On tap toan lop 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.34 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ƠN TẬP TỐN 9 – TÀI LIỆU THAM KHẢO

(Chương trình ơn tập này là tài liệu khi chưa thực hiện đổi mới SGK)
A. ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

1. Nêu các tính chất của lũy thừa bậc hai ?
2. Chứng minh rằng : a > b  a2 > b2 ( a, b > 0 )
3.a. Định nghĩa căn bậc hai số học của một số a  0.

b. Phát biểu sự tồn tại của CBHSH của số a trong các trường hợp a > 0, a = 0, a < 0.
c. Áp dụng : 0,64 ; 0,01; 4 ; 49

4. Phát biểu quy tắc khai phương một tích, nhân các căn thức bậc hai.
Áp dụng : Tính : a. 25 ; . 80

36 b 5

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. Phát biểu định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất ?

Áp dụng : Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ?
a. y = 5x – 8 b. y = 3 - 2x

2. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình như sau :
a. y = ax + b b. y = a’x + b’

Khi nào thì hai đường thẳng d và d’ : - Cắt nhau; - Song song; - Trùng nhau.

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

CHƯƠNG IV HÀM SỐ y = ax2 . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và viết cơng thức tính nghiệm tổng qt của phương
trình

bậc hai đó.

Áp dụng : Tính nghiệm của phương trình : x2 - 5x + 3 =0
2. Nêu các tính chất của HSBH một ẩn : y = ax2

3. Khi nào thì phương trình bậc hai : ax2 - bx + c =0 có :
- Hai nghiệm phân biệt.

- Nghiêm kép.
- Vơ nghiệm.

4. Phát biểu và viết công thức của hệ thức Viét.

Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a. x2 - 7x + 10 = 0 ; b. 2x2 + 3x - 5 = 0 ; c. 3x2 - 8x + 5 = 0
5. Phát biểu và viết hệ thức Viét.

B. HÌNH HỌC

CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRỊN

1. Nêu cách xác định một đường trịn ?

2. Vị trí của điểm với đường tròn, đường thẳng với đường tròn, đường tròn với đường tròn.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Cm định lý : “ Nếu hai tiếp tuyến ”

2. Phát biểu định lý về góc nội tiếp của một đường trịn.

Chứng minh định lý trong trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc.
3. Cm Định lý : “góc tạo bởi một tia tiếp tuyến..”

( CM định lý trong trường hợp tâm O nằm bên ngồi góc)
4. CM định lý : “Góc có đỉnh bên trong đường trịn”

5. CM định lý : “Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn”
6.a. CM định lý : “Trong một tứ giác..”

b. Phát biểu Định lý đảo của định lý trên

CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU

1.a. Phát biểu định lý về hai mặt phẳng song song.

b. Áp dụng : Cho hình hộp chữ nhật : ABCD.A’B’C’D’. CMR : (ABCD) // (A’B’C’D’)
2. a. Phát biểu định nghĩa về đường thẳng song song với mặt phẳng.

b. CM định lý : “ Nếu a (P) mà a song song với một đường thẳng nằm trên (P) thì a//(P)”
3. a. Viết cơng thức tính Sxq ;S Vtp; của hình lăng trụ đứng.

b. Áp dụng : Tính Stp của hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' trong đó tam giác ABC vuông tại

A :

AB = 12 cm; AC =9 cm; AA’ = 10 cm

ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN

Cho đường trịn (O;R); Số đo góc ở tâm n0
- Viết cơng thức tính C.

- Viết cơng thức tính .

- Viết cơng thức tính S.
- Viết cơng thức tính Shq.

BÀI TẬP

(CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP)

1. Rút gọn biểu thức – Các bước thực hiện 
- Tìm tập xác định.

- Quy đồng mẫu thức ( nếu có).

- Đưa bớt thừa số ra ngồi dấu căn ( đưa về dạng (a b)2 hay (a b)2

  ).

- Trục căn thức ở mẫu số ( nếu có ).

- Thực hiện phép tính: lũy thừa; căn thức …
- Cộng, trừ các số hạng đồng dạng.

2. Tính tốn – Các bước thực hiện 
a. Tính A ( rút gọn A).

b. Tính giá trị của biểu thức A(x), biết x = a.
- Rút gọn A(x)

- Thay x = a vào A.

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức – Các bước thực hiện 
Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức : y = f(x). Dựa vào lũy thừa bậc chẵn.

- Biến đổi biểu thức : y = f(x) sao cho:
+ Nếu y = M -



g x( )



2n (n Z )

Ta có : y = M -



g(x)



2nM với  x R
Do đó :ymax M g(x) 0  x ?
+ Nếu y = m +



h x( )



2n (n Z )

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do đó :ymin m h(x) 0  x ?

* Các kiến thức thường dùng:

1. Cho y = A + B thì max max max

min min min

y A và B









2. Cho y 1
A

 với A > 0 thì max min
min max

y A









3. Cho A0 thì A2max  Amax

4. Với a,b0 và a + b = k ( hằng số)  abmax  a = b
5. Với a,b0 và a.b = k ( hằng số)  (a+b)min  a = b

4. CM hằng đẳng thức, bất đẳng thức

a. Dựa vào định nghĩa : A = B  A – B = 0

 Lập hiệu : A – B

 Rút gọn A- B và chứng tỏ A- B = 0
 Kết luận A = B

b. Biến đổi trực tiếp

A = A1 = A2 = .. …. = An
B = B1 = B2 = .. …. = Bn
Nếu : An = Bn thì A = B
c. Biến đổi

A = A1 = A2 = .. …. = B thì A = B

5. Những bài tốn liên quan đến phương trình bậc hai và Hệ thức Viét.

Cho phương trình : ax2 bx c 0

   (1) Trong đó a, b,c phụ thuộc vào m.

5.1 Biện luận theo m sự có nghiệm của (1) - – Các bước thực hiện 
* Xác định hệ số a, b,c

- Xét hệ số a

+ a = 0 → m = ? (Nếu a chứa m )
Lúc đó : ax2 bx c 0

   trở thành bx + c = 0

 b ≠ 0; c ≠ 0 → x c




 b = 0; c = 0 → phương trình có vơ số nghiệm
 b = 0; c ≠ 0 → phương trình vơ nghiệm

+ a ≠ 0 : Lập biệt thức b2 4ac

   ( hoặc  ' b '2 ac)

 Nếu   0 m ?  phương trình có hai nghiệm phân biệt.- (giải Δ.> 0)

 Nếu   0 m ?  phương trình có nghiệm kép.- (giải Δ.= 0)

 Nếu   0 m ?  phương trình vơ nghiệm. – (giải Δ.< 0)
( Ghi kết luận theo m → …….)

