NBV 0h2 3 các hệ THƯỚC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và GIẢI TAM GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (376.35 KB, 17 trang )
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
TOÁN 10
0H2-3
ĐT:0946798489
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
TRUY CẬP ĐƯỢC NHIỀU
HƠN
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ...................................................... 1
DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ................................................................. 3
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN ................................................................................ 4
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ .................................................................................................................................. 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 6
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ...................................................... 6
DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC ............................................................... 10
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN .............................................................................. 11
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ ................................................................................................................................ 16
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC
Câu 3.
Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2 b 2 c 2 2bc cos A .
B. a 2 b 2 c 2 2bc cos A .
C. a 2 b 2 c 2 2bc cos C .
D. a 2 b 2 c 2 2bc cos B .
Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC a, AC b, AB c . Gọi ma là độ dài đường trung
tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó.
Mệnh đề nào sau đây sai?
b2 c2 a2
A. ma2
. B. a 2 b 2 c 2 2bc cos A .
2
4
abc
a
b
c
2 R .
C. S
.
D.
4R
sin A sin B sin C
Cho tam giác ABC có a 8, b 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là?
D. c 2 21 .
Câu 4.
A. c 3 21 .
B. c 7 2 .
C. c 2 11 .
0
Cho ABC có b 6, c 8, A 60 . Độ dài cạnh a là:
D.
Câu 5.
A. 2 13.
B. 3 12.
C. 2 37.
0
Cho ABC có B 60 , a 8, c 5. Độ dài cạnh b bằng:
A. 7.
D. 129 .
Câu 1.
Câu 2.
Câu 6.
Câu 7.
B. 129.
C. 49.
20.
600 . Tính độ dài AC .
Cho ABC có AB 9 ; BC 8 ; B
A. 73 .
B. 217 .
C. 8 .
D. 113 .
0
Cho tam giác ABC có AB 2, AC 1 và A 60 . Tính độ dài cạnh BC.
A. BC 2.
B. BC 1.
C. BC 3.
Nguyễn Bảo Vương: />
D. BC 2.
1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Câu 8.
ĐT:0946798489
600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?
Tam giác ABC có a 8, c 3, B
A. 49.
B.
97
C. 7.
D.
61.
1500 , BC 3, AC 2.
(LẦN 01_VĨNH N_VĨNH PHÚC_2019) Tam giác ABC có C
Tính cạnh AB ?
A. 13 .
B. 3.
C. 10 .
D. 1 .
4
Câu 10. Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b 7 ; c 5 ; cos A . Tính độ dài của a .
5
23
7 2
A. 3 2 .
B.
.
C.
.
D. 6 .
8
2
30 .Gọi A, B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox, Oy sao cho AB 2 . Độ dài lớn nhất
Câu 11. Cho xOy
của OB bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 3.
C. 6.
D. 2.
Câu 12. Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
A. a 2 ab ac .
B. a 2 c 2 b 2 2ac . C. b 2 c 2 a 2 2bc . D. ab bc b 2 .
Câu 9.
Cho tam giác ABC có AB 4 cm, BC 7 cm, AC 9 cm. Tính cos A .
2
1
1
2
A. cos A .
B. cos A .
C. cos A .
D. cos A .
3
2
3
3
2
2
2
Câu 14. Cho tam giác ABC có a b c 0 . Khi đó:
A. Góc C 900
B. Góc C 900
C. Góc C 900
D. Khơng thể kết luận được gì về góc C.
Câu 15. Cho tam giác ABC thoả mãn: b 2 c 2 a 2 3bc . Khi đó:
A. A 300.
B. A 450.
C. A 600.
D. A 750 .
bằng bao nhiêu?
Câu 16. Cho các điểm A(1;1), B (2; 4), C (10; 2). Góc BAC
Câu 13.
A. 900 .
B. 600.
C. 450.
D. 300.
Câu 17. Cho tam giác ABC , biết a 24, b 13, c 15. Tính góc A ?
