Hướng dẫn giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và giải tích lớp 11

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI 2,3,4,5,6 TRANG 36,37 SGK GIẢI TÍCH LỚP 11:
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A. Ơn lại Lý thuyết
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Chỉ cần thực hiên hai phép biến đổi tương đương: chuyển số hạng không chứa x sang vế
phải và đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một số khác 0 là ta có thể đưa phương trình
lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt hàm số lượng giác chứa ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình
bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì thế giá trị
của nghiệm tìm được trở lại phép đặt ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ bản đã
biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c
Chỉ cần xét trường hợp cả hai hệ số a, b đều khác 0 (trường hợp một trong hai hệ số đó bằng
0 thì phương trình cần giải là hpuwong trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (sinx
hoặc cosx) đã biết cách giải.
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho

và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều

dương của trục hoành với vecto OM = (a ; b) thì phương trình trở thành một phương trình
đã biết cách giải:
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng

, phương trình trở thành :

Phương trình này đã biết cách giải.

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chú ý : Để phương trình

có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm.
Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai
đối với một hàm số lượng giác
Hệ thống các công thức lượng giác rất phong phú nên các phương trình lượng giác cũng rất
đa dạng. Sử dụng thành thạo các phép biến đổi lượng giác các em có thể đưa các phương
trình cần giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng
hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với cosx và sinx :
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d
có thể đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho
cos2x. Chính vì sự đa dạng và phong phú ấy nên chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa phương
pháp giải thơng qua một số ví dụ điển hình và các em có thể nắm vững phương pháp giải
thông qua nhiều bài tập.
B. Hướng dẫn giải bài 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK Giải tích lớp 11: Một số phương trình
lượng giác thường gặp
Bài 2:(trang 36 SGK Giải tích lớp 11)
Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 2 :
a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1 ; 1] ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; 1/2}.
Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:
cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2
⇔ x = ±π/3 + k2π.
Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.
b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (cơng thức nhân đơi), do đó phương trình đã cho tương đương
với
W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔

⇔

Bài 3:(trang 37 SGK Giải tích lớp 11)
Giải các phương trình sau:
a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 3 :
Bài 3. a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔
Phương trình đã cho tương đương với
cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.
b) Đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành
8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ {1/2;-1/4}.
Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của hai phương trình sau :

và
Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;
x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.
c) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành 2t 2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {-1 ; -1/2}.

Vậy
d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành
t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; -2}.
W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vậy

Bài 4:(trang 37 SGK Giải tích lớp 11)
Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4 :
a) Dễ thấy cosx = 0 khơng thỏa mãn phương trình đã cho nên chiaw phương trình cho cos 2x
ta được phương trình tương đương 2tan 2x + tanx – 3 = 0.
Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành
2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; -3/2}.

Vậy
b) Thay 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã cho trở thành
3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0
⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0
⇔
⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.
c) Thay sin2x = 2sinxcosx ;
1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương
đương
1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔
⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.
W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 4

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4
⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0
⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔

Bài 5:(trang 37 SGK Giải tích lớp 11)
Giải các phương trình sau:
a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2
⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3
⇔ cos(x +π/3) = √2/2

⇔
b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.
Đặt α = arccos thì phương trình trở thành
cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π
⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).
c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) nên phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) –
√2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

⇔
d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔
Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành
cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6:(trang 37 SGK Giải tích lớp 11)
a. tan (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;
b. tan x + tan (x + π/4) = 1
Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 6 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Tốn Nâng Cao,
Tốn Chun và Tốn Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Tốn Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB, …

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình u thích, có thành tích, chun mơn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.vn

F: www.facebook.com/hoc247.vn

T: 098 1821 807

Trang | 7