ÁP DỤNG: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình.

a. x2 – 4x + m = 0

b. (m-1)x2 + 2mx + 4 = 0
c. x2 + 2mx – 4 = 0

5.2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm

Có hai khả năng để (1) có nghiệm
a./ hoặc a 0 hay b 0 x c


   

b./ Hoặc a 0
0





 


Kết luận theo m …

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b. 2x2 - 5mx + 50 = 0

5.3 Tìm điều kiện của m để (1) có 2 nghiệm phân biệt, một nghiệm kép, vô nghiệm

a. a 0
0







 

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

b. a 0
0







 

 phương trình có nghiệm kép

c. a 0
0







 

 Phương trình vơ nghiệm

d.
a 0
b 0
c 0





 


 


Phương trình vơ nghiệm.

5.4 / Tìm điều kiện của m để (1) có 1 nghiệm

a. a 0 x c

b 0 b



 

 





b. a 0
0







 

 phương trình ln có 1 nghiệm.

5.5 Tìm điều kiện của m để (1) có :

a. Hai nghiệm cùng dấu:

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu khi : Δ  0 và P> 0
Cách giải : - Xác định hệ số a, b, c.

- Lập biệt thức Δ. Giải Δ0 → m
- Lập S = c/a > 0 → m

- Chọn m.
b. Hai nghiệm trái dấu :

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi : a và c trái dấu hay S < 0
c. Hai nghiệm cùng dương

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi : Δ  0 và P < 0; S > 0
d. Hai nghiệm cùng âm

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi : Δ  0 và P > 0; S < 0.

** BẢNG DẤU CỦA CÁC NGHIỆM SỐ



P= x1 +x2= - b/a S= x1 . x2 = c/a Kết quả

- Hai nghiệm khác dấu

+ + + Hai nghiệm dơng

+ - + Hai nghiệm âm

0 + Nghiệm kép dơng

0 - NghiƯm kÐp ©m

Áp dụng :

1. Tìm điều kiện của m để phương trình : x2 – (m - 1)x + m - 2 = 0 có hai nghiệm cùng dương.
Giải : a = 1; b = - ( m – 1); c = m -2

Ta có : a + b + c = 1 - m + 1 + m – 2 = 0
Nên x1 = 1 ; x2 = c m 2 0 m 2

a 1



   

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: P < 0 c m 3 0 m 3

a 1



    

5.6 Tìm điều kiện của m để (1) có 1 nghiệm x = x1 . Tìm nghiệm kia.
- Xác định hệ số a, b, c.

- Thay x = x1 vào (1)

- Giải phương trình tìm được m.

- Thay m vào phương trình (1) được phương trình : 2

a'x b ' x c ' 0 

Nghiệm còn lại là : 2 2 1

c' b '

x hay x x

x a ' a '



 

    

 

Áp dụng : Tìm điều kiện của m để pt :

a. 2

(m-1)x -2(m+1)x 2m 3 0   có một nghiệm x = -2. Tìm nghiệm kia.

b. 2

(m-1)x -7x m 7 0   có một nghiệm x = 4. Tìm nghiệm kia.

c. 2

(m-4)x -13x-m+41 0 có một nghiệm x = 3. Tìm nghiệm kia.

5.7 Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm x1 và x2
- Thay x = x1 vào phương trình (1) → pt (2)

- Thay x = x2 vào phương trình (1) → pt (3)
- Giải hệ phương trình (2) và (3) tìm được n và m.

Áp dụng : Tìm m và n để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2
……

5.8. Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt, 1 nghiệm kép hoặc vô
nghiệm

- Xác định hệ số a, b, c.
- Lập biệt thức Δ ( hoặc Δ’).
- Rút gọn Δ ( hoặc Δ’)

+ Nếu Δ ( hoặc Δ’) > 0 : pt ln có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu Δ ( hoặc Δ’) = 0 : pt ln có một nghiệm .

+ Nếu Δ ( hoặc Δ’) > 0 : pt ln vơ nghiệm.

5.9. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : ax1 + bx2 = k, PP giải: …

Áp dụng :

1. Cho pt : x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0
a. Tìm m để phương trình có nghiệm.

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : x1 + x2 = 4

2. Xác định giá trị của m để phương trình : x2 – (m+5)x - m + 6 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa :
a. Nghiệm này hơn nghiệm kia một đơn vị.

b. 2x1 + 3x2 = 13

* Ba biểu thức đối xứng thường gặp:
1. 12 22 1 2 2 1 2 2

b c

x x k (x x ) 2x x S 2P 2 k

a a

 

          
 

2 2

1 2 1 2

1 2

x x k x x

x x

    


2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

b c

x x h (x x ) 2x x h S 2P h 2 h

a a

 

            
 

2. 1 2

1 2 1 2

x x

1 1 b a b

k . k

x x x x a c c

  

     

3. 13 32 1 2

x x 0 x x 0 0

 
       

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2

b c b

x x t (x x ) 3x x (x x ) t S 3PS t 3 t

a a a

     
                 

     

* PP giải : - Xác định hệ số a, b, c.
- Lập biệt thức Δ ( hoặc Δ’)

- Biến đổi phương trình đã cho về dạng : x1 + x2 ; x12x22; x1. x2
- Thay 1 2

b
x x

  và 1 2
c
x .x

 ( Theo Viet).
- Giải phương trình vừa thay ta tìm được m = ?

- Thay m vào Δ ( hoặc Δ’). Giá trị nào làm cho Δ ( hoặc Δ’) > 0 thì đó là giá trị cần tìm.

Áp dụng :

1. Cho phương trình : x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m + 4 = 0
a. Tìm m để phương trình có nghiệm

b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm là 2. Tìm nghiệm cịn lại.
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : x12x22 20
2. Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m2 + 2m - 3 = 0

a. Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm là - 1. Tìm nghiệm cịn lại.
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : 2 2

1 2

x x 20

3. Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + 2m + 10 = 0. Tìm m để phương trình :
a. x x1 2 2(x1x )2 5

b. 1 2

2 1

x x

x x 

4. Cho phương trình : x2 – 2x - m2 - 4 = 0

a. Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x1 = -2. Tính x2 ?
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : 2 2

1 2

x x 20

6. Tìm mọi giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên:
PP giải : - Rút gọn A, đưa về dạng phân thức A(x)

B(x) .
- Đưa A(x)

B(x) về dạng

n
m

C(x)

 ( trong đó m, n Z )
- A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi n

C(x) là số nguyên  C(x) = Ư(n) → x = ?

Áp dụng : Cho A = x 1

x 3



 . Tìm mọi giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Giải : A = x 1 1 4

x 3 x 3


 

 

A nhận giá trị nguyên khi : 4 x 3

x 3   1; 2; 4

x 3 1
x 4
x 16

 
 
 

x 3 1

x 2
x 4

 
 
 

x 3 2

x 1
x 1

 
 
 

x 3 2
x 5
x 25

 
 
 

x 3 4

x 1(!!)

