB  CB
2
1
3
1
3
1
 AB  ( AB  AC )  AB  AC  u  v .

2
2
2
2
2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD. Gọi I là trung điểm AD và M là điểm sao cho
MC  2 MB.

a) Hãy phân tích AM theo hai vectơ AB và AC .
b) Hãy phân tích BI theo hai vectơ BA, BC.
Hướng dẫn giải

Trang 8


a)Vì MC  2MB nên  MC  2MB  CM  2MB.
Ta có

AM  AC  CM  AC  2MB  AC  2(MA  AB )  AC  2 AM  2 AB
 2 AB  AC  2 AM
2
1
AB  AC.
3
3
b) Vì I là trung điểm của AD nên ta có
1
1
1

1 1
1
1
BI  BA  BD  BA   BC  BA  BC.
2
2
2
2 2
2
4
 3 AM  2 AB  AC  AM 

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Gọi M,I,J là ba điểm thỏa mãn MB  3MC, IA  IB, AJ  2JC và K là trung
điểm của đoạn IJ.
a) Hãy phân tích vectơ AM theo các vecto AB và AC .
b) Hãy phân tích vectơ AK theo các vecto AB và AC .
Hướng dẫn giải
MB  3MC  MB  3MC  0  M thuộc đường thẳng BC sao cho C nằm giữa B, M và MB  3MC. .
IA   IB  IA  IB  0  I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
AJ  2 JC  JA  2 JC  0  J thuộc đoạn thẳng AC sao cho JA  2 JC.

a) MB  3MC  BM  3CM .
Ta có AM  AB  BM  AB  3CM  AB  3(CA  AM )  AB  3AC  3AM
1
3
 2 AM  AB  3 AC  AM   AB  AC.
2
2
b) Theo tính chất của trung điểm ta có
1

1
1 1
1 2
1
1
AK  A  AJ   AB   AC  AB  AC.
2
2
2 2
2 3
4
3

Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b Gọi I là trung điểm của CD,G là trọng tâm của
tam giác BC.
a) Phân tích các vectơ BI theo a,b.
b) Phân tích các vectơ AG theo a,b.
Hướng dẫn giải
Trang 9


1
1
1
1
1
1
BD  BC  ( BA  AD)  AD   AB  AD   a  b .
2
2

2
2
2
2
2
2 1
1

b) Ta có AG  AB  BG  AB  BM  AB    BI  BC 
3
3 2
2

1
1
1
1
 AB  BI  BC  AB  BI  AD
3
3
3
3
1 1
5
2
 1
 a   a b  b  a  b
3 2
6
3

 3

a) Ta có BI 

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có là điểm I trên cạnh AC sao cho Cl 

1
AC , J là điểm thỏa mãn
4

1
2
AC  AB.
2
3
a) Chứng minh rằng ba điểm B, I, J thẳng hàng.
b) Xác định điểm ở thỏa yêu cầu bài toán.
BJ 

c) Gọi K là trung điểm của BC. Biểu diễn IK theo hai vectơ AB và AC .
Hướng dẫn giải
3
3
a) Ta có BI  BA  AI  BA  AC  AC  AB.
4
4
1
2
Mặt khác B BJ  AC  AB.
2

3
3
Suy ra BI  BJ  BI , BJ cùng phương  ba điểm B,I,J thẳng hàng.
2

b) Vì BI 

3
2
2
BJ  BJ  BI  J thuộc đoạn thẳng BI sao cho BJ  BI .
2
3
3

c) Ta có
1
1
1
1 1
13
1
1
 1
K  B  C   B /   AC    AC  AB   AC  AB  AC.
2
2
2
2 4
24

2
4
 8
→ Bài tập tự luyện dạng 2
Trang 10


Câu 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC .
1
1
A. AB  AM  BC.
B. AB  BC  AM .
2
2
1
1
C. AB  AM  BC.
D. AB  BC  AM .
2
2
Câu 2. Cho ba điểm M, N, P thỏa mãn MN  2MP. với điểm O bất kì, đẳng thức nào dưới đây đúng?
1
1
A. OM   (ON  2OP).
B. OM  (ON  2OP ).
3
3
1
1
C. OM  (ON  2OP).

