Tài liệu Hướng dẫn tự học môn Đại số 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.25 MB, 96 trang )

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP
----- oOo -----



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Tập hợp:
• Tập hợp là một khái niệm toán học, thường đặt tên bởi các chữ cái in hoa. Ví dụ tập hợp A là tập hợp các
chữ cái a, b, c.
Để chỉ a là một phần tử của A, ta kí hiệu: a ∈ A đọc là a thuộc A.
Để chỉ e không chứa trong tập A, ta kí hiệu: e ∉ A đọc là e không thuộc A hay e không là phần tử của
A.
• Các phần tử của một tập hợp thường được viết trong hai dấu ngoặc nhọn "{" và "}", cách nhau bởi dấu ";"
(nếu có phần tử là số) hoặc dấu ",".
• Có hai cách viết một tập hợp:
Liệt kê các phần tử của tập hợp:
Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {x ∈ N  x < 4}, trong đó N
là tập số tự nhiên.
• Tập hợp cịn được minh họa bằng một vịng kín (gọi là giản đồ Ven)

• Một tập hợp có thể có một phần tử, có hiều phần tử, có vơ số phần tử, cũng có thể khơng có phần tử nào.
Ví dụ: C = {x}
D = {1; 2; 3; ...; 100}
E = {2; 4; 6; 8; ...}
Tập hơp khơng có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅.
2. Tập hợp con:

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập A gọi là tập hợp con
của tập hợp B.
Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} là con của tập hợp B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;
10}
3. Các tập hợp số thường sử dụng:
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
N* = {1; 2; 3; 4; ...}
Z: tập hợp số nguyên.
Q: Tập hợp số hữu tỷ.
R: Tập hợp số thực.
 Ghi chú:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

1

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§1. MỆNH ĐỀ
I- MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN:
1. Mệnh đề:
• Mệnh đđề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
• Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai.
• Một mệnh đề khơng thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ: "Hà Nội là thủ đô của Việt Nam" là một mệnh đề đúng.
" Số 3 là số chẵn" là một mệnh đề sai.
 Trong các câu sau đậy, câu nào là một mệnh đề, câu nào không phải là một mệnh đề:
a) "Các em khỏe không ?"
b) "2 + 3 > 6".
c) "Các em thật tuyệt vời !".
d) "x + 3 = 5".
e) "Ngày mai trời sẽ nắng.".

* Chú ý: Người ta thường dùng các chữ cái in hoa P, Q, ... để kí hiệu cho một mệnh đề nào đó.
Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 là một số chẵn".
2. Mệnh đề chứa biến:
Xét câu: "n chia hết cho 3", đây chưa phải là một mệnh đề vì ta khơng khẳng định được tính đúng sai
của nó.
• Khi n = 4 ta được "4 chia hết cho 3" là một mệnh đề sai.
• Khi n = 15 ta được "15 chia hết cho 3" là một mệnh đề đúng.
Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" là một mệnh đề chứa biến.
Ví dụ: Tìm hai giá trị thực của x để từ mệnh đề chứa biến Q(x): "x 2 + x - 2 = 0" ta được một mệnh đề
đúng và một mệnh đề sai.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:
 Hai mệnh đề sau khác nhau ở những điểm nào?

"Dơi là một lồi chim"
"Dơi khơng phải là một lồi chim"

Cho mệnh đề P. Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu P . Ta có:
P đúng khi P sai, P sai khi P đúng.
Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:
P: "3 là một số nguyên tố",
Q: "7 khơng chia hết cho 5",
R: "Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 1800",
S: "Tổng ba cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba".
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO:
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề " Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề
kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q
Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu là " P kéo theo Q" hay "Từ P suy ra Q"
hay " Vì P nên Q".
2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) P: "-3 < -2 ⇒ (-3)2 < (-2)2",
b) Q: " 3 < 2 ⇒ 3 < 4".
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng
P ⇒ Q . Khi đó ta nói:
P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;
P là điều kiện đủ để có Q;
Q là điều kiện cần để có P.
Ví dụ 1: Định lí Pitago:
∆ABC vuông tại A ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:
P: "Tam giác ABC có hai góc bằng 600"
Q: "ABC là một tam giác đều".
Hãy phát biểu định lí P ⇒ Q. Nêu giả thiết, kết luận và phát

biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG:
Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q .
Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta nói P và Q là hai
mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu P ⇔ Q (đọc P tương đương Q hoặc P là

điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q).
Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai và sai
trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ 1: Cho mệnh đề P: "ABC là một tam giác đều", Q: "ABC là một tam
giác cân".
Lập mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của của nó. Xét tính đúng
sai của các mệnh đề đó.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

3

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

 "Tồn tại x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là " ∃x ∈ X : P ( x ) "(**)
(**) đúng nếu có ít nhất một x0 ∈ X ta có P(x0) là mệnh đề
đúng.

(**) sai nếu với bất kì x0 ∈ X sao cho P(x0) là mệnh đề sai.
Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Có một số nguyên nhỏ hơn không" bằng kí
hiệu và xét tính đúng sai của mệnh đề đó, lí do.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh đều sau "∃ x∈Z: x2 = x". Mệnh đề
này đúng hay sai? vì sao?
Giải:
4

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

 Ghi chuù:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến, câu nào không phải là mệnh
đề:
a) "3 + 2 = 7";
b) "4 + x = 3";

c) "10 là số nguyên tố";
d) "x + y > 1";
e) "2 - 5 < 0";
f) "Ngày mai trời sẽ nắng".
Bài 2: Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.
a) "Số 11 là một số nguyên tố";
b) "Số 111 chia hết cho 3";
c) "π < 3,15";
d) "1794 chia hết cho 3";
e) "-125≤ 0;
f) " 2 là một số hữu tỉ".
Bài 3: Cho các mệnh đề kéo theo
P: "Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).
Q: "Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5".
R: "Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau".
S: "Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau".
a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.
b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ".
----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----5

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần".
Bài 4: Xét hai mệnh đề P:"π là số vô tỉ" và Q: "π không là số nguyên".
a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên.
c) Xém xét tính đúng, sai của các mệnh đề trên.
Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Xét hai mệnh đề:
P: "Tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau.

Q: "Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có diện tích bằng nhau".
a) Xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q.
b) Xét tính đúng sai của mệnh đề Q ⇒ P.
c) Xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇔ Q.
d) Lập mệnh đề phủ định và mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.
Bài 6: Xét hai mệnh đề P: "24 là số chia hết cho 2 và 3", Q: "24 là số chia hết cho 6".
a) Xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q.
b) Xét tính đúng sai của mệnh đề Q ⇒ P.
c) Mệnh đề P ⇔ Q có đúng không?
Bài 7: Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ".
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vng góc là hình thoi và ngược lại.
c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Bài 8: Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đều sau:
a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó;
b) Có một số cộng với chính nó bằng 0;
c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.
Bài 9: Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) ∀x ∈ R : x2 > 0;

b) ∃ n ∈ N : n2 = n;

c) ∀n ∈ N : n ≤ 2n;

Bài 10: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) ∀n ∈ N : n  n;
b) ∀x∈R : x < x + 1;
c) ∃ x∈R : 3x = x2 + 1;

6

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

d) ∃ x ∈ R : x <

1
.
x

d) ∃ x∈Q : x2 = 2.

