BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
MỤC TIÊU
Kiến thức:
- Trình bày được cách viết phương trình tổng qt của đường trịn.
- Nhận biết được các dạng của phương trình đường trịn.
- Trình bày được các điều kiện để xác định vị trí tương đối của hai đường trịn, một điểm với đường trịn.
- Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến đường trịn.
Kỹ năng:
- Viết được phương trình đường trịn tâm l(a;b) bán kính R.
- Xác định được tâm và bán kinh của một đường trịn khi biết phương trình đường trịn.
- Viết được phương trình tiếp tuyến với đường tròn khi biết tọa độ của tiếp điểm.
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn (C) có tâm I  a; b  , bán kính R là (C): ( x  a)2  ( y  b)2  R2
hoặc x2  y2  2ax  2by  c  0 trong đó R  a2  b2  c
Chú ý:

Phương trình tiếp tuyến
Cho điểm M  x0 ; y0  nằm trên đường tròn (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là

 :  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   0
Chú ý:

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận dạng phương trình đường trịn.
Xác định tâm, bán kính của đường trịn
Bài tốn 1. Nhận dạng đường trịn
Phương pháp giải
Cách 1.
Đưa phương trình về dạng

(C) : x2  y2  2ax  2by  c  0
Xét dấu biểu thức M  a 2  b2  c
• Nếu M  0 thì (1) là phương trình đường trịn.
• Nếu M  0 thì (1) khơng phải phương trình đường trịn.
Trang 1


Cách 2.
Đưa phương trình về dạng

(C) : ( x  a)2  ( y  b)2  M
• Nếu M > 0 thì (2) là phương trình đường trịn.
• Nếu M  0 thì (2) khơng phải phương trình đường trịn.
Ví dụ:
a) x2  y2  2x  2 y  3  0
Phương trình có dạng: x2  y2  2ax  2by  c  0 với a  1, b  1 và c  3.
Ta có M  a2  b2  c  (1)2  (1)2  3  1  0
Vậy phương trình trên khơng phải là phương trình đường trịn.
b) x2  6x  y2  4 y  7  0
Ta có x2  6x  y2  4 y  7  0

 ( x  3)2  ( y  2)2  20
Vậy phương trình trên là phương trình đường trịn.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường trịn?
a) x2  y2  2x  6 y 15  0
b) 2x2  2 y2  8x  4 y 14  0
Hướng dẫn giải

2a  2

a  1


a) Ta có 2b  8  b  3  M  a2  b2  c  (1)2  (3)2  (15)  25  0
c  15
c  15


Vậy phương trình trên là phương trình đường trịn.
b) Ta có 2x2  2 y2  8x  4 y 14  0  x2  y2  4x  2 y  7  0

2a  4
a  2


Khi đó 2b  2  b  1
c  7

c  7


 M  a2  b2  c  (2)2 12  7  2  0
Vậy phương trình trên khơng phải là phương trình đường trịn.
Lưu ý: Khi xét một phong trình có phải là phương trình đường trịn, trước tiên ta quan sát hệ số của
x2và y 2 . Hệ số của x2và y 2 khác nhau thì phương trình khơng là phương trình đường trịn
Ví dụ 2. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường trịn?
(I) x 2  y 2  4 x  15 y  12  0
(II) x 2  y 2  3x  4 y  20  0
(III)2 x 2  2 y 2  4 x  6 y  1  0
A. Chỉ (I).

Hướng dẫn giải

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III).

D. Chỉ (I) và (III).

289
 15 
0
(I) có a  b  c  4  
  12 
4
 2 
2

2

2

Trang 2


55
 3   4 
(I) có a 2  b 2  c        20    0
4
2  2 
1

(III)  x 2  y 2  2 x  3 y   0 phương trình này có
2
2

2

2

 3  1 11
a 2  b2  c  1       0
2 2 4
Vậy chỉ (I) và (II) là phương trình đường trịn.
Chọn D.
Ví dụ 3. Để x2  y2  ax  by  c  0 1 là phương trình đường trịn, điều kiện cần và đủ là
A. a 2  b2  c  0

B. a 2  b2  c  0

C. a 2  b2  4c  0
Hướng dẫn giải
Ta có: x2  y 2  ax  by  c  0 1
2

D. a 2  b2  4c  0

2

2
2
a

b
a
b a b
 x  2   x     y2  2   y       c  0
2
2
4 4
2
2
2

2

2

a 
b
a 2 b2

 x   y     c
2 
2
4 4

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường trịn là:

a 2 b2
  c  0  a 2  b2  4c  0
4 4
Chọn C.

