2 đề thi thử TN THPT 2021 môn toán penbook đề số 2 file word có lời giải

ĐỀ SỐ 2

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT
NĂM HỌC: 2020 – 2021
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút; khơng kể thời gian phát đề

Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau
đây là sai?
A.

f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) .

B. f (x) đồng biến trên
khoảng (0;6) .
C. f (x) nghịch biến trên khoảng (3; +∞) .
D. f (x) đồng biến trên khoảng (−1;3) .
2

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = ex + 2x
A. D = ¡ .

C. D = ( −∞ − 2 ∪  0; +∞ ) . D. D = ∅ .

B. D = −2;0 .

Câu 3. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −5 và d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A. Thứ 15.

B. Thứ 20.

Câu 4. Kết quả của giới hạn xlim
→−∞
A. −2.

2x − 3
x2 + 1 − x

B. +∞ .

C. Thứ 35.

D. Thứ 36.

C. 3.

D. −1.

là

Câu 5. Cho hàm số y = loga x, y = logb x với a, b là hai số thực dương, khác 1
có đồ thị lần lượt là ( C1 ) ,( C2 ) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 0 < b < a < 1.

B. a > 1.

C. 0 < b < 1< a .

D. 0 < b < 1.

Câu 6. Cho một ô tô chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S =

(

)

1 4
t − 3t2 , trong đó thời gian t
2

tính bằng giây ( s) và qng đường S được tính bằng mét ( m) . Vận tốc của chuyển động tại thời điểm

t = 4s bằng
A. 280m/s.

B. 232m/s.

C. 140m/s.

D. 116m/s.

Câu 7. Cho hình trụ có thể tích bằng π a3 và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường cao của hình trụ đã cho
bằng
A. a.

B. 2a.

C. 3a.

D. 2 2a .

Trang 1


1

1

0

0

Câu 8. Cho ∫  f ( x) − 2g( x)  dx = 12 và ∫ g( x) dx = 5, khi đó
A. −2.

B. 12.

A. 3.

B. 5.

1

∫ f ( x) dx bằng
0

C. 22.
r
Câu 9. Trong không gian tọa độ Oxyz, độ dài của véctơ u = (1;2;2) là

D. 2.

C. 2.

D. 9.

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng

( Oyz)

và đi qua điểm

A(−1; −1; −1) có phương trình là

A. y− 1= 0 .
Câu

11.

B. x + y + z − 1= 0 .

Trong

không

gian

với

hệ

D. z− 1= 0 .

C. x+ 1= 0.
tọa

độ

Oxyz

cho

tam

giác

ABC

với

A( −1;2;4) , B ( 3;4;2) ,C ( −2; −6; −6) . Tìm tọa độ điểm G là trọng tâm ∆ABC .

A. G ( 1;3; −3)

B. G ( −1;3;2)

C. G ( 1;3;2)

D. G ( 0;0;0)

Câu 12. Cho hai số phức z1 = 1+ 2i và z2 = 2− 3i . Phần ảo của số phức w = 3z1 − 2z2 là

A. 12.

B. 11.

D. 12i .

C. 1.

Câu 13. Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng?
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

2
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x + sin x là

B. 6x + cos x + C .

A. x3 + cos x + C .

C.

x3 − cos x + C .

D. sin x+ 1.
Câu 15. Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 − 4x + 5 có đồ thị là ( C ) . Trong số

các tiếp tuyến của ( C ) , có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số
góc của tiếp tuyến này bằng
A. −3,5.

B. −5,5.

C. −7,5.

D. −9,5.

Câu 16. Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y = f (x) có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y = f (x) có một điểm cực trị.
Câu

17.

Cho

đường

thẳng

d

x − 1 y− 2 z− 3
=
=

2
1
2

và

hai

mặt

phẳng

( P ) : x + 2y + 2z− 2 = 0;( P ) :2x + y + 2z− 1= 0 . Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng
1

2

( P ) ,( P ) , có phương trình.
1

2

Trang 2


A. ( S) : ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = 9.
2

2

2

B. ( S) : ( x + 1) + ( y + 2) + ( z+ 3) = 9.
2

2

2

C. ( S) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 3.
2

2

2

D. ( S) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 9 .
2

2

2

 x = 1+ 3t

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2; −6;3) và đường thẳng d :  y = −2 − 2t .
z = t

Tọa độ hình chiếu vng góc của M lên d là
A. ( 1; −2;0) .

Câu 19. Cho hàm số y =

B. ( −8;4; −3) .

C. ( 1;2;1) .

D. ( 4; −4;1) .

3x2 + 13x + 19
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có
x+ 3

phương trình là
A. 5x − 2y + 13 = 0 .

B. y = 3x + 13 .

C. y = 6x + 13.

D. 2x + 4y − 1= 0 .

(

)

3
Câu 20. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V = 32 cm , tam giác BCD vng cân có cạnh huyền

CD = 4 2 ( cm) . Khoảng cách từ A đến ( BCD ) bằng
A. 8( cm) .

B. 4( cm) .

C. 9( cm) .

Câu 21. Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 3.

B. 1.

C.

D. 12( cm) .

x+ 3 − 2
là
x2 − 1
2.

D. 0.
Câu 22. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 lấy 17 điểm phân
biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37
điểm này là
A. 5690.

