Phương pháp newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN
CHO BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN

Cán bộ hướng dẫn: ThS. Phan Quang Như Anh
Sinh viên: Đinh Xuân Minh
Lớp: 15CTUD1

Đà Nẵng, Năm 2019


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Không gian Metric

.......................................................4

1.1.1. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Tập mở. Phần trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Tập đóng. Bao đóng của một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian topo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.3. Không gian Euclid

....................................................... 6

1.4. Tập lồi - Nón lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.5. Các Định lý tách

........................................................ 8

1.6. Gradient [2]
1.7. Hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8. Phép chiếu trực giao

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9. Đạo hàm riêng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10. Điểm bất động

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

CHƯƠNG 2. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Phát biểu bài toán

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


MỤC LỤC
2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
2.3. Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN CHO
BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1. Giới thiệu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Tính chất của tốn tử Φλ
3.3. Tính chất của hàm Ψλ
3.4. Thuật toán và Sự hội tụ
3.5. Kết quả tính tốn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2


NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Tập hợp các số thực
Tập hợp các phần tử của không gian Euclid - n chiều
arg min {f (x) : x ∈ C} Tập hợp các điểm cực tiểu của hàm f trên C
intC
Phần trong của tập C
∀x
Với mọi x
x := y
x dược gán bằng y
|β|
Trị tuyệt đối của số thực β
∃x
Tồn tại x
x
Chuẩn của véc tơ x
x, y
Tích vơ hướng của hai véc tơ x và y

A⊂B
Tập A là tập con thực sự của tập B
A⊆B
Tập A là tập con của B
A∪B
Tập A hợp với tập B
A∩B
Tập A giao với tập B
B
Tích Đề-các của hai tập A và B
δC (.)
Hàm chỉ trên C
k
x →x
Dãy xk hội tụ tới x
V I(F, C)
Bài toán bất đẳng thức biến phân
DV I(F, C)
Bài toán đối ngẫu của của bài toán (V I)
N CP (F )
Bài toán bù phi tuyến
Sol(F, C)
tập nghiệm của bài toán V I(F, C)
∗
Sol(F, C)
tập nghiệm của bài toán đối ngẫu DV I(F, C)
R
Rn

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng
dẫn ThS. Phan Quang Như Anh đã tận tình hướng dẫn em trong suốt q trình
thực hiện để em có thể hồn thành được khóa luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cơ giáo đã tận
tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập và làm khóa luận.
Tất cả những nội dung mà em trình bày trong đề tài này có thể cịn chưa đầy
đủ, thậm chí là có đơi chỗ chưa thật chính xác về một vấn đề đầy tính phức tạp.
Bởi vậy một lần nữa rất mong có được sự đóng góp ý kiến nhận xét của thầy,
cơ và các bạn để đề tài hoàn thiện hơn.
Đinh Xuân Minh


2

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60 của thế kỷ
XX, là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài toán cân bằng.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966.
Những nghiên cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải
các bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài tốn biên cho
phương trình đạo hàm riêng.
Bất đẳng thức biến phân là một cơng cụ khá hữu ích trong việc nghiên cứu
và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, cơ khí, nghiên cứu tốn tử và vật lí
tốn. Bài tốn bất đẳng thức biến phân liên quan mật thiết đến các bài toán tối
ưu khác. Gần đây, bài toán bất đẳng thức biên phân cũng là một đề tài được
nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trị của nó được sử dụng như một cơng

cụ lập trình tốn học trong mơ hình một lớp rộng các vấn đề phát sinh trong
ngành khoa học thuần túy và ứng dụng. Trong những hướng nghiên cứu gần
đây, việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân được đưa về việc giải một bài
tốn tương đương có tên là bài toán bù phi tuyến (Nonlinear complementarity
problems - NCP) [4]. Với mong muốn tìm hiểu những kiến thức mới so với bản
thân, dưới sự gợi ý và hướng dẫn của cô Phan Quang Như Anh, em chọn đề tài:
Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến để làm khóa
luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, cố gắng
lĩnh hội được các kiến thức về bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của nó, bài
toán bù phi tuyến, phương pháp Newton nửa trơn áp dụng cho bài toán bù phi
tuyến.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là:


3

- Bất đẳng thức biến phân.
- Bài toán bù phi tuyến.
- Phương pháp Newton nửa trơn áp dụng cho bài tốn bù phi tuyến.
4. Bố cục của khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được trình
bày trong ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến
khơng gian Euclid - n chiều, tập lồi, nón lồi, hàm lồi, đạo hàm riêng, gradient,
phép chiếu trực giao.
Chương 2: Trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân và ứng dụng, các định
lý về nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, mối liên hệ giữa bài toán

bất đẳng thức biến phân và bài toán bù phi tuyến.
Chương 3: Trình bày phương pháp Newton nửa trơn cho bài tốn bù phi tuyến.
Thuật toán thoạt đầu rất giống phương pháp Newton cổ điển ứng dụng cho hệ
phương trình trơn. Tuy nhiên, điểm khác biệt ở đây là ta sử dụng khái niệm
Jacobian suy rộng theo Clark [14] thay vì dùng khái niệm Jacobian cổ điển.
Thuật toán ở đây hội tụ toàn cục với tốc độ hội tụ là siêu tuyến tính.