D. OM  (ON  2OP).
3
3
Câu 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB  3MC . Khi đó, vectơ AM được biểu
diễn theo AB và AC là
1
1
3
A. AM  AB  3 AC.
B. AM  AB  AC.
4
4
4
1
1
1
1
C. AM  AB  AC.
D. AM  AB  AC.
4
6
2
6
Câu 4. Cho tam giác OAB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Các số m, n thích hợp để
có đẳng thức MN  mOA  nOB là
1
1
A. m  , n  0.
B. m  0, n  .
2

2

1
1
C. m  , n   .
2
2

1
1
D. m   , n  .
2
2

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi là điểm xác định bởi BI  kBC(k  1) Hệ thức giữa AI , AB, AC
là
A. AI  (k 1) AB  k AC.

B. AI  (1  k ) AB  k AC.

C. AI  (1  k ) AB  k AC.

D. AI  (1  k ) AB  k AC.

Câu 6. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3AM  AB và N là trung điểm của AC. Tính
MN theo AB và AC .
1
1
A. MN  AC  AB.
2

3
1
1
C. MN  AB  AC.
2
3

1
1
AC  AB.
2
3
1
1
D. MN  AC  AB.
3
2

B. MN 

Câu 7. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng của I qua C. Ta có AH bằng.
A. AH  AC  AI .

B. AH  2 AC  AI .

C. AH  2 AC  AB.
D. AH  AB  AC  AI .
Câu 8. Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB  4, BC  5 và CA  6. Khi đó
DE bằng
5

3
3
5
9
3
3
9
A. CA  CB
B. CA  CB.
C. CA  CB.
D. CA  CB.
9
5
5
9
5
5
5
5
Câu 9. Cho tam giác ABC. Lấy điểm D đối xứng với A qua B và lấy điểm E trên đoạn AC sao cho

3 AE  2EC .Nếu DE  mAB  n AC thì giá trị m.n là.
2
4
4
A. m.n   .
B. m.n   .
C. m.n  .
5
5

5

2
D. m.n  .
5

Trang 11


Câu 10. Cho hình bình hành ABCD , tâm O,G là trọng tâm tam giác OCD. Đặt AB  a, AD  b. Hãy tính
vectơ BG theo a; b.
1
5
a  b.
2
6
1
5
C. BG   a  b .
2
6
*Đáp án trắc nghiệm

3
1
a  b.
4
4
3
1

D. BG  a  b .
4
4

A. BG 

B. BG 

*Hướng dẫn giải
Câu 8.

AD là phân giác trong của tam giác ABC nên

CD AC 6
CD
6
3

 


BD AB 4
CD  BD 6  4 5

CD 3
3
  CD  CB
CB 5
5
CE 5

5
  CE  CA
Tương tự
CA 9
9
5
3
Vậy DE  CE  CD  CA  CB
9
5
Câu 9.


Ta có DE  DA  AE  2 AB 

2
2
4
AC  m  2, n   m.n  
5
5
5

Dạng 3. Tính độ dài của tổng, hiệu các vectơ và tích của vectơ với một số
→Phương pháp giải
Dạng tốn tìm độ dài của vectơ được phát triển từ Bài 1. Bài 2 và hoàn thiện ở Bài 3 với mức độ khó tăng
dần. Đó là do các phép tốn về vectơ được phối Tính độ dài của các vectơ hợp ngày càng đa dạng hơn ở
Trang 12

các bài học về sau. Phương pháp chung để tìm độ dài của tổng, hiệu các vectơ và tích của vectơ với một
số vẫn là
• Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một tích của một số với một vectơ duy nhất.
• Tính độ dài của vectơ đó.
Từ đó suy ra độ dài của vectơ đã cho.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC vng tại A, BC  5a, AB  3a.
Tính độ dài của vectơ đó.
a) BA  BC.
Hướng dẫn giải

b) BA  BC.

