Bài giảng Giải tích 12 - Tiết 64: Ôn tập chương 3

GV THỰC HIỆN : CAO LAM SƠN


ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. Lý thuyết:
1) Nguyên hàm
2) Tích phân
3) Ứng dụng tích phân trong hình học


Nguyên hàm HS sơ cấp

x

C
dx

�

x 1
 C ( �1)

 1



x dx
�
dx
�x  ln x x C ( x �0)
e dx  e  C

�
a
 C  0  a �1
a
dx

�
ln a
x

x

x

cosxdx  s inx+C
�

s inxdx  cosx+C
�
dx
 tan x  C
2
�
cos x
dx
 cotx  C
�
sin x
2

Nguyên hàm HS hợp
du  u  C
�
 1
u

u
� du    1  C   �1
du
 ln u  C  u  u  x  �0 
�
u
u
u
e
du

e
C
�
u
a
u
a
�du  ln a  C  0  a �1

cosudu  sin u  C
�
sinudu  cosu  C
�

du
 tan u  C
2
�
cos u
du
 cotu  C
2
�
sin u


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

 x  1

a) �

x

2

dx

b) �
x x  5dx
2

3

c) �
(2  x) sin xdx


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Đáp án

 x  1

a) �

2

x  2x  1
3/ 2
1/ 2
1/ 2
dx  � 1/ 2 dx  �
( x  2 x  x )dx
x
x
2 5/ 2 4 3/ 2
1/ 2
 x  x  2x  C
5
3
2

ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

b) �
x x  5dx
2

3

t  x 5
3

Đặt

�t  x 5
2

3

2
� 2tdt  3x dx � x dx  tdt
3
2

x
�
2

2

2
22
x  5dx  �
t ( tdt )  �t dt
3
3
3

2 3
2 3
3
 t  C  ( x  5) x  5  C
9
9


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

c) �
(2  x) sin xdx
Đặt

u  2 x
du  dx
�
�
��
�
dv  s inxdx

v  cosx
�
�

(2

x
)
sin
xdx


(2

x
)
c
osxcos
xdx
�
�
 ( x  2)cosx-sinx+C


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của
1
f ( x) 
biết F(4)=5

(1  x)(2  x)

1
A
B
( A  B) x  2 A  B



( x  1)(2  x) x  1 2  x
( x  1)(2  x)
� 1
A

� A  B  0 �
� 3
��
��
�2 A  B  1
�B  1
� 3
1
1 1
1
�
 (

)
( x  1)(2  x) 3 x  1 2  x
.

ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

1
1 x 1
� F ( x)  (ln x  1  ln 2  x )  C  ln
C
3
3 2x
1 5
F (4)  5 � ln  C  5
3 2
1 5
� C  5  ln
3 2

1 1 x
1 5
F ( x)  ln
 5  ln
3 2 x
3 2


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t). Có 2 loại:


Loại 1: Với các tích phân có dạng

�a

2

 x dx
2



hoặc



�a



dx
2

 x2

� �  �
�
t ��
 ; �
.
thì ta đặt x  a sin t �

�
� �2 2�
�


Loại 2: Với các tích phân có dạng



dx
dx
hoặc
2
2
2
2
�
�
x

a
(
ax

b
)

c



� �  �
�
� �  �
�
t ��
 ; �
t ��
 ; �
thì ta đặt x  a tgt �
hoặc ax  b  ctgt �
�
�
� � 2 2�
�
� � 2 2�
�


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t).
Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng 1 ngồi dùng để tính các tích
phân thuộc 2 loại trên cịn được dùng trong các bài tốn biến đổi tích phân.
Ví dụ:


2



2

0

0

1. CMR: �
cos n xdx  �
sin n xdx

2. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

a

0

f ( x)dx
�f ( x)dx  2�

3. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

�f ( x)dx  0

a

ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t).
Ví dụ:

4. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

f ( x)
dx  �
f ( x)dx
x
�
a a  1
0
5. Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

