Su dung phuong phap dien tich

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>A- Phần mở đầu</b>

<b>I- Lý do chn đề tài</b>

- Dạy học toán 8 ta bắt gặp các cơng thức tính diện tích đa giác và tính chất
diện tích đa giác. Nhìn chung việc khai thác cơng thức diện tích và tính chất
diện tích để giải các dạng tốn là cịn khá khiêm tốn. Hiện nay cha có nhiều
tài liệu khai thác cơng thức diện tích đa giác để giải các dạng tốn, có chăng
chỉ là những bài viết vận dụng cơng thức diện tích để giải một vài dạng tốn
đơn lẽ chứ cha có tính tổng hợp.

- Khi nghiên cứu về diện tích đa giác nếu chúng ta biết nhìn các cơng thức
khơ khan đó dới nhiều khía cạnh khác nhau và vận dụng khéo léo ta sẽ giải
đợc khá nhiều dạng toán.

- Để học sinh có kỹ năng vận dụng diện tích vào các dạng tốn, cũng nh góp
thêm vào kho tàng tốn học một điều nhỏ bé, tôi đã chọn đề tài “ áp dụng
diện tích để giải các dạng tốn THCS” để nghiên cứu.

<b>II- Mục đích nghiên cứu của đề tài</b>

- Củng cố kiến thức về diện tích đa giác

- Hỡnh thành và rèn luyện kỹ năng để giải một số dạng toán ở THCS
- Trao đổi với đồng nghiệp một số kinh nghiệm giảng dạy

<b>III- Nhiệm vụ của đề tài</b>

- Nhắc lại kiến thức cơ bản về diện tích đa gi¸c (líp 8,9)

- Khai thác diện tích đa giác dới nhiều góc đơ, áp dụng giải một số dạng tốn

ở THCS nh :

 Tính độ dài đoạn thẳng

 TÝnh tỷ số của các đoạn thẳng

Chng minh cỏc ng thức hình học

 Chứng minh các đẳng thức hình học

 Giải các bài tốn đại số
thơng qua các bài tập cụ thể.

- Tổng hợp hệ thống các dạng toán giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích
tam giác đã có, đồng thời tìm tịi các dạng khác cũng nh giải bằng phơng
pháp sử dụng diện tích đa giác.

<b>IV- Phạm vi ti</b>

- Cũng cố và khai thác kiến thức về diện tích đa giác ở toán THCS (chủ yếu ở
toán 8)

- Nghiên cứu giải các dạng toán ở THCS (chủ yếu ở lớp 8, lớp 9)

<b>V- Đối tợng nghiên cứu</b>

- Diện tích đa giác ở toán 8 THCS
- Học sinh THCS: Lớp 8, 9

<b>VI- Phơng pháp nghiên cứu</b>

- Tham khảo tài liệu, tổng hợp, hệ thống hoá

- Phõn tích, tơng tự hố, đặc biệt hố, khái qt hố
- Trao đổi, thảo luận, rút kinh nghiệm

- Kiểm tra, đánh giỏ, rỳt kinh nghim

<b>B. Nội dung</b>

<b>I- Các kiến thức cơ bản</b>

1. Khái niệm diện tích đa giác

S o ca phần mặt phẳng bị giới hạn bởi 1 đa giác là diện tích đa giác
đó

 Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích của đa giác là mt s
dng

Các tính chất của đa giác:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

T/c 2. Nếu một đa giác đợc chia thành những đa giác khơng có
điểm chung thì diện tích của đa giác đó bằng tổng diện tích của
những đa giác đó

T/c 3. Nếu chọn hình vng có có cánh 1 cm, 1dm, 1m…, làm đơn
vị diện tích thì đơn vị diện tích tơng úng là: 1 cm2_{, 1dm}2_{, 1m}2_,…

 Diện tích đa giác thờng đợc kí hiệu bằng chữ S. (Ví dụ: Diện tích đa

giác ABCD thì đợc kí hiệu là SABCD hoặc S )