4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian Metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X = ∅. Một ánh xạ d từ X × X vào R được gọi là
một metric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X :
i. d(x, y) ≤ 0 ; d(x, y) = 0 ⇔ x = y
ii. d(x, y) = d(y, x)
iii. d(x, y) ≥ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác)
Nếu d là metric trên X thì cặp (X, d) là một khơng gian Metric.
Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau
|d(x, y) − d(uv)| ≥ d(x, u) + d(y, v)
1.1.1. Sự hội tụ

Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử
{xn } ⊂ X hội tụ về phần tử x ∈ X nếu lim d (xn , x) = 0.
n→∞

Khi đó ta viết
lim xn = x trong (X, d)

n→∞

xn → x
limxn = x

Như vậy, lim xn = x trong (X, d) có ý nghĩa
n→∞

∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n ≥ 0 ⇒ d (xn , x) < ε

Ta chú ý rằng, các metric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội
tụ khác nhau.
1.1.2. Tập mở. Phần trong

Cho không gian metric (X, d). Với x0 ∈ X, r > 0, ta ký hiệu B(x0 , r) =
{x ∈ X : d(x, x0 ) < r} gọi là quả cầu mở tâm x0 , bán kính r.


5

Định nghĩa 1.1.3. Cho tập hợp A ⊂ X .
1. Điểm x được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A.
2. Tập hợp tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A, ký hiệu IntA.
Hiển nhiên ta có IntA ⊂ A.
3. Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó là điểm trong. Ta qui ước ∅ là
mở. Như vậy, A mở ⇔ A = IntA ⇔ (∀x ∈ A∃r > 0 : B(x, r) ⊂ A)
1.1.3. Tập đóng. Bao đóng của một tập hợp

Cho không gian metric (X, d). Với x0 ∈ X, r > 0, ta ký hiệu B(x0 , r) =

{x ∈ X : d(x, x0 ) < r} gọi là quả cầu mở tâm x0 , bán kính r.

Định nghĩa 1.1.4.

1. Tập hợp A ⊂ X gọi là tập đóng nếu X A là tập

mở.
2. Điểm x được gọi là một điểm dính của tập A nếu A ∩ B(x, r) = ∅, ∀r > 0.
3. Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A. Hiển
nhiên ta ln có A ⊂ A.
1.1.4. Tập compact

Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (X, d)
1. Một họ {Gi : i ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X
nếu A ⊂

Gi
i∈I

Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn.
Nếu mọi Gi là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.
2. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta ln có
thể lấy ra được một phủ hữu hạn.
3. Tập A được gọi là compact tương đối nếu A là tập compact.
1.2. Không gian topo
Định nghĩa 1.2.1. Cho một tập hợp X = ∅. Họ τ các tập hợp con nào đó
của X được gọ là một topo trên X nếu :


6

1. ∅ ∈ τ, X ∈ τ .
Gi ∈ τ .

2. {Gi }i∈I ⊂ τ ⇒
i

3. ∀G1 , G2 ∈ tau ⇒ G1 ∪ G2 ∈ τ .
Tập hợp X cùng topo trên X được gọi là một không gian topo. Ký hiệu :
(X, τ ).

Định nghĩa 1.2.2. Cho A ⊂ X và V ⊂ X . V được gọi là một lân cận của
tập hợp A nếu ∃G ∈ τ : A ⊂ G ⊂ V . Nếu A = {x} thì V được gọi là một lân cận
của điểm x. Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A.
1.3. Không gian Euclid
Định nghĩa 1.3.1. [2] Trong không gian Euclid - n chiều Rn , tích vơ hướng
của hai véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn là một số thực,
ký hiệu x, y , được xác định bởi:
x, y := x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .

Khi đó, với mọi x, y, z ∈ Rn và λ ∈ R, ta có các tính chất sau:
x, y = y, x ,
x + y, z = x, z + y, z ,
λx, y = λ x, y ,
x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = 0.

Định nghĩa 1.3.2. [2] Với mỗi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , chuẩn Euclid của
x, hay gọi tắt là chuẩn, ký hiệu x , là một số thực không âm được xác định
bởi:
x :=

x, x =

x21 + x22 + ... + x2n .

Với mọi x, y ∈ Rn , λ ∈ R, chứng minh được các tính chất của chuẩn như sau:
x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0
λx = |λ| x
x+y ≤ x + y .

Khi đó ta có thể chứng minh được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
| x, y | ≤ x . y

∀x, y ∈ Rn .

Định nghĩa 1.3.3. [4] Dãy điểm xk ⊂ Rn , được gọi là hội tụ đến x ∈ Rn ,
viết tắt xk → x khi k → ∞, nếu
lim

k→∞

xk − x = 0.


7

Dãy xk được gọi là bị chặn, nếu tồn tại M > 0 sao cho xk ≤ M với mọi
k ≥ 0. Dưới đây là một vài tính chất về sự hội tụ trong không gian Rn .

Mệnh đề 1.3.4. [4] Cho (xk ) là một dãy trong không gian Rn . Khi đó:

(i) Nếu xk → x, thì xk → x .
(ii) Nếu xk bị chặn trong Rn , thì tồn tại một dãy con hội tụ xki → x,
(iii) Nếu tồn tại lim xk , thì giới hạn này là duy nhất.
k→∞

1.4. Tập lồi - Nón lồi
Định nghĩa 1.4.1. [1] Tập C được gọi là lồi (convex) nếu với ∀x, y ∈ C và
λ ∈ [0, 1], ta có:
λx + (1 − λ) y ∈ C.