A. 33034 '.
B. 1170 49 '.
C. 28037 '.
D. 580 24 '.
Câu 18. Cho tam giác ABC , biết a 13, b 14, c 15. Tính góc B ?
A. 590 49 '.
B. 530 7 '.
C. 590 29 '.
D. 620 22 '.
Câu 19. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC , CA, AB lần lượt
bằng
là a, b, c và thỏa mãn hệ thức b b 2 a 2 c c 2 a 2 với b c . Khi đó, góc BAC
Câu 20.
A. 45 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 120 .
(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tam giác ABC có AB c, BC a, CA b .
bằng
Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức b b 2 a 2 c a 2 c 2 . Khi đó góc BAC
bao nhiêu độ.
A. 30 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 21. (THPT KINH MƠN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho tam giác ABC vng cân tại A và M là điểm
nằm trong tam giác ABC sao cho MA : MB : MC 1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?
A. 135 .
B. 90 .
C. 150 .
D. 120 .
Câu 22. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
b2 c 2 a 2
a2 c2 b2
2
2
A. ma
. B. ma
.
2
4
2
4
Nguyễn Bảo Vương: />
2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
2
C. ma2
2
2
a b c
.
2
4
ĐT:0946798489
2
D. ma2
2
2
2c 2b a
.
4
Câu 23.
Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15 cm, AC 12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam
giác có độ dài là
A. 10 cm .
B. 9 cm .
C. 7,5 cm .
D. 8 cm .
Câu 24.
Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 và độ dài đường trung tuyến BM 13 . Tính độ dài AC
.
9
.
D. 10 .
2
30, AB 3. Tính độ dài trung tuyến AM ?
Cho ABC vng ở A, biết C
5
7
A. 3
B. 4
C.
D.
2
2
Tam giác ABC có a 6, b 4 2, c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 . Độ dài đoạn
AM bằng bao nhiêu?
1
108 .
A. 9 .
B. 9.
C. 3.
D.
2
Gọi S ma2 mb2 mc2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
3
A. S (a 2 b 2 c 2 ) . B. S a 2 b 2 c 2 .
4
3
C. S (a 2 b 2 c 2 ) . D. S 3(a 2 b 2 c 2 ) .
2
600 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác
Cho ABC có AB 2 ; AC 3 ; A
ABC .
12
6
6 2
6 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
5
5
5
5
A. 11 .
Câu 25.
Câu 26.
Câu 27.
Câu 28.
B. 4 .
C.
DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC
Câu 29. Cho tam giác ABC . Tìm cơng thức sai:
a
a
c sin A
2R .
.
.
A.
B. sin A
C. b sin B 2 R .
D. sin C
sin A
2R
a
Câu 30. Cho ABC với các cạnh AB c, AC b, BC a . Gọi R, r , S lần lượt là bán kính đường trịn
ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
abc
a
A. S
.
B. R
.
4R
sin A
1
C. S ab sin C .
D. a 2 b 2 c 2 2ab cos C .
2
60 và cạnh BC 3 . Tính bán kính của đường trịn ngoại
Câu 31. Cho tam giác ABC có góc BAC
tiếp tam giác ABC .
A. R 4 .
B. R 1 .
C. R 2 .
D. R 3 .
45 . Độ dài cạnh BC là
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm , góc A 60 , B
A. 2 6 .
B. 2 2 3 .
C. 2 3 2 .
D. 6 .
40 ; B
60 . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?
Câu 33. Cho ABC có AB 5 ; A
Câu 32.
Nguyễn Bảo Vương: />
3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A. 3, 7 .
B. 3,3 .
C. 3,5 .
D. 3,1 .
Câu 34. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B cos C 2 cos A.
B. sin B sin C 2 sin A.
1
C. sin B sin C sin A .
D. sin B cos C 2sin A.
2
56013' ; C
710 . Cạnh c bằng bao nhiêu?
Câu 35. Tam giác ABC có a 16,8 ; B
A. 29, 9.
B. 14,1.
C. 17, 5.
D. 19,9.
340 44 ' , AB 117. Tính AC ?