Bài tốn 2. Xác định tâm và bán kính của đường trịn
Phương pháp giải
• Phương trình đường trịn dạng
( x  a)2  ( y  b)2  R2 có tâm I  a; b  và R bán kính
• Phương trình đường trịn dạng

x2  y2  2ax  2by  c  0 có tâm I  a; b  và R bán kính R  a2  b2  c
Chú ý: Những bài tốn khơng cho phương trình đường trịn ở dạng tường minh ta phải đi tìm bán kính và
tâm thơng qua các yếu tố hình học.
Ví dụ:
a) ( x  2)2  ( y 1)2  16
Ta có tâm I  2; 1 và bán kính R  16  4
b) x2  y2  2x  2 y 1  0
Ta có a = 1;b = 1; c =1 nên tâm I 1;1 và bán kính kính

R  12  12 1  1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tọa độ tâm và bán kính của các đường trịn sau:
a)( x  1) 2  ( y  2) 2  25
b) x 2  y 2  7 x  11y  10  0
c)4 x 2  4 y 2  16 x  40 y  80  0
Trang 3


Hướng dẫn giải
a) Đường tròn ( x 1)2  ( y  2)2  25 có tâm I  1; 2  và bán kính R  25  5



2a  7


b) Ta có 2b  11 
c  10




7

a  2

 11
b 
2

c  10


2

2

130
 7 11 
 7   11 
Vậy tâm I  ;  và bán kính R  a 2  b2  c        10 
2
2 2 
2  2 
 A B

Mẹo: Phương trình đường trịn dạng x2  y2  Ax  By  C  0 thì đường trịn có tâm là I  ; 
 2 2 
c) Ta có 4x2  4 y2 16x  40 y  80  0  x2  y2  4x 10 y  20  0

2a  4 a  2


 2b  10  b  5
c  20
c  20


Vậy tâm I  2; 5 và bán kính R  a 2  b2  c  22  (5)2  20  3
Chú ý: Trước khi đi tìm các yếu tố của đường tròn cần đưa các hệ số của x2 ; y 2 về 1.
Ví dụ 2. Tâm đường trịn đi qua ba điểm A  0;0 , B  0;6 , C 8;0 là
A. (0;0).
B. (4:0).
C. (0;3).
Hướng dẫn giải
Bước 1. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB, AC:

D. (4:3).

Trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm (0;3) và nhận AB  0;6  làm vectơ pháp tuyến nên có
phương trình  d1  : y  3
Trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm (4;0) và nhận AC 8;0  làm vectơ pháp tuyến nên có
phương trình  d2  : x  4
Bước 2. Xác định giao điểm của hai trung trực chính là tâm của đường trịn:
y  3
 I (4;3)

Tọa độ giao điểm của hai đường trung trực thỏa mãn: 
x  4
Chú ý: Tâm đường tròn đi qua ba điểm khơng thẳng hàng chính là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
với ba đình là ba điểm đã cho.
Ví dụ 3. Cho  Cm  : x2  y 2  2(m  1) x  4(m 1) y  5  m  0
Tìm điều kiện của m để  Cm  là một đường trịn. Khi đó, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường trịn.
Hướng dẫn giải
2a  2(m  1)
a  m  1


Ta có 2b  4(m  1)  b  2(m  1)
c  5  m
c  5  m


Xét biểu thức M  a2  b2  c  (m 1)2  [2(m 1)]2  (5  m)  5m2  5m

Trang 4


m  0
Để  Cm  là một đường tròn thì M  0  5m2  5m  0  5m(m  1)  
m  1
Khi đó, đường trịn  Cm  có tâm I(m+1;2(m-1)) và bán kính R  5m2  5m
Ví dụ 4. Cho  Cm  : x2  y 2  (m  2) x  (m  4) y  m  1  0
a) Chứng minh rằng  Cm  là họ các đường trịn.
b) Tìm tập hợp tâm của  Cm  khi m thay đổi.
c) Chứng minh rằng họ các đường trịn  Cm  ln đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
Hướng dẫn giải

m2

a



2
2a  m  2

m

4


a) Ta có: 2b  (m  4)  b 
2
c  m  1


c  m  1


 m2  m4
Xét biểu thức M  a  b  c   
 
  (m  1)
2   2 

2

2

2

2

m2  4m  8 (m  2)2  4

 0m
2
2
Vậy  Cm  là họ các đường trịn khi m thay đổi.


b) Tâm I có tọa độ là
m2

 xI   2
m  2 xI  2

 2 xI  2  2 yI  4  xI  yI  1  0

m

2
y

4
m


4

I
y 
 I
2
Vậy tập hợp tâm các đường tròn  Cm  khi m thay đổi là đường thẳng, x  y  1  0
c) Gọi M  xM ; yM  là điểm cố định mà họ  Cm  luôn đi qua.
Khi đó xM2  yM2  (m  2) xM  (m  4) yM  m  1  0 với mọi m

  xM  yM  1  m  xM2  yM2  2xM  4 yM  1  0 với mọi m
 x  yM  1  0
 xM  1
x  1

hoặc 
  M2
 M
2
 xM  yM  2 xM  4 yM  1  0  yM  2
 yM  0

Vậy  Cm  luôn đi qua hai điểm cố định M1 1;2 và M 2  1;0 .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình đường trịn?
A. x2  y2  2x  8 y  20  0
B. 4x2  y2 10x  6 y  2  0
C. x2  y2  4x  6 y 12  0
D. x2  2 y2  4x  8 y 1  0

Câu 2. Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình đường trịn?
A. x2  y2  x  y  4  0
B. x2  y2  y  0
C. x2  y2  2  0
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

D. x2  y2 100 y 1  0

Trang 5


(I) Đường tròn  C1  : x2  y 2  2x  4 y  4  0 có tâm I 1; 2  , bán kính R = 3.
1
5 3
 0 có tâm I  ;   bán kính R= 3.
2
2 2
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II).
C. (I) và (II).
D. Khơng có.
2
2
Câu 4. Đường trịn x  y 10x 11  0 có bán kính bằng

(II) Đường tròn  C2  : x 2  y 2  5 x  3 y 

A. 6.

B. 2.

C. 36.

D.