c) 2 AB  AC.

a) BA  BC  CA  CA

 BC 2  AB 2  (5a)2  (3a)2  4a.
b) Gọi F là trung điểm AC.
Ta có BA  BC  2 BI  2 BI

 2 Al 2  AB 2  2 (2a)2  (3a)2  2 13a.
c) Gọi M là điểm đối xứng với A qua B. Vẽ hình chữ nhật AMNC.
Ta có
2 AB  AC  AM  AC  AN  AN
 AM 2  MN 2  (6a ) 2  (4a) 2  2 13a.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy tính
a) | AI | .

b) AB  AC . .

c) GB  GC  AG .

d) AB  G |  AC .

Hướng dẫn giải

a) Ta có | A | AI  AB 2  BI 2  (2a)2  a 2  a 3.
b) Trong mục này, ta sẽ giải quyết bài tốn tìm độ dài vectơ tổng mà khơng cần phải vẽ hình bình hành.
Trang 13


Ta có AB  AC  2 A  2 AI  2a 3.

2
1
2
4
4
4a 3
c) Ta có | GB  GC  AG || 2 AG |  . AI || 2. AI  . AI  . AI  . AI 
.
3
3
3
3
3
3

1
5
5
5a 3
d) Ta có | AB  GI |  AC || ( AB  AC )  GI || 2 AI  AI  AI  AI 
.
3
3
3
3
Ví dụ 2. Cho hình vng ABCD cạnh 6cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính độ dài các vectơ
a) AB  DC và OA  CB
Hướng dẫn giải

b) 2AB  DA và 2 AB  AC.

a) Ta có AC  AD 2  DC 2  62  62  6 2cm, OC 

AC
 3 2cm.
2

AB  DC  AB  AB  2 AB  2 AB  12cm.
OA  CB  CO  CB  BO  BO  OC  3 2cm.
b) Gọi M là điểm đối xứng với B qua A. Vẽ hình chữ nhật AMJD và gọi N là trung điểm của CM.
2 AB  DA  AM  AD  AJ  AJ  AM 2  MJ 2  122  62  6 5cm.

Ta có ABCD, BMJC là các hình vng có cạnh bằng nhau nên

ACM  ACB  BCM  450  450  900

CM AC

 3 2cm.
 ACN vng tại N và CN 
2
2
Khi đó 2 AB  AC  AM  AC  2 AN  2 AN  2 AC 2  CN 2
 2 (6 2)2  (3 2) 2  6 10cm.

Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD  600 .Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính
a) AB  AD .

b) OB  DC .

c) OB  OC .

Hướng dẫn giải

Trang 14



 AB  AD  a
a) Vì 
 ABD đều cạnh a.
0
BAD

60



2

a 3
a
Ta có AO  AB2  BO2  a 2    
.
2
2
AB  AD  2 AO  2 AO  2.

a 3
 a 3.
2

b) OB  DC  OB  CD  OB  BA  OA  OA 

a 3
.
2

c) Gọi I là trung điểm của BC. Ta có OB  OC  2OI  AB  AB  a.
Ví dụ 4. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O, cạnh bằng 2cm. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AF và
CD,P và Q lần lượt là giao điểm của CI,FJ với AD. Tính độ dài các vectơ
a) AC .

b) PC  PF .

c) PC  PF .

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB  BC  CD  DE  EF  FA  OA  OB  OC  OD  OE  OF  2cm.
 OAB đều cạnh bằng 2 cm. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo OB và AC của hình thoi ABCO.
AC  2 AM  2 AM  2 AB 2  BM 2  2. 22  12  2 3cm.

b) Ta có PC  PF  FC  FC  2OC  2.2  4cm.
c) Vì P là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và C của tam giác AFC nên P là trọng tâm của tam
giác AFC.
1
1
4
Ta có PC  PF  2 PO  2 PO  2. AO  2. .2  cm.
3
3
3
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ
a  2MA  MB  MC có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải

Trang 15


Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, AC , IJ .
Ta có a  2MA  MB  MC  (MA  MB)  (MA  MC)  2MI  2MJ





 2 MI  MJ  2.2MK  4MK .

Suy ra a  4MK  4MK .
Do đó độ dài vectơ a nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất. Khi đó M là hình chiếu vng góc của K lên
đường thẳng d.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Cho hình vng ABCD cạnh a 2 .Khi đó, S  2 AD  DB có giá trị là .
A. S  2a.

