THI HSG TOAN 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2004 – 2005</b>

<b>Phân mơn : Đại số</b>

<b>---o0o---Bài </b>1 : Cho phương trình : 2 1 2 6 10 0







 <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i> ( * )

a) Chứng minh rằng : Phương trình ( * ) ln có nghiệm , với mọi số thực m .
b) Tìm m để phương trình ( * ) có nghiệm x = a thoả mãn :

Biểu thức :

1
1
2
2






<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>P</i> đạt giá trị lớn nhất .

<b>Bài 2</b> : Cho hai số thực dương thoả mãn : x + y = 1 . Chứng minh rằng :
4 4 ₄1 ₈9





<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>

<b>---o0o---ĐÁP ÁN </b>

<b>Bài 1</b> : a ) Đặt <i>t</i> <i>x</i>10 , phương trình (*) đã cho trở thành phương trình :

t2_{+ 2t – m}2_{+ 6m – 9 = 0} _{( * * )}

Phương trình ( * ) có nghiệm  Phương trình ( * * ) có nghiệm không âm . ( 1 )

Ta xét phương trình ( * * ) là phương trình bậc hai theo ẩn số t , có :
a . c = 1. (– m2_{+ 6m – 9 ) = – (m}2_{– 6m + 9 ) = – ( m – 3 )}2

 0 , với mọi m  R .

suy ra : Phương trình ( * * ) ln có nghiệm không âm , với mọi m  R . ( 2 )

từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra phương trình đã cho ( * ) ln có nghiệm , với mọi số thực m .

b) Ta coù P = 2 ₁1

2





<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

 ( P – 1 ) a2 – a + P – 1 = 0 .

- Nếu P = 1 thì a = 0 và ngược lại .

- Nếu P  1 thì muốn có a thoả mãn điều kiện bài tốn thì ta phải có :

Phương trình ( P – 1 ) a2_{– a + P – 1 = 0 có nghiệm ( 3 ) và P đạt giá trị lớn nhất ( 4 )}
Từ ( 3 ) suy ra Δ = 1 – 4 ( P – 1 )2

 0  4 P2 – 8P + 3  0
 ( 2P – 1 ) ( 2P – 3 )  0

 1₂<i>P</i>₂3

Kết hợp với ( 4 ) suy ra P = ₂3 , khi và chỉ khi a = 1
Từ đó suy ra m2_{– 6m + 9 = 0}

 m = 3 .

<b>Bài 2</b> : Áp dụng bất đẳng thức





2

2
2

2 <i>_y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>x</i>    hai lần ta sẽ có : x4 + y4 ₈1

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x , y suy ra được : xy  ₄1 
1

4
1



<i>xy</i>

Từ dó suy ra điều phải chứng minh .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>---o0o---MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHAÛO </b>

<b>Bài 1</b> : a) Cho a , b , c là các số thực dương và abc = 1 . Chứng minh rằng :
₍₁ ₎₍3₁ ₎ ₍₁ ₎₍3₁ ₎ ₍₁ ₎₍3₁ ₎ ₄3









 <i>a</i> <i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

b) Cho a ,b là hai số thực dương . Chứng minh rằng :

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>





 3( ) > 6

<b>Bài 2</b> : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 1 6 9 2 9 2 24 16





 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

b) Cho x2 và x + y  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 5x2 + 2y2 + 8y

<b>Baøi 3</b> : a) Giaûi phương trình : 417 <i>x</i>8  3 2<i>x</i>8 1 1

b b) Giải phương trình : 3 2 ₂₀₀₃ 3 2 ₅ ₂₀₀₄ 3 ₄ ₂₀₀₅ 3 ₂₀₀₄










 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

c) Giải phương trình nghiệm nguyên : [ 4 ( x – 2 )] 3 = ( x + 5 ) 2

<b>Bài 4</b> : Tính giá trị của biểu thức : P(x) = x3_{+ 15x , Với x =}3 ₅₍ ₆_₁₎ _ 3 ₅₍ ₆_₁₎
<b>Bài 5 </b>: Giải các hệ phương trình sau :

a)





















2
2

3

2

3

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

b)





















1

2

1

1

3

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<b>Bài 6</b>

: Tìm đa thức f(x) , biết f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ

hơn 8 và thoả mãn f(8) = 2004.

<b>Bài 7</b>

: Cho n là số nguyên dương chẵn và số thực tùy ý a >3 . Chứng minh phương trình :
( n + 1 ) x n+2_{- 3( n + 2 ) x}n + 1_{+ a} n + 2_{= 0 vô nghiệm}

<b>Bài 8 </b>: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x ; y ; z ; t ) thoả mãn : 1₂  1₂  1₂  1₂ 1

<i>t</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

<b>Bài 9</b> : Cho hệ phương trình























0

9

2

2

0

3

3

2

2

<i>_y</i>

<i>_x</i>

<i>_y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

.

Gọi ( x1 ; y1 ) và ( x2 ; y2 ) là hai nghiệm của hệ phương trình đã cho . Hãy tính giá trị
của biểu thức : P = ( x1 – x2 )2 + ( y1 – y2 )2 .

</div>

<!--links-->