6 .

Câu 5. Đường tròn 2x  2 y  8x  4 y 1  0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
2

A.  2;1 .

2

B.  4; 2 .

C.  4;2 .

D.  2; 1 .

Câu 6. Đường tròn 3x2  3 y2  6x  9 y  9  0 có bán kính bằng bao nhiêu?
5
25
D.
2
4
2
2
Câu 7. Cho đường tròn (C): x  y  8x  6 y  9  0 Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

5

B.

25
2

C.

A. (C) không đi qua điểm O(0;0).

B. (C) có tâm I  4; 3 .

C. (C) có bán kính R = 4.

D. (C) đi qua điểm M  1;0  .

Câu 8. Giá trị của m là bao nhiêu để phương trình x2  y2  2mx  4(m  2) y  6  m  0 là phương trình
đường trịn?
A. m  2 hoặc m  1.
B. 1  m  2
C. m  1 hoặc m  2.
D. 1  m  2.
2
2
Câu 9. Xác định m để phương trình x  y  2mx  4 y  8  0 không phải là phương trình đường trịn.
A. m  2.

B. 2  m  2.

C. m  2.

D. m  2 hoặc m  2 .

Câu 10. Cho phương trình 2x  2 y  8mx  4(m 1) y 14  0(1) Giá trị của m để phương trình (1) là
phương trình đường trịn có bán kính bằng 1 là
7
A.
B. 1.
C. khơng có.
D. 3,5.
5
Đáp án trắc nghiệm
1-C
2-A
3-C
4-A
5-D
6-C
7-D
8-C
9-B
10 - B
2

2

Hướng dẫn giải

Câu 8.
Phương trình x2  y2  2mx  4(m  2) y  6  m  0 là phương trình đường trịn khi và chỉ khi
a 2  b2  c  0

m  1
 m2  [2(m  2)]2  (6  m)  0  m2  4(m  2)2  6  m  0  5m2  15m  10  0  
m  2
Vậy m (;1)  (2; ) thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Câu 9.
Ta có x2  y2  2mx  4 y  8  0 (1)

 x2  2mx  m2  y2  2.2  y  22  m2  22  8  0  ( x  m)2  ( y  2)2  m2  4 .
Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường trịn: m2  4  0  2  m  2 .
Câu 10.
Xét 2x2  2 y2  8mx  4(m 1) y 14  0  x2  y2  4mx  2(m 1) x  7  0
Trang 6


m  1
4m  (m  1)  7  1  5m  2m  7  0  
 m  7
5

2

2

2

Dạng 2. Lập phương trình đường trịn

Phương pháp giải
Cách 1.
• Tìm tọa độ tâm I  a; b  của đường trịn (C).
• Tìm bán kính R của đường trịn (C).
• Viết phương trình của (C) theo dạng:

( x  a)2  ( y  b)2  R2
Cách 2.
Giả sử phương trình đường trịn (C) có dạng x2  y2  2ax  2by  c  0 với a 2  b2  c  0
• Từ điều kiện của đề bài, lập hệ phương trình ba. ẩn a,b,c.
• Giải hệ phương trình tìm nghiệm a,b,c rồi thay thay vào (1) để có phương trình đường trịn (C).
Ví dụ: Viết phương trình đường trịn (C) trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I  1;1 và bán kính R = 3.
Phương trình đường trịn (C) có tâm I  1;1 và bán kính R = 3 là (C) : ( x 1)2  ( y 1)2  9
b) Đi qua ba điểm A 1; 3 , B  2;4 và C  4; 2  .
Giả sử phương trình đường trịn (C) có dạng x2  y2  2ax  2by  c  0 với a 2  b2  c  0
Theo bài ra, ta có A(1  3)  (C )

 12  (3)2  2a 1 2b  (3)  c  0
 2a  6b  c  10
Tương tự, ta có:
B(2;4)  (C )  4a  8b  c  20(2)
C (4; 2)  (C )  8a  4b  c  20(3)
3

a


2


1

Từ (1), (2) và (3) suy ra b 
(thỏa mãn).
2

c  10


2
2
Vậy (C): x  y  3x  y 10  0
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết phương trình đường trịn (C) trong các trường hợp sau
a) Có tâm I 1;4 và đi qua gốc tọa độ.
b) Nhận AB làm đường kính với A  2;5 và B  4;1 .
c) Có tâm I nằm trên đường thẳng d : x  y  2  0 và đi qua hai điểm A  1;2 và B  2; 2 .
d) Ngoại tiếp ∆OAB với A  2;0 và B  2;1 .
e) Nội tiếp ∆OAB với A 8;0 , B  0;6 .
Hướng dẫn giải
Trang 7


a)(C) đi qua gốc tọa độ nên O(0;0)  (C )  IO  R
Ta có R  10  12  42  17
Vậy phương trình đường trịn (C) là ( x 1)2  ( y  4)2  17
b) Ta có AB là đường kính nên trung điểm I  1;3 của AB là tâm của đường tròn (C) và