 

 

x 3 4
x 7
x 49

 
 
 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7. Giải các loại phương trình : 
7.1 Phương trình chứa căn thức:

7.2. Phương trình dạng : A B hoặc AB

PP giải : - Bình phương hai vế, ta có :

2 2 2 2 A B 0 A B

A B A B 0

A B 0 A B

  

 

       
  

 

Áp dụng : Giải phương trình : 2x 1  x 2

x =1
2x 1 x 2

1
2x 1 (x 2) x


  

 



 

   




7.3. Phương trình dạng : A B(x) (ĐK: B(x) 0 )
A B

A B



  

 ( Chọn nghiệm thỏa điều kiện)

Áp dụng : giải phương trình : 2x+3 1 4x 

2x+3 4x 1 Đk: x 1
4



x 1
2x 3 4x 1

2x 3 (4x 1) x (!)



  

 

  


   




Vậy : x = 1

8. Đồ thị và các vấn đề liên quan đến đồ thị

8.1 Đồ thị : ở chương trình tốn THCS gồm 3 loại chính là :

- Đồ thị đường thẳng: y = ax (d) ( là đường thẳng luôn đi qua gốc tọa độ)

 x = 0 → y = 0
 x = 1 → y = a
 Vẽ đồ thị

- Đồ thị đường thẳng: y = ax + b (d) ( là đường thẳng ln đi qua điểm có tung độ bằng b)

 Giao điểm với trục Oy: x = 0 → y = b
 Giao điểm với trục Ox: y = 0 → x = - b/a
 Vẽ đồ thị

- Đồ thị Parabol : y = ax2 (P) ( là đường cong đi qua gốc tọa độ và có hai nhánh đối xứng với
nhau qua trục tung)

 Hàm số y = ax2 có TXĐ D = R
 Lập bảng giá trị :

x -2 -1 0 1 2

y = ax2 4a a 0 a 4a

 Vẽ đồ thị

8.2 Các vấn đề liên quan đến đồ thị

a. Điểm thuộc đồ thị - Đồ thị đi qua một điểm

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xa; ya). Hỏi (C) có đi qua A khơng ?
PP giải: - Tính f(xA) bằng cách thay x = xA vào f(x).

- Nếu f(xA) = yA thì (C) có đi qua A.
Nếu f(xA)  yA thì (C) khơng đi qua A.

Áp dụng :

1. Cho (P): y = ax2 đi qua A (-2;8)
a. Tìm a.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Giải : a. Vì (P) : y = ax2 đi qua A (-2;8)
Thay x = -2; y = 8 vào (P)
Ta có : 8 = a. (-2)2 → a = 2
Vậy (P) : y = 2x2

b. Thay xA = -2 vào (d) , ta có : f(xA) = 2.(-2) + 12 = 8 = yA
Vậy đường thẳng (d) : y = 2x + 12 đi qua A (-2;8)

2. Xác định hệ số a của hàm số (P) : y = ax2 biết (P) đi qua A(1;2)

3. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(-2;2) và đường thẳng (d) : y = -2(x + 1).
a. Giải thích tại sao A nằm trên (d).

b. Tìm a trong hàm số (P): y = ax2 có đồ thị đi qua A.

b. Sự tương quan của 2 đồ thị:

Bài toán : Cho (C ) và (L) theo thứ tự là đồ thị của các hàm số:
y = f(x)

y = g(x)

Khảo sát sự tương giao của hai đồ thị.
Cách giải:

Toạ độ giao điểm của (C ) và (L) là nghiệm của hệ phương trình
( )

( )
y f x
y g x







 (I)

Phương trình hồnh độ giao điểm của (C ) và (L) là:
f(x) = g(x) (1)

- Nếu (1) vô nghiệm  (I) vô nghiệm  (C) và (L) khơng có điểm chung

- Nếu (1) có nghiệm kép  (I) có nghiệm kép  (C) và (L) tiếp xúc nhau

- Nếu (1) có 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm  (I) có 1 hoặc 2 nghiệm  (C) và (L) có 1

hoặc hai điểm chung ( cắt nhau).

Áp dụng:

1. Tìm a của (P) : y = ax2 ; biết (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) : y = x + 1.
Giải : Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình :

 

y ax P

y x 1 d

 



 




Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình :
ax2 = x + 1

 ax2 - x – 1 = 0

Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4a(-1) = 1 + 4a
(P) và (d) tiếp xúc nhau khi : Δ = 0
Hay : 1 + 4a = 0  a = -1/4.

2. Trong cùng một hệ trục tọa độ, cho (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : 2x + m. 
Tìm m để (P) và (D) tiếp xúc với nhau.

c. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số và phương pháp đồ thị

Cho (P) : y = ax2
(D) : y = bx + c

PP giải :

* Bằng phương pháp đại số :

- Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 

y ax P

y bx c d

 



 




- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
ax2 = bx + c

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

- Giải phương trình (*) tìm x1 và x2.

- Thay x1 và x2 vào (P) hoặc (D) → y1 và y2.

- Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (D) là (x1 ;y1 )và (x2 ; y2).
* Bằng phương pháp đồ thị :

- Vẽ đồ thị hàm số (D) : y = bx + c
Cho x = 0 → y = c

y = 0 → x = - c/b
- Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = ax2

TXĐ : D = R
Lập bảng giá trị :

x -2 -1 0 1 2

y = ax2 4a a 0 a 4a

- Vẽ đồ thị (P) và (D) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Nhận xét.

Áp dụng :

Tìm tọa độ giao điểm của (P): y = -2x2 và (D): y = -x – 1 bằng phương pháp đại số và đồ
thị.

Giải :

* Bằng phương pháp đại số :

Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 

y 2x P

y x 1 d

 



 




Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
-2x2 = -x - c

 -2x2 + x + 1 = 0 
 2x2 - x - 1 = 0

Tao có : a + b + c = 2 – 1 – 1 = 0
 x1 = 1 và x2 = c 1

a  2

Thay x1 = 1 vào (P) : y = -2x2 → y1 = -2
Thay x2 = 1

 vào (P) : y = -2x2 → y2 = 1
2



- Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (D) là (1; -2) và ( 1

 ; 1

 )
* Bằng phương pháp đồ thị : Hs tự làm

d. CMR

Bài toán : Cho (P) : y = ax2 và đường thẳng (D) : y = bx + c.
CMR : a. (P) và (D) luôn cắt nhau tại hai điểm

b. Tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm.

PP giải :

- Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 

y ax P

y bx c d

 



 




- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
ax2 = bx + c

 ax2 - bx – c = 0 (*)
- Lập Δ ( Δ’). Rút gọn Δ ( Δ’).

- Nếu Δ ( Δ’) > 0 → phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Do đó, (P) và (D) ln cắt nhau tại hai điểm .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tọa độ tiếp điểm :

b b

;a
2a 2a

   
   

 

 

 

Áp dụng :

1. CMR :(P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2mx + 1 luôn cắt nhau tại hai điểm với mọi
m.

Giải :

- Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 

y x P

y 2mx 1 d

 




 




- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
x2 = 2mx + 1

 x2 – 2mx – 1 = 0

Δ’ = b’2 – ac = (-1m)2 – 1. (-1) = m2 + 1 > 0 với mọi m
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Do đó, (P) và (D) luôn cắt nhau tại hai điểm .