Dễ nhận thấy Rn , ∅, các nửa khơng gian, hình cầu là các tập lồi.
Định nghĩa 1.4.2. [1] Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa
khơng gian đóng được gọi là tập lồi đa diện (polyhedral) hay khúc lồi. Tập lồi
đa diện M có dạng:
M = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} ,

trong đó A là một ma trận cấp m × n và b ∈ Rm .
Định nghĩa 1.4.3. [1] Tập con C trong không gian Rn được gọi là nón
(cone) nếu:
λx ∈ C ∀x ∈ C, λ > 0.

Định nghĩa 1.4.4. [1] Một tập con C trong Rn được gọi là nón lồi nếu nó
vừa là nón vừa là tập lồi, tức là:
λx + µy ∈ C ∀x, y ∈ C, λ, µ > 0.

Các tập:
Rn+ := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xk ≥ 0 ∀k = 1, 2, ..., n} ,
Rn++ := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xk > 0 ∀k = 1, 2, ..., n} ,
là các nón lồi trong Rn .
Định nghĩa 1.4.5. [1] Giả sử C là một tập con của Rn . Giao của tất cả

các tập lồi chứa C được gọi là bao lồi của tập C và được ký hiệu là coC .


8

1.5. Các Định lý tách
Cho các tập hợp A và B trong khơng gian Rn . Ta nói rằng phần tử x∗ = 0
thuộc Rn tách A và B , nếu tồn tại một số α ∈ R sao cho:
x∗ , x ≤ α ≤ x∗ , y

∀x ∈ A, y ∈ B.

Siêu phẳng {x ∈ Rn : x∗ , x = α} được gọi là siêu phẳng tách A và B . Phần
tử x∗ ∈ Rn tách ngặt A và B , nếu tồn tại một số α ∈ R sao cho:
x∗ , x < α < x∗ , y

∀x ∈ A, y ∈ B.

Bổ đề 1.5.1. [4] Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng trong không gian
Rn và 0 ∈
/ C . Khi đó, tồn tại a = 0 sao cho:
sup { a, x : x ∈ C} ≥ inf { a, x : x ∈ C} ≥ 0.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo n. Bổ đề hiển nhiên đúng với
n = 1. Giả sử Bổ đề trên đúng với n = k − 1. Cần chứng minh Bổ đề đúng với
n = k . Đặt:
C0 := x = (x1 , x2 , ..., xk ) ∈ C ⊆ Rk : xk = 0 ,
C+ := x = (x1 , x2 , ..., xk ) ∈ C ⊆ Rk : xk > 0 ,
C− := x = (x1 , x2 , ..., xk ) ∈ C ⊆ Rk : xk < 0 .

Nếu xk = 0 với mọi x ∈ C , thì C có thể đồng nhất với một tập trong Rk−1 .
Theo giả thiết qui nạp, Bổ đề đúng. Nếu C− = ∅ nhưng C+ = ∅, thì vectơ
a = (0, ..., 0, 1) ∈ Rk thỏa mãn Bổ đề. Tương tự, nếu C+ = ∅ và C− = ∅, ta lấy
a = (0, ..., 0, −1) ∈ Rk . Do đó, ta có thể giả sử rằng C+ = ∅ và C− = ∅. Với mọi
x = (x1 , ..., xk ) ∈ C+ , x = (x1 , ..., xk ) ∈ C− và λ > 0 sao cho

(1.5.1)

λ

x
x
−
x k xk

λ
xk

+

λ
xk

= 1, ta có:

∈ C0 .

Khi đó, tập hợp: C∗ = {(x1 , ..., xk−1 ) : (x1 , ..., xk−1 , 0) ∈ C} là một tập con lồi khác
rỗng của Rk−1 và 0 ∈
/ C∗ . Theo giả thiết qui nạp, tồn tại vectơ a∗ = 0 và một

điểm (x1 , ..., xk−1 ) ∈ C∗ sao cho:
k−1

k−1

a∗i xi

(1.5.2)
i=1

a∗i xi : (x1 , ..., xk−1 ) ∈ C∗

≥ inf
i=1

≥ 0.


9

Từ 1.5.1 và 1.5.2, suy ra:
k−1

a∗i
i=1

x
xi
− i
xk xk

≥0

hay p(x) ≤ q(x), trong đó:
k−1

p (x) := −
i=1

a∗i xxki với x ∈ C+ , q (x) := −

k−1
i=1

a∗i xxki với x ∈ C− .

Đặt:
p = sup p (x) , q = sup q (x) .
x∈C+

x∈C+

Ln có p ≤ q . Chọn a = (a∗1 , ..., a∗k−1 , a∗k ), trong đó ak ∈ [p, q]. Khi đó, ta có:
ak − p (x) ≥ 0 ∀x ∈ C+ và ak − p (x) ≤ 0 ∀x ∈ C− .

Kết hợp điều này với 1.5.2, ta nhận được:
k

ai xi ≥ 0, ∀x ∈ C.

a, x =
i=1

Theo qui nạp toán học, Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.5.2. [4] (Định lý tách thứ nhất) Cho A và B là hai tập con, lồi
và khác rỗng của không gian Rn và A ∩ B = ∅. Khi đó, tồn tại một siêu phẳng
tách A và B .
Chứng minh. Do A ∩ B = ∅, nên tập 0 ∈ A − B . Từ A và B lồi, suy ra A − B
lồi. Áp dụng Bổ đề 1.5.1 cho tập C := A − B , tồn tại a = 0 sao cho:
a, x − y ≥ 0 ∀x ∈ A, y ∈ B.