B. S  a.

D. S  a 2.

C. S  a 3.

Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh AB  a, BC  2a. Khi đó AB  2 AD bằng .
B. 5a.

A. a 17.

D. 2 2a.

C.3a.

Câu 3. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a. Khi đó 2OA  OB bằng .
B. (1  2)a.

A.a.

D. 2a 2.

C. a 5.

Câu 4. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. 3OA  4OB  5a.

B. 2OA  3OB  5a.

C. 7OA  2OB  5a.

D. 11OA  6OB  5a.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC  a 2 . M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. BA  BM  a.
C. BA  BM 

a 3
.
2

B. | BA  BM |

a 2
.
2

D. BA  BM 

a 10

.
2

Câu 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a có G là trọng tâm. Khi đó giá trị AB  GC là.
a
A. .
3

B.

2a 3
.
3

C.

2a
.
3

D.

a 3
.
3

Câu 7. Cho hình thoi ABCD có AC  2a, và BD  a. Khi đó giá trị AC  BD là.
A. AC  BD  3a .
C. AC  BD  a 5.

B. | AC  BD  a 3.
D. AC  BD  5a.
Trang 16


Câu 8. Cho hình thang vng ABCD có hai đáy AB  a, CD  2a, đường cao AD  a . Đặt
u  DA  AB  CD. Độ dài vectơ u bằng .

a 2
C. a 2.
D. 2a 2.
.
2
Câu 9. Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB  a và CD  2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
A. 2a 2.

B.

và BC. Khi đó MA  MC  MN bằng .
a
A. .
2

B.

3a
.
2

C. 2a.

D. 3a.

1
Câu 10. Cho tam giác ABC có H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH  HC. Gọi G là trọng tâm của
3

tam giác. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM  xBC . Giá trị của x để độ dài của vectơ MA  GC
đạt giá trị nhỏ nhất là .
4
5
6
5
A. x  .
B. x  .
C. x  .
D. x  .
5
6
5
4
*Đáp án trắc nghiệm

*Hướng dẫn giải
Câu 6.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB của tam giác ABC.
2

2

4
4 2 a
2a 3
| AB  GC || 2 AP  2PG || 2( AP  PG) || 2 AG | 2 AG  2   AM 
AB 2  BM 2 
a   
3
3
3
3
2
Câu 7.

Gọi M là trung điểm của CD và O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có OM là đường trung tuyến của tam giác vuông OCD

Trang 17


2

a
a  
2
2
CD
OC  OD
a 5
2
 OM 




2
2
2
4
| AC  BD || 2OC  2OD || 2(OC  OD) || 2.2  OM |
2

| 4  OM | 4OM  4 

a 5
a 5
4

Câu 8.

Gọi I là trung điểm CD  ABID là hình vng.

| u || DA  AB  CD || DA  BA  DC || BA  DA  DC || ID  DA  DC || IA  DC || DC  CB |
| DB | DB  AB 2  AD 2  a 2  a 2  a 2
Câu 9.

CD
a
2
AB  CD a  2a 3a
2



 MI  MN
MN là đường trung bình của hình thang ABCD  MN 
2
2
2
3
2
1
1
1 3a a
Ta có | ( MA  MC )  MN || 2 M |  MN || 2  MN  MN || MN ∣ MN   
3
3
3
3 2 2
Câu 10.