2. C«ng thøc tÝnh diƯn tích của một số đa giác
2.1 Hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông

a) Hình chữ nhật: Diện tích hình ch÷ nhËt b»ng tÝch 2 kÝch thíc cđa nã
S = a.b

b) Hình vuông: Diện tích hình vuông bằng bình phơng cạnh
của nó

S = a2

c) Tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích
hai cạnh gãc vu«ng

S =
2
1

a.b

2.2 Diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nữa tích của 2 cạnh với chiều
cao tơng ứng cạnh đó.

S =
2
1

a.h

2.3 Diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nữa tổng hai đáy với
chiều cao

S =
2
1

(a+b).h

2.4 Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của 1 cạnh
với chiều cao tơng ứng với cạnh đó

S = a.h

2.5 Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vng góc, diện tích
hình thoi:

a) Diện tích tứ giác có hai đờng chéo vng góc: Diện tích tứ giác có hai
đ-ờng chéo vng góc bằng nữa tích hai đđ-ờng chéo

S =
2
1

d1.d2

b) DiƯn tÝch h×nh thoi:

+ Diện tích hình thoi bằng nữa tích hai địng chéo

2

<i>d</i>

1

<i>d</i>
h

a
a
h

h
a
a
b

a
b

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

S =
2
1

d1.d2

+ Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tơng ứng
cạnh đó. S = a.h

3. Phơng pháp diện tích

3.1 Phng phỏp din tích là phơng pháp sử dụng kiến thức diện tích đa giác
( tính chất, cơng thức tính diện tích) để giải các dạng toán liên quan.

3.2 Một số kết quả liên quan đến diện tích cần ghi nhớ

a) Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phơng tỉ số đồng
dạng

b) Hai tam giác có chung đáy (hai đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng
tỉ số hai đờng cao

c) Hai tam giác có hai đờng cao bằng nhau thì tỉ số diện tích bằng tỉ số
hai đáy

<b>II- Các dạng toán sử dụng phơng pháp diện tích đa giác</b>
<b>Dạng 1</b>: Tính độ dài đoạn thẳng

Bài 1: Cho tam giác ABC, <i>A</i>ˆ = ₉₀, AB = 3 cm, AC = 4 cm, đờng cao AH.
Tính AH

Gi¶i:

SC = 2 2

<i>AC</i>

<i>AB</i>  = 5(cm)
SABC=

2
1

AB.AC = 6(cm2₎

L¹i cã SABC=

2
1

AH.BC  AH=
<i>BC</i>

<i>S_ABC</i>

2

= 2,4 cm

Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đờng chéo AC=6cm,
BD=5cm.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các cạnh đối diện?

Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC và CD đều bằng nhau. Kẻ AH
vng góc với CD(H thuộc CD)

SABCD=

2
1

AC.BD= 15cm
L¹i cã: SABCD= AH.DC AH=

<i>CD</i>
<i>SABC</i>

= 3,75cm

<b>Dạng 2</b>: Tính tỉ số đoạn thẳng

Bài 1: Cho a//b, trên a lấy B và C, trên b lÊy D vµ E, sao cho gãc ADB b»ng
gãc AEC và bằng ₉₀.Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.Tính

<i>AC</i>
<i>AB</i>
Gii: a//b  khoảng cách từ D và E đến a l bng nhau

<i>AC</i>
<i>AB</i>

=
<i>AEC</i>
<i>ADB</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

(chiều cao
bằng nhau)

<i>AC</i>
<i>AB</i> ₌

25
21

Bài 2: Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC lấy B1 và C1 tơng ứng.Gọi 0

là giao điểm của BB1 và CC1. H·y tÝnh

1

<i>AC</i>
<i>OB</i>

nÕu biÕt

1
1

<i>AC</i>
<i>BC</i>

=m vµ

1
1

<i>AB</i>
<i>CB</i>

=n.

2

<i>d</i>

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1

<i>OB</i>
<i>BO</i>

=
<i>OC</i>
<i>B</i>
<i>BOC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

1

<i>OC</i>
<i>B</i>

<i>AOC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

1

=<i>_BAC_C</i>

1

=
<i>C</i>
<i>B</i>

<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>

1
1
1 

=1 +
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>

1
1

=1+

<i>h</i>

1

BOC vµ AOC cã chung OC nên
<i>AOC</i>
<i>BOC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

=
<i>AH</i>
<i>BI</i>

, mà
<i>AH</i>
<i>BI</i>

=

1
1

<i>AC</i>
<i>BC</i>

=m

1

<i>OB</i>
<i>BO</i>

=
<i>OC</i>
<i>B</i>
<i>BOC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

1
=

<i>AOC</i>
<i>BOC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

.
<i>OC</i>
<i>B</i>
<i>AOC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

1

=m.( 1+

<i>h</i>

1
)