Câu 36. Tam giác ABC có A 68012 ' , B
A. 68.
B. 168.
C. 118.
D. 200.
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN
Câu 37. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
1
1
A. S bc sin A .
B. S ac sin A .
2
2
1
C. S bc sin B .
2
1
D. S bc sin B .
2
30 . Diện tích hình thoi ABCD là
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc BAD
a2 3
a2
a2
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 2 .
2
4
2
Câu 39. Tính diện tích tam giác ABC biết AB 3, BC 5, CA 6 .
Câu 38.
A. 56 .
B. 48 .
C. 6 .
Câu 40. Cho ABC có a 6, b 8, c 10. Diện tích S của tam giác trên là:
A. 48.
B. 24.
C. 12.
0
Câu 41. Cho ABC có a 4, c 5, B 150 . Diện tích của tam giác là:
D. 8 .
D. 30.
A. 5 3.
B. 5.
C. 10.
D. 10 3 .
Câu 42. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
A. 84.
B. 84 .
C. 42.
D. 168 .
Câu 43. Cho các điểm A(1; 2), B (2;3), C (0; 4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu?
13
13
A. .
B. 13.
C. 26.
D. .
2
4
Câu 44. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B (3; 3), C (6; 0). Diện tích ABC là
A. 12.
B. 6.
C. 6 2.
D. 9.
Câu 45. Cho tam giác ABC có a 4, b 6, c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là:
2
15.
A. 9 15.
B. 3 15.
C. 105.
D.
3
Câu 46. Cho tam giác ABC . Biết AB 2 ; BC 3 và
ABC 60 . Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
.
3
3 3
A. 5 7 và .
B. 5 7 và
.
2
2
3
3 3
C. 5 7 và
.
D. 5 19 và .
2
2
Câu 47. Tam giác ABC có các trung tuyến ma 15 , mb 12 , mc 9 .Diện tích S của tam giác ABC bằng
A. 72 .
B. 144 .
C. 54 .
D. 108 .
3
Câu 48. Cho tam giác ABC có b 7; c 5;cos A . Độ dài đường cao ha của tam giác ABC là.
5
Nguyễn Bảo Vương: />
4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
7 2
.
B. 8 .
C. 8 3
D. 80 3
2
120 . Tính diện tích tam giác ABC ?
Cho tam giác ABC có AB 2a; AC 4a và BAC
A.
Câu 49.
Câu 50.
Câu 51.
Câu 52.
Câu 53.
Câu 54.
Câu 55.
A. S 8a 2 .
B. S 2a 2 3 .
C. S a 2 3 .
D. S 4a 2 .
Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
a 3
a 3
a 3
a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
4
2
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam
giác ABC bằng
A. 12 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 24 .
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC đều cạnh 2a . Tính bán
kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
2a
4a
8a
6a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Cho tam giác ABC có BC 6 , AC 2 và AB 3 1 . Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC bằng:
A. 5 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .
Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 , BC 5 . Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng
8
4
3
A. 1 .
B. .
C. .
D. .
9
5
4
Cho ABC có S 84, a 13, b 14, c 15. Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R của tam giác
trên là:
A. 8,125.
B. 130.
C. 8.
D. 8, 5.
Câu 56. Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vi p 10 . Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp r của tam giác
trên là:
A. 3.
B. 2.
C. 2.
D. 3 .
Câu 57. Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường trịn nội tiếp là:
A. 16.
B. 8.
C. 4.
D. 4 2.
Câu 58. Một tam giác có ba cạnh là 52, 56, 60. Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:
65
65
.
.
A.
B. 40.
C. 32, 5.
D.
8
4
Câu 59. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là?
13
11
A. 6.
B. 8.
C.
.
D. .
2
2
Câu 60. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?
A. 2.
B. 2 2.
C. 2 3.
D. 3.
Câu 61. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
A. 5.
B. 4 2.
C. 5 2.
D. 6 .
Câu 62. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 4, BC 6 , M là trung điểm của BC , N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND 3 NC . Khi đó bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN bằng
3 5
5 2
A. 3 5 .
B.