2. CMR :(P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x - 1 luôn tiếp xúc nhau, tìm tọa độ tiếp
điểm.

Giải :

- Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 

y x P

y 2x 1 d

 



 




- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
x2 = 2x - 1

 x2 – 2x + 1 = 0

Δ’ = b’2 – ac = (-1)2 – 1. (1) = 1 - 1 = 0
Nên phương trình có 1 nghiệm kép
Do đó, (P) và (D) ln tiếp xúc với nhau.
Tọa độ tiếp điểm : x = -b/a = 1 → y = 1 : A(1;1).

d. Các loại phương trình đường thẳng :

1. Viết phương trình đường thẳng (D), biết đi qua đi qua A(xA; yA) và B(xB; yB).

PP giải :

- Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b
Vì (D) đi qua điểm A(xA; yA) nên : yA = axA + b (1)

Vì (D) đi qua điểm B(xB; yB) nên : yB = axB + b (2)

- Giải hệ phương trình :

A A

B B

y ax b
y ax b

 




 

 → Tìm được a, b.

- Thay a, b vào (D) → dạng của (D)

Vậy phương trình đường thẳng (D) có dạng….

Áp dụng : Viết phương trình đường thẳng (D), biết đi qua đi qua :
a. A(-1;2) và B(2;-1).

b. C(1;2) và D(2;3).

2. Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) đi qua A(xA; yA) và tiếp xúc với (P) : y = ax2

PP giải : - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = bx + c

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 

y ax P

y bx c d

 



 




- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
ax2 = bx + c

 ax2 - bx – c = 0 (*)
- Lập Δ ( Δ’).

- (P) và (D) tiếp xúc nhau  phương trình (*) có 1 nghiệm kép
Hay : Δ = 0 (1)

- Vì (D) đi qua điểm A(xA; yA) nên : yA = bxA + c (2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

A A

y bx c

 



 


- Giải hệ phương trình tìm được a,b.
- Thay a, b vào (D) : y = bx + c → vậy …

Áp dụng : Viết phương trình đường thẳng (D) biết (D) đi qua A(-2;-2) và tiếp xúc với (P) : y =
1

 x2

Giải :

- Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = bx + c

- Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 

2
1

y x P

y bx c d






  


- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
1

 x2 = bx + c
 1

 x2 - bx – c = 0

 x2 + 2bx + 2c = 0 
Δ = b2 – 2c

- (P) và (D) tiếp xúc nhau  phương trình (*) có 1 nghiệm kép
 Δ = 0 hay b2 – 2c = 0 (1)

- Vì (D) đi qua điểm A(-2; -2)
nên : yA = bxA + c

b = 2a – 2 (2)
- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

b – 2c 0
b 2a – 2

 





- Giải hệ phương trình : a = 2
Thay a = 2 vào (2) → b = 2

Vậy phương trình đường thẳng (D) : y = 2x + 2.

3. Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(xA; yA) và có hệ số góc k

PP giải: - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b (1)
- Xác định a : + Ta có a = k

- Xác định b : + Ta có (D) đi qua A(xA; yA)

** Chú ý : Viết phương trình tiếp tuyến của (P): y = ax2 tại A(x
A; yA).

Ta làm giống như trên( hay đi qua A)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Thay x = xA ; y = yA ; a = k

Ta có : yA = kxA + b → b = yA + kxA
- Thay a, b vào y = ax + b

- Vậy (D) : ……

Áp dụng :

1. Lập phương trình đường thẳng (D’) đi qua A(-1; 3) và song song với đường thẳng (D) : y = x
2. Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(-1; 3) và có hệ số góc bằng -1.

3. Lập phương trình đường thẳng (D’) biết đồ thị của nó song song với (D) : y = x – 2 và cắt (P) :
y = - x2 tại điểm có hồnh độ bằng -1.

4. Tìm a, b trong hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D’) của hàm số này song song với (D):
y = - x + 2 và cắt (P) : y = x2 tại điểm có hồnh độ bằng -1.

Giải : - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b
- Xác định a : Vì (D’) // (D) : y = - x + 2 nên a = -1.

Nên (D’) : y = - x + b

- Xác định b : Vì (D’) cắt (P) : y = x2 tại x = -1
→ y = (-1)2 = 1

Tọa độ giao điểm của (D’) và (P) là A(-1;1)

Vì A(-1;1) thuộc (D’) nên b = yA + axA = 1- (-1).(-1) = 0
Vậy phương trình đường thẳng (D’) : y = -x .

5. Lập phương trình đường thẳng (D’) đi qua A(2; 0) và vng góc đường thẳng (D) : y = 2x –
3.

6. Lập phương trình đường thẳng (D’) đi qua A(-2; -1) và vng góc đường thẳng (D) : y = -x +
5.

4. Lập phương trình đường thẳng (D’) có hệ số góc k và tiếp xúc với (P) : y = ax2

PP giải : - Phương trình đường thẳng (D) có dạng : y = ax + b (1)
- Xác định a : + Ta có a = k → y = kx + b (D’)

- Xác định b : - Tọa độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của hệ phương trình

 





y ax P

y kx b D '

 



 




- Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
ax2 = kx + b

 ax2 - kx – b = 0 (*)

- Vì (P) và (D’) tiếp xúc với nhau nên pt (*) phải có nhiệm kép  Δ = 0 → b= ?
- Thay b = ? vào y = kx + b → (D’): …

Áp dụng :

1. Cho (P): y = x2 . Lập phương trình (D’) // (D) : y = 2x và tiếp xúc với (P).
2. Tìm m để (D): y = m + 1 cắt (P) : y = -2x2 tại hoành độ -1.

9. Tập xác định của hàm số

a. y = ax + b ; y = ax2 +bx + c ; 
2

5
y

x 2



 ;

y x 1 ; y 27

x 2



 ;

5 x
y



 : TXĐ với

x R

 
b.