B. 5960.

C. 5950.

D. 5590.

Câu 23. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đạo hàm là hàm số y′ = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc trục hồnh tại điểm có hồnh độ dương. Hỏi đồ thị hàm số
y = f (x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

A. 1.

B.

2
.
3

Trang 3


C.

3
.
2

4
.
3

D.

Câu 24. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Cho x, y là hai số phức thì số phức x + y có số phức liên hợp x + y .

B. Cho x, y là hai số phức thì số phức x − y có số phức liên hợp x − y .
C. Cho x, y là hai số phức thì số phức xy có số phức liên hợp xy .

()

(

2

)

D. Số phức z = a + bi thì z2 + z = 2 a2 + b2 .
Câu 25. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a. Tính
diện tích xung quanh của hình nón.
A.

π a2 2
.
2

π a2 2
.
4

B.

C. π a2 2 .

D.

2π a2 2
.
3

i β = −2 + i là
Câu 26. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm α = 4 + 3;
2
A. z + ( 2+ 4i ) z − ( 11+ 2i ) = 0 .

2
B. z − ( 2 + 4i ) z − ( 11+ 2i ) = 0 .

2
C. z − ( 2 + 4i ) z + ( 11+ 2i ) = 0 .

2
D. z + ( 2 + 4i ) z + ( 11+ 2i ) = 0.

2

Câu 27. Cho hàm số f ( a) =

a3
1
8

a

A. 20191009 .

(

(

3

8

) với a > 0,a ≠ 1a, Tính giá trị f ( 2019
a )

a−1 − 3 a
a −
3

8

2018

−1

B. 20191009 + 1.

C. −20191009 + 1.

).

D. −20191009 − 1.

Câu 28. Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y = ax , y = bx , y = cx

(0 < a, b,c ≠ 1) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. a > b > c .
B. c > b > a .
C. a > c > b .
D. b > a > c .
Câu 29. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) . ABCD là hình thang vng tại A và B biết
AB = 2a; AD = 3BC = 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a biết góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và

( ABCD )

bằng 60° .

A. 2 6a3

B. 6 6a3

Câu 30. Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2x +

C. 2 3a3

D. 6 3a3 .

π 
1
F
thỏa
mãn
 ÷ = −1 là
sin2 x

 4
Trang 4


A. − cot x + x2 −

cot x − x2 +

π2
.
16

B.

π2
.
16

C. − cot x + x2 − 1.
cot x + x2 −

D.

π2
.
16

(

Câu 31. Cho P = 5− 2 6

A. P ∈ ( 2;7) .

) (
2018

5+ 2 6

)

2019

. Khẳng định nào sau đây đúng?

B. P ∈ ( 6;9) .

C. P ∈ ( 0;3) .

Câu 32. Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số y = 3

D. P ∈ ( 8;10) .
1
− x2 + mx+ 2m+1

xác định với mọi

x∈ ( 1;2) .

A. 1.

B. Vô số.

C. 4.

D. 10.

Câu 33. Cho hàm số f ( x) xác định trên ¡ và có đồ thị f ′ ( x) như hình vẽ bên. Đặt g( x) = f ( x) − x .
Hàm số g( x) đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?
3 
A.  ;3÷.
2 

B. ( −2;0) .

C. ( 0;1) .

1 
D.  ;2÷.
2 

Câu 34. Cho hình thang ABCD vng tại A và D, AB = AD = a,CD = 2a . Tính thể tích khối trịn xoay
được tạo ra khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD.
7π a3
A.
.
3

4π a3
B.
.
3

π a3
C.
.
3

8π a3
D.
.
3

Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A( 1;2; −1) , B ( 1; −1;3) ,C ( −5;2;5) . Phương trình
đường thẳng đi qua chân đường phân giác trong góc B của tam giác và vng góc với ( ABC ) là

3
 x = − 2 + 3t

A.  y = 2+ 4t .

3
 z = − + 3t
2



3
 x = − 2 + 3t

B.  y = −2 + 4t .


3
 z = + 3t
2



3
 x = 2 + 3t

C.  y = 2+ 4t .

3
 z = + 3t
2



3
 x = − 2 + 3t

D.  y = 2 + 4t .

3
 z = + 3t
2


Trang 5

Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị

(

)

4
4
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g( x) = f 2 sin x + cos x  . Tổng M + m bằng

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

z+ i
là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là
z− i

Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn

A. Đường trịn tâm O, bán kính R = 1.
B. Hình trịn tâm O, bán kính R = 1 (kể cả biên).
C. Hình trịn tâm O, bán kính R = 1 (khơng kể biên).
D. Đường trịn tâm O, bán kính R = 1 bỏ đi một điểm ( 0;1) .
 2
15x

Câu 38. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ \ { 0} và thỏa mãn 2 f ( 3x) + 3f  ÷ = −
,
2
 x
3
2

9

 1

∫ f ( x) dx = k . Tính I = ∫ f  x ÷ dx theo k.
1
2

3

A. I = −

I=

45+ k
.
9

B. I =

45− k
.
9

C. I =

45+ k
.
9

D.