.
C. 5 2 .
D.
.
2
2
Nguyễn Bảo Vương: />
5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Câu 63. Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC 2 BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính
R
đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số .
r
5
57 7
75 5
75 7
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
2
9
9
9
Câu 64.
Câu 65.
Câu 66.
Câu 67.
Câu 68.
Câu 69.
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o 24 ' . Biết
CA 250 m, CB 120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 266 m.
B. 255 m.
C. 166 m.
D. 298 m.
Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 .
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu
cách nhau bao nhiêu km ?
A. 13.
B. 20 13.
C. 10 13.
D. 15.
Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc
nhìn là 72012 ' và 340 26 ' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ?
A. 71 m.
B. 91 m.
C. 79 m.
D. 40 m.
Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016 ' . Biết
CA 200 m , CB 180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 180 m.
B. 224 m.
C. 112 m.
D. 168 m.
Trong khi khai quật một ngơi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình trịn
bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khơi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc
đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (
AB 4,3 cm; BC 3, 7 cm; CA 7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm trịn tới
hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 5,73 cm.
B. 6,01cm.
C. 5,85cm.
D. 4,57cm.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong
đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được
630 ; CBD
480 . Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?
AB = 24m, CAD
A. 61,4 m.
B. 18,5 m.
C. 60 m.
D. 18 m.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TỐN
Chọn B
Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có a 2 b 2 c 2 2bc cos A .
Nguyễn Bảo Vương: />
6
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Chọn B
Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a 2 b 2 c 2 2bc cos A
Câu 3. Chọn
D.
2
2
2
Ta có: c a b 2a.b.cos C 82 102 2.8.10.cos 600 84 c 2 21 .
Câu 4.
Chọn
A.
2
2
2
Ta có: a b c 2bc cos A 36 64 2.6.8.cos 600 52 a 2 13 .
Câu 5.
Chọn
A.
2
2
2
Ta có: b a c 2ac cos B 82 52 2.8.5.cos 600 49 b 7 .
Câu 6. Chọn A
Theo định lý cosin có:
73 AC 73 .
AC 2 BA2 BC 2 2 BA.BC.cos ABC
Vậy AC 73 .
Câu 7. Chọn C
Câu 2.
Theo định lý cosin ta có: BC AB 2 AC 2 2 AB. AC.cos 600
1
22 12 2.2.1. 3.
2
Câu 8.
Chọn
C.
Ta có: b 2 a 2 c 2 2ac cos B 82 32 2.8.3.cos 600 49 b 7 .
Câu 9.
Chọn A
Theo định lí cosin trong ABC ta có:
13 AB 13 . Chọn
AB 2 CA2 CB 2 2CA.CB.cos C
Câu 10. Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
4
a 2 b 2 c 2 2bc.cos A 7 2 52 2.7.5. 18 .
5
Suy ra: a 18 3 2 .
A.
Câu 11. Chọn A
Áp dụng định lí cosin: AB 2 OA2 OB 2 2OA.OB.cos 30 4 OA2 OB 2 2OA.OB.
3
2
OA2 3.OB.OA OB 2 4 0 (*).
Coi phương trình (*) là một phương trình bậc hai ẩn OA . Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB
thì 0 ( 3OB) 2 4(OB2 4) 0 OB 2 16 OB 4 .
(*)
Vậy max OB 4 .
Câu 12. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: />
7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Do b c a 2bc.cos
A 2bc b c a 2bc nên mệnh đề C sai.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a b c a 2 ab ac ;đáp án A đúng.
Tương tự a c b ab bc b 2 ;mệnh đề D đúng.
Ta có: a 2 c 2 b 2 2ac.cos B 2ac a 2 c 2 b2 2ac ;mệnh đề B đúng.
Câu 13. Chọn D
AB 2 AC 2 BC 2 42 92 7 2 2
Ta có cos A
.