Khi đó, Định lý được chứng minh với α := inf { a, x : x ∈ A} .
Định lý 1.5.3. [4] (Định lý tách thứ hai) Cho A và B là hai tập con, lồi,
đóng và khác rỗng của khơng gian Rn và A ∩ B = ∅. Nếu A hoặc B bị chặn, thì
tồn tại một siêu phẳng tách ngặt A và B .
Chứng minh. Giả sử A bị chặn. Xét tập lồi A − B . Lấy một dãy bất kỳ
z k ⊂ A − B hội tụ đến z , trong đó z k = xk − y k với xk ∈ A, y k ∈ B . Theo tính

bị chặn của A, tồn tại một dãy con xki hội tụ đến x ∈ A. Khi đó, theo tính đóng
của B ,y ki = xki − z ki → x − z ∈ B . Do vậy, z = x − y với x ∈ A, y ∈ B . Vậy,
tập hợp A − B là đóng và 0 ∈
/ A − B . Tồn tại một hình cầu mở B(0, ) sao cho


10

B(0, ) ∩ (A − B) = ∅. Theo Định lý tách thứ nhất, tồn tại a = 0 sao cho:
a, x − y ≥ α ≥ a, z ∀x ∈ A, y ∈ B, z ∈ B (0, ε) .

Suy ra:

a, x − y ≥ α ≥

sup

a, z ∀x ∈ A, y ∈ B

z∈B(0,ε)

Vậy, siêu phẳng H := {x ∈ Rn : a, x = β} tách ngặt hai tập A và B, trong đó
β := min { a, x : x ∈ A} −

α
2

.

1.6. Gradient [2]
Cho f : Rn → R có đạo hàm riêng tại x ∈ Rn . Khi đó, vectơ
∂f (x)
∂f (x) ∂f (x)
,
, ...,
∂x1
∂x2
∂xn

được gọi là Gradient của f tại x. Kí hiệu gradf (x) hay ∇f (x).
1.7. Hàm lồi
Cho ∅ = C ⊆ Rn và hàm f : C → R ∪ {+∞; −∞}. Khi đó, các tập hợp:
domf := {x ∈ C : f (x) < +∞}

epif := {(x, α) ∈ C × R : f (x) < α}

lần lượt được gọi là miền xác định (effective domain) và tập trên đồ thị
(epigraph) của f . Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên C , nếu:
domf = ∅, f (x) > −∞ ∀x ∈ C.

Định nghĩa 1.7.1. [1] Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của Rn và
hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, f được gọi là hàm lồi (convex) trên C nếu tập
trên đồ thị của nó là một tập lồi trong Rn × R và f được gọi là một hàm lõm
(concave) trên C nếu −f là một hàm lồi.
Bổ đề 1.7.2. [1] Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của Rn và hàm
f : C → R ∪ {+∞} là lồi trên C. Khi đó, miền xác định domf của f là một hàm

lồi.
Chứng minh. Theo định nghĩa domf là hình chiếu trên Rn của epif được
xác định bởi:
domf := {x : f (x) < +∞} = {x : ∃α (x, α) ∈ epif }.

Như vậy, domf là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó,
domf là lồi.


11

Mệnh đề 1.7.3. [1] Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của Rn và
hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, f được gọi là một hàm lồi trên C khi và chỉ khi:
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀x, y ∈ C; λ ∈ [0; 1] .

(1.7.1)

Chứng minh. (⇒) Giả sử f là hàm lồi. Bất đẳng thức trên luôn đúng trong
các trường hợp λ = 0 hoặc λ = 1. Xét với λ ∈ (0, 1). Khi đó, nếu f (x) = +∞
hoặc f (y) = +∞ thì λf (x) + (1 − λ) f (y) = +∞ và bất đẳng thức trên đúng. Ta
xét trường hợp f (x) < +∞ và f (y) < +∞. Theo Bổ đề 1.7.2, domf là lồi. Từ
x, y ∈ domf , suy ra [x, y] ⊆ domf và do đó λf (x) + (1 − λ) f (y) < +∞. Giả thiết

cho epif là một tập lồi, nên với mọi (x, α) ∈ epi(f )∀ (y, β) ∈ epi f, λ ∈ (0, 1), ta có:
λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) = (λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f.

Hay:
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λα + (1 − λ) β.

Bằng cách lấy α = f (x), β = f (y), ta nhận được:
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) .
(⇐) Giả sử rằng 1.7.1 đúng,(x, α) ∈ epif và (x, β) ∈ epif . Ta cần chỉ ra:
λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) ∈ epi f ∀x, y ∈ C; λ ∈ [0, 1] .

Từ giả thiết (x, α) ∈ epif, (y, β) ∈ epif , ta có f (x) ≤ α, f (y) ≤ β , ta nhận
được:
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y)
≤ λα + (1 − λ) β.

Suy ra:
(λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f

Hay:
λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) ∈ epi f.

Mệnh đề 1.7.4. [1] Cho D là một tập con, lồi và khác rỗng của R. Nếu f :
D → R là lồi, thì g (x) =

f (x)−f (a)
x−a

tăng trên các miền D1 := {x ∈ D : x < a} , D2 :=

{x ∈ D : x > a}, ở đây a ∈ R.

Mệnh đề 1.7.5. [1] Cho D là một tập con, lồi và khác rỗng của R và
f : D → R là khả vi. Khi đó, f lồi khi và chỉ khi đạo hàm f (x) tăng trên miền
D.