IA  (2  1)2  (5  3)2  13 là bán kính của (C).
Vậy phương trình đường tròn (C) là ( x 1)2  ( y  3)2  13

c) Tâm I  d : x  y  2  0 nên I (t; 2  t )  d
Vì A, B   C  nên

IA  IB  IA2  IB2  (1 t )2  (2  2  t )2  (2  t )2  (2  2  t )2
19
 14t  19  t 
14
 19 9 
I ; 
 14 14 
2

2

19  
9  725

 R  IA   1     2   
14   14 
98

2

2

2

2

9  725

 19  
Vậy phương trình đường trịn (C) là  x     y   
14 
98
 14  
Cách khác. Vì tâm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên I  do  AB. Do đó ta viết
phương trình của đường thẳng AB và tìm giao điểm I của d và AB.
d) Đường tròn (C) là đường tròn ngoại tiếp OAB   C  đi qua ba điểm O,A,B.
Giả sử (C) có dạng: x2  y2  2ax  2by  c  0 với a 2  b2  c  0 .
Theo bài ra, ta có hệ phương trình:


c  0
c  0

 2
 a  1 (thỏa mãn).
 2  2a  2  c  0
(2)2  12  2a  (2)  2b 1  c  0

9

b 

2
2
2
Vậy phương trình đường trịn (C) là: x  y  2x  9 y  0
e) Ta có OA  8, OB  6 và AB  OA2  OB2  10
1

OA  OB  AB 6  8  10
OA  OB   r với p 

 12 và r là bán kính đường trịn nội tiếp
2
2
2
OAOB
OAB  r 
2
2p
Mặt khác (C) có tâm I thuộc phân giác của góc phần tư thứ nhất x  y  0 và có bán kính r = 2

Lại có

nên I  2; 2 
Vậy phương trình đường trịn nội tiếp ∆OAB là (C): ( x  2)2  ( y  2)2  4

 x  1  2cos t
(t  ) Tập hợp điểm M là
Ví dụ 2. Cho điểm M  x; y  có 
 y  2  2sin t
Trang 8


A. Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R = 2.
B. Đường trịn tâm I  1;2 , bán kính R = 2.
C. Đường trịn tâm I  1;2 , bán kính R= 4.
D. Đường trịn tâm I 1  2  , bán kính R = 4.
Hướng dẫn giải


 x  1  2cos t
( x  1)2  4cos 2 t
 x  1  2cos t

Ta có 


2
2
 y  2  2sin t
( y  2)  4sin t
 y  2  2sin t



 ( x  1)2  ( y  2)2  4cos2 t  4sin 2 t  ( x  1)2  ( y  2) 2  4 sin 2 t  cos 2 t 
 ( x  1)2  ( y  2)2  4
Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường trịn có tâm I  1; 2  bán kính R= 2.
Chọn B.
Chú ý: Bài toán này là một trường hợp đặc biệt. Các em có thể mở rộng thành bài tốn lập phương trình
đường trịn nội tiếp tam giác nhọn.
 x  2  4sin t
(t  ) là phương trình đường trịn có
Ví dụ 3. Phương trình 
 y  3  4cos t
A. tâm I  2;3 bán kính R = 4.
B. tâm I  2; 3 , bán kính R = 4.
C. tâm I  2;3 , bán kính R = 16.

D. tâm I  2; 3 , bán kính R = 16.
Hướng dẫn giải


 x  2  4sin t
( x  2)2  16sin 2 t
 x  2  4sin t

Ta có 


2
2

( y  3)  16cos t

 y  3  4cos t
 y  3  4cos t
 ( x  2) 2  ( y  3) 2  16sin 2 t  16 cos 2 t
 ( x  2) 2  ( y  3) 2  16  sin 2 t  cos 2 t 
 ( x  2) 2  ( y  3) 2  16

 x  2  4sin t
(t  ) là phương trình đường trịn có tâm I  2  3 , bán kính R=4.
Vậy 
 y  3  4cos t
Chọn B.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  0 và

d2 : 3x  y  0 Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 , tại A và cắt d 2 , tại B,C sao cho

∆ABC vng tại B. Viết phương trình của (C) biết diện tích ∆ABC bằng

3
và điểm A có hồnh độ
2

dương.
Hướng dẫn giải
Điểm A  d1 , nên A(t; t 3) với t  0 .Vì ∆ABC vng tại B nên AC là đường kính của đường trịn (C).
Đường thẳng AC qua A và vng góc với d1 nên có phương trình là x  3 y  4t  0