45− 2k
.
9

Câu 39. Cho hàm số
f ′ ( x) =

f ( x)

xác định trên

( 0; +∞ ) \ { e} ,

thỏa mãn

1
 1
 1
2
, f  2 ÷ = ln6 và f e = 3. Giá trị biểu thức ff ÷+
x( ln x − 1)

e 
 e

( )

(e )
3

bằng
A. 3( ln2 + 1) .

C. 3ln2 + 1.

B. 2ln2.

D. ln2 + 3.

Câu 40. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị là hình bên. Gọi M, m theo thứ tự là GTLN,

(

)

GTNN của hàm số y = f ( x) − 2 − 3 f ( x) − 2 + 5 trên đoạn  −1;3 . Tính M .m bằng
3

A. 2.

B. 3.

C. 54.

D. 55.

2

Trang 6


Câu 41. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ biết

e6

∫

(

f ln x
x

1

) dx = 6 và f ( cos x) sin2xdx = 2. Giá trị
∫
π
2

2

0

3

của

∫ ( f ( x) + 2) dx bằng
1

A. 10.

B. 16.

C. 9

Câu 42. Cho hàm số f (x) liên tục và dương trên
1
. Tính tổng S = ff( 0) +
3

f ( 0) =

( 0;+∞ )

D. 5.
2
thỏa mãn f ′ ( x) + ( 2x + 4) f ( x) = 0 và

( 1) + ff( 2) + ... + ( 2018) = ab

với a∈ ¢ , b∈ ¥ ,

a
tối giản. Khi đó
b

b− a = ?
A.

1  2020 1009 
+

÷.
2  2021 2020 

B.

1  2020 1009 
−

÷.
2  2021 2020 

C.

1  2020 
+ 1÷.

2  2021 

D. 2019.

Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn z − 1− i + z − 3− 2i = 5 . Giá trị lớn nhất của z + 2i bằng
A. 10.

B. 5.

C. 10 .

D. 2 10 .

·
·
·
Câu 44. Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a, ASB
= ASC
= 90°, BSC
= 60° . Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
7π a2
A.
.
18

7π a2
B.
.
12

7π a2
C.

.
3

7π a2
D.
.
6

 x = 1+ at

Câu 45. Trong không gian, cho đường thẳng d :  y = 2 + bt trong đó a, b, c thỏa mãn a2 = b2 + c2 . Tập
 z = ct


hợp tất cả các giao điểm của d và mặt phẳng I (0;2;1) là
A. Đường trịn tâm I ( 0;2;1) , bán kính R = 3 nằm trong mặt phẳng ( Oyz)
B. Đường tròn tâm I ( 0;2;0) , bán kính R = 3 nằm trong mặt phẳng ( Oyz)
C. Đường tròn tâm I ( 0;2;0) , bán kính R = 3 nằm trong mặt phẳng ( Oyz)
D. Đường tròn tâm I ( 0;2;1) , bán kính R = 3 nằm trong mặt phẳng ( Oyz)
Câu 46. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số g(x) = ff( (x)) đồng biến trên
khoảng nào?
A. ( 0;2)

B. ( −∞;0)
Trang 7


C. ( 0;4)
Câu

D. ( −1;1)

47.

log2

Cho

bao

nhiêu

giá

trị

nguyên

của

tham

số

m

để

phương

trình

3x2 + 3x + m+ 1 2
= x − 5x + 2 − m có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1?
2x2 − x + 1

A. Vô số.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 48. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để phương trình

2x + 3− x = mf ( x) có nghiệm trên đoạn  0;3 ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho điểm E ( 2;1;3) , mặt phẳng ( P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và mặt cầu

( S) : ( x − 3) + ( y − 2) + ( z− 5)

2

( S)

2

2

= 36 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng ( P ) và cắt

tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của ∆ là

 x = 2 + 9t

A.  y = 1+ 9t .
 z = 3+ 8t


 x = 2− 5t

B.  y = 1+ 3t .
z = 3


 x = 2+ t

C.  y = 1− t .
z = 3


D.

 x = 2+ 4t

 y = 1+ 3t .
 z = 3− 3t


Câu 50. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD.
Khoảng cách giữa AC và BM là
A.

2 11
cm.
11

B.

3 22
cm.
11

C.

3 2
cm.
11

D.

2
cm.
11

Đáp án
1-B
11-D
21-B
31-D
41-D

2-A
12-A
22-C
32-B
42-A

3-D
13-D
23-D
33-B
43-B

4-D
14-C
24-D
34-A
44-C

5-A

15-B
25-A
35-D
45-C

6-D
16-B
26-B
36-B
46-B

7-A
17-D
27-D
37-D
47-B

8-C
18-D
28-D
38-A
48-B

9-A
19-C
29-A
39-A
49-C

10-C

20-D
30-A
40-D
50-B
Trang 8


LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Trên khoảng ( 0;6) , hàm số đồng biến trên ( 0;3) và nghịch biến trên ( 3;6) nên đáp án B sai.
Câu 2: Đáp án A
2

Hàm số y = ex + 2x xác định khi x2 + 2x , mà x2 + 2x là đa thức bậc hai nên nó xác định trên toàn trục số
thực ¡ . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = ¡ .
Câu 3: Đáp án D
u1 = −5
⇒ 100 = un = u1 + ( n− 1) d = 3n − 8 ⇔ n = 36 .