12

Mệnh đề 1.7.6. [1] cho D là một tập con, lồi và khác rỗng của R và
f : D → R là khả vi cấp 2. Khi đó, f là lồi khi và chỉ khi f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ D.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.7.5, f (x) lồi trên miền D khi và chỉ khi
f (x) tăng trên miền D. Ta đã biết rằng: Một hàm số khả vi tăng trên miền xác

định D khi và chỉ khi đạo hàm của nó khơng âm trên miền đó. Do vậy, f (x) ≤ 0
với mọi x ∈ D.
Tổng quát về tính lồi của hàm f (x) của Mệnh đề 1.7.6 trong không gian
Rn như sau:
Định lý 1.7.7. [1] Một hàm thực f (x) khả vi hai lần trên một tập lồi mở
khác rỗng C trong không gian Rn khi và chỉ khi với mỗi x ∈ C , ma trận Hessian
của nó:
Qx = (qij (x)) , qij (x) =

∂ 2f
(x1 , x2 , ..., xn )
∂xi ∂j

nửa xác định dương, tức là:
u, Qx u ≥ 0 ∀u ∈ Rn ,

nên theo Mệnh đề 1.7.6 suy ra điều phải chứng minh.
Cho f : Rn → R. Bằng cách sử dụng trực tiếp Định lý 1.7.7 [4] cho bài tốn
qui hoạch tồn phương, ta nhận được kết quả sau.
Hệ quả 1.7.8. [1] Hàm toàn phương
1
x, Qx + x, a + α
2
trong đó Q là ma trận vng cấp n,a ∈ Rn , α ∈ R, là một hàm lồi trên Rn nếu
f (x) =

và chỉ nếu Q nửa xác định dương.
Định nghĩa 1.7.9. [4] Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của Rn và
hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, f được gọi là lồi chặt (strictly convex) trên C,
nếu với ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1), ta có:
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) .

Hiển nhiên rằng một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại là không
đúng.
Định nghĩa 1.7.10. [1] Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của Rn và
f : C → R. Hàm f được gọi là lồi mạnh (strongly convex) với hằng số β > 0 trên


13

C , nếu:
1
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) β x2 − y 2
2

∀x, y ∈ C.

Khi đó, β được gọi là hằng số lồi mạnh của f .
Định nghĩa 1.7.11. [1] Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của Rn và
hàm lồi chính thường f : C → R ∪ {+∞}. Một vectơ p ∈ C được gọi là dưới đạo
hàm (subgradient) của f tại x0 ∈ C , nếu:
p, x − x0 + f x0 ≤ f (x) ∀x ∈ C.

Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x0 được gọi là dưới vi phân (subdifferential) của f tại x0 và được ký hiệu là ∂f x0 hay:
∂f x0 = p ∈ C : p, x − x0 + f x0 ≤ f (x) ∀x ∈ C .

Hàm f được gọi là khả vi dưới vi phân (subdifferential) tại x0 nếu ∂f x0 =
∅. Hàm lồi f được gọi là khả dưới vi phân trên miền C , nếu f khả dưới vi phân

tại mọi điểm x ∈ C .
Định nghĩa 1.7.12. [1] Cho C ⊆ Rn và x∗ ∈ C . Nón pháp tuyến ngồi
(outer norm cone) tại điểm x∗ của tập C là tập hợp:
NC (x∗ ) = {w ∈ Rn : w, y − x∗ ≤ 0 ∀y ∈ C} .

Vectơ w ∈ NC (x∗ ) được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ của C .
Định nghĩa 1.7.13. [4] Cho hàm f : Rn → [−∞, +∞], các tập
{x : f (x) < a} , {x : f (x) ≥ a} ,

trong đó a ∈ [−∞, +∞] lần lượt được gọi là tập mức dưới và tập mức trên của

f.

Mệnh đề 1.7.14. Tập mức dưới của một hàm lồi và tập mức trên của
một hàm lõm là các tập lồi.
Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm lồi, với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ (0, 1),
ta có:
f ((1 − λ) x + λy) ≤ (1 − λ) f (x) + λf (y) ≤ max {f (x) , f (y)} .

Từ đó, suy ra mệnh đề đươc chứng minh.
Định lý 1.7.15. [4] (Moreau-Rockafellar) Cho các hàm lồi chính thường


14

f1 , f2 , ..., fm trên Rn . Khi đó, với mọi x ∈ Rn
∂ (f1 + f2 + ... + fm ) (x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + ... + ∂fn (x) .

(1.7.2)

Hơn nữa, nếu các hàm f1 , f2 , ..., fm (có thể trừ một hàm) liên tục tai một
điểm x = ∩m
i=1 domfi , thì:
∂ (f1 + f2 + ... + fm ) (x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x) + ... + ∂fn (x) .

Chứng minh. Với m = 2, ta cần chứng minh rằng:
∂ (f1 + f2 ) (x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) .

Lấy x1 ∗ ∈ ∂f1 (x) , x2 ∗ ∈ ∂f2 (x). Theo định nghĩa, ta có:
fi (y) − fi (x) ≥ xj ∗, y − x ∀ ∈ Rn i = 1, 2.

Cộng các bất đẳng thức trên, ta nhận được:
(f1 + f2 ) (y) − (f1 + f2 ) (x) ≥ x1 ∗ +x2 ∗, y − x ∀y ∈ Rn .

Điều này kéo theo x1 ∗ +x2 ∗ ∈ ∂ (f1 + f2 ) (x). Như vậy:
∂ (f1 + f2 ) (x) ⊇ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) .