<b>Dạng 3</b>: Chứng minh hƯ thøc h×nh häc

Bài 1: Chứng minh định lý Talet trong tam giác: Cho tam giác ABC, nếu
DE//BC thì:

<i>AB</i>
<i>AD</i>

=
<i>AC</i>
<i>AE</i>

Gi¶i: Nèi B víi C; C víi D ta cã:
<i>AB</i>
<i>AD</i>

=
<i>SABE</i>
<i>S_ADE</i>

(2 tam giác chung đờng cao)
(1)

<i>AC</i>
<i>AD</i>

=
<i>ACD</i>
<i>ADE</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

(2 tam giác chung đờng cao) (2)
SBEC=SDBC (chung đáy BC, hai đờng cao bằng nhau)

 SABC – SBEC = SABC - SDBC SABC = SACD (3)

Tõ (1), (2), (3) suy ra:
<i>AB</i>
<i>AD</i>

=
<i>AC</i>
<i>AE</i>

Bài 2: Chứng minh tính chất đờng phân giác

Trong tam giác ABC, nếu AD là đờng phân giác thì:
<i>DC</i>
<i>DB</i>

=

<i>AC</i>
<i>AB</i>

Gi¶i:
<i>DC</i>
<i>DB</i>

=
<i>ADC</i>
<i>ABD</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

( chung đờng cao) (1)
AD là đờng phân giác  DH=DI



<i>AC</i>
<i>AB</i>

=
<i>ADC</i>
<i>ABD</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

(2) (Vì hai đờng cao kẽ từ D bằng nhau)
Từ (1) và (2) suy ra

<i>DC</i>
<i>DB</i>

=
<i>AC</i>
<i>AB</i>

Bài 3: Cho ABC cântại A, M bất kỳ thuộc BC. Kẽ MH và MK lần lợt
vng góc với AB, AC(H và C thuộc AB và AC).BI là đờng cao của ABC.
Chứng minh rằng MH+MK=BI

Gi¶i: S ABM =

2
1

MH.AB MH =
<i>AB</i>

<i>S_ABM</i>

2

T¬ng tù ta cã: MK =
<i>AC</i>

<i>S_ACM</i>

2

 MH+ MK =

<i>AC</i>
<i>S</i>
<i>S_ABM</i> <i>_ACM</i>)
(

2 

(V× AB = AC)

 MH+MK =
<i>AC</i>

<i>SABC</i>
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài 4: (Định lý Xêra)Cho ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần
lợt cắt AB, BC, CD tại A1, B1, C1.Chứng minh:

<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>
1
1
.
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>CA</i>
1

1
.
<i>A</i>
<i>C</i>
<i>BC</i>
1
1
=1
Giải:
1
1
<i>AC</i>
<i>BC</i>
=
<i>ABD</i>
<i>ACD</i>
<i>S</i>
<i>S</i>
;
<i>A</i>
<i>C</i>
<i>BC</i>
1
1
=
<i>D</i>
<i>AC</i>
<i>BCD</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

;
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>AB</i>
1
1
=
<i>D</i>
<i>BC</i>
<i>ABD</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

Nhân vế theo vế của 3 đẳng thức ta có đpcm.

Bµi 5: Cho ABC, lÊy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB,
BC, CD tại A1, B1, C1.Chứng minh:

1
1
<i>BB</i>
<i>OB</i>
+
1
1
<i>AA</i>
<i>OA</i>
+
1
1

<i>CC</i>
<i>OC</i>
=1
Giải: Đặt S = SABC, S1=SOBC, S2= SOAC, S3 = SOAB

1
1
<i>AA</i>
<i>OA</i>
=
1
1
<i>A</i>
<i>AB</i>
<i>OBA</i>
<i>S</i>
<i>S</i>
=
1
1
<i>ACA</i>
<i>OCA</i>
<i>S</i>
<i>S</i>

1
1
<i>AA</i>
<i>OA</i>
=

<i>ABC</i>
<i>OBC</i>
<i>S</i>
<i>S</i>
=
<i>S</i>
<i>S</i>1

T¬ng tù ta cã:

1
1
<i>BB</i>
<i>OB</i>
=
<i>S</i>
<i>S</i>2
;
1
1
<i>CC</i>
<i>OC</i>
=
<i>S</i>
<i>S</i>3
Do ú
1
1
<i>BB</i>
<i>OB</i>

+
1
1
<i>AA</i>
<i>OA</i>
+
1
1
<i>CC</i>
<i>OC</i>
=
<i>S</i>
<i>S</i>₁
+
<i>S</i>
<i>S</i>₂
+
<i>S</i>
<i>S</i>₃
=1

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, BC sao cho AN = CM. Gäi K lµ giao ®iĨm cđa AN vµ CM. Chøng minh
r»ng KD lµ tia phân giác của góc AKC.