d = 3

Câu 4: Đáp án D
3
2x − 3
x
lim
= lim
= −1.
x→−∞
x→−∞

2
1
x + 1− x
− 1+ 2 − 1
x
2−

Câu 5: Đáp án A
Từ đồ thị ( C1 ) ta có hàm số y = loga x đồng biến trên tập xác định do đó a > 1 nên A sai.
Câu 6: Đáp án D
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là v( t) = S′ =

(

)

/
1 4
t − 3t2 = 2t3 − 3t.
2

3
Do đó v( 4) = 2.4 − 3.4 = 116m/ s .

Câu 7: Đáp án A
V = π r 2h ⇒ h =

V
π a3
=

= a.
π r 2 π a2

Câu 8: Đáp án C
1

1

1

0

0

0

Ta có ∫  f ( x) − 2g( x)  dx = ∫ f ( x) dx − 2∫ g( x) dx
1

1

1

0

0

0

⇒ ∫ f ( x) dx = ∫  f ( x) − 2g( x)  dx + 2∫ g( x) dx = 12+ 2.5 = 22 .

Câu 9: Đáp án A
r
2
2
2
u
Ta có: = 1 + 2 + 2 = 3.
Câu 10: Đáp án C

Trang 9


r
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) và đi qua A( −1; −1; −1) nhận i = ( 1;0;0) làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình là x+ 1= 0.
Câu 11: Đáp án D
Gọi G ( xG ; yG ; zG ) là trọng tâm tam giác ABC.

xA + xB + xC −1+ 3− 2
=
=0
 xG =
3
3

y +y +y

2 + 4− 6
=0
Ta có  yG = A B C =

3
3

zA + zB + zC 4 + 2 − 6

=
=0
 zG =
3
3

Vậy G ( 0;0;0) .
Câu 12: Đáp án A
w = 3z1 − 2z2 = 3( 1+ 2i ) − 2( 2− 3i ) = −1+ 12i . Vậy phần ảo của số phức w là 12.

Câu 13: Đáp án D
Hình lập phương ABCDA′B′C′D′ có 9 mặt phẳng đối xứng đó là:
+) Ba mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, AA′ .
+) Sáu mặt phẳng chứa 6 đường chéo của hình lập phương.
Câu 14: Đáp án C
Ta có

∫ ( 3x

2

)

+ sin x dx = x3 − cos x + C .

Câu 15: Đáp án B
Đạo hàm y/ = 6x2 + 6x − 4
Giả sử đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0; y0 ) .
/
2
Suy ra đường thẳng ∆ có hệ số góc là k = y ( x0 ) = 6x0 + 6x0 − 4 .

2




2
1 11
1  11
11
Khi đó k = 6 x02 + x0 − ÷ = 6 x02 + x0 + − ÷ = 6 x0 + ÷ − ≥ − .
3
4 12 
2
2
2




Vậy trong các tiếp tuyến của ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là k = −5,5.
Câu 16: Đáp án B
Ta có đồ thị hàm số y = f ′(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, mà qua các điểm đó đạo hàm đổi dấu. Nên
đạo hàm đổi dấu ba lần qua ba nghiệm. Do vậy hàm số y = f (x) có ba điểm cực trị.

Câu 17: Đáp án D
• I ∈ d ⇒ I ( 2t + 1; t + 2;2t + 3)

(

)

(

• Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng ⇔ d I ; ( P1 ) = d I 2;( P2 )

)
Trang 10


t = 0
8t + 9 = 9t + 9
⇔ 8t + 9 = 9t + 9 ⇔ 
⇔  −18
8t − 9 = −9t − 9 t =
17


• t = 0 ⇒ I ( 1;2;3) ; R = 3 ⇒ ( S) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 9.
2

2

2

2

2

2

 19 16 15

18
3
19  
16   15
9
• t = − ⇒ I  − ; ; ÷; R = ⇒ ( S) :  x + ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ =
.
17
17
17  
17   17 
289
 17 17 17 


Câu 18: Đáp án D
Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên d.
uuuur
Suy ra H ∈ d nên H ( 1+ 3t; −2− 2t; t) ⇒ MH = ( 3t − 1;4 − 2t;t − 3) .
r
Đường thẳng d có một VTCP là u = ( 3; −2;1) .
uuuur r

Ta có MH ⊥ d nên MH .u = 0 ⇔ 3( 3t − 1) − 2( 4 − 2t) + ( t − 3) = 0 ⇔ t = 1⇒ H ( 4; −4;1) .
Câu 19: Đáp án C

−9 + 21
x =
3x + 18x + 20
3
= 0⇔ 
Phương pháp tự luận y′ =
2

−9 − 21
( x + 3)
x =
3

2

⇒ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y = 6x + 13.
Phương pháp trắc nghiệm
Tại điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức ở dạng bậc 2 trên bậc 1, ta có:

f ( x)

g( x)

=

f ′ ( x)

g′ ( x)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
′
3x + 13x + 19)
(
y=
⇔ y = 6x + 13 .
2

( x + 3) ′

Câu 20: Đáp án D

(

)