2
2

1 1

y x 0; y x 2 0 x 2;

x x 2

5 2x

y x 0 x 0; y x 5 x 5 0 x 5;

1 1

y x 2 0 x 2; y 1 x 1

x 2 x 1

        




           

          

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

HÌNH HỌC

1. Tam giác đặc biệt

- Tam giác vng cân:
a 2

h
2

 ;

2
a
S



- Tam giác đều
a 3

 ;

2
a 3
S



- Tam giác vuông: 2 2 2

a b +c c2 ac ' ; S 1bc
2



2 2 2

1 1 1

h b c

b ab '; S 1ha



h b 'c '

2. Tam giác bất kỳ

- Tổng các góc trong : A B C   1800



   
- Đường cao tương ứng với cạnh a : a

h p(p a)(p b)(p c)
2

    trong đó p a b c

 


- Trung tuyến ứng với cạnh a : a 2 2
1

m 2b 2c a

  

3. Tứ giác

a
h

c’ b’

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a. Hình bình hành: d +d =2(a +b )12 22 2 2 ; S ah a
b. Hình thang : S a b.h




c. Hình chữ nhật: d a2 b2

  ; S = ab
d. Hình thoi: d +d =4a12 22 2; 1 2

1
S d d



e. Hình vng : d a 2 ; S = a2

f. Tứ giác nội tiếp: A B C D     ; d1d2 = ac + bd

g. Tứ giác ngoại tiếp: a + c = b + d ( cộng hai cạnh đối diện )

S = pr ( p: chu vi tứ giác; r : bán kính đường trịn nội tiếp )
h. Tứ giác bất kỳ:

- Tổng các góc trong :     0

A B C D 2     360

- Diện tích : 1 2
1

S d d sin

2 

 (  là góc tạo bởi hai đường chéo )

4. Đa giác đều

* Đa giác đều n cạnh a

- Góc ở tâm :

0
360

 

- Góc ở đỉnh ( trong) : 

0
(n 2).180
A




- Trung đoạn : d a cot g

2 2




- Diện tích :

2
na

S cot g

4 2




* Đa giác đều n cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R

- Cạnh a :

0
180
a 2R sin



- Trung đoạn :

0
180
d R cos



- Diện tích :

2 0

nR 360

S sin

2 n



* Đa giác đều n cạnh a ngoại tiếp đường trịn bán kính R

- Cạnh a :

0
180
a 2R tg



- Trung đoạn : d 2R
- Diện tích :

0
2 180
S nR tg



5. Hình trịn và các phần hình trịn

- Hình trịn bán kính R : C 2 R  ; SR2

- Hình vành khăn : S (R2 r )2



  ; S(2r+d)d

- Hình quạt : l Rn
180



 ; Shq lr



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

* Hình hộp chữ nhật:
xq

S 2(a b)c 2 2 2

d a b c

V = abc
tp xq

S S 2Sđ

* Hình lập phương
2
xq

S 4a

V = a3

d a 3
2
tp

S 6a

* Hình lăng trụ
xq

S Pl

V = Bh
tp

S Pl 2 Sđ

* Hình trụ
xq

S 2 Rh

V = R h2



tp xq

S S 2Sđ

7. Hình chóp – Hình nón

* Hình chóp đều:
xq
1
S Pd

2

1
V Bh
3

Stp =

* Hình chóp cụt đều:
xq

S (P P ')d
2

 

V (B B' BB')h
3

  

Stp =

* Hình nón:
Sxq Rl
V 1 R h2

3



Stp = Rl+R2

* Hình nón cụt:
xq

S (R r)l
2 2
1

V h(R r Rr)

3

  

Stp =

8. Hình cầu

* Hình cầu

Diện tích mặt cầu : S 4 R2




Thể tích : V 4 R3

3



* Hình quạt cầu

Diện tích : SR (r 2h)
Thể tích : V 2 R h2

3



MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

I. CHỨNG MINH HAI GĨC BẰNG NHAU

1. Hai góc bằng góc thứ ba

 
 
 
A B
A C
B C
 


 





2. Hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác

 
 

 

A B

C D A C

Mà : B D

 


  






3. Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đơi một khác nhau

  
  

 
 

 

A B C B N

Mà A M

M N P C P

    
 
 
 
  
 
 

4. Hai góc cùng bù ( hoặc cùng phụ ) với một góc thứ ba.

 
 

 

0
0
A C 180

A B
B C 180

  

 

 



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 

Ox / /O ' x '

xOy x 'Oy '
Oy / /O ' y'



 




 

Ox O' x '

xOy x 'Oy '
Oy O' y '




 





6. Hai góc sole trong, sole ngồi, đồng vị, đối đỉnh.

7. Hai góc đáy của một tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân.

8. Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng.
9. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, hoặc hai góc chắn hai cung bằng nhau.
10. Tia phân giác của một góc.

11. Hai góc đối của hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng.

II. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

1. Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.

2. Một điểm bất kỳ nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
3. Hai đường thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song.

4. Hai cạnh bên của một tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân.
5. Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

6. Một điểm bất kỳ nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng đó.

7. Hai cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi.
8. Hai đường chéo của hình hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân.
9. Hai dây trương hai cung bằng nhau.

10. Hai dây cùng cách đều tâm.

11. Hai đoạn thẳng đối diện với hai góc bằng nhau.

III. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
2. Hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba.

3. Hai đường thẳng tạo với 1 cát tuyến hai góc bằng nhau ở vị trí : sole trong, sole ngồi, đồng vị; trong
cùng phía bù nhau.

4. Hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong đường tròn.

5. Là hai cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng, hình thoi.
6. Hai cạnh đáy của hình thang.

7. Sử dụng Định lý Talet đảo
AB' AC '

B'C'/ /BC
AB AC 

IV. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

1. Hai đường thẳng cùng song song với hai đường thẳng vng góc khác.

2. Dựa vào định lý: Hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vng góc với đường thẳng thứ nhất
thì vng góc đường thẳng thứ hai.

3. Hai đường thẳng là đường cao và cạnh đối diện trong tam giác.
4. Đường kính đi qua trung điểm của một dây.

5. Đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác cân cũng là đường cao.
6. Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vng góc với nhau.

7. Hai đường chéo của hình vng, hình thoi.

8. Hai đường thẳng tạo thành một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

V. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

1. Chúng minh chúng là 3 đường cao, phân giác, trung tuyến, trung trực trong một tam giác.
2. Một phân giác trong và 2 phân giác ngồi của hai góc kia trong tam giác.

3. Đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường kia.

4. Vận dụng định lý đảo của định lý Talet.

Trong ΔABC có:

AB DB

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

→ AD là phân giác trong của BAC
Do đó: AB, AC, AD đồng quy tại A.

VI. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

1. Tam giác thường: (ba trường hợp)
- Ba cạnh đơi một bằng nhau.

- 1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh bằng nhau đôi một.
- Một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau đơi một.
2. Tam giác vng

- Cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau.
- Cạnh huyền và cạnh góc vng.
- Hai cạnh góc vuông bằng nhau.

VII. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1. Tam giác thường:

- Có hai góc bằng nhau đơi một.

- Một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ.
- 3 cạnh tương ứng tỉ lệ.

2. Tam giác vng:

- Có một góc nhọn bằng nhau.
- Hai cạnh góc vng tương ứng tỉ lệ.

VIII. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

1. AB + BC = AC ( B nằm giữa A và C )
2. MA.MB = MC.MD

MA MD

MAD

MC MB   ~ΔMCB

MA MC

MAC

MDMB  ~ΔMDB

* Nếu 5 điểm M, A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng thì chứng minh các tích trên cùng bằng một
tích thứ 3.