Từ tính chất rằng tổng các hàm lồi là một hàm lồi, bằng qui nạp, ta chứng
minh được bao hàm thức trên là đúng.
Tương tự, chứng minh bao hàm thức trên xảy ra dấu bằng chỉ cần đúng
với m = 2. Giả sử f1 liên tục tại x ∈ domf2 . Với mọi > 0, tồn tại lân cận mở Ux
chứa x sao cho:
f1 (x) − f1 (x) < ε ∀x ∈ Ux

Khi đó, tập hợp:
{(x, α) ∈ Rn × R : f1 (x) < α − ε, x ∈ Ux } .

là một tập con mở của int(epif1 ). Như vậy,int(epif1 ) là khác rỗng và do đó:
C1 := int (epif1 ) − (x, f1 (x)) = ∅.

(1.7.3)
Đặt:

C2 = {(z, α) ∈ Rn × R : α < x∗ , z − f2 (x + z) + f2 (x) , x ∈ Ux } .

Lấy 2 phần tử bất kỳ của C2 : (zi , αi ) ∈ C2 (i = 1, 2) , λ ∈ [0, 1], ta có:
(1.7.4)

αi < x∗ , zi − f2 (x + zi ) + f2 (x) ∀i = 1, 2.

15

Mặt khác f2 là hàm lồi trên Rn , nên ta có:
f2 (λ (x + z1 ) + (1 − λ) (x + z2 )) ≤ λf2 (x + z1 ) + (1 − λ) f2 (x + z2 ) .

(1.7.5)

Kết hợp 2 biểu thức trên, ta nhận được:
λα1 + (1 − λ) α2 < x∗ , λz1 + (1 − λ) z2 − f2 (λ (x + z1 ) + (1 − λ) (x + z2 )) + f2 (x) .

Suy ra λ (z1 , α1 ) + (1 − λ) (z2 , α2 ) ∈ C2 . Vậy, C2 là lồi. Ta sẽ chứng minh rằng
C1 ∩ C2 = ∅. Giả sử ngược lại rằng tồn tại (z0 , x0 ) ∈ C1 ∩ C2 . Ta có :
f1 (x + z0 ) − f1 (x) < x∗ , z0 − f2 (x + z0 ) + f2 (x) ,

và do đó:
f1 (x + z0 ) + f2 (x + z0 ) − [f1 (x) + f2 (x)] < x∗ , z0 .

Điều này mâu thuẫn với x∗ ∈ ∂ (f1 + f2 ) (x). Vậy, C1 và C2 là 2 tập lồi thỏa
mãn intC1 = ∅ và C1 ∩ C2 = ∅. Theo Định lý 1.5.2 (tách thứ nhất), tồn tại
x1 ∗ ∈ Rn và β ∈ R sao cho:
sup { x1 ∗, z + βα : (z, α) ∈ C1 } ≤ inf { x1 ∗, z + βα : (z, α) ∈ C2 } .

(1.7.6)

Nếu β > 0, thì bất đẳng thức trên mâu thuẫn, do vậy β ≥ 0. Nếu β = 0,
thì:
sup { x1 ∗, z : z ∈ domf1 − x} ≤ inf { x1 ∗, z : z ∈ domf2 − x} .

Mặt khác, x1 ∗ = 0 suy ra (x1 ∗, β) = 0 và do đó:
x∗ , x − x < sup { x∗ , z : z ∈ Ux − x} ≤ sup { x∗ , z : z ∈ domf1 − x} .

Mà:
inf { x∗ , z : z ∈ domf2 − x} ≤ x∗ , x − x < sup { x∗ , z : z ∈ domf1 − x} .

Điều này mâu thuẫn với (1.15). Như vậy, β = 0 và do đó β < 0. Khơng
mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết rằng β = −1. Với mọi z ∈ Rn , ta ln có
(z, f1 (x + z) − f1 (x)) ∈ C1 và (z, x∗ , z − f2 (x + z) + f2 (x)) ∈ Cl (C2 ). Theo bất

đẳng thức (1.14), ta có:
sup { x1 ∗, z − f1 (x + z) + f1 (x) : z ∈ Rn }
≤ inf { x1 ∗ −x∗ , z + f2 (x + z) − f2 (x) : z ∈ Rn } .

Nếu z = 0, thì hai vế bằng nhau và bằng 0. Đặt x2 ∗ = x∗ − x1 ∗, ta có:
f1 (x + z) − f1 (x) ≥ x1 ∗, z ∀z ∈ Rn ,


16

và:
f2 (x + z) − f2 (x) ≥ x2 ∗, z ∀z ∈ Rn .

Như vậy, xi ∗ ∈ ∂fi (x) với mọi i = 1, 2 và x∗ = x1 ∗ +x2 ∗ ∈ ∂f1 (x) + ∂f2 (x) và
do đó ∂ (f1 + f2 ) (x) ⊆ ∂f1 (x) + ∂f2 (x).
Định nghĩa 1.7.16. [4] Cho hàm số f : Rn → R, x ∈ Rn và d ∈ Rn . Đạo
hàm theo phương d của hàm f tại điểm x, ký hiệu Dd (x), được xác định bởi:
Dd (x) := lim

λ→0+

f (x + λd) − f (x)

λ

nếu giới hạn này tồn tại.
Định lý 1.7.17. [4] Cho hàm f : D ⊆ Rn → R khả vi tại điểm x ∈ D. Khi
đó, đạo hàm theo phương d = (d1 , d2 , ..., dn ) được xác định bởi công thức:
(1.7.7)

Dd f (x) =

∂f
∂f
∂f
(x) d1 +
(x) d2 + ... +
(x) dn .
∂x1
∂x2
∂xn

Định nghĩa 1.7.18. [4] Cho C là một tập con, khác rỗng của Rn và
f : C → R. Một điểm x0 ∈ C được gọi là cực tiểu địa phương (local minimizer)

của f trên C , nếu tồn tại lân cận U (x0 ) của x0 sao cho:
−∞ < f x0 ≤ f (x) ∀x ∈ C ∩ U x0 .