2
Ta có BC = BD = 4( cm) ⇒ SBCD = 8 cm .

Khoảng cách từ A đến (BCD) là d =

3VABCD 3.32
=
= 12( cm) .
SBCD
8

Câu 21: Đáp án B

Ta có:
+) lim+ y = lim+
x→1

x→1

x+ 3− 2 1
= ,lim− y = lim− =
x→1
8 x→1
x2 − 1

x+ 3 − 2 1
= .
8
x2 − 1

Suy ra x = 1 không phải là đường tiệm cận đứng.
Trang 11


+) lim+ y = lim+
x→( −1)

x→( −1)

x+ 3 − 2
= +∞ . Suy ra x = −1 là đường tiệm cận đứng.
x2 − 1

Câu 22: Đáp án C
1
2
.C20
TH1. Chọn 1 điểm thuộc d1 và 2 điểm thuộc d2 ⇒ có C17
tam giác.
2
1
.C20
TH2. Chọn 2 điểm thuộc d1 và 1 điểm thuộc d2 ⇒ có C17
tam giác.
1
2
2
1
.C20
+ C17
.C20
= 5950 tam giác cần tìm.
Như vậy, ta có C17

Câu 23: Đáp án D
Tập xác định: D = ¡ .
y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) .
y/ = f / ( x) = 3ax2 + 2bx + c ( P )
/
Dựa vào đồ thị của ( P ) ⇒ f ( 0) = 0 ⇒ c = 0

 b


1
3a + b = 0
=1
−
a =
⇔
⇔
( P ) có đỉnh I ( 1; −1) ⇒  3a
3
3a + 2b = −1 3a + 2b = −1 b = −1



⇒ y/ = f / ( x) = x2 − 2x ⇒ y = f ( x) =

1 3 2
x − x + d ( C)
3

Vì ( C ) tiếp xúc Ox tại điểm có hồnh độ dương nên ( C ) tiếp xúc Ox tại điểm có hồnh độ x = 2, theo
điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

 4
8
4
 f ( 2) = 0
⇒ /
⇔ − 4 + d = 0 ⇔ d = ⇒ ( C ) cắt Oy tại điểm A 0; ÷.
3
3

 3

 f ( 2) = 0

Câu 24: Đáp án D
Gọi z = a + bi ⇒ z = a − bi .

()

(

)

Khi đó z2 + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a2 + 2b2i 2 = 2 a2 − b2 .
2

2

2

Câu 25: Đáp án A
Theo giả thiết, SA = SB = a và tam giác ASB vuông cân tại S ⇒ AB = a 2 .
Nếu gọi O là tâm đường tròn đáy thì O là trung điểm của AB, SO là chiều cao của hình nón và

SO = R =

a 2
.
2

Khi đó Sxq = π .R.SB =

π a2 2
.
2

Câu 26: Đáp án B
Trang 12


 S = α + β = 2 + 4i
Áp dụng định lý Viet, ta có 
.
 P = α .β = −11− 2i
Do

α ,β

đó

là

hai

nghiệm

của

phương

trình

z2 − Sz + P = 0 ⇔ z2 − ( 2+ 4i ) z − ( 11+ 2i ) = 0 .

Câu 27: Đáp án D
Ta có

2
1
 −32

3
3
a
a
−
a
−2
3

÷
a
a − a

÷ 1− a

=
f ( a) = 1
= 1 3
=

1
−1


8
8
3
−
1
a2 − 1
a8 a − a
a8  a8 − a 8 ÷
÷



(
(

2
3

)
)

3

(

)

(

Khi đó f 20192018 = − 20192018

)

1
2

 12  12 
−  a − 1÷
1
÷ a + 1÷
÷


 = −a2 − 1
.
1
2
a −1

− 1= −20191009 − 1.

Câu 28: Đáp án D
Ta có y = ax , y = bx là hai hàm số đồng biến, hàm số y = cx là hàm số nghịch biến nên ta có
a > 1

b > 1 ⇒ c < a, b .

0 < c < 1

Thay x = 1 vào hai hàm số y = ax , y = bx ta được: a < b
Do đó, ta có: c < a < b .
Câu 29: Đáp án A
·
Dựng AM ⊥ CD tại M. Ta có: SMA
= 60° .

SABCD =

AD + BC
.AB = 4a2 .
2

CD =

( AD − BC )

SABC =

1
AB.BC = a2 .
2

2

+ AB2 = 2a 2

SACD = SABCD − SABC = 3a2.SACD =

2S
1
3 2
AM .CD ⇒ AM = ACD =
a
2
CD
2

3 6
1
·
Ta có: SA = AM.tanSMA
=
a ⇒ vS.ABCD = SA.SABCD = 2 6a3 .
2
3
Câu 30: Đáp án A

Trang 13



1 
2
Ta có F (x) = ∫  2x + 2 ÷dx = x − cot x + C
sin x 

2

π 
π 
π
π2
F  ÷ = −1⇔  ÷ − cot + C = −1⇔ C = −
4
16
 4
 4

Vậy F (x) = − cot x + x2 −

π2
.
16

Câu 31: Đáp án D

(

Ta có P = 5− 2 6

) ( 5+ 2 6)
2018

2019

(

= 5− 2 6

(

) ( 5+ 2 6)  ( 5+ 2 6)