Giải: Kẻ DH KA, DI KC, ta cã:
DH.AN = 2 SADN (1)

DI.CM = 2 SCDM (2)

L¹i cã SADN =

2
1

SABCD

SCDM =

2
1

SABCD  SADM = SCDM (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra DH.AN = DI.CM

Do AN = CM suy ra DH = DI suy ra KD là phân giác góc AKC

<b>Dạng 4</b>: Chứng minh BĐT h×nh häc

Bài 1: Cho tam giác ABC (AC >AB), đờng cao BI. D là điểm nằm giữa B và
C. Gọi BH và CK theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ B và C đến đờng
thẳng AD. Chứng minh rằng: BH + Ck > BI

Gi¶i: Ta cã : BI =

<i>AC</i>
<i>S_ABC</i>
2
(1)

BH =
<i>AD</i>
<i>S_ABD</i>
2
CK =
<i>AD</i>
<i>S_ACD</i>
2

BH + CK =

<i>AD</i>
<i>S</i>
<i>SABD</i> <i>ACD</i>)
(
2 
=
<i>AD</i>
<i>S_ABC</i>
2
(2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 2: Gọi ha, hb, hc là ba đờng cao của một tam giác chứng minh rằng

<i>a</i>

<i>h</i>

1

<

<i>b</i>

<i>h</i>

1

+

<i>c</i>

<i>h</i>

1

Giải: Gọi diện tích tam giác là S, ba cạnh ứng với 3 đờng cao ha, hb, hc là a,

b, c ta cã:
a =

<i>a</i>
<i>h</i>

<i>S</i>
2

; b =
<i>b</i>
<i>h</i>

<i>S</i>
2

; c =
<i>c</i>
<i>h</i>

<i>S</i>
2

a < b + c ( BĐT tam giác) suy ra
<i>a</i>
<i>h</i>

<i>S</i>
2

<
<i>b</i>
<i>h</i>

<i>S</i>
2

+
<i>c</i>
<i>h</i>

<i>S</i>

2

suy ra

<i>a</i>

<i>h</i>

1

<

<i>b</i>

<i>h</i>

1

+

<i>c</i>

<i>h</i>

1

Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A
của Tam giác là Ra, còn khoảng cách tới cạnh CA và AB là db và dc. Chứng

minh rằng: a.Ra c. dc+ b.db

Giải:

Vẻ BK và CL vuông góc với AM
( K và L thuộc AM)

Đặt BK = a1, CL = a2 ta cã: a1+a2a

Suy ra <i>aRa</i> <i>a</i> <i>Ra</i> <i>a</i> <i>Ra</i> <i>SACM</i> <i>SABM</i> <i>bdb</i> ₂<i>cdc</i>
1
2

1
2

1
2

1
2

1

1

2     

 suy ra ®pcm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, M nằm trong tam giác. Các đờng thẳng AM, BM,

CM cắt các cạnh của tam giác tơng ứng tại các điểm A1, B1, C1. Chng minh

rằng 8

1
1

1

<i>M</i>
<i>C</i>

<i>CM</i>
<i>M</i>
<i>B</i>

<i>BM</i>
<i>M</i>
<i>A</i>

<i>AM</i>

Giải:

Đặt a = SMBC, b = SMAC, c = SMAB ta cã: 1+

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>S</i>

<i>S</i>
<i>M</i>
<i>A</i>

<i>AA</i>
<i>M</i>

<i>A</i>
<i>M</i>
<i>A</i>
<i>AM</i>
<i>M</i>
<i>A</i>

<i>AM</i>

<i>MBC</i>

<i>ABC</i> 











 1

1
1
1

1
1

suy ra

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>M</i>
<i>A</i>

<i>AM</i> 



1

(1)