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§2. TẬP HỢP
I- KHÁI NIỆM TẬP HỢP:
1. Tập hợp và phần tử:
• Tập hợp (cịn gọi là tập) là khái niệm cơ bản của Tốn học.
• Để chỉ a là phần tử của tập A, ta viết a ∈ A (đọc a thuộc A).
• Để chỉ b không là một phần tử của tập A, ta viết b ∉ A (b không thuộc A).
2. Cách xác định tập hợp:
• Liệt kê các phần tử của nó (viết các phần tử của nó trong hai dấu móc{...}).
Ví dụ 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ước ngun dương của 30.
Giải: .....................................................................................................................................................................................................................
• Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
Ví dụ 1: Viết lại tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
a) Tập hợp B các nghiệm của phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0.
b) Tập hợp C các số ngun dương lẻ nhỏ hơn 11.
Giải:
.....................................................................................................................

tập hợp con của B và viết A ⊂ B (đọc là A chứa trong B). A ⊂ B ta cũng viết
B ⊃ A (đọc B chứa A hay B bao hàm A).
Như vậy:
A ⊂ B ⇔ ( ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B )
A không phải là một tập con của B ta viết A ⊄ B . Ta có: A ⊄ B ⇔ ∃x : x ∈ A và x ∉ B

A⊂ B
A⊄ B
Tính chất:

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

7

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

a) A ⊂ A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.
c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.
Ví dụ: Liệt kê tất cả các tập con của tập hợp A = {a, b, c}.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

* Chú ý: Số tập con của tập gồm n phần tử là: ..........................
III- TẬP HỢP BẰNG NHAU:

 Xét hai tập hợp A = {n ∈ N  n là bội của 4 và 6}, B = {n ∈ N  n là bội của 12}. Chứng minh A ⊂ B và B ⊂ A.

Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết A = B.
Như vậy: A = B ⇔ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B ) .
 Ghi chú:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xác định tính đúng sai của các mệnh đề:
a ∈ A, {x} ∈ A, x ⊂ A, {x} ⊂ A.
Bài 2: a) Viết các tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử:
i) A = { x ∈ N x < 20 và x chia hết cho 3};
ii) B = { x ∈ R  (x2 - 2x + 1)(x - 3) = 0};
iii) C = { x ∈ N  x ≤ 30, x là bội của 3 hoặc của 5}.
b) Cho tập hợp D = { 2, 6, 12, 20, 30}. Hãy xác định D bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho
các phần tử của nó.
c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao dưới 1m60.
Bài 3: Trong hai tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B có
bằng nhau khơng?
a) A là tập hợp các hình vng
B là tập hợp các hình thoi.
b) A = { n ∈ N n là ước chung của 24 và 30}
B = { n ∈ N  n là một ước của 6}.

Bài 4: Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau:
a) A = {a; b};
b) B = {0, 1, 2}.

8

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§3. CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
I- GIAO CỦA HAI TẬP HỢP:

 Cho A = {n ∈ N  n là ước của 12}, B = {n ∈ N  n là ước của 18}.
a) Liệt kê các phần tử của A và của B;
b) Liệt kê các phần tử của tập hợp C các ước chung của 12 và 18.

Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: C = A∩ B.
• A ∩ B = {x  x ∈ A vaø x ∈ B}.
x ∈ A
• x∈ A∩ B ⇔ 
x ∈ B
Ví dụ: Tìm tập hợp giao của hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và B = {3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Giải:
..................................................................................................................................................................................................................................

II- HỢP CỦA HAI TẬP HỢP:
 Giả sử A, B lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, giỏi Văn của lớp 10CB...... Biết
A = {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt}, B = {Cường, Lan, Dũng, Hồng, Tuyết, Lê}

Gọi C là tập hợp đội tuyển học sinh giỏi của lớp gồm các bạn giỏi Toán hoặc giỏi Văn. Hãy xác định tập hợp C.

Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: C = A∪ B.
• A ∪ B = {x  x ∈ A hoặc x ∈ B}.
x ∈ A
• x∈ A∪ B ⇔ 
x ∈ B
Ví dụ: Tìm hợp của hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Giải:
..................................................................................................................................................................................................................................

III- HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP:
 Giả sử A = {An, Minh, Bảo, Cường, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, Quý},là tập hợp các học sinh giỏi của lớp 10CB....
B = {An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý} là tập hợp các học sinh tổ 1 của lớp 10CB....
Gọi C là tập hợp các học sinh giỏi của lớp không thuộc tổ 1. Hãy xác định tập hợp C.

Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A\B.
• A\ B = {x  x ∈ A và x ∉ B}
x ∈ A
• x∈ A\ B ⇔ 
x ∉ B
Ví dụ: Tập hợp những phần tử x thuộc R khác 0 (tập R bỏ số 0) được viết là: .............................................
* Đặc biệt:
Khi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C AB .

Ví dụ: Phần bù của tập hợp N trong tập hợp Z là tập hợp các số nguyên âm.
 Ghi chú:
.............................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

9

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Kí hiệu A là tập hợp các chữ cái (không dấu) trong câu "CĨ CHÍ THÌ NÊN", B là tập hợp các chữ cái
(khơng dấu) trong câu "CĨ CƠNG MÀI SẮT CĨ NGÀY NÊN KIM". Hãy xác định A∩B, A∪B, A\B.
Bài 2: Vẽ lại và gạch chéo các tập A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A trong các trường hợp:

a)
b)
c)
d)

Bài 3: Cho A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6}(1), B \ A = {7, 8, 9}(2), A \ B = {0, 1}(3). Xác định A và B.
Bài 4: Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm
tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi
a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực
giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.
b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt.
Bài 5: Cho tập A, hãy xác định A ∩ A, A ∪ A, A ∩ ∅, A ∪ ∅, CAA, CA∅.

10

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§4. CÁC TẬP HỢP SỐ
I- CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC:
1. Tập hợp các số tự nhiên N:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...} = N\{0}.
2. Tập hợp các số nguyên Z:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
3. Tập hợp số hữu tỉ Q:
a
a
Q = {a,b ∈ Z , (b ≠ 0)} với
là phân số tối giản.
b
b
Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn.

a a ...a
* Cơng thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2...an) = n + 1 2n n
10 − 1
4. Tập hợp các số thực R:
Các số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi là số vô tỉ.
Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại.

âm vơ
cực

(-∞ , +∞ chỉ là kí hiệu - khơng phải là một số)
Ta có quan hệ: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

dươn
g vô
cực

II- CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R:
1. Khoảng:
(a; b) = {x ∈ R, a < x < b}
(a; + ∞ ) = {x ∈ R, a < x}
( − ∞; b) = {x ∈ R, x < b}
R = ( − ∞; + ∞ ). Mọi số thực R có thể viết: -∞ < x < +∞
2. Đoạn:
[a; b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}
3. Nửa khoảng:
[a; b) = {x ∈ R, a ≤ x < b}
(a; b] = {x ∈ R, a < x ≤ b}
[a; + ∞ ) = {x ∈ R, a ≤ x}

( − ∞; b] = {x ∈ R, x ≤ b}
Ví dụ: Cho các tập hợp:
A = {x ∈ R-5 ≤ x ≤ 4}; B = {x ∈ R7 ≤ x ≤ 14}, C = {x ∈ Rx > 2}, D = {x ∈ Rx ≤ 4}
a) Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng,... để viết lại các tập hợp đó.
b) Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số.
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

c) Xác định A∩B, A∪B, A∪C, A\B, B\C, A∩D.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

 Ghi chuù:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho các tập hợp: A = [-3; 1]; B = [-2; 2] và C = [-2; +∞).
a) Cho biết tập hợp nào là con của tập hợp khác, trong số các tập hợp trên? Tìm phần bù của chúng.
b) Tìm A∩B, A∪B, A∪C, A\B,B\C.
Bài 2: Dùng trục số xác định các tập hợp A∩B, A∪B, A\B, B\A biết:
a) A = [-3; 1), B = (0; 4];
b) A = (0; 2], B = [-1; 1);
c) (-2; 15), B = (3; +∞);
4
d) (-1; ), B = [-1; 2);
e) A = (-∞; 1), B = (-2; +∞);
f) A = (-12; 3], B = [-1; 4].
3
Bài 3: Xác định các tập hợp sau đây:
a) (4; 7)∩(-7; -4);
b)(2; 3)∪[3; 5);
c) (-∞; 2]∩[-2; +∞);
d) (-∞; 2]∪[-2; +∞).
Bài 4: Xác định các tập hợp sau và sau đó biểu diễn chúng trên trục số:
a) (-2; 3)\(1; 5);
b) (-2; 3)∩[1; 5);

c) R\(2; +∞);
d) R\(-∞; 3].

