Tài liệu quy nạp toán học

§2
§3
§4
§1

Xét hai mệnh đề chứa biến :
P(n) : “ 3
n
< n + 100 ” và Q(n) : “ 2
n
> n ” với n∈N
*
a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
b) ∀n∈N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?

•
P(n) : “ 3
n
< n + 100 ”
•
Q(n) : “ 2
n
> n ”
a) n = 1 : 2 > 1 (Đ)
n = 2 : 4 > 2 (Đ)
n = 3 : 8 > 3 (Đ)
n = 4 : 16 > 4 (Đ)
n = 5 : 32 > 5 (Đ)
a) n = 1 : 3 < 101 (Đ)
n = 2 : 9 < 102 (Đ)

n = 3 : 27 < 103 (Đ)
n = 4 : 81 < 104 (Đ)
n = 5 : 243 < 105 (S)
b) ∀ n ∈ N* thì P(n) sai,
vì khi n = 5 thì P(5) sai.
b) Q(n) có đúng với ∀n ∈
N* hay không vẫn chưa
kết luận được, vì ta không
thể thử trực tiếp với mọi
n.

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1
Bước 2
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất
kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh
nó cũng đúng với n = k + 1.
I. Phương pháp quy nạp toán học
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

II. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với n ∈ N
*
thì
1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n
2
(1)
Giải
Bước 1. Khi n = 1, VT chỉ có một số hạng bằng 1, VP = 1
2

.
Vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2. Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là
1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k
2
(giả thiết qui nạp).
Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là
1 + 3 + 5 + … +(2k – 1)+[2(k + 1)-1]=(k + 1)
2
.
Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) +
[2(k + 1) -1] = k
2
+ [2(k + 1) -1] = k
2
+ 2k + 1 = (k + 1)
2
.
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n ∈ N*.