Bài giảng Hình học 9 chương 2 bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Nêu các vị trí tương đối
của điểm M với đường tròn (O; R) ?

O

.M
OM < R

O
R

OM = R

.M

O

R

.M
OM > R



Đường thẳng và đường trịn có thể có nhiều hơn hai điểm
chung khơng ? Vì sao ?
Giả sử đường thẳng và đường trịn có nhiều hơn 2 điểm
chung thì khi đó đường trịn sẽ đi qua ít nhất 3 điểm thẳng
hàng. Điều này vơ lí. Vậy đường thẳng và đường trịn chỉ có
một điểm chung, hai điểm chung hoặc khơng có điểm chung.

Trả lời:


- Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Gọi H là
chân đường vng góc hạ từ O đến đường thẳng a. Khi
đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a

O

a

H


a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:

.O
a
Khi đường thẳng a và đường trịn (O) có hai
điểm chung thì ta nói đường thẳng a và đường
trịn (O) cắt nhau.
Đường thẳng a được gọi là cát tuyến của đường
tròn (O)


a) Đường thẳng và đường trịn cắt nhau

A

O

B

O

a
H

R

H
A

B

a

Hãy tính HA; HB ?
* Đường thẳng a đi qua O thì
* Đường thẳng
a khơng
đi qua O
2
2
Vì OH ⊥ AB nên AH thì
= HB = R − OH
OH = 0 => OH < R
OH < OB hay OH < R

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
O
a

C≡H

Khi đường thẳng a và đường trịn (O; R) chỉ có
một điểm chung C, ta nói đường thẳng a và đường
trịn (O) tiếp xúc nhau. Đường thẳng a gọi là tiếp
tuyến của đường tròn (O), điểm C gọi là tiếp điểm.
Khi đường thẳng a và đường trịn (O; R) tiếp xúc
nhau thì điểm H nằm ở vị trí nào?


b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
O

O
a

a
C≡H

CHD

Chứng minh:

Giả sử H không trùng với C. Lấy D thuộc a sao cho H là trung điểm của CD
OH là đường trung trực của CD nên OD = OC = R => D truộc đường trịn (O; R)
Như vậy, ngồi điểm C cịn có điểm D thuộc đường thẳng a và đường tròn

(O), điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy H phải trùng với C
Do đó OC ⊥ a và OH = R


Em có nhận xét gì về tiếp tuyến và bán kính của
đường trịn ?
O
a
C

Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của
đường trịn thì nó vng góc với bán kính đi qua tiếp
điểm.


c) Đường thẳng và đường trịn khơng giao
nhau
Khi đường thẳng a và đường
trịn (O; R) khơng có điểm
chung, ta nói đường thẳng a và
đường trịn (O) khơng giao a
nhau.
* Ta có: OH > R

O

H


* Nếu đường thẳng và đường trịn cắt nhau thì điểm

H nằm ở đâu?
* Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì
điểm H nằm ở đâu?
* Nếu đường thẳng và đường trịn khơng giao nhau
thì điểm H nằm ở đâu?
TRẢ LỜI:

* Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì
điểm H nằm ở trong đường trịn
* Nếu đường thẳng và đường trịn tiếp xúc nhau
thì điểm H nằm ở trên đường tròn
* Nếu đường thẳng và đường tròn khơng giao nhau
thì điểm H nằm ở ngồi đường trịn


Hãy điền vào chỗ trống ?
Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
1.

Đường thẳng a và đường tròn cắt nhau

2.

Đường thẳng a và đường tròn tiếp xúc nhau

3.

Đường thẳng a và đường trịn khơng giao nhau

Số điểm chung

Hệ thức

2
1
0

dd=R
d>R


* Đặt OH = d. Ta có kết luận sau:
- Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d < R.
- Nếu đường thẳng a và đường trịn (O) tiếp xúc nhau thì d= R.
- Nếu đường thẳng a và đường trịn (O) khơng giao nhau thì
d > R.
* Đảo lại, ta cũng chứng minh được:
- Nếu d < R thì đường thẳng a và đường trịn (O) cắt
nhau.
- Nếu d = R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp
xúc nhau.
- Nếu d > R thì đường thẳng a và đường trịn (O) khơng
giao nhau.


thẳng
Đường
thẳng
QuanĐường

sát và cho
biết hình ảnh mặt
trời vàthẳng
đường chân trờiĐường
cho ta các
vị trí và
tương
đối nào
đường
thẳng và đường
? trịn
và của
đường
trịn
và trịn
đường
đường trịn không
cắt nhau

tiếp xúc nhau

giao nhau


Bài tập: (Hoạt động nhóm: 3’)
Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3 cm. Vẽ đường trịn
(O; 5cm)
a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào với đường trịn (O) ? Vì sao ?
b) Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng a với đường trịn (O).
Tính độ dài AB ?

Bài làm
a) Ta có

d = 3cm
d < R. Do đó đường thẳng a cắt đường tròn (O)
R = 5 cm
BOH ( H = 900 ) theo định lí Pitago

b) Xét
ta có: OB 2 = OH 2 + HB 2 ⇒ HB = 5 2 − 3 2 = 4(cm)

O

=> AB = 2.HB = 2.4 = 8 (cm)

5

B

cm

3 cm

mà OH ⊥ AB

H

A

Bài tâp 17 Điền vào chỗ trống (…) trong bảng sau:
R

d

5 cm
6 cm
4 cm

3
cm
6 cm

Vị trí tơng đối của đờng thẳng với đ
ờng
tròn
ng
thng v ng trũn ct nhau
Tiếp xúc
ng
thngnhau
v ng trịn khơng giao nhau

7 cm


⊥

Bài tập 18- SGK- 110:
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm

A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các
trục toạ độ?

Giải
Kẻ AH vng góc với Ox, AK vng
góc với Oy, bán kính của đường trịn
tâm A là R = 3

y
4 K

A

Vì AH = 4 > R nên (A) và trục
hồnh khơng giao nhau
Do AK = 3 = R nên (A) và trục
tung tiếp xúc nhau

H
O

3

x


Hướng dẫn học ở nhà:
Học bài, nắm vững kiến thức: Khi nào thì đường
thẳng và đường trịn cắt nhau; Tiếp xúc nhau;
Khơng giao nhau; Nắm được tính chất cơ bản của

tiếp tuyến đường trịn
-

Tìm trong thực tế các hình ảnh ba vị trí tương đối
của đường thẳng và đường trịn.
- Làm các bài tập: 19; 20- SGK- 110
Bài tập: 39; 40- SBT- 133
-

- Đọc trước tiết 26: Các dấu hiệu nhận biết tiếp
tuyến của đường tròn.