12

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§5. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
I- SỐ GẦN ĐÚNG:
Trong đo đạc, tính tốn ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.
Ví dụ: Hình trịn có bán kính r = 2 (cm) có diện tích S = πr2. Vì π là số thập phân vơ hạn khơng tuần hoàn π
= 3,141592653... nên ta chỉ được kết quả gần đúng của S. Khi đó S ≈ 12,56 (cm2).
II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:
 Cho hình trịn bán kính r = 2 (cm).
Giả sử bạn Nam lấy π ≈ 3,1 để tính diện tích hình trịn: SN ≈ 12,4 (cm2)
Minh lấy π ≈ 3,1415 để tính diện tích hình trịn: SM ≈ 12,56 (cm2)
Hỏi kết quả tính tốn của bạn nào chính xác hơn? Trị tuyệt đối của hiệu số giữa S = πr2 với S1, S2 số nào lớn hơn?

1. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng:
Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì ∆ a = a − a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
2. Độ chính xác của một số gần đúng:
 Có thể tính được sai số tuyệt đối của các kết quả tính tốn diện tích hình trịn của Nam và Minh khơng? vì sao?.

Nếu ∆ a = a − a ≤ d thì -d ≤ a - a ≤ d hay a - d ≤ a ≤ a + d. Ta nói a là số gần đúng của a với độ
chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a ± d.
* Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc đôi khi khơng phản ánh
đầy đủ tính chính xác của phép đo đó.

 Tính độ dài đường chéo của một hình vng có cạnh bằng 3cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được. Cho biết
1,4142135.

2=

III- QUY TRỊN SỐ GẦN ĐÚNG
1. Ơn tập quy tắc làm trịn số:
Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn
vị vào chữ số của hàng quy tròn.
2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính độ chính xác cho trước:
Ví dụ: Hãy viết số quy trịn của số gần đúng biết:
a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300;
b) 3,1463 ± 0,001.
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho số a = 13,6481
a) Viết số quy tròn của a đến hàng phần trăm;

b) Viết số quy tròn của a đến hàng phần chục.
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau trên máy tính bỏ túi (kết quả lấy 4
chữ số lẻ ở phần thập phân)
a) 37 14 ;
b) 3 15.12 4 ;
c) 3 217 : 135 ;
d) (3 42 + 3 37 ) : 14 5 .

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

13

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

* ƠN TẬP CHƯƠNG I *
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau:
A là tập hợp các hình tứ giác;
D là tập hợp các hình chữ nhật;
B là tập hợp các hình bình hành;
E là tập hợp các hình vng;
C là tập hợp các hình thang;
G là tập hợp các hình thoi.
Bài 2: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:
a) A = {3k - 2  k = 0, 1, 2, 3, 4};
b) B = {x ∈ N  x ≤ 12};
c) C = {(-1)n  n ∈ N};
Bài 3: Xác định các tập hợp sau:
a) (-3; 7) ∩ (0; 10);
b) (-∞; 5) ∩ (2; +∞);
c) R\(-∞; 3).

14

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
----- oOo -----



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1. Mặt phẳng tọa độ:

• Hãy xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F
trên hình vẽ.
• Hãy vẽ các điểm P(1; 5), Q(5; -2), R(-4; -6), S(2; 5), T(0; 4), S(-5; 0) trên mặt phẳng tọa độ.