Trang 9



 x  3 y  4t  0  x  2t
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình : 


 3x  y  0
 y  2 3t


 C(2t; 2 3t )
Đường thẳng AB qua A và vng góc với d 2 , nên có phương trình là x  3 y  2t  0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:


t


 x  3 y  2t  0  x  2
 t t 3 

 B  ;


2 
2
 3x  y  0
 y  t 3


2
Ta có: S ABC 

 3

 2 3

3
1
3
3
 BA  BC 
t 
 A 
; 1 và C 
; 2 
2

2
2
3
 3

 3


AC
 1 3 
1
Đường trịn (C) có tâm I là trung điểm của AC  I 
;  kính R 
2
2 3 2 
2

2

1  
3

Vậy (C ) :  x 
  y  2  1
2 3 


Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1. Đường tròn tâm I  3; 1 và bán kính R = 2 có phương trình là
A. ( x  3)2  ( y 1)2  4

B. ( x  3)2  ( y 1)2  4

C. ( x  3)2  ( y 1)2  4

D. ( x  3)2  ( y 1)2  4

Câu 2. Đường tròn tâm I  1; 2  và đi qua điểm M  2;1 có phương trình là
A. x2  y2  2x  4 y  5  0

B. x2  y2  2x  4 y  3  0

C. x2  y2  2x  4 y  5  0

D. x2  y2  2x  4 y  5  0

Câu 3. Đường tròn tâm I 1; 4  và đi qua điểm B  2;6 có phương trình là
A. ( x 1)2  ( y  4)2  5

B. ( x 1)2  ( y  4)2  5

C. ( x  1)2  ( y  4)2  5

D. ( x 1)2  ( y  4)2  5

Câu 4. Cho hai điểm A(5 ;-1), B(-3 ; 7) và điểm M thỏa mãn AMB  900 Khi đó điểm M nằm trên
đường tròn nào sau đây?
A. x2  y2  x  6 y 1  0
B. x2  y2  x  6 y 1  0
C. x2  y2  5x  4 y 11  0

D. x2  y2  5x  4 y 11  0

Câu 5. Cho hai điểm A 1; 1 , B  3;7  . Đường trịn đường kính AB có phương trình là
A. x2  y2  2x  6 y  22  0

B. x2  y2  2x  6 y  22  0

C. x2  y2  2x  y 1  0
D. x2  y2  6x  5 y 1  0
Câu 6. Phương trình đường trịn đi qua 3 điểm O(0 ; 0), A(a ; 0), B(0 ; b) là
A. x2  y2  2ax  by  0

B. x2  y2  ax  by  xy  0

C. x2  y2  ax  by  0

D. x2  y2  ay  by  0

Trang 10


Câu 7. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A 1;3 , B  3;1 và có tâm nằm trên đường thẳng d : 2 x  y  7  0
có phương trình là
A. ( x  7)2  ( y  7)2  102

B. ( x  7)2  ( y  7)2  164

C. ( x  3)2  ( y  5)2  25
D. ( x  3)2  ( y  5)2  25

Đáp án trắc nghiệm
1-C
2-A
3-D
4-A
5-B
6-C
7-B
Hướng dẫn giải
Câu 5.
Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I (1;3).
1
1
(3  5) 2  (7  1) 2  4 2
Bán kính R  AB 
2
2
Vậy phương trình đường trịn là ( x 1)2  ( y  3)2  32  x2  y2  2x  6 y  22  0 .
Câu 6.
Gọi phương trình cần tìm có dạng (C) : x2  y2  mx  ny  p  0

ma  p  a 2
m   a


2
Do A, B, O  (C) nên ta có hệ nb  p  b  n  b
p  0

p  0


Vậy phương trình đường trịn là x2  y2  ax  by  0 .
Câu 7.
Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M(2;2) và nhận AB (2;-2) làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình là ( x  2)  ( y  2)  0  x  y  0
2 x  y  7  0
 x  7

 I (7; 7)
Tọa độ tâm của đường tròn thỏa mãn 
 y  7
x  y  0

Bán kính của đường trịn là (7  1)2  (7  3)2  164 .
Do đó phương trình đường trịn là ( x  7)2  ( y  7)2  164 .
Dạng 3. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với đường trịn
Bài tốn 1. Vị trí tương đối
Phương pháp giải
Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở trung học cơ sở để giải bài tốn.
Nhắc lại:
Cho đường trịn (C) tâm I , bán kính R.
• Vị trí tương đối của điểm A và đường tròn (C):
+) IA  R : Điểm A nằm trong đường tròn.
+) IA  R : Điểm A nằm trên đường tròn.
+) IA  R : Điểm A nằm ngồi đường trịn.
• Vị trí tương đối của đường thẳng (d) và đường tròn (C):
Gọi h là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng (d).
+) h  R : Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
+) h  R : Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn.
+) h  R : Đường thẳng khơng cắt đường trịn.