Gọi I là trung điểm AC. Khi đó MI là đường trung bình của tam giác ACD  MI 

Dựng hình bình hành AGCN. Ta có MA  GC  MA  AN  MN
Kẻ NK  BC tại K. Khi đó | MA  GC || MN | MN  NK .
Do đó |MA + GC| nhỏ nhất khi M  K.
Gọi I là trung điểm AC, J là hình chiếu vng góc của I lên BC (J  BC).
3
Khi đó I là trung điểm GN nên BI = BN.
4
Trang 18

Ta có  BIJ và  BNK đồng dạng nên

BJ
BI 3
4

 hay BK  BJ
BK BN 4
3

1
Mặt khác BH  HC .
3

IJ là đường trung bình  AHC nên J là trung điểm HC hay HJ 

1
HC
2

1
1
5
5 3
5
Suy ra BJ  BH  HJ  HC  HC  HC   BC  BC .
3
2
6
6 4

8
4
4 5
5
Do đó BK  BJ   BC  BC
3
3 8
6

Dạng 4. Xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước
Bài toán 1. Xác định một điểm
→Phương pháp giải
Để xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước ta thường sử dụng một trong ba phương pháp
sau:
• Dạng 1. Đưa vectơ này bằng một số nhân với một vectơ đã biết.
Nếu biết điểm đầu của vectơ này thì điểm cuối của vectơ là xác định và duy nhất.
• Dạng 2. Xác định một điểm dựa vào đẳng thức vectơ giữa hai điểm cố định A,B.
Trước hết, theo tính chất hai vectơ cùng phương, điểm cần tìm phải nằm trên đường thẳng AB.
Ta cần xác định điểm cần tìm thuộc đoạn thẳng AB hay nằm ngoài đoạn AB, xác định tỉ lệ, vẽ hình
minh họa và mơ tả vị trí tương đối của điểm cần tìm so với hai điểm A,B.
• Dạng 3. Xác định một điểm dựa vào đẳng thức vectơ giữa ba hay bốn điểm cố định.
Trước hết, biến đổi đẳng thức vectơ, đưa điểm cần tìm chỉ phụ thuộc theo hai điểm cố định (đưa về
dạng 2).
Tiến hành xác định vị trí điểm cần tìm theo phương pháp ở dạng 2.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG  2GD.
Hướng dẫn giải



Ta có AG  2GD  AG  2 GA  AD
 3 AG  2 AD  AG 



2
AD
3

Suy ra G thuộc đoạn thẳng AD sao cho AG 

2
AD . Mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên
3

G là trọng tâm tam giác ABC.
→Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Tìm điểm M sao cho MA  2MB  0.
Trang 19


b) Tìm điểm N sao cho 3NA  2 NB  0.
c) Tìm điểm F sao cho 3HA  2 HB  0.
d) Tìm điểm K sao cho 2 KA  3KB  0.
Hướng dẫn giải





a) MA  2MB  0  MA  2 MA  AB  0  2 AB  3MA
2
AB
3
2
 M thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM  AB
3
 2 AB  3 AM  AM 





b) 3NA  2 NB  0  3NA  2 NA  AB  0  2 AB  5 NA
 2 AB  5 AN  AN 

2
AB
5

 N thuộc đoạn thẳng AB sao cho AN 

2
AB.
5

c) 3HA  2HB  0  3HA  2( HA  AB)  0  HA  2 AB

 H thuộc đường thẳng AB (A nằm giữa H và B) sao cho HA  2 AB.





d) 2 KA  3KB  0  2 KA  3 KA  AB  0   KA  3 AB  0  AK  3 AB

 K thuộc đường thẳng AB (B nằm giữa A và K) sao cho AK  3AB.

Lưu ý: Từ ví dụ 1 ta rút ra rằng: với h, k là các số thực lớn hơn 0, hai điểm A, B cổ định thì ta có
• hMA  k MB  0 thì điểm M thuộc đoạn AB và thỏa mãn hMA = kMB.
• hMA  k MB  0 thì điểm M nằm ngồi đoạn AB và thỏa mãn hMA = kMB.
+ Nếu h< k thì B nằm giữa A và M.
+ Nếu h> k thì A nằm giữa B và M
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ sau
a) Điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0.
b) Điểm N thỏa mãn NA  NB  2 NC  0.
c) Điểm P thỏa mãn PA  2 PB  CB.
Hướng dẫn giải
a) Ta có (MA  MB)  MC  0  BA  MC  0  MC  AB  AB  MC

 M là điểm sao cho ABCM là hình bình hành.