2. Hàm số y = ax2(a ≠ 0):
• Khi a > 0: Hàm số nghịch biến trên (-∞; 0), đồng biến trên (0; +∞).
Bảng biến thiên:
x

-∞
+∞

0

+∞

+∞

y
0

• Khi a < 0: Hàm số đồng biến trên (-∞; 0), nghịch biến trên (0; +∞).
Bảng biến thiên:
x

-∞

0
0

+∞

y
-∞

-∞

 Ghi chú:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

15

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§1. HÀM SỐ
I- ƠN TẬP VỀ HÀM SỐ:
1. Hàm số. Tập xác định của hàm số:
Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì
ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.
2. Cách cho hàm số:
a) Hàm số cho bằng bảng:
Ví dụ: Quãng đường đi được y (tính bằng km) và thời gian x kể từ lúc xuất phát (tính bằng giờ) của
một xe khách được ghi trong bảng sau:
1
3
5
7
x
1
2
3
4
2
2
2
2

y
15 35 55 73 98 118 143 160
b) Hàm số cho bằng biểu đồ:
Ví dụ: Tỉ lệ học sinh đỗ Đại học - Cao
đẳng của trường THPT Trần Quốc Toản từ năm 2004
đến 2007 được cho bởi biểu đồ:

c) Hàm số cho bằng cơng thức:
• Hàm số cho bởi cơng thức có dạng: y = f(x), trong đó f(x) là một biểu thức chứa biến x.
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x2 + 5x - 1
................

• Tập xác định của hàm số y = f(x) là D = {x ∈ R  f(x) có nghĩa}
Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
1
3x − 2
− 15 − x .
a) y =
;
b) y = x − 7 ;
c) y =
4 − 5x
x−3
Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

• Với mỗi giá trị x0 ∈ D, giá trị tương ứng y0 = f(x0) được gọi là giá trị của hàm số tại x = x0.
Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = x − 1 . Tính giá trị của hàm số tại x = 5 và x = a (a ≥ 1).
Giải:

..................................................................................................................................................................................................................................

16

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
..................................................................................................................................................................................................................................

 Trong ví dụ trên có tính được f(0) khơng? vì sao?.

* Chú ý: Một hàm số có thể xác định bởi hai, ba, ...cơng thức.
 2 x + 1 khi x ≥ 0
Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) =  2
. Tìm tập xác định của hàm số và tính f(-2), f(5)
− x khi x < 0
Giải:
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................

3. Đồ thị của hàm số:
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng
tọa độ với mọi x thuộc D.
1

Ví dụ: Đồ thị hàm số y = x + 1 là một đường thẳng, đồ thị hàm số y = x2 là một đường parabol.
2

1 2
g(x) = x
f(x) = x + 1
2
• Từ đồ thị các hàm số trên tính f(-2), f(-1), f(0), f(2), g(-1), g(-2), g(0).
• Tìm x sao cho f(x) = 2.
• Tìm x sao cho g(x) = 2.
Giải:
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................

* Nhận xét: Một điểm M(x0; y0) nằm trên (thuộc) đồ thị hàm số y = f(x) khi
...............................................................................................................................................................................................................

Ví dụ: Các điểm A(-1; 0), B(-2; -1), C(0; -1), D(2; 4), E(

và ngược lại.

1 3
; ), F(a; a + 1), điểm nào nằm trên đồ thị
2 2

hàm số y = f(x) = x + 1.
Giải:
.....................................................................................................................

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), nếu ∀ x1, x2 ∈ (a; b)
• x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên
(a; b).
• x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến
trên (a; b).
2. Bảng biến thiên:
Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b), ta vẽ mũi tên đi
xuống.
Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ta vẽ mũi tên đi
lên.
Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi
lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).
Ví dụ: Hàm số y = x2 xác định trên (-∞; +∞). Hàm số nghịch biến trên
khoảng (-∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞). Ta có bảng biến thiên:
-∞
0
x
+∞
+∞
+∞
y
0
* Nhận xét: Khi x > 0 nhận các giá trị túy ý ta nói x dần tới +∞, khi x
< 0 và x nhận các giá trị tùy ý ta nói x dần tới -∞. Khi x dần tới +∞ hay
-∞ thì x2 dần tới +∞.
Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = -3x + 1 trên R và
vẽ bảng biến thiên.
Giải:
.....................................................................................................................

