Bài giảng Tiết 28: NHỊ THỨC NIU TƠN

TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

GIÁO ÁN DỰ THI
TIẾT CHƯƠNG TRÌNH: 28
ĐẠI SỐ 11 – CƠ BẢN
BÀI GIẢNG:

NHỊ THỨC NIU-TƠN


TIẾT 28:

NHỊ THỨC NIU TƠN

BÀI 3:

I.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN:
Khai triển các biểu thức sau:

( a + b)

( a + b)

2

3

= a + 2ab + b
2

2

= a + 3a b + 3ab + b
3

2

3

3

Áp dụng công thức số các tổ hợp chập k của n phần tử
ta có thể viết hai biểu thức trên dưới dạng

( a + b ) = C a + C ab + C b
3
0 3
1 2
2
2
3 3
( a + b ) = C3 a + C3 a b + C3 ab + C3 b
2

0 2
2

1
2

2 2

2


Áp dụng cách khai triển trên, ta thực hiện hoạt động 1
trong sách giáo khoa
HOẠT ĐỘNG 1:

Khai triển biểu thức ( a +b )

( a +b)

4

4

thành tổng các đơn thức

= C a + C a b + C a b + C ab + C b
3
4
= a + 4a b +6a b + 4ab +b
0
4
4

4

1
4

3

2 2
4
2 2

2

3
4
3

3

4
4

4

Từ việc khai triển các biểu thức trên, ta thừa nhận công
n
thức khai triển biểu thức ( a + b ) thành tổng các đơn thức
TỔNG QUÁT:

( a + b)

n

1
= Cn0 a n + Cn a n −1b + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n (1)

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu - Tơn


Ngồi ra ta có thể dùng dấu

( a + b)
Khi đó ta cũng có

( a + b)

n

∑

để viết cơng thức (1) dưới dạng:
n

= ∑C a
k =0

n

k
n

a = b = 1,ta có:

b

k

n

= ( b + a) = ∑ C b a
n

k =0

Từ cơng thức (1) ta có hệ quả sau:
HỆ QUẢ

n−k

k n− k
n

k

( a + b) = (1 + 1) = 2 = C + C + ... + C
n

n

( a + b)

n

0
n

1
n

= (1 − 1) = 0 = 0
k
n
0
1
k
n
= Cn − Cn + ... + ( − 1) Cn + ... + ( − 1) Cn

a = 1, b = -1, ta có:

n

n

n

n
n


( a + b)

n

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1:)

1
= Cn0 a n + Cn a n−1b + ... + Cnk a n− k b k + ... + Cnn−1ab n−1 + Cnnb n

- Số các số hạng là bao nhiêu?

n+1
- Các hạng tử có số mũ của a giảm hay tăng?
Giảm từ mấy đến mấy? từ n đến 0
- Số mũ của b tăng hay giảm? Tăng từ mấy đến mấy? từ 0 đến n
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng bao nhiêu?
bằng n
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối
có tính chất gì? bằng nhau


Vậy, từ cơng thức (1) ta có chú ý sau đây:
- Số các số hạng là n + 1
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
số mũ của b tăng dần từ 0 đến n
- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n
- Quy ước

a = b = 1,
0

0

Với

a ≠ 0, b ≠ 0

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu
và cuối là bằng nhau


Áp dụng cơng thức (1), ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ: khai triển các biểu thức sau:
a.

( x + y)

5

( x + y)

5

b.

( x − 2)

6

1
= C50 x 5 + C5 x 4 y + C52 x 3 y 2 + C53 x 2 y 3 + C54 xy 4 + C55 y 5

= x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 xy 4 + y 5

[ x + ( − 2) ] 6 = C60 x 6 + C61 x 5 ( − 2) + C62 x 4 ( − 2) 2 + C63 x 3 ( − 2) 3

b. ( x − 2 ) =
6

+ C x ( − 2) + C x( − 2) + C ( − 2)
4 2
6

4

5
6

5

6
6

6

= x 6 − 12 x 5 + 60 x 4 − 160 x 3 + 240 x 2 − 192 x + 64


II. TAM GIÁC PA - XCAN
Từ công thức (1):

( a + b)

n

1

= Cn0 a n + Cn a n −1b + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n (1)