Nghĩa là : MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
→ MA.MB = MC.MD

* Trường hợp đặc biệt : MT2 = MA.MB → MT.MT = MA.MB

Thì chứng minh : ΔMTA ~ΔMBT hoặc so sánh với tích thứ ba.
* Cần chú ý đến các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

2 2 2

a b +c ; 2 2 2

1 1 1

h b c ;
1
S bc

 ; S 1ha
2



c ac ' ; b2 ab '; h2 b 'c '

IX. CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Theo định nghĩa : các điểm cách đều một điểm cố định.

2. CM hai góc đối diện bù nhau như hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng.
3. Hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới những góc bằng nhau.

+ Hai tam giác có chung đáy và góc ở đỉnh bằng nhau.
* Trường hợp đặc biệt :

Tứ giác ABCD có :




ABD 1V
ACD 1V




 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

AD
I;

 
 
 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

X. CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1. CM : OT  MT tại T thuộc (O;R)

2. CM khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT = R: OT = R.
3. Dùng góc nội tiếp : BAT BTM  ????

4. Nếu M nằm trên cạnh kéo dài của AB mà MT2 = MA.MB thì MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp ΔTAB tại T.

XI. CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG

1. Hai góc kề và bù có tổng bằng 1800 .

2. Hai đường thẳng xuất phát từ một điểm và cùng song song với đường thẳng thứ ba.

3. Từ một điểm bất kỳ chỉ có thể vẽ được một đường thẳng vng góc với đường thẳng đã cho.

4. Hai góc bằng nhau có một cạnh chung và hai cạnh thẳng hàng còn lại nằm về cùng một phía đối với
cạnh chung thì hai cạnh ấy trùng nhau.

5. Sử dụng một số tính chất của các đường trong tam giác, tứ giác.

BÀI TẬP

1. Cho :

a b b a 2

A :

ab a b






a. Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.

2. Rút gọn B.

2 2

(2 a ) ( a 3)
B

1 2 a

  




3. Cho :

( x y) 4 xy x y y x

B .

x y xy

  





a. Tìm điều kiện để B có nghĩa.
b. Rút gọn B.

c. Tìm B khi x = 2 3; y = 3

4. Cho : D x y y x : 1

x y 5 xy






a. Rút gọn D.

b. Tính D khi x = 2; y = 3

5. Cho :

10. Cho :

4x 1 (2x+1)(x 1)
C

9x 4

  




a. Rút gọn biểu thức.

b. Tìm giá trị của x để biểu thức C > 0.
11. Cho :

2
2

(2x 3)(x 1) 4(2x 3)
D

(x 1) (x 3)

   


 

a. Rút gọn biểu thức.

b. Tính giá trị của D khi x = 3 2 2 .
c. Tìm giá trị của x để D > 1.

12. Cho :

3 3

E 1 a 1

1 a 1 a

 

     


   

Rút gọn E.

13. Chứng minh các đẳng thức sau :

a. x (x 1)2 1 khi x 1

2x 1 khi x 1




  

 



b. 4 2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

x y y x 3

E :

xy x y






Tính giá trị của E khi x =  2; y = 4 2
6. Cho :

x x x x

F 1 1

x 1 x 1

     
     
     

   

Tính giá trị của F khi x = 3 5.

7. Cho :

2 2

(x 1) 4
A

(2x 1) (x 2)

 


  

a. Rút gon A.

b. Tìm x để A = 1.
8. Cho :

2 2

(a 1) 4
A

(2a 1) (a 2)

 


  

a. Rút gon A.
b. Tìm x để A = -2.
9. Cho :

2
2

x 9 (4x 2)(x 3)
B

x 6x 9

   



 

a. Rút gọn biểu thức.

b. Tìm giá trị của x để biểu thức B = 0.

c. a b a b 2 ab 0

a b a b

  

 

 

2 2

(2 a ) ( a 1)

1 0
2 a 3

  

 



14 7 15 5 1

: 2

1 2 1 3 7 5

   

 

 

  

 

f. a b b a : 5 a b
5

ab a b

 




g. 1 x x 1 x x 1 x

x 1 x 1

     

   

   

     

   

h. x y y x xy

x y






g. x x y y xy ( x y)2

x y



  



i. a a b b ab ( a b)2

a b



  


k. x x y y : 2 x y
2

x xy y x y

 



  

14. Cho hàm số (P) :
2
x
y



a. Vẽ đôt thị hàm số trên.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) : y = -x + m cắt (P) tại hai điểm A và B.
c. Xác định tọa độ A và B khi m = 3/2.

15. Cho hàm số : (P) : y = ax2

a. Xác định hệ số a biết (P) đi qua A(3;3). Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó.
b. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m ≠0) và đi qua điểm B( 1;2).

c. Với giá trị nào của m thì đường thẳng tiếp xúc với (P) : y = x2/3. Vẽ đồ thị trong trường hợp đó
và tính tọa độ của tiếp điểm .

16. Cho phương trình : x2 - 10x – m2 = 0 ( -2x2 - 14x +m2 = 0 )

a. CMR phương trình ln có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị m ≠ 0.

b. Với giá trị nào của m phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện : 6x1 + x2 = 5 (3x1 - x2 = -29)
16. Cho hàm số : (P) : y = 2x2 và (d) : y = m .

a. Vẽ đồ thị của hai hàm số.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt (P) ? cắt tại một điểm ? Cắt tại hai điểm phân biệt ?
17. Cho hàm số : (P) : y = x2 và (d) : y = 2x – 1

a. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên và xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d).
b. CMR (P) và (d) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất.

18. a. Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x2/4 và (d) : y = x + m .

b. Với giá nào của m thì (d) và (P) không cắt nhau ? Cắt nhau ? Tiếp xúc ?
19. Cho hàm số y = mx2 có đồ thị (P).

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(4;-8) và có hệ số góc bằng -1.
c. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

d. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng pp đại số.
20. Cho hàm số : (P) : y = ax2 và (d) : y = -x – 1

a. Xác định a để (P) đi qua A(-1;-2).

b. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng pp đại số.
c. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
21. Cho phương trình : x2 - 2( m + 1)x + m2 +2m – 3 = 0

a. Chứng tỏ rằng phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm cịn lại.
THÊM : 1. Cho phương trình bậc hai : x2 – 2(m+1)x + m – 4 = 0

a. Giải phương trình khi m = 1.

b. CMR phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Cho hàm số : y = ax2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng Oxy.

a. Tìm hệ số a, biết (P) đi qua A( -1;1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.

b. Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng 1.
c. Tìm giao điểm B (≠ A) của (P) và (d).

3. Cho phương trình : mx2 – (m - 2)x + 3 = 0

a. Định m để phương trình trở thành phương trình bậc nhất và giải phương trình bậc nhất này.
b. Định m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm cịn lại.

4. Cho phương trình bậc hai : x2 – (m - 1)x - m = 0

a. Định m để phương trình có nghiệm kép? Tính nghiệm kép đó ?
b. Định m để phương trình có hai nghiệm dương.