(

)(


=  5− 2 6


2018

) ( 5+ 2 6 ) ( 5+ 2 6 )
2018

2018

2018

) ( 5+ 2 6) = ( 1) ( 5+ 2 6) = 5+ 2 6

=  5− 2 6 5 + 2 6 



2018

2018

Vậy P ∈ ( 8;10) .
Câu 32: Đáp án B
2
Yêu cầu bài toán ⇔ − x + mx + 2m+ 1> 0,∀x∈ ( 1;2)

⇔ m( x + 2) > x2 − 1,∀x∈ ( 1;2) ⇔ m>
Xét hàm số f ( x) =

f ′(x) =

x2 − 1
,∀x∈ ( 1;2) .
x+ 2

x2 − 1
, với x∈ ( 1;2)
x+ 2

 x = −2− 3 ∉ ( 1;2)
x2 + 4x + 1

′
,
f
x
=
0

⇔
⇒ f ′ ( x) > 0,∀x∈ ( 1;2)
( )
2

x
=
−
2
+
3
∉
1
;2
x
+
2
( )
( )


x2 − 1
3
3
Dựa vào bảng biến thiên có m>
,∀x∈ ( 1;2) khi m≥ . Vậy m≥ .
x+ 2
4
4
Trang 14

Câu 33: Đáp án B
Ta có g′ ( x) = f ′ ( x) − 1.
g′ ( x) = 0 ⇔ f ′ ( x) = 1. Từ đồ thị, ta được x = −1, x = 1, x = 2 .

Từ đồ thị, ta có bảng xét dấu của g′(x) .
x
−1
−
′
g (x)
+
0
Vậy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = −1.

1
0

−

2
0

+∞
+

Câu 34: Đáp án A
Khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD ta thu được khối nón cụt có đường cao AD, bán kính của
đáy lớn là DC, bán kính đáy nhỏ là AB.

Áp dụng cơng thức tích thể tích khối nón cụt, ta có thể tích của
khối tròn xoay tạo thành là:

(

1
V = h.π R12 + R22 + R1.R2
3

)

1
1
7π a3
2
2
2
2
.
= AD.π AB + DC + AB.DC = a.π a + 4a + a.2a =
3
3
3

(

)

Vậy thể tích khối tròn xoay là =

(

)

7π a3
.
3

Câu 35: Đáp án D
Gọi đường thẳng đi qua chân đường phân giác trong góc B của tam giác và vng góc với ( ABC ) là ∆ .
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
Ta có AB = ( 0; −3;4) ; BC = ( −6;3;2) ;  AB, BC  = ( −18; −24; −18) .

AB = 02 + ( −3) + 42 = 5; BC =
2

( −6)

2

+ 32 + 22 = 7.

Gọi K ( x; y; z) là chân đường phân giác trong góc B, ta có
r
uuu
r

KA AB uuu
AB uuur
5 uuur
=
⇒ KA = −
KC ⇔ KA = − KC .
KC BC
BC
7

5

3
1− x = − 7 ( −5− x)
x = − 2

 3 3
5


⇒ 2 − y = − ( 2 − y) ⇒  y = 2 ⇒ K  − ;2; ÷.
7
 2 2


3
5

− z =


2
 −1− z = − 7 ( 5− z)


Trang 15



3
 x = − 2 + 3t
r

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u = ( 3;4;3) . Phương trình ∆ là  y = 2 + 4t .

3
 z = + 3t

2
Câu 36: Đáp án B
1
3
Vì sin4 x + cos4 x = 1− sin2 2x∈ 1;2 . f ( x) < ,∀x∈ ( 1;2)
2
4

 M = max g( x) = f ( 1) = 3
Dựa vào đồ thị suy ra 
. Vậy M + m= 4 .
m
=

min
g
x
=
f
2
=
1
(
)
(
)



Câu 37: Đáp án D
Gọi M ( a, b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi (a, b∈ ¡ )
z + i a + (b + 1)i
a2 + b2 − 1
2ai
=
=
+ 2
Ta có:
2
2
z − i a + (b − 1)i a + (b− 1) a + (b− 1)2
2
2
 a2 + b2 = 1

a2 + b2 − 1
a + b = 1
z+ i
=
0
⇔
⇔
Để
là số thuần ảo thì 2
.
 2

2
2
z− i
a + ( b− 1)
 a + ( b− 1) ≠ 0 a ≠ 0, b ≠ 1

Câu 38: Đáp án A
1
⇒ t=1
1
2
Đặt t = 2x ⇒ dx = dt . Đổi cận
.
3
2
x= ⇒ t= 3
2
x=

Khi đó I =

2

1
2 ∫1

 2
f  ÷dx .
 t

 2
 2
15x
5x 2
⇔  ÷ = − − f ( 3x)
Mà 2 f ( 3x) + 3ff ÷ = −
2
2 3
 x
 x
3
3
3
3

1  5x 2
5
1

1
Nên I = ∫  − − f ( 3x)  dx = − ∫ xdx − ∫ f ( 3x) dx = −5− ∫ f ( 3x) dx ( * )
21 2 3
41
31
31


x = 1⇒ u = 3
1
Đặt u = 3x ⇒ dx = dx . Đổi cận
.
x = 3⇒ t = 9
3
Khi đó I = −5−

9

1
k
45+ k
f ( t) dt = −5− = −
.
∫
93
9
9

Câu 39: Đáp án A
Ta có f ′ ( x) =

1
x( ln x − 1)

Trang 16


⇒ f ( x) = ∫

 ln( 1− ln x) + C1 khi x∈ ( 0; e)
1
dx = ln ln x − 1 + C = 
.
x( ln x − 1)
 ln( ln x − 1) + C2 khi x∈ ( e; +∞ )

 1
+) f  2 ÷ = ln6 ⇒ C1 = ln2 .
e 

( )

2
+) f e = 3 ⇒ C2 = 3 .