Khi cho n = 0, 1, 2, 3,…và sắp xếp các hệ số thành dịng, ta có:

n = 0 ⇒ ( a + b) = 1
1
n = 1 ⇒ ( a + b) = 1 + 1
0

n = 2 ⇒ ( a + b) =
3
n = 3 ⇒ ( a + b) =
4
n = 4 ⇒ ( a + b) =
2

1+2+1
1+3+3+1
1+4+6+4+1

n = 5 ⇒ ( a + b ) = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
5

n = 6 ⇒ ( a + b) =
6

n = 7 ⇒ ( a + b) =
7

1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1

1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 1 + 1


Vậy, theo công thức (1), khi cho n = 1, 2, 3,4,…và sắp
Xếp các hệ số thành dòng ta nhận được một tam giác
gọi là tam giác Pa - Can
1
1
1
1
1
1
1
1
1

5

3
6

10
15

21

1

3
4

6
7

2

4
10

20
35

1
1
5
15

35

1
6

21

1
7

1

k

−1
k
NHẬN XÉT: Từ công thức Cn =k −1 +Cn −suy ra cách tính ở mỗi
n
1
dịng dựa vào các số ở dịng trước nó.
1
Chẳng hạn: C52 = C4 + C42 = 4 + 6 = 10
2
1
2
C7 = C6 + C6 = ? 6 + 15 = 21


Từ nhận xét trên, thực hiện hoạt động 2 trong sách giáo khoa.
Hoạt động 2: Dùng tam giác Pa-Can, chứng tỏ rằng:

2
a. 1 + 2 + 3 + 4 = C5
Giải:
0
1
1
a. Ta có: C2 + C2 = C3

Vậy

b.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = C82

1
2
2
C3 + C3 = C 4

2
3
3
C 4 + C 4 = C5

0
1
3
1
3
C2 + C2 + C32 + C4 = C3 + C32 + C4
1+ 2 + 3 + 4 =
2
3
3
2
= C 4 + C 4 = C5 = C5

b.Tương tự câu a, ta có:

0
1
3
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = C2 + C2 + C32 + C4 + C54 + C65 + C76

1
2
3
4
5
6
= C3 + C3 + C 4 + C5 + C 6 + C 7
2
3
4
5
6
= C 4 + C 4 + C5 + C 6 + C 7
3
4
5
6
= C5 + C5 + C 6 + C 7
4
5
6
5
6
= C6 + C6 + C7 = C7 + C7 = C86 = C82


CỦNG CỐ:
Từ cơng thức (1), ta củng có thể mở rộng ra với

( a − b)

n

1 n −1
n

=C a +C a
0 n
n

Dùng dấu

( a − b)

n

∑

( − b ) + ... + C

k n− k
n

a

( − b)

k

( a − b)

+ ... + C a( − b )
n −1
n

n

n −1

+ C ( − b)
n
n

viết lại công thức trên như sau:
n

= [ a + ( − b) ] = ∑ a
n

n−k

( − b)

n

= ∑ ( − 1) a n −k b k

k

k

k

k

Áp dụng cơng thức trên, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ: Tính hệ số của hạng tử

( x − 2)

7
7

x3

trong khai triển của biểu thức:
7

7
Giải: Ta có: ( x − 2 ) = ∑ C74 x 7 − 4 ( − 2 ) = ∑ C4 x 3 ( − 2 ) = 560 x 3
7

Vậy, hệ số của
là 560

x

3

4

4

4

trong khai triển của biểu thức

4

( x − 2)

7

n


Qua bài học hôm nay, các em cần phải nắm được:
1. Công thức nhị thức Niu-Tơn

( a + b)
( a − b)

n

n

1 n −1
n

k n− k k

n

n −1
n

n −1

= C a + C a b + ... + C a b + ... + C ab + C b
0 n
n

( a + b)

n

n

= ∑ Cnk a n − k b k
k=0

n n
n

( − b ) + ... + C a ( − b ) + ... + C a( − b ) + C ( − b )
n
n
n
n
k
k n− k k

n− k
( a − b ) = [ a + ( − b ) ] = ∑ a ( − b ) = ∑ ( − 1) a b
1 n −1
n

k n− k
n

=C a +C a
0 n
n

k

k

2. Tam giác Pa-Xcan
Bài tập về nhà: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 57 - 58

n −1
n

k

n −1

n
n

n