Điểm x0 được gọi là cực tiểu toàn cục (global minimizer) của f trên C , nếu:
−∞ < f x0 ≤ f (x) ∀x ∈ C.

Định lý 1.7.19. [4] (Weierstrass) Cho C là một tập compact trong Rn và
f là một hàm nửa liên tục dưới trên C . Khi đó, bài tốn min {f (x) : x ∈ C} có

nghiệm.
Chứng minh. Đặt:
α := inf {f (x) : x ∈ C} .

Theo định nghĩa của inf, tồn tại một dãy xk ⊂ C sao cho lim f xk = α.
x→+∞

Do C compact, nên

xk

bị chặn và tồn tại một dãy con

x ki

hội tụ về x∗ ∈ C .

Theo giả thiết nửa liên tục dưới của f , ta có: α > −∞ và α ≤ f (x0 ). Do x0 ∈ C ,
nên α ≥ f (x0 ). Vậy,α = f (x0 ).
Định lý 1.7.20. [4] Cho C là một tập đóng (có thể khơng bị chặn) trong
Rn và f là một hàm nửa liên tục dưới trên C thỏa mãn điều kiện bức:
f (x) → +∞ khi x ∈ C và x → +∞.


17

Khi đó, bài tốn min {f (x) : x ∈ C} có nghiệm.
Chứng minh. Với mỗi a ∈ C , ta xây dựng tập mức dưới:
C (a) := {x ∈ C : f (x) ≤ f (a)} .

Do C đóng và f là một hàm nửa liên tục dưới trên C , nên C(a) là một tập
compact. Áp dụng Định lý Weierstrass, bài toán min {f (x) : x ∈ C} có nghiệm
x0 (a) ∈ C(a). Hay:
f x0 (a) ≤ f (x) ∀x ∈ C.

Nếu

x0 (a)

bị chặn, suy ra điều phải chứng minh. Ngược lại, suy ra

f x0 (a) → +∞ khi x0 (a) → +∞ là mâu thuẫn.

Định lý 1.7.21. [4] Cho C là một tập lồi, khác rỗng của Rn và f : C → R
là một hàm lồi. Khi đó, mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C cũng là
điểm cực tiểu toàn cục, và nếu tập tất cả các điểm cực tiểu toàn cục Sol (f ) :=
arg min {f (x) : x ∈ C} = ∅ thì Sol (f ) là một tập con lồi của C . Hơn nữa, nếu f

là lồi chặt và Sol(f ) = 0 thì Sol(f ) có duy nhất một điểm.
Chứng minh. Giả sử x0 là điểm cực tiểu địa phương của f trên C . Khi
đó, theo định nghĩa điểm cực tiểu địa phương, tồn tại một lân cận U (x0 ) của x0
sao cho:
−∞ < f x0 ≤ f (x) ∀x ∈ C ∩ U x0 .

Lấy một phần tử x bất kỳ thuộc C . Khi đó, tồn tại λ ∈ (0, 1) đủ nhỏ thỏa
mãn xλ := (1 − λ) x0 + λx ∈ C ∩ U x0 . Theo định nghĩa của điểm cực tiểu địa
phương x0 , ta có:
f x0 ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ) f x0 + λf (x) ≤ (1 − λ) f (x) + λf (x) ,

và do đó f (x0 ) ≤ f (x) với mọi x ∈ C . Vậy, x0 cũng là điểm cực tiểu toàn cục f
trên C.
Lấy bất kỳ 2 điểm x∗ , x ∈ Sol (f ). Khi đó, tồn tại α ∈ R sao cho:
α = f (x∗ ) = f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ C.

Ký hiệu xλ := (1 − λ) x∗ + λx, ta có:
f (xλ ) = f (λx∗ + (1 − λ) x) ≤ λf (x∗ ) + f (x) (1 − λ) = α.

Như vậy, xλ ∈ Sol(f ) và do đó Sol(f ) là một tập lồi.


18

Giả sử Sol(f ) = ∅ và tồn tại x∗ , x ∈ Sol(f ) sao cho x∗ = x. Theo chứng minh
trên, Sol(f ) là lồi và do đó xλ := (1 − λ) x∗ + λx ∈ Sol(f ). Theo Định nghĩa 1.7.9,
ta có
f (x∗ ) = f (xλ ) = f (λx∗ + (1 − λ) x) < λf (x∗ ) + (1 − λ) f (x) ≤ f (x∗ )

Do vậy, tập nghiệm Sol(f ) có duy nhất một điểm.
Định lý 1.7.22. [4] Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của Rn ,
f : Rn → Rn là một hàm lồi khả dưới vi phân trên C và C ⊂ int (domf ). Điều

kiện cần và đủ để điểm x0 ∈ C là điểm cực tiểu địa phương của f trên C là:
0 ∈ ∂f x0 + NC x0 .