1
a) y = x2;
b) y = ;
c) y = x ;
d) y = x + 1.
x
Giaûi:
18

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ:
• Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số chẵn: y = x2
 Ghi chú:

Đồ thị hàm số lẻ: y = x3

.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

19

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
3x − 2
x −1
a) y =
;
b) y = x − 1 ;
c) y = 2 x + 1 ;
d) y = 2
;
2x + 1
x + 2x − 3
1

1
2
+ x +1 ;
e) y = 2 x + 1 − 3 − x
f) y =
g) y = 4 − x +
.
x−2
x −1
 x + 1 khi x ≥ 2
Bài 2: Cho hàm số y =  2
. Tính giá trị của hàm số đó tại x = 3, x = -1, x = 2.
 x − 2 khi x < 2
Bài 3: Cho hàm số y = 3x2 - 2x + 1. Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số đó khơng?
a) M(-1; 6);
b) N(1; 1);
c) P(0; 1).
Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = x;
b) y = (x + 2)2;
c) y = x3 + x;
d) y = x2 + x + 1.
Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) 3x4 - 2x2 + 7;
b) y = 6x3 - x;
c) y = 2x + x2;
d) y = x − 4 + x + 4 ;
e) y = 4 − x − 4 + x .
Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) y = 2x2 trên (0; +∞);

b) y = 2 x − 1 trên tập xác định.

20

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§2. HÀM SỐ y = ax + b
I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a ≠ 0)
TXĐ: D = R
Chiều biến thiên:
Với a > 0 hàm số đồng biến trên R.
Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R.
Bảng biến thiên:
a>0
x -∞
+∞
+∞
y
-∞

x
y

-∞
+∞

a<0

-∞

Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua hai điểm A(0; b); B( −

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số:

+∞
b
;0)
a

1
b) y = − x + 5.
2

a) y = 3x + 3;

Giải:
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

Đường thẳng này gọi là đường
thẳng y = b.
* Đặc biệt: Khi b = 0 ta có đường
thẳng y = 0 là phương trình của trục
hoành.
III- HÀM SỐ y = x
• Tập xác định: D = R
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

21

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

 x khi x ≥ 0
Ta có: y = x = 
− x khi x < 0
• Chiều biến thiên: Hàm số y = x nghịch biến trên khoảng (- ∞ ;0) và
đồng biến trên khoảng (0;+ ∞ ).
• Bảng biến thiên:
-∞
0
x
+∞
+∞
y +∞
0
• Đồ thị:
Trong nửa khoảng [0; + ∞ ) đồ thị của
hàm số y = x trùng với đồ thị của hàm số y

= x.
Trong khoảng (- ∞ ; 0) đồ thị của hàm số y
= x trùng với đồ thị của hàm số y = -x
* Chú ý: Hàm số y = x là hàm số
chẵn, đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối
xứng.
 Ghi chú:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số y = 3x + 5.
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Vẽ trên cùng hệ trục đồ thị ở câu a) và đồ thị y = -1. Tìm trên đồ thị tọa độ giao điểm của hai đồ thị y =
3x + 5 và y = -1.
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số:
3
a) y = 2x - 3;
b) y = 2 ;
c) y = − x + 7 ;
d) y = x - 1.
2
Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = x + 1 và y = 2x + 3.
Bài 4: Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm
3
a) A(0; 3) và B( ; 0);
b) A(1; 2) và B(2; 1);
c) A(15; -3) và B(21; -3).
5

Bài 5: Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng
a) Đi qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1);
b) Đi qua điểm A(1; -1) và song song với Ox.
Bài 6: Vẽ đồ thị của các hàm số
 2 x vớix ≥ 0
x≥1
 x + 1với
a) y =  1
;
b) y = 
.
x<1
− 2x + 4 với
− 2 x vớix < 0
Bài 7: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x.
b) Từ đồ thị, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x.