2. AB. AC
2.4.9
3
Câu 14. Chọn
B.
a2 b2 c 2
Ta có: cos C
.
2ab
Mà: a 2 b 2 c 2 0 suy ra: cos C 0 C 900 .
Câu 15. Chọn
A.
2
b c2 a2
3bc
3
A 300.
Ta có: cos A
2bc
2bc
2
Câu 16. Chọn
A.
Ta có: AB (1;3) , AC (9; 3) .
AB. AC
0 BAC
900.
Suy ra: cos BAC
AB . AC
2
Câu 17.
2
Chọn
2
2
B.
Ta có: cos A
Câu 18.
2
2
b 2 c 2 a 2 132 152 242
7
A 1170 49 '.
2bc
2.13.15
15
Chọn
C.
a c 2 b 2 132 152 142 33
Ta có: cos B
B 590 29 '.
2ac
2.13.15
65
2
Câu 19. Chọn D
Ta có b b 2 a 2 c c 2 a 2 b3 ba 2 c3 ca 2 b3 c 3 a 2 b c 0
b c b 2 bc c 2 a 2 0 b 2 c 2 a 2 bc .
2
2
2
b c a bc 1 BAC
120 .
Mặt khác cos BAC
2bc
2bc
2
Câu 20.
Lời giải
Chọn B
Theo bài ra, ta có: b b 2 a 2 c a 2 c 2 b3 a 2b a 2 c c 3 0 b3 c3 a 2b a 2 c 0
b c b 2 bc c 2 a 2 b c 0 b c b 2 bc c 2 a 2 0 b 2 bc c 2 a 2 0
(do b c 0 )
b2 c2 a2 1
1 BAC
60 .
cos BAC
2bc
2
2
Câu 21. MB x MA 2 x ; MC 3 x với 0 x BC 2 .
2
2
2
1 4 x x 3x 1
Ta có cos BAM
2.1.2 x
4x
b 2 c 2 a 2 bc
Nguyễn Bảo Vương: />
8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
cos MAC
2
ĐT:0946798489
2
2
1 4 x 9 x 1 5x
.
4x
4x
2
2
3x 2 1 1 5 x 2
4
2
2
4
1 9 x 6 x 1 1 10 x 25 x 16 .
4
x
4
x
2 52 2 1
(l )
x
17
5
4
2
34 x 20 x 2 0
.
2 52 2
x
17
2
2
2
AM BM AB
4x2 x2 1
cos
AMB
2 AM .BM
2.2 x.x
5 x 2 1 25 10 2 20 8 2 2
.
1 :
2
4 x2
17
17
Vậy
AMB 135 .
Câu 22. Chọn
D.
2
2
b c a 2 2b 2 2c 2 a 2
Ta có: ma2
.
2
4
4
Câu 23. Chọn C
15
AB 2 AC 2 BC 2 92 122 152 225
AM .
Ta có AM 2
2
2
4
2
4
4
Câu 24. Chọn B
A
M
3
13
B
C
5
Theo cơng thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có:
2
BA2 BC 2 AC 2
32 52 AC 2
BM 2
13
AC 4 .
2
4
2
4
Câu 25. Chọn A
1
AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM BC BM MC .
2
90 30 60 .
Xét BAC có B
60 suy ra ABM là tam giác đều.
Xét tam giác ABM có BM AM và B
AM AB 3 .
Câu 26. Chọn
C.
Ta có: Trong tam giác ABC có a 6 BC 6 mà BM 3 suy ra M là trung điểm BC.
Nguyễn Bảo Vương: />
9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
2
2
ĐT:0946798489
2
b c a
9 AM 3 .
2
4
Câu 27. Chọn
A.
b2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 3 2
Ta có: S ma2 mb2 mc2
(a b 2 c 2 ).
2
4
2
4
2
4 4
Câu 28. Chọn C
Suy ra: AM 2 ma2
Gọi M là chân đường phân giác góc
A.
2
2
2
Ta có BC AB AC 2 AB. AC.cos A 7 BC 7.