• Cho đường trịn  C1  có tâm I1 , bán kính R1 , và đường trịn  C2  có tâm I 2 bán kính R2 :
Trang 11


+) R1  R2  I1I 2  R1  R2 hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm..

)I1I2  R1  R2 hoặc I1I 2  R1  R2 hai đường tròn tiếp xúc nhau.
 ) I1I2  R1  R2 : hai đường tròn rời nhau hoặc I1I 2  R1  R2 đường tròn chứa đường tròn cịn lại. Ví
dụ mẫu
Ví dụ: Xác định vị trí của điểm A 1; 2  với đường tròn (C) : x2  y2  25  0
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) : x2  y2  25  0 có tâm I  0;0  và bán kính R  5
Xét IA  (1  0)2  (2  0)2  5  5
Do điểm A nằm phía trong đường trịn  C 
Ví dụ 1. Toạ độ giao điểm của đường tròn (C) : x2  y2  25  0 và đường thẳng  : x  y  7  0 là
A.  3;4 .

B.  4;3

C.  3;4 và  4;3 .

D.  3;4 và  4;3 .

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của đường thẳng và đường tròn (C) : x2  y2  25  0 thỏa mãn

 x  3

x  y  7  0
x  7  y

y  4
 2

 2
2
 x  4
2 y  14 y  24  0
 x  y  25  0

  y  3
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường trịn:
C1  : x2  y2  4  0 và C2  : ( x 10)2  ( y 16)2  1
A. Khơng có điểm trung.
C. Tiếp xúc nhau.
Hướng dẫn giải

B. Cắt nhau.
D. Tiếp xúc ngoài.

2
2

 x2  y 2  4  0
x  y  4  0
Xét hệ hai phương trình: 
vơ nghiệm.
 2
2
2

2
( x  10)  ( y  16)  1  x  y  20 x  32 y  355  0

Do đó hai đường trịn khơng có điểm chung.
Chọn đáp án A.
Cách 2. Gọi I1; I2 lần lượt là tâm của hai đường trịn.

Nếu I1I 2  R1  R2 thì  C1  và  C2  khơng có điểm chung
Ví dụ 3. Đường tròn (C) : x2  y2  2x  2 y 1  0 cắt đường thẳng d : x  y  2  0 theo một dây cung có
độ dài bằng bao nhiêu?
A. 1.

B. 2.

C. 2

D.

2
2

Hướng dẫn giải
Đường tròn (C): x2  y2  2x  2 y 1  0 có tâm I 1;1 và bán kính R = 1.
Khoảng cách từ tâm I(1;1) đến đường thẳng d : x  y  2  0 là h 

|1  1  2 |
12  12

0

Do đó I   d  hay đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.
Vậy (d) cắt đường trịn theo dây cung chính là đường kính và có độ lớn 2R  2.
Trang 12


Chọn đáp án B.
Ví dụ 4. Bán kính của đường tròn tâm I  2;1 và tiếp xúc với trục hồnh là
A. 2
B. 1
C. 5
D. 3
Hướng dẫn giải
Vì đường trịn tiếp xúc với trục hoành Ox nên độ dài bán kính chính bằng khoảng cách từ tâm đến Ox.
1
Do đó R  2 2  1
0 1
Chọn đáp án B.
Ví dụ 5. Đường tròn (C) tâm I  2;1 cắt đường thẳng  : y  4  0 theo dây cung Có độ dài là 8. Bán kính
của đường trịn là
A. 5.
Hướng dẫn giải
Ta có: d (I; ) 

B. 73

C. 3.

D. 25.

|1  4 |

3
02  12
Gọi độ dài bán kính của đường trịn là R  R  0 .
2

8
Khi đó R  d  I ;       R 2  16  9  25  R  5 ( vì R  0 )
2
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): x2  y2  6x  2 y  5  0 và đường thẳng d đi qua điểm A  4;2 , cắt (C)
2

2

tại hai điểm M,N sao cho A là trung điểm của MN. Phương trình của đường thẳng d là
A. x  y  6  0
B. 7 x  3 y  34  0
C. 7 x  3 y  30  0

D. 7 x  y  35  0

Hướng dẫn giải
Đường tròn (C): x2  y2  6x  2 y  5  0 có tâm I  3;1 . Theo đề bài ta có đường thẳng d đi qua A và
nhận IA  1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là  d  :  x  y  6  0.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2  y2  4x  6 y  5  0 Đường thẳng d đi qua A  3;2 và cắt (C) theo
một dây cung ngắn nhất có phương trình là
A. 2 x  y  2  0
C. x  y  1  0

B. x  y  1  0
D. x  y  1  0

Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) : x2  y2  4x  6 y  5  0 có tâm I  2;3 và bán kính R  8
Ta thấy IA  12  02  1  R nên điểm A nằm trong đường tròn.
Để d cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất thì khoảng cách h từ tâm đến đường thẳng d là lớn nhất.
Mà h  IA nên IA  d sẽ thỏa mãn đề bài.
Phương trình đường thẳng đi qua A  3;2 và nhận IA 1; 1 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

 d  : x  y 1  0.
Chọn đáp án B.
Bài toán 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường trịn
Phương pháp giải
Trang 13