  1
ln( 1− ln x) + ln2 khi x∈ ( 0; e)
 f  ÷ = ln2 + ln2
f
x

=
⇒
Do đó ( ) 
  e
ln
ln
x
−
1
+
3
khi
x
∈
e
;
+∞
(
)
(
)
 f e3 = ln2 + 3



( )

 1

→ ff ÷+

 e

( e ) = 3( ln2+ 1) .
3

Câu 40: Đáp án D
Trên  −1;3 , ta có 1≤ f ( x) ≤ 7 ⇒ 0 ≤ f ( x) − 2 ≤ 5.

t = 0
3
2
2
Đặt t = f ( x) − 2 với t ∈  0;5 . Khi đó y = t − 3t + 5 ⇒ y′ = 3t − 6t = 0 ⇔ 
.
t = 2
 M = 55
⇒ M .m= 55 .
Ta có y( 0) = 5; y( 2) = 1; y( 5) = 55 . Suy ra 
m
=
1

Câu 41: Đáp án A
+) Xét I =
1

e6

∫

(

f ln x
x

1

) dx = 6. Đặt t = ln

3

3

0

0

x ⇒ dt =

1
1
dx ⇒ 2dt = dx
2x
x

Suy ra: I 1 = ∫ 2 f ( t) dt = 6 ⇒ I 1 = ∫ f ( t) dt = 3
π
2

2

+) Xét I = f cos2 x .sin( 2x) .dx . Đặt t = cos x → dt = − sin( 2x) dx
2
∫

0

(

)

1

Suy ra: I 2 = ∫ f ( t) dt = 2 ⇒ I 2 = 2 .
0

Vậy

3

3

3

3

1

1

1

0

0

0

∫ ( f ( x) + 2) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ 2dx = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx + 4 = I

1

− I 2 + 4 = 5.

Câu 42: Đáp án A
2
Xét f ′ ( x) + ( 2x + 4) f ( x) = 0 ⇔

− f ′ ( x)
f 2 ( x)

= 2x + 4

Trang 17


⇒∫

− f ′ ( x)
f

2

( x)

Vì f ( 0) =

dx = ∫ ( 2x + 4) dx ⇒

1
= x2 + 4x + C .
f ( x)

1
1
1 1
1 
⇒ C = 3 ⇒ f ( x) = 2
= 
−
÷.
3
x + 4x + 3 2  x + 1 x + 3

Vậy S =  ff( 0) +

( 2) + ... + ff( 2018)  +  ( 1) + ff( 3) + ... + ( 2017) 

S=

1 1 1 1

1
1  11 1 1 1
1
1 
1− + − + ... +
−
+  − + − + ... +
−


2 3 3 5
2019 2021 2  2 4 4 6
2018 2020

S=

1 1
1
1  1  2020 1009 
1+ −
−
=
+
.

2  2 2020 2021 2  2021 2020

Câu 43: Đáp án B
Gọi z = x + yi,( x, y∈ ¡ ) .
Khi đó z − 1− i + z − 3− 2i = 5 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) i + ( x − 3) + ( y − 2) i = 5 ( 1) .

Trong mặt phẳng Oxy, đặt A( 1;1) ; B ( 3;2) ; M ( a; b) .
⇒ Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm M ( a; b) trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn

MA + MB = 5 .
Mặt khác AB =

( 3− 1) + ( 2− 1)
2

2

= 5 nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có z + 2i = a + ( b + 2) i . Đặt N ( 0; −2) thì z + 2i = MN .
Gọi H là hình chiếu vng góc của N trên đường thẳng AB.
Phương trình AB: x − 2y + 1= 0.
Ta có H ( −1;0) nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.
 AN = 12 + 32 = 10

Ta có 
.
2
 BN = 32 + ( 2 + 2) = 5


Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có AN ≤ MN ≤ BN = 5.
Vậy giá trị lớn nhất của z + 2i bằng 5 đạt được khi M ≡ B ( 3;2) , tức là z = 3+ 2i
Câu 44: Đáp án C
Ta có AB = AC = a 2, BC = a , suy ra tam giác ABC cân tại A.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.

Gọi I = SM ∩ CN thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Trang 18


Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy SA ⊥ ( SBC )
nên d ⊥ ( SBC ) , suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
Trong mặt phẳng ( SAM ) dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó
OA = OS = OB = OC nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC .

Ta có SM =

a 3
2
a
⇒ SI = SM =
. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật
2
3
3

nên

OS2 = SI 2 + SP 2 =

a2 a2 7a2
a 21
.
+ =
⇒ SO =

3 4 12
6

Diện tích mặt cầu S = 4π .SO2 = 4π .