BM AB 2
.
Lại có
CM AC 3
2 7
.
Suy ra BM
5
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta được:
AB 2 BC 2 AC 2 108
2
2
AM AB BM 2 AB.BM .cos ABC AB BM 2 AB.BM .
.
2. AB.BC
25
6 3
AM
.
5
2
2
2
CÁ CH 2
Gọi M là chân đường phân giác trong của góc A .
Vì đoạn thẳng AM chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có:
1
1 AB. AM .sin BAM
1 AC. AM .sin MAC
S ABC S ABM S ACM AB. AC.sin BAC
2
2
2
AB. AC.sin 60
AM
.
AB AC .sin 30
6 3
.
5
6 3
Vậy AM
.
5
AM
DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TỐN
Câu 29. Chọn
C.
a
b
c
2 R.
Ta có:
sin A sin B sin C
Câu 30. Chọn
B.
Nguyễn Bảo Vương: />
10
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
Theo định lí Sin trong tam giác, ta có
Câu 31. Chọn B
BC
BC
Ta có:
2R R
sin A
2sin A
a
2 R .
sin A
3
1 .
3
2.
2
Câu 32. Chọn A
BC
AC
Ta có
BC
sin A sin B
4.
3
2 2 6 .
2
2
Câu 33. Chọn B
180 A
B
180 40 60 80
C
BC
AB
AB
5
BC
.sin A
sin 40 3,3 .
Áp dụng định lý sin:
sin A sin C
sin C
sin 80
Câu 34. Chọn
B.
Ta có:
bc
a
b
c
b
c
bc
bc
2R 2
sin B sin C 2 sin A.
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
2sin A sin B sin C
Câu 35. Chọn
D.
C
1800
Ta có: Trong tam giác ABC :
A B
A 1800 710 56013' 520 47 ' .
a
b
c
a
c
a.sin C 16,8.sin 710
Mặt khác
c
19,9.
sin A sin B sin C
sin A sin C
sin A
sin 520 47 '
Câu 36. Chọn
A.
C
1800 C
1800 68012 ' 340 44 ' 77 0 4 ' .
Ta có: Trong tam giác ABC :
A B
a
b
c
AC
AB
AB.sin B 117.sin 340 44 '
Mặt khác
AC
68.
sin A sin B sin C
sin B sin C
sin C
sin 770 4 '
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN
Câu 37. Chọn
A.
1
1
1
Ta có: S bc sin A ac sin B ab sin C .
2
2
2
Câu 38. Chọn B
a.a.sin 30 1 a 2 .
Ta có S ABCD AB. AD.sin BAD
2
Câu 39. Chọn A
AB AC BC 3 5 6
7 .
Ta có: p
2
2
Vậy diện tích tam giác ABC là:
S p p AB p AC p BC 7 7 3 7 6 7 5 56 .
Câu 40.
Chọn
B.
Nguyễn Bảo Vương: />
11
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
abc
.
2
Áp dụng cơng thức Hê-rơng: S p( p a)( p b)( p c) 12(12 6)(12 8)(12 10) 24 .
Câu 41. Chọn
B.
1
1
Ta có: S ABC a.c.sin B .4.5.sin1500 5.
2
2
Câu 42. Chọn
A.
a b c 13 14 15
21 .
Ta có: p
2
2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 .
Câu 43. Chọn
A.
Ta có: AB (3;5) AB 34 , AC (1; 6) AC 37 , BC (2;1) BC 5 .
Ta có: Nửa chu vi ABC : p
AB AC BC
37 34 5
.
2
2
13
Suy ra: S p ( p AB)( p AC )( p BC ) .
2
Câu 44. Chọn
B.
Ta có: AB (2; 2) AB 2 2 , AC (5;1) AC 26 , BC (3;3) BC 3 2 .
Mặt khác AB.BC 0 AB BC .
1
Suy ra: S ABC AB.BC 6.
2
Câu 45. Chọn
B.
a b c 4 68
9.