Trang 20


b) Gọi I là trung điểm của AB. Ta có

( NA  NB)  2NC  0  2NI  2NC  0





 2 N  NC  0  N  NC  0

 N là trung điểm của IC.
c) PA  2 PB  CB  PA  PB  CB  PB  2PI  CP  2PI  PC  0
 P thuộc đoạn C sao cho 2PI  PC.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho MA  2MB  3MC  0.
b) Xác định điểm N sao cho NA  3 AB  NC  0.
c) Xác định điểm P sao cho PA  3PB  PC  0.
Hướng dẫn giải
Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA.
a) MA  2MB  3MC  0  (MA  MC)  2(MB  MC)  0
 2MK  2.2MJ  0  MK  2MJ  0
 M thuộc đoạn thẳng JK sao cho MK  2MJ .





b) NA  3 AB  NC  0  NA  NC  3 AB  0  2 NK  3 AB  0

 3 AB  2 KN  KN 

3
AB
2

3
 KN   2 KJ  KN  3KJ
2
 N thuộc đường thẳng KJ(J nằm giữa K và N) sao cho KN  3KJ .





c) PA  3PB  PC  0  PA  PC  3PB  0  2 PK  3PB  0

 P thuộc đoạn thẳng BK sao cho 2PK  3PB.
Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
a) Tìm điểm M thoả mãn MA  2MB  MC  MD  3MO.
b) Tìm điểm N thỏa mãn 3 AN  AB  AC  AD.
c) Tìm điểm I thỏa mãn IA  IB  IC  4ID.
Hướng dẫn giải

Trang 21


a)Ta có MA  2MB  MC  MD  3MO  MA  MB  MC  MD  MB  3MO


 
 

 (OA  OC )   OB  OD    MO  MB   0  0  0   MO  MB   0

 ( MO  OA)  MO  OB  MO  OC  MO  OD  MB  3MO  0

 MO  MB  0.

 M là trung điểm của đoạn thẳng OB.
b) Ta có





3 AN  AB  AC  AD  3 AN  AB  AD  AC
 3 AN  AC  AC  AN 

2
AC.
3

Suy ra N thuộc đoạn thẳng AC sao cho AN 

c) Ta có



 

2
AC.
3

 

 



IA  IB  CC  41D  10  OA  10  OB  IO  OD  4 10  OD  0





 OA  OC  OB  10  4OD  0  0  OB  OI  4 BO  0  5OB  OI  0
 OI  5BO
Suy ra I thuộc đường thẳng BD sao cho O nằm giữa B,I và O  5BO.

Bài tốn 2. Tìm quỹ tích của một điểm
Phương pháp giải
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập
hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn
• Tập hợp các điểm M cách điểm I một khoảng không đổi bằng R : IM  R là đường trịn tâm I bán
kính R.
Trang 22


• Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A, B : MA  MB là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

• Để giải bài tốn quỹ tích ta thường thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số rồi mới
kết luận.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  MD .

Hướng dẫn giải

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. Theo tính chất trung điểm của đoạn thẳng ta có
MA  MB  MC  MD  2M  2MJ

 2Ml  2MJ  MI  MJ .
Vậy tập hợp các điểm M thỏa yêu cầu bài toán là đường trung trực của đoạn thẳng IJ . .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA  MB  MC  MB  MC .
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho 2NA  NB  NC .
Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có MA  MB  MC  MB  MC  3MG  CB  3MG  CB  MG 

BC
.
3

Trang 23


BC
.
3

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính R 
b) Gọi I là trung điểm BC.