7a2 7π a2
.
=
12
3

Câu 45: Đáp án C
Ta có tọa độ giao điểm M ( x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình

1
 x = 1+ at
t = − a

 y = 2 + bt  y − 2 = bt
⇔

 z = ct
 z = ct
 x = 0

 x = 0
2

 1
(vì a = b + c nên a ≠ 0) ⇒ ( y − 2) + z = b + c  − ÷ = 1.

 a
2

2

2

2

2

(

2

2

)

Hay tập hợp tất cả các giao điểm là đường tròn tâm I ( 0;2;0) , bán kính R = 1 nằm trong mặt phẳng

( Oyz) .
Câu 46: Đáp án B
Dựa vào đồ thị ta thấy f (x) đạt cực trị tại 0 và 2

x = 0
Suy ra f ′ ( x) = 0 ⇔ 
.
x = 2
Ta có

g′ ( x) = f ′ ( x) ff′ (


x = 0
 f ′(x) = 0 ⇔ 
x = 2
(x)) = 0 ⇔ 

 f (x) = 0 ⇔ x = 0; x = a > 2
 ff′ ( (x)) = 0 ⇔ 

 f (x) = 2 ⇔ x = b > a

Trang 19


g′ ( x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là

Vậy phương trình

x = 0, x = 2, x = a và x = b. Lập bảng biến thiên của hàm số

( ( x) ) ta có được đáp án đúng.

g( x) = ff

Câu 47: Đáp án B
2
ĐKXĐ: 3x + 3x + m+ 1> 0 ( * ) .

Ta có phương trình ban đầu tương đương

(

)

(

)

(

)

log2 3x2 + 3x + m+ 1 + 3x2 + 3x + m+ 1= log2 2. 2x2 − x + 1  + 2. 2x2 − x + 1



(

)

⇔ 3x2 + 3x + m+ 1= 2 2x2 − x + 1 ( 1)
⇔ x2 − 5x + 1− m= 0 ( 2)

Với đẳng thức ( 1) thì điều kiện ( *) được thỏa mãn nên u cầu của bài tốn ⇔ ( 2) có hai nghiệm phân
biệt lớn hơn 1
∆ > 0
21+ 4m> 0


21

⇔  x1 + x2 − 2 > 0
⇔ 5− 2 > 0
⇔ − < m< −3.
4

( x1 − 1) ( x2 − 1) > 0 1− m− 5+ 1> 0

Vậy có hai giá trị nguyên của m.
Câu 48: Đáp án B
TXĐ: D ∈  0,3 . Ta có m=

2x + 3− x
.
f ( x)

 2x + 3− x ≤ x + 3− x. 2+ 1 = 3
Vì 
nên
 f ( x) ≥ f ( 2) = 1

2x + 3− x
≤ 3,∀x∈  0;3 .
f ( x)

Dấu " = " xảy ra khi x = 2.

 2x + 3− x ≥ 2x + 3− x = 3+ x ≥ 3

Vì 
nên
 f ( x) ≤ f ( 0) = 5

2x + 3− x
3
≥
,∀x∈  0;3 .
5
f ( x)

Dấu " = " xảy ra khi x = 0.
Vậy

3
m∈¢
≤ m≤ 3 
→ m∈ { 1;2;3} .
5

Câu 49: Đáp án C

( S) : ( x − 3) + ( y − 2) + ( z− 5)
2

2

2

= 36 , có tâm I ( 3;2;5) và R = 6

uuur
uur
Ta có: EI = ( 1;1;2) ⇒ EI = 12 + 12 + 22 = 6 < 6 = R .

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S) .
Trang 20


 E ∈ ∆
Vì E ∈ ( P ) và 
nên giao điểm của ( ∆ ) và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C ) tâm K của
∆ ⊂ ( P )
mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S) , trong đó K là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng (P ) . Gọi
∆ ∩ ( S) = { A; B} . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi d ( K , ∆ ) lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên ( ∆ ) khi đó d ( K ; ∆ ) = KF ≤ KE . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi F ≡ E .
 IK ⊥ ( P )
 IK ⊥ ∆
⇒
⇒ IE ⊥ ∆ .
Vì 
 KE ⊥ ∆
 KE ⊥ ∆
r uur
r
Mặt khác:  n( P ) , EI  = ( 5; −5;0) , cùng phương với u = ( 1; −1;0) .
 x = 2+ t
r
∆ ⊂ ( P )


Vì 
nên ∆ có một vectơ chỉ phương là u = ( 1; −1;0) . Vậy ∆ :  y = 1− t .
∆ ⊥ IE
z = 3


Câu 50: Đáp án B
Gọi G là tâm tam giác đều BCD ⇒ AG ⊥ ( BCD ) .
Trong mặt phẳng ( BCD ) , dựng hình bình hành BMCN mà BM ⊥ CM nên BMCN là hình chữ nhật.
Ta có BM // ( ACN )

(

)

(

)

⇒ d ( BM , AC ) = d BM ,( ACN ) = d G,( ACN ) .
Kẻ GK ⊥ NC ( K ∈ NC ) và GH ⊥ AK ( H ∈ AK )

(

)

⇒ d G,( ACN ) = GH .
Ta

có
2

 2 3 3
3
AG = AB − BG = 9 −  .
÷ = 6 cm ,GK = CM = cm.
3 2 ÷
2


2

Vậy GH =

2

3
AG.GK
2 = 3 22 cm
=
.
2
2
11
9
AG + GK
6+
4
6.

Trang 21