Ta có: p
2
2
Suy ra: S p( p a )( p b)( p c) 3 15.
Mặt khác p
A
I
K
Câu 46.
B
J
C
Chọn B
Ta có: AC 2 AB 2 BC 2 2. AB.BC.c os
ABC 4 9 2.2.3.c os60 13 6 7 .
Suy ra AC 7 .
Chu vi tam giác ABC là AB AC BC 2 3 7 .
Diện tích tam giác ABC là SABC
Câu 47.
1
1
3 3
(đvdt).
AB.BC.sin
ABC .2.3.sin 60
2
2
2
Chọn A
Theo bài tốn ta có
Nguyễn Bảo Vương: />
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
2
2
ĐT:0946798489
2
2 b c a
2
ma 2 4 15
2b 2 2c 2 a 2 900
a 10
2
2
2
2 a c b
12 2 2a 2 2c 2 b 2 576 b 4 13
mb
2
4
2a 2 2b 2 c 2 324
c 2 73
2
2
2 a b c2
2
m
9
c
2
4
abc
5 2 13 73 , áp dụng cơng thức He-rong ta có
Ta có p
2
S ABC p( p a)( p b)( p c) 72 .
Cách 2:
Đặt BC a, CA b, AB c ,
Theo định lý trung tuyến có:
4ma2 a 2 2 b 2 c 2
a 2 2b 2 2c 2 900 a 2 100
a 2 100 a 10
2 2
2
2
2
2
2
2
2
4mb b 2 a c 2a b 2c 576 b 208 b 208 b 4 13
2a 2 2b 2 c 2 324
c 2 291
c 2 292
2 2
2
2
c 2 73
4mc c 2 b a
1
Có S ABC p p a p b p c , p a b c Suy ra S ABC 72
2
Câu 48. Chọn A
3
a b 2 c 2 2bc cos A 7 2 52 2.7.5. 32 4 2
5
4
sin A
2
4
3 16
5
sin 2 A 1 cos 2 A 1
. Suy ra
vì 0
A 1800 nên sin A
5
25
5
sin A 4
5
1
1
4
1
1
7 2
S bc sin A .7.5. 14 mà S a.ha 14 .4 2.ha ha
2
2
2
2
2
5
Câu 49. Chọn B
1
1 .2a.4a.sin120 2a 2 3 (đvdt).
Diện tích của tam giác ABC là S ABC AB. AC.sin BAC
2
2
Câu 50. Chọn B
2a 3 a 3
Gọi G là trọng tâm ABC . Bán kính đường trịn ngoại tiếp R AG
.
3 2
3
Câu 51. Chọn C
12
Theo đề bài tam giác ABC có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là p ; bán kính đường trịn nội
2
tiếp bằng 1, tức là ta có: r 1 .
Diện tích tam giác ABC là: S p.r 6.1 6 .
Câu 52. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: />
13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
A
K
I
B
H
C
Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC ;
I là giao điểm của AH và CK .
Lúc đó, I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
2a 3
a 3 .
Ta có: AH
2
2
2
2a
Do đó: R AI AH a 3
.
3
3
3
Câu 53. Chọn C
b2 c2 a2 1
Áp dụng định lý cosin ta có cos A
suy ra A 60 .
2bc
2
a
2 .
Áp dụng định lý sin ta có R
2 sin A
Câu 54. Chọn A
Vì AB 2 AC 2 BC 2 nên tam giác ABC vng tại A .
1
AB. AC
S
3.4
2
Do đó bán kính đường trịn nội tiếp r
1 .
p 1 AB AC BC
3 45
2
Câu 55. Chọn
A.
a.b.c
a.b.c 13.14.15 65
R
Ta có: S ABC
.
4R
4S
4.84
8
Câu 56. Chọn
D.
S 10 3
Ta có: S pr r
3.
p
10
Câu 57. Chọn
B.
a b c 26 28 30
42.