22

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

§3. HÀM SỐ BẬC HAI
Hàm số bậc hai cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có tập xác định D = R.
I- ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
1. Nhận xét:
a) Hàm số y = ax2 hay parabol y = ax2(a ≠ 0; b = c = 0) có đỉnh O(0; 0) và có trục tung là trục đối xứng
(đường thẳng x = 0). Khi đó:

• a > 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị và y ≥ 0 với mọi x.
• a < 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị và y ≤ 0 với mọi x.

a<0
b
−
∆
b) Hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0): y = ax2 + bx + c = a(x +
)2 +
, ∆ = b2 - 4ac
2a
4a
b −∆
) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và đóng vai trị như đỉnh O(0; 0)
Điểm I (− ;
2a 4a
của parabol y = ax2.
b −∆
) , có trục đối xứng là
2. Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là một parabol có đỉnh là điểm I (− ;
2a 4a
b
đường thẳng x = −
.
2a
Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
3. Cách vẽ parabol y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):
b −∆
).
• Xác định tọa độ của đỉnh I (− ;

2a 4a
b
• Vẽ trục đối xứng x = −
.
2a
• Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với các trục tọa độ:
Giao với trục tung: x = 0 ⇒ y = c
Giao với trục hoành: y = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0, giải phương trình tìm x (nếu có).
• Vẽ parabol.
a>0

a>0
Ví dụ 1: Vẽ các parabol sau:
a) y = x2 - 2x - 1;
Giải:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

a<0
b) y = -2x2 - 4x + 1.
23

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn
.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

đường thẳng x = 2, tung độ đỉnh bằng 9 và cắt trục tung tại điểm M(0; 5).
Giải:

II- CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
Bảng biến thiên:
a>0
a<0
b
−
-∞
-∞
x
x
2a
+∞
+∞
+∞
+∞
y
y
−∆
-∞
-∞
4a
Định lí:

−

b
2a

−∆
4a

• Nếu a > 0 thì hàm số y = ax 2 + bx + c nghịch biến trên (- ∞ ; −
biến treân ( −

24

b
;+ ∞ ).
2a

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

b
), đồng
2a

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn

• Nếu a < 0 thì hàm số y = ax 2 + bx + c đồng biến trên (- ∞ ; −
b
;+ ∞ ).
2a
Ví dụ: Lập bảng biến thiên của các hàm số:
b) y = -2x2 + x + 3.
Giải:

b
), nghịch
2a

biến trên ( −

a) y = 3x2 - 2x - 1;

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................

 Ghi chuù:
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau:
a) y = x2 - 4x + 1;
b) y = -2x2 - 3x + 7.
Bài 2: Xác định tọa độ đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol sau:
a) y = x2 - 3x + 2;
b) y = -2x2 + 4x - 3;
c) y = x2 - 2x;
d) y = -x2 + 4.
Bài 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x2 - 4x + 3;
b) y = -x2 - 3x;
c) y = -2x2 + x - 1;
d) y = 3x2 + 1;
e) y = 3x2 - 4x + 1; f) y = -3x2 + 2x - 1;
g) y = 4x2 - 4x + 1;
h) y = -x2 + 4x - 4.
2
Bài 4: Viết phương trình parabol y = ax + bx + 2 biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8).

b) Cắt trục Ox tại các điểm có hồnh độ x1 = 1, x2 = 2.
3
c) Có đỉnh là I(2; -2);
d) Đi qua điểm A(3; -4) và có trục đối xứng là x = − ;
2
1
e) Đi qua điểm B(-1; -6) và tung độ của đỉnh là − .
4
Bài 5: Tìm phương trình của parabol (P) biết (P) đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh là I(6; -12).
Bài 6: a) Vẽ parabol y = 3x2 - 2x - 1. Từ đồ thị chỉ ra những giá trị x để y < 0.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

25

Tài liệu Hướng dẫn tự học môn Đại số 10

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về