Cho đường tròn (C) tâm I  a; b  và bán kính R.
Nếu biết tiếp điểm là M  x0 ; y0  thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ IM   x0  a; y0  b  làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình là  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   0
Nếu khơng biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi
d  I,d   R để xác định tiếp tuyến.
- Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho (C) : ( x  2)2  ( y 1)2  25
a) Xác định tâm và bán kính của (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 1;3 .
c) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), song song với đường thẳng
() : 5 x  12 y  2  0
d) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), vng góc với đường thẳng

() : 3x  4 y  11  0
e) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua E  3; 6 .
Hướng dẫn giải
a) (C) có tâm là I  2; 1 và bán kính R = 5.
b) Tiếp tuyến  d1  của (C) tại M (5;3) có vectơ pháp tuyến là n  MM  (3;4)

 d1  : 3( x  5)  4( y  3)  0   d1  : 3x  4 y  27  0
Tiếp tuyến  d2  / /() : 5x  12 y  2  0   d2  : 5x  12 y  C  0(C  2)
Mà  d2  tiếp xúc (C) nên
d  I;  d 2   R 

| 5.2  12.1  C |
5  12
2

2

C  67
 5 | C  2 | 65  
(thỏa mãn).
C  63

Vậy  d2  : 5x  12 y  67  0 hoặc  d2  : 5x  12 y  63  0
d) Tiếp tuyến  d3  vng góc với đường thẳng () : 3x  4 y  11  0

  d3  : 4x  3 y  C  0

  d3  tiếp xúc (C )  d I;  d3   R


| 4.2  3  (1)  C |
42  33

 5 | C  5 | 25  C  20 hay C  30

Vậy  d3  : 4x  3 y  20  0 hay  d3  : 4 x  3 y  30  0
e) Tiếp tuyến  d4  đi qua E(3; 6)   d4  : A( x  3)  B( y  6)  0

  d4  : Ax  By  3 A  6B  0

 d4  tiếp xúc (C) 

| 2 A  B  3 A  6B |

A B
A  0
2
 10 AB  24 A  0  
 A  5B

12
Với A = 0, chọn B  1   d4  : y  6  0
2

2

 5 |  A  5B | 5 A2  B 2

Trang 14

Với A  

5B
chọn B  12  A  5   d5  : 5x 12 y  87  0
12

Vậy có hai tiếp tuyến  d4  : y  6  0 và  d5  : 5x 12 y  87  0
Ví dụ 2. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trịn sau:
C1  : x2  y 2  4 y  5  0 và C2  : x2  y2  6x  8 y  16  0
Hướng dẫn giải
Đường trịn  C1  có tâm I1  0;2 bán kính R1  3.
Đường trịn  C2  có tâm I 2  3; 4  , bán kính R2  3.
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường trịn có phương trình  : ax  by  c  0 với a 2  b2  0
∆là tiếp tuyến chung của  C1  và  C2 

| 2b  c | 3 a 2  b2 
d  I1 ,    3



d  I 2 ,    3  3a  4b  c  3 a 2  b2

 a  2b
Suy ra | 2b  c || 3a  4b  c | 
c  3a  2b

2
Trường hợp 1.
Nếu a = 2b chọn a  2, b  1 thay vào (*) ta được: c  2  3 5 nên ta có hai tiếp tuyến là

2x  y  2  3 5  0;2x  y  2  3 5  0
Trường hợp 2.
3a  2b
Nếu c 
thay vào (*) ta được:
2
| 2b  a | 2 a 2  b2  a  0 hoặc 3a  4b  0.
+) Với a  0  c  b , chọn b  c  1 ta được  : y  1  0
+) Với 3a  4b  0  c  3b
Chọn a  4, b  3, c  9 ta được  : 4 x  3 y  9  0
Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường trịn là:

2x  y  2  3 5  0, y 1  0,4x  3 y  9  0
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Một đường tròn có tâm I  3; 2  tiếp xúc với đường thẳng  : x  5 y  1  0 . Hỏi bán kính đường
trịn bằng bao nhiêu?

7 26
13
Câu 2. Đường trịn có tâm I  12 và đi qua điểm M  2;1 có bán kính là

7
13

A. 6

B.

26

C.

D.

A. 10

B.