Chøng minh t¬ng tù ta cã <i>_BBM_M</i> <i>c</i><i>_ba</i>

1

vµ <i>_CCM_M</i> <i>a</i><i>_cb</i>

1

(2)
Ta biết rằng với các số dơng a, b vµ c ta cã (a+b)2 __4ab

(b+c)2 __4bc

(c+a)2 __4ac

Suy ra (a+b)(b+c)(c+a)  8abc
Tõ (1) vµ (2) suy ra đpcm

<b>Dạng 5</b>: Giải toán Đại số bằng phơng pháp diện tích
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
a) x2_{+10x = 39}

b) x2_{-8x = 33}

Gi¶i:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Kéo dài 2 cạnh hình vng thêm 5 đơn vị
ta đợc hình vng mới có cạnh là x+5,

cã diƯn tÝch b»ng: (x+5)2 _{= x}2 _{+ 10x + 25 = 39 + 25 = 64 suy ra x = 3}

b) Giả sử x là cạnh của một hình vng.
Giảm hai cạnh của hình vng đi 4 đơn vị
ta đợc hình vng mới có cạnh là x – 4,
có diện tích bằng:

(x-4)2_{= x}2_{-8x+16 = 33 + 16 = 49 suy ra x = 11}

Bài 2: Với x, y, z, t dơng thì

)
)(
(
)
)(

(
)
)(

(<i>_x</i>2 <i>_z</i>2 <i>_y</i>2 <i>_z</i>2 <i>_x</i>2 <i>_t</i>2 <i>_y</i>2 <i>_t</i>2 <i>_x</i> <i>_y</i> <i>_z</i> <i>_t</i>

Gải: Vì x, y, z, t > 0 nên luôn tồn tại tứ giác ABCD có ACBD tại O, vãi
OA= x, OC=y, OB= z, OD=t.

DÔ thÊy AB= <i>_x</i>2 <i>_z</i>2


BC = <i>_y</i>2_<i>_z</i>2

CD= <i>_y</i>2 <i>_t</i>2


AD = <i>_x</i>2 <i>_t</i>2



SABC = <i>h</i> <i>AB</i> <i>BC</i>.<i>AC</i>

2
1
2

1

1 

SADC = <i>h</i> <i>AD</i> <i>DC</i>.<i>AD</i>

2
1
2

1

2 

SABCD = SABC +SADC

SABCD = ( )( )

2
1

<i>t</i>
<i>z</i>
<i>y</i>

<i>x</i> 

VËy (<i>_x</i>2_<i>_z</i>2)(<i>_y</i>2_<i>_z</i>2)_ (<i>_x</i>2_<i>_t</i>2)(<i>_y</i>2_<i>_t</i>2) _(<i>_x</i>_<i>_y</i>)(<i>_z</i>_<i>_t</i>)

<b>C. Kết quả thu đợc</b>

Sau 5 năm công tác dạy học ở trờng THCS, tôi đã tổng họp, bổ sung và phát
triển những dạng tốn giải đợc bằng phơng pháp diện tích. Đồng thời đã đa
vào giảng dạy(Dạy đại trà và dạy bồi dỡng học sinh giỏi) và thu đợc:

- Häc sinh n¾m chắc, sâu sắc hơn về diện tích đa giác

- Cht lợng giảng dạy thu đợc sau khi tiến hành kiểm tra là: Giỏi 20%, khá
35% , trung bình 45%

- Hứng thú và sự sáng tạo trong giải toán của học sinh đợc nâng lên rõ rệt.

<b>D. KÕt luËn</b>

Đề tài chỉ khai thác một phần kiến thức nhỏ, song theo tơi nó rất hữu ích
trong dạy học toán. Với học sinh, đề tài phát huy đợc t duy sáng tạo, rèn
luyện đợc kỹ năng vận dụng và hình thành cho các em niềm say mê học toán.
Với các bạn đồng nghiệp, đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích phục vụ cho
cơng tác giảng dạy, nghiên cứu toán.

ở đề tài này, mặc dù tôi đã dày công nghiên cứu song không thể khơng có
những thiếu sót, vì vậy rất mong đợc sự đóng góp chân thành của các bạn
đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

<i>Yên Thành, tháng 5 năm 2008</i>

</div>

<!--links-->