Ta có: p
2
2
p( p a)( p b)( p c)
42(42 26)(42 28)(42 30)
S
S pr r
8.
p
p
42
Câu 58. Chọn
C.
a b c 52 56 60
84.
Ta có: p
2
2
Suy ra: S p( p a )( p b)( p c) 84(84 52)(84 56)(84 60) 1344 .
abc
abc 52.56.60 65
Mà S
.
R
4R
4S
4.1344
2
Nguyễn Bảo Vương: />
14
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Câu 59.
Chọn
ĐT:0946798489
C.
Ta có: 52 122 132 R
13
1
. (Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng cạnh huyền ).
2
2
Câu 60.
Chọn
A.
5 12 13
1
15 . Mà 52 122 132 S .5.12 30.
Ta có: p
2
2
S
Mặt khác S p.r r 2.
p
Câu 61. Chọn
A.
10
1
5. (Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng cạnh huyền
Ta có: 62 82 102 R
2
2
).
Câu 62. Chọn D
Ta có
MC 3, NC 1 MN 10
BM 3, AB 4 AM 5
AD 6, ND 3 AN 45
p
AM AN MN
10 5 45
2
2
S AMN
p p AM p AN p MN
15
2
Bán kính của đường trịn ngoại tiếp của tam giác AMN là: R
AM . AN .MN 5 2
4 S AMN
2
Câu 63. Chọn D
Ta có DC 2 BD DC 2 DB . Do đó DC 2 DB .
Gọi S là diện tích của tam giác ACD và E là trung điểm của BC .
Nguyễn Bảo Vương: />
15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
2
2
2
2 a 3 a 3
S S ABC .
3
3
4
6
Đặt AB a . Suy ra
.
2
a 3 a 2 2a 7
2
2
AD AE ED 2 6 6
AD DC AC
5 7
.r
a.r
S
5 7 ar.2a 3 7
7 5 7 a4r
2
6
2
Hơn nữa
.
S
3
6.36 R
108 R
S AD.DC.BC 2a 7
4R
36 R
7 5 7 a4r
7 5 7 .12
7 5 7
a4
R
R
Hay
.
12
108 R
r
108
r
9
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu 64. Chọn
B.
2
2
Ta có: AB CA CB 2 2CB.CA.cos C 2502 120 2 2.250.120.cos 78o 24 ' 64835 AB 255.
Câu 65. Chọn
B.
Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 30.2 60 km.
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 40.2 80 km.
Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S S12 S 2 2 2 S1.S 2 .cos 600 20 13.
Câu 66.
Chọn
B.
CD
CD
80
AD
25, 7.
0
AD
tan 72 12 ' tan 72012 '
CD
CD
80
BD
116, 7.
Trong tam giác vuông CDB : tan 340 26 '
0
BD
tan 34 26 ' tan 340 26 '
Suy ra: khoảng cách AB 116, 7 25, 7 91 m.
Câu 67. Chọn
A.
2
2
Ta có: AB CA CB 2 2CB.CA.cos C 2002 180 2 2.200.180.cos 56016 ' 32416 AB 180.
Câu 68. Chọn A
Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
AB BC CA 4,3 3, 7 7,5 31
cm.
Nửa chu vi của tam giác ABC là: p
2
2
4
2
Diện tích tam giác ABC là: S p p AB p BC p CA 5, 2 cm .
Ta có: Trong tam giác vng CDA : tan 72012 '
AB.BC.CA
AB.BC.CA
R
5, 73 cm.
4R
4S
Câu 69. Chọn A
Mà S
Nguyễn Bảo Vương: />
16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
ĐT:0946798489
630 BAD
1170
ADB 1800 117 0 480 150
Ta có CAD
AB
BD
AB.sin BAD
BD
sin
ADB sin BAD
sin
ADB
CD CD BD.sin CBD
Tam giác BCD vng tại C nên có: sin CBD
BD
0
AB.sin BAD.sin CBD 24.sin117 .sin 480
Vậy CD
61, 4m
sin150
sin
ADB
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
Nguyễn Bảo Vương: />
17