5. Cho phương trình bậc hai : x2 – (2m - 5)x – 3n = 0

Hãy xác định m, n sao cho phương trình trên có hai nghiệm là -2 và 3.
6. Cho phương trình : 3x2 – 2x + m = 0

Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, vơ nghiệm.

MỘT SỐ BÀI TỐN LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hơm làm việc có 2 xe điều đi nơi khác nên mỗi xe còn lại
phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe ?

2. Một đội xe cần chở 20 tấn hàng. Hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở
thêm 4 tấn. Hỏi dự định lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc ?

3. Một phịng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu
số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì phịng họp có 400 ghế. Hỏi phịng họp có bao
nhiêu dãy và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?

4. Trong một phịng họp có 70 (40) người được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi hai (một)

dãy ghế thì mỗi mỗi dãy ghế còn lại phải sắp thêm 4 (hai) người mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu
dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp được bao nhiêu người ?

5. Một lớp học có 48 học sinh, số chỗ ngồi được chia đều trên các ghế dài. Vì có việc cần, nên nhà
trường phải điều đi hai ghế dài nên mỗi ghế dài còn lại phải ngồi thêm một học sinh và một chiếc ghế cuối
lớp chỉ có ba học sinh. Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu ghế dài ?

6. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau 5h20’ một canô đuổi theo và gặp thuyền cách bến A
20km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết vận tốc canô hơn vận tốc của thuyền là 12 km/h.

7. Hai ô tô khởi hành cùng lúc đi từ A đến B. Ơ tơ thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên
đến B sớm hơn ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe ? Biết quãng đường AB dài 270 km.

8. Một canơ xi dịng 90 km rồi ngược dịng 36 km. Biết thời gian xi dịng nhiều hơn thời gian
ngược dịng là 2h và vận tốc xi dịng hơn vận tốc ngược dịng là 6km/h. Hỏi vận tốc canơ lúc xi dịng,
lúc ngược dịng ?

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

10. Một canơ đi trên một con sông dài 30 km. Thời gian canô xi dịng ít hơn thời gian canơ ngược
dịng là 1h30’. Tìm vận tốc thật của canơ, biết sức nước chảy 1h là 5 km.

11. Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 48 km và cùng đi về hướng C. Chúng
đi cùng chiều và đuổi kịp nhau sau 4h. Tìm vận tốc của mỗi ô tô; biết rằng nếu vận tốc của ô tô đi từ A tăng
thêm 18 km/h thì vận tốc của nó gấp đơi vận tốc của ơ tơ đi từ B.

12. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 300 km. Đi được nửa đường xe phải giảm tốc độ nên chậm hơn
đoạn đường đầu là 10 km.Do đó xe đến B chậm hơn dự tính là 30’. Tính vận tốc ban đầu của xe.

13. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì
đến B chậm mất 2h. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm hơn 1h. Tính quãng đường AB và thời
gian dự định đi lúc đầu ?

14. Hai canô cùng khởi hành từ hai tỉnh A, B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1h10’ thì
hai canơ gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc canơ xi dịng hơn vận tốc canơ
ngược dịng là 9 km/h và vận tốc nước là 3 km/h.

15. Hai ô tô cùng khởi hành từ hai tỉnh A, B cách nhau 120 ( 115) km và đi ngược chiều nhau. Sau
1h30’ ( 1h15’) thì hai ơ tơ gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn
vận tốc ô tô đi từ B là 8 (12 km/h) km/h.

16. Một chiếc tàu thủy chạy trên một bến sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu
thủy khi nước yên lặng, biết vận tốc của dịng nước là 4 km/h.

17. Hai canơ khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô thứ nhất chạy với vận tốc 20 km/h,
canô thứ hai chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi canô thứ hai dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với
vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng hai canô đến B cùng lúc.

18. Đường sông từ thành phố A đến thành phố B dài hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A → B canơ đi hết
3h20’, ơ tơ đi hết 2h. Tính vận tốc canô ? Biết vận tốc canô kém vận tốc ô tô 17 km/h.

19. Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1h30’, một người đi xe máy cũng
đi từ A và đến B sớm hơn 1h. Tính vận tốc mỗi xe, biết vận tốc xe máy hơn vận tốc xe đạp là 2,5 lần.

20. Một người đi xe máy từ A → B với vận tốc trung bình 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20’ rồi
quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quãng đường AB; biết thời gian cả đi lẫn về là 5h50’.

21. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h. Lúc đầu ơ tơ đi với vận tốc
đó, khi cịn 60km nữa thì được một nửa qng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên qng
đường cịn lại. Do đó, ơ tơ đến B sớm hơn 1 h so với dự định. Tính quãng đường AB.

22. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày được 52 ha.

Vì vậy, đội khơng những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính thửa ruộng
mà đội phải cày theo kế hoạch.

23. Hai đội công nhân làm chung trong 12 h thì sẽ hồn thành 1 cơng việc đã định. Họ làm chung trong
4 h thì tổ 1 được điều đi lam công việc khác, tổ hai làm nốt phần cơng việc cịn lại trong 10 h. Hỏi tổ 2 nếu
làm một mình thì sau bao lâu sẽ hồn thành cơng việc.

24. Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với 420 ngày cơng thợ. Hãy tính số cơng nhâmn của đội,
biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày hồn thành cơng việc sẽ giảm đi 7 ngày.

25. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 44

5 h đầy bể. Mỗi giờ vời 1 chảy được một lượng bằng
1
1

2
lượng nước chảy ở vòi 2. Hỏi nếu mỗi vịi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.

26. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 15 h thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3h và
người thứ hai làm trong 6h thì cả hai người hồn thành 25% cơng việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người
làm trong bao lâu để hồn thành cơng việc.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

28. Nếu hai vịi nước cùng chảy vào bể thì sau 1h20’ đầy bể. Nếu để vòi 1 chảy trong 10’ và vòi 2 chảy
trong 12’ thì đầy 2

15 bể. Hỏi nếu mỗi vịi chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.

29. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 ( 240; 140) m. Người ta làm một lối đi xung quanh
vườn rộng 2m. Diện tích cịn lại để trồng trọt là 4256 ( 3036; 875) m2. Tính kích thước của vườn.

30. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 10m. Hai cạnh góc vng hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh
góc vng của tam giác vng đó.

31. Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh góc vng của một tam giác vng là 13

12. Cạnh cịn lại bằng 15. Tính
cạnh huyền.

32. Một tam giác vng có cạnh huyền bằng 26m, diện tích bằng 120m2. Tính chu vi của tam giác ấy.
33. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 32m. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng thêm chiều dài 2m
thì diện tích giảm đi 24m2. Tìm các kích thước của khu vườn.

34. Hai vịi nước cung chảy vào một bể khơng có nước và chảy đầy bể mất 1h48’. Nếu chảy riêng thì vịi
1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 1h30’. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi sẽ chảy trong bao lâu.