Ta có 2 NA  NB  NC  2 NA  2 N  2 NA  2 N∣  NA  NI .
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của AI.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC.
a) Xác định điểm M sao cho 3MA  2MB  MC  0.
b) Tìm tập hợp các điểm N sao cho 3NA  2 NB  NC  NA  NB .
c) Tìm tập hợp điểm D sao cho DA  2 DB  DC  4 AC  BC .
d) Tìm tập hợp các điểm E sao cho 2 EA  EB  EC  3 EB  EC .
e) Tìm tập hợp các điểm F sao cho FA  3FB  2 FC  2 FA  FB  FC .
Hướng dẫn giải
Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA.
a) Ta có

3MA  2MB  MC  0  2(MA  MB)  (MA  MC)  0  2BA  2MK  0
 MK  AB  AB  MK
 ABKM là hình bình hành.
Vậy M là đỉnh thứ tự của hình bình hành ABKM.

b) Với ABKM là hình bình hành, ta suy ra BA  KM .

3NA  2 NB  NC  NA  NB  2 KM  2 NK  BA
 2 BA  2 NK  BA  2 KM  2 NK  BA





 2 NK  KM  BA  2 NM  BA  2 NM  BA  NM 
Vậy tập hợp các điểm N là đường trịn tâm M, bán kính R 
c) Gọi O là trung điểm củaI J. Ta có



 

BA
.
2

BA
.
2



DA  2DB  DC  4 AC  BC  DA  DB  DB  DC  4 AB





 2 DI  2 DJ  4 AB  2 DI  DJ  4 AB
 2.2 DO  4 AB  4 DO  4 AB  DO  AB.
Vậy tập hợp các điểm D là đường tròn tâm O, bán kính R=AB.
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất của trọng tâm ta có

Trang 24


2 EA  EB  EC  3 EB  EC  2 3EG  3 2 EJ  6 EG  6 EJ  EG  EJ .

Suy ra E cách đều hai điểm G,J. Vậy tập hợp các điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng GJ.
e) Gọi M là điểm đối xứng với B qua A. Vẽ hình bình hành BCIT  CB  IT .

AA  3FB  2 FC  2 FA  FB  FC



 

 

 

 FA  FB  2 FB  FC  FA  FB  FA  FC



 2 FI | 2CB  BA  CA  2 FI  2 IT  AP  CA
 2 FT  CP  2 FT  CP  FT 

CP
.
2

Vậy tập hợp các điểm F là đường tròn tâm , bán kính R 

CP
.
2

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý ta lấy các điểm M,N sao cho AM  k.AB, DN  k.DC. Tìm
tập hợp các trung điểm I của đoạn MN với mọi giá trị của k.
Hướng dẫn giải

Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD và BC.


 EF  EA  AB  BF
Ta có 
.
EF

ED

DC

CF





 

 



Cộng về theo vế ta được 2 EF  EA  ED  AB  DC  BF  CF  AB  DC.
Tương tự vì E và lần lượt là trung điểm của AD và MN nên

1
1
k
k
EI  AM  DN  k AB  k DC  AB  DC  .2EF  k EF .
2
2
2
2



 







Suy ra EI .EF cùng phương hay I thuộc đường thẳng EF.
Vậy khi k thay đổi thì tập hợp trung điểm của đoạn MN là đường thẳng EF.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1. Cho tam giác ABC. Nếu điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0 thì ta có .
A. ABMC là hình bình hành.
B. ABCM là hình bình hành.
C. M là trung điểm BC.
D. M là trung điểm AB.
Câu 2. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB  MC  AB. Tìm vị trí điểm M.
A. M là trung điểm của AC.

B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC.
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM.
2
Câu 3. Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC. Xác định vị trí của điểm G biết GA  AD  0.
3
1
A. G nằm trên đoạn AD và GD  2GA.
B. G nằm trên đoạn AD và AG  AD.
3
2
1
C. G nằm trên đoạn AD và AG  AD.
D. G nằm trên đoạn AD và GA  GD.
3
3
Trang 25