0

0

f (a  x)dx  �
f ( x)dx
�

ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:

b

f (u ( x))u '( x)dx.
�

Đặt t = u(x)

a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

f (u ( x))u '( x) dx  �
f (u ( x))d (u ( x))
�
Ví dụ:

e

e
ln x
1 2 e 1
dx  �
ln xd (ln x)  ln x 
�
1 2
x
2
1
1


2


2

0

0

sin x
sin x
sin x
e
cos
xdx


e
d
(sin
x
)

e
�
�

4


2  e 1
0

4
4
dx
d ( x  2)
�
 ln x  2  ln 2  ln1  ln 2
�
3
x2 3 x2
3


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:

b

f (u ( x))u '( x)dx.
�

Đặt t = u(x)

a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

f (u ( x))u '( x) dx  �
f (u ( x))d (u ( x))
�
Chú ý: - Nhiều khi ta phải biến đổi trước khi thực hiện phép đổi biến số.
 /4

Ví dụ:



 /4

T�
nh:

2
3
sin
x
cos
xdx
�
0

2
2
sin
x
cos
x cos xdx 
�
0

 /4

2
2
sin
x

(1

sin
x) cos xdx.
�
0


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
udv  uv  �
vdu
�
a a
a
Trong thực hành ta thường gặp các dạng tích phân sau:
Dạng 1:

b

b

b

a

a

a

x
P
(
x
)
sin
xdx
,
P
(
x
)
cos
xdx
,
P
(
x
)
e
�
�
� dx, với P(x) là đa thức.

Cách giải: Đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx, dv = exdx).
b

Dạng 2:

f ( x) ln xdx.
�
a

Cách giải: Đặt u = lnx, dv = f(x)dx.
Dạng 3:

b

b

a

a

x
x
e
sin
xdx
,
e
�
�cos xdx. Tích phân hồi quy.

Cách giải: Đặt u = ex, dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tích phân từng phần
2 lần.

ƠN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
udv  uv  �
vdu
�
a a
a
Ngồi ra ta cịn gặp một số dạng tích phân sau:
b

�

Dạng 4: sin(ln x)dx,
a

b

cos(ln x)dx. Tích phân hồi quy.
�
a

Cách giải: Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tích phân từng phần 2 lần.
Chú ý: - Có những bài tốn phải tính tích phân từng phần nhiều lần.
- Đối với dạng 1: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của đa thức P(x).
- Đối với dạng 2: Số lần tích phân từng phần bằng số bậc của hàm số y =
lnx.

ƠN TẬP: TÍCH PHÂN

Bài 3: Tính các tích phân sau:
3

x

a) I  �
dx
0 1 x
1

xdx
b) I  �2
0 x  3x  2
1

c) I  �
x.e dx
0

3x


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN

Đáp án:

a) 8/3

8
b) ln
9
2 3 1
c) e 
9
9


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN

e2

Bài 4: Tính tích phân sau:

ln x

b) � dx
x
1

1
�
u  ln x
du

dx
�
�
�

x
�
1
�
�

1
2
�
dv  x dx �
�
2
v

2
x
�
2

Giải : Đặt
e2

ln x


1

x

dx  2 x

1/ 2

 2x

e
1

ln x |

1/ 2

2

e

�
2x
e
1

ln x |

2

1

1/ 2

e

1/ 2

 4x

 4e  (4e  4)  4

dx
1

2


ƠN TẬP: TÍCH PHÂN
3. Bài tập
Tính các tích phân sau:
1

dx

1) �
;
2
4 x
0

3

dx
2) �2
;

2 x  4x  5
e

 /2

3) �
cos5 xdx;
0

ln x 3 2  ln 2 x
4) �
dx;
x
1
e

1

5) �
x e dx;
2 2x

0

 /2

7) �
e x cos xdx;
0

6) �
x 3 ln xdx;
1


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
4. CỦNG CỐ
- Chú ý rèn luyện kĩ năng nhận dạng và vận dụng để tính tính phân.
- Đối với tích phân đổi biến khi tính tốn cần chú ý điều gì?
- Đối với tích phân từng phần khi tính tốn cần chú ý điều gì?

5. DẶN DÒ
- Về nhà xem và làm lại các bài tập trong SGK và sách bài tập.
- Ôn lại phần diện tích và thể tích, làm các bài tập trong SBT.