35. Hai đội thanh niên cùng làm chung và đã hoàn thành cơng việc trong 4 ngày. Nếu làm riêng thì đội 1
sẽ hồn thành cơng việc nhanh hơn đội hai 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội sẽ hồn thành cơng việc
trong bao nhiêu ngày ?

HÌNH HỌC

1. Cho đường trịn (O) đường kính AB và tiếp tuyến Bx. Trên Bx lấy điểm M, AM cắt đường tròn tại S.
Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AS. Nối ON cắt AS tại I. CMR :

a. ABM ASB 

b. BN là đường phân giác của ABS và ON // BS
c. Tứ giác MIOB nội tiếp.

2. Cho ΔABC vuông tại A. Gọi O,M, O’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

a. Tứ giác AOMO’ là hình gì ? Có nội tiếp được đường trịn khơng? Hãy chứng minh điều nhận xét .
b. Hạ đường cao AH của ΔABC. Chứng minh H là giao điểm của đường trịn đường kính AB và đường
trịn đường kính AC.

c. Từ A kẻ cát tuyến cắt đường trịn có đường kính AB ở D và cắt đường trịn có đường kính AC ở E.
So sánh : BAD và ACE .

3. Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O ( AC>AB). Đường cao AN và BK cắt nhau tại H.
a. Chứng minh tứ giác ABNK và KHNC nội tiếp.

b. Kéo dài AN cắt đường tròn O tại I. Nối A với O kéo dài cắt đường trịn tại D.
Chứng minh tứ giác BCDI là hình thang cân.

c. BAI CAD 

d. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là hai tiếp điểm) và BO cắt đường tròn ở C.
a. Chứng minh AC // MO

b. Từ O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt CA ở D. Chứng minh MD = OC.

5. Cho ΔABC cân tại A và có đáy BC = 6cm và đường cao AH = 4cm nội tiếp trong đường trịn (O).
a. Tính số đo 2 cạnh AB, AC và đường kính AA’ của đường trịn ngoại tiếp tam giác.

b. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Ta kẻ AM  CB’. Tứ giác AHCM là hình gì?
c. Ta kẻ AK  BB’. Chứng minh AK = CM.

d. Chứng minh tứ giác BHKA là hình thang cân.

6. Cho đường trịn (O) đường kính AB. Lấy một điểm C nằm giữa A và B. Vẽ đường kính BC tâm O’.
Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Đường thẳng DB cắt đường tròn (O’)
tại F. Chứng minh :

a. BAD EDB 

b. Tứ giác ADCE là hình thoi.
c. Ba điểm E, C, F thẳng hàng.

7. Cho đường tròn (O) và A là một điểm ngồi đường trịn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B,
C là các tiếp điểm). Ta kẻ BH  AC cắt OA ở I. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng
OA, IA. Chứng minh :

a. Ba điểm A, B, C nằm trên đường trịn có tâm là M và tứ giác ABOC nội tiếp.
b. BI = BO

c. NH // MC

d. Tứ giác BICO là hình thoi.

e. BC cắt OA ở K. Chứng minh tứ giác BKHA, KIHC nội tiếp.

8. Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn . Kẻ đường cao BD và CE. Gọi H là trực tâm tam giác và M là trung
điểm BC. Từ M kẻ các đoạn thẳng MQAC và MPAB. MQ cắt CE tại F và MP cắt BD tại K. Tia AM
cắt đường tròn O tại N.

a. Chứng minh tứ giác MFHK là hình bình hành.

b. ΔABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác MFHK là hình chữ nhật.
c. Chứng minh rằng P là trung điểm của BE và Q là trung điểm của CD.
d. CM : ΔABM ~ ΔCNM. Suy ra : AM.NM = BM.CM

9. Cho ΔABC có đường cao BD, CF.

a. Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên mọt đường tròn. Xác định tâm của đường trịn đó.
b. Chứng minh : Δ ABC ~ Δ AEF.

10. Cho một dây AB của đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại AB cắt nhau ở C. Nối O với một điểm P của dây
AB và kẻ từ P đường vng góc với OP, đường này cắt tia CA ở E tia CP ở D. Chứng minh :

a. Các tứ giác OBDP và OPAE nội tiếp.
b. Δ ODE cân và PD = PE

c. Bốn điểm O, E, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
d. AE = BD.

11. Chho Δ ABC vuông tại đỉnh A. Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc AHB cắt AB tại M và tia phân
giác của góc AHC cắt AC tại N. Gọi O1; O2 là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAHB và ΔANC.Chứng minh :

a. Tứ giác AMHN nội tiếp.
b. ΔABC ~ Δ HMN.

c. ΔAMN là tam giác vng cân.

12. Trên đường trịn (O) cho điểm C. Gọi AB là một dây cung vng góc với OC. Kẻ đường kính AOD và
kẻ dây cung CE vng góc với AD; CD và CE cắt AB theo thứ tự ở F và G.

a. Chứng minh : Δ AGC cân

b. Suy ra rằng : GA = GC = GF

13. Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Từ điểm B bất kỳ nằm trên đường tròn
(O) dựng đoạn thẳng BH  xy. Chứng minh :

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b. Phân giác ngoài của OBH luôn đi qua một điểm cố định khi B di động.

14. Cho tam giác ABC vuông ở A. Bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB và AC. Qua A
vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường trịn đường kính AB tại D và cắt nửa đường trịn đường kính AC tại E.
Nối B với D, C với E.

a. Tính các góc ADB và AEC .

b. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang vuông.

c. Gọi P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC, M là trung điểm của BC. Nối M với P, M với
Q. Chứng minh tứ giác MPAQ là hình là hình chữ nhật.

d. Gọi N là trung điểm của DE. CM năm điểm M,Q, A, N, Q cùng nằm trên một đường tròn.

15. Cho ΔABC có các góc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O). Đường cao AE kéo dài cắt đường tròn tại F.
AD là đường kính .

a. Chứng minh rằng : BCFD là hình thang cân.
b. AB.AC = AD.AE.

c. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

Chứng tỏ rằng BC là đường trung trực của HF; DH đi qua trung điểm I của BC.
d. Gọi H là trọng tâm của ΔABC. Chứng tỏ rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng.

16. Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại M và N. Qua n vẽ hai đường kính NOA và NO’B, vẽ cát
tuyến bất kì cắt (O) tại D và cắt (O’) tại C. Chứng minh :

a. Ba điểm A, M , B thẳng hàng.
b. OO’//AB.

c. Tứ giác ABCD là hình thang.

17. Cho ΔABC, M là tung điểm BC với BAM = BCA .
a. Chứng minh rằng : ΔABM ~ ΔCBA.

b. Chứng minh : BC2 = 2AB2. So sánh BC với đường chéo của một hình vng cạnh AB.
c. Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔAMC.

18. Cho đường trịn (O;R) có hai đường kính cố định vng góc với nhau AB và CD.
a. Chứng minh tứ giác ACBD là hình vng.

</div>