5

C. 10

D. 5

Câu 3. Cho đường tròn x2  y2  5x  7 y  3  0 Khoảng cách từ tâm đường tròn tới trục Ox là
A. 5.
B. 7.
C. 3,5.
D. 2,5.
2
2
2
2
Câu 4. Tọa độ giao điểm hai đường tròn  C1  : x  y  4  0 và  C2  : x  y  4x  4 y  4  0 là
A. ( 2; 2) và ( 2;  2)

B. (0; 2) và (0; 2)

C. (2; 0) và (0; 2)

D. (2; 0) và  2;0 
Trang 15


Câu 5. Đường tròn x2  y2 1  0 tiếp xúc với đường thẳng nào sau đây?
A. 3x  4 y  5  0
B. x  y  1  0
C. x  y  0

D. 3x  4 y  1  0

Câu 6. Với giá trị nào của m thì đường thẳng 4 x  3 y  m  0 tiếp xúc với đường tròn x2  y2  9  0?
A. m  15

B. m   3

C. m  3

D. m  3

Câu 7. Đường tròn (C) đi qua điểm A  2;4 và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là
A. ( x  2)2  ( y  2)2  4 hoặc ( x 10)2  ( y 10)2  100
B. ( x  2)2  ( y  2)2  4 hoặc ( x 10)2  ( y 10)2  100
C. ( x  2)2  ( y  2)2  4 hoặc ( x 10)2  ( y 10)2  100
D. ( x  2)2  ( y  2)2  4 hoặc ( x 10)2  ( y 10)2  100
Câu 8. Đường tròn (C) có tâm I  1;3 và tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  4 y  5  0 có phương trình là
A. ( x 1)2  ( y  3)2  2

B. ( x 1)2  ( y  3)2  2

C. ( x 1)2  ( y  3)2  10

D. ( x 1)2  ( y  3)2  4

Câu 9. Có một đường trịn đi qua hai điểm A 1;2 , B  3;4 và tiếp xúc với đường thẳng
d : 3x  y  3  0 . Khi đó

A. phương trình đường tròn là x2  y2  3x  7 y  7  0
B. phương trình đường trịn là x2  y2  8x  2 y  7  0
C. phương trình đường trịn là x2  y2  3x  7 y 12  0
D. Khơng có đường trịn nào thỏa mãn bài tốn.
Câu 10. Cho đường trịn (C) : ( x  3)2  ( y 1)2  10 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A  4;4 là
A. x  3 y  5  0

B. x  3 y  4  0

C. x  3 y  16  0

D. x  3 y  16  0

Câu 11. Cho đường tròn (C) : ( x  2)2  ( y  2)2  9 Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm

M  5; 1 là
A. x  y  4  0 yà x  y  2  0

B. x  5 và y  1

C. 2 x  y  3  0 và 3x  2 y  2  0

D. 3x  2 y  2  0 và 2 x  3 y  5  0

Câu 12. Cho đường tròn (C): x2  y2  6x  2 y  5  0 và đường thẳng
d : 2 x  (m  2) y  m  7  0 Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C)?
A. m  3.

B. m  15.

C. m  13

D. m  3 hoặc m  13

Câu 13. Cho đường tròn (C): x  y  2x  8 y  23  0 và điểm M 8; 3 . Độ dài đoạn tiếp tuyến của
2

2

(C) xuất phát từ M (với hai đầu mút là M và tiếp điểm) là
A. 10

B. 2 10

C.

10
2

D. 10

Đáp án trắc nghiệm

1-C
2-A
3-C
4-C
5-A
6-A
7-A
8-D
9-B
11 - B
12 - D
13 - D
Hướng dẫn giải
Câu 9.
Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là ( x  2)  ( y  3)  0  x  y  5  0 .
Đường tròn đi qua hai điểm A, B nên có tâm I (t;5  t )  x  y  5  0 .
Trang 16

10 - D


Vì đường trịn tiếp xúc với d: 3x + y  3 = 0 nên ta có R = I A = d(I ;(d))

IA  (t  1)2  (3  t )2  2t 2  8t  10

d ( I ;(d )) 

| 3t  5  t  3 |
32  12



| 2t  2 |
10

t  4
| 2t  2 |
2
2
2
2t  8t  10 
 20t  80t  100  4t  8t  4  16t  88t  96  0   3
t 
10
 2

Do đó:

2

Với t = 4 ta có I (4;1) và R = 10 nên ta có phương trình đường trịn

( x  4)2  ( y 1)2  10  x2  y2  8x  2 y  7  0
5
3 7
Với t =1 ta có I  ;  và R 
nên ta có phương trình đường trịn
10
2 2
2

2

3 
7 5

2
2
 x     y     x  y  3x  7 y  12  0
2
2
2

 

Câu 10.
(C) có tâm I (3; 1)  IA  (1;3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.
Suy ra d :1( x  4)  3( y  4)  0  x  3 y  16  0 .
Câu 11.
(C) có tâm I(2 ; 2) và bán kính R = 3
n  ( A; B) là vectơ pháp tuyến nên d: A(x  5) + B(y + 1) = 0

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d ( I , d )  R 

| A(2  5)  B(2  1) |
A2  B 2

A  0
 3  A B  0  
B  0

Với A = 0 chọn B  1  y  1
Với B = 0 chọn A  1  x  5
Câu 12.
(C) có tâm I (3; -1) và bán kính R  5 .
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi
d (I, d )  R 

|6m2m7|
4  (m  2) 2

m  3
 5  m 2  16m  39  0  
 m  13

Câu 13.
Đường tròn (C): x2  y2  2x  8 y  23  9 có tâm I (1-4) và bán kính R=

40 .

Ta có IM  72  12  50 .
Do đó độ dài đoạn tiếp tuyến cần tìm là

50  40  10

Trang 17