Hệ quả 1.7.23. [4] Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của Rn và
f : Rn → R là một hàm lồi khả vi trên C . Khi đó, x∗ ∈ C là cực tiểu địa phương

của f trên C khi và chỉ khi:
∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Chứng minh. Do F là hàm lồi và khả vi trên C , nên ∂f (x) = {∇f (x)}.
Theo Định lý 1.7.22, x∗ ∈ C là cực tiểu địa phương của hàm f trên C khi và chỉ
khi 0 ∈ ∇f (x∗ ) + NC (x∗ ), hay
∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Hệ quả 1.7.24. [4] Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của Rn và
f : Rn → R là một hàm lồi khả vi phân trên C . Khi đó x∗ ∈ intC là cực tiểu địa

phương của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (x∗ ).
Chứng minh. x∗ ∈ intC , nên NC (x∗ ) = {0}. Theo Định lý 1.7.22, x∗ ∈ C
là cực tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ), hay 0 ∈ ∂f (x∗ ).
1.8. Phép chiếu trực giao
Cho C là một tập con, lồi, đóng, và khác rỗng của một không gian Rn .
Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của một điểm x ∈ Rn
trên C dưới chuẩn Euclid
(1.8.1)

· , ký hiệu PrC (x), được xác định bởi:

PrC (x) = arg min { x − y : y ∈ C} .

Theo định nghĩa, hình chiếu vng góc PrC (x) của x trên C là nghiệm của


19

bài tốn qui hoạch tồn phương lồi mạnh:
1
x−y 2 :y ∈C .

2
Tính chất 1.8.1. [4] Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn .
min

Khi đó, hàm số dC : Rn → R là lồi.
Chứng minh. với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ [0, 1]. Đặt z = λx + (1 − λ)y . Chú ý
rằng, nếu C = ∅ thì dC (x) là hữu hạn vì 0 ≤ dC (x) ≤ x − y với mọi y ∈ C . Do
vậy, tồn tại xn , y n ∈ C sao cho:
dC (x) = lim

x − xn ,

dC (y) = lim

y − xn .

n→+∞

n→+∞

Do C lồi, nên z n = λxn + (1 − λ)y n ∈ C . Theo định nghĩa của dC , ta có:
dC (z) = z − PrC (z)
≤ z − zn
.
= λ (x − xn ) + (1 − λ) (y − y n )
n
n
λ x − x + (1 − λ) y − y

và do đó:

dC (λx + (1 − λ) y) = dC (z)
≤ λ lim x − xn + (1 − λ) lim
=

n→+∞
λdC (x) + (1 − λ) dC

n→+∞

y − yn

(y) .

Theo định nghĩa, dC là hàm lồi trên Rn .
Tính chất 1.8.2. [4] Cho C là một tập con, lồi, đóng, và khác rỗng của
Rn . Với mọi x ∈ C và x ∈ Rn , các tính chất sau là tương đương:
(i) x = PrC (x) ;
(ii) x − x ∈ NC (x) ;
(iii) y − x

2

≤ y−x

2

− x−x

2

∀y ∈ C .

Chứng minh. (ii ⇔ iii) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngồi x − x ∈
NC (x), với mỗi y ∈ C , ta có:
0 ≥ x − x, y − x
= x − x, y − x + x − x
= x − x 2 x − x, y − x .

Khi đó:
y−x

2

+ 2 x − x, y − x + x − x

2

≤ y−x

2

− x − x 2.


20

Điều này kéo theo:
y−x

2

≤ y−x

2

− x−x

2

và như vậy (ii) tương đương với (iii).
(i ⇒ ii) Giả sử x = PrC (x). Do C lồi, nên với mọi y ∈ C tồn tại λ ∈ (0, 1) sao

cho xλ = λy + (1 − λ)x ∈ C . Theo định nghĩa của phép chiếu x = PrC (x), ta có:
x−x

2

≤ x − xλ 2
= λy + (1 − λ) x − x 2
= λ (y − x) + x − x 2
= λ y − x 2 + 2λ y − x, x − x + x − x 2 .

Do vậy:
λ y−x

2

+ 2λ y − x, x − x ≤ 0 ∀λ ∈ (0, 1) .

Cho λ → 0+ , ta có y − x, x − x ≤ 0 với mọi y ∈ C . Điều này có nghĩa rằng

x − x ∈ NC (x).
(ii ⇒ i) Theo chứng minh trên (iii ⇔ ii) và (iii), ta có:
x−x

2

≤ x−x

2

+ y−x

2

≤ y−x

2

∀y ∈ C.

Như vậy x = P rC (x).
Tính chất 1.8.3. [4] Cho C là một tập con, lồi, đóng và khác rỗng của
Rn . Khi đó, với mọi x ∈ Rn , hình chiếu của x trên C , PrC (x) tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Do C khác rỗng và tính chất bị chặn của dC , nên tồn tại
cận dưới đúng của dC (x). Theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại một dãy
xn ∈ C sao cho:
dC (x) = lim xn − x < +∞.
n→∞

Khi đó, dãy {xn } bị chặn trong khơng gian Rn . Do vậy, tồn tại một dãy

con {xnk } bị chặn trong không gian Rn . Do vậy, tồn tại một dãy con {xnk } hội
tụ tới x. Từ C đóng, suy ra x ∈ C . Như vậy:
dC (x) = lim xn − x = lim xnk − x = x − x
n→∞

k→∞

và do đó x = P rC (x).
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của P rC (x). Giả sử tồn tại 2 điểm x
và x∗ là hình chiếu của x trên C . Theo Tính chất 1.6.2 (ii) và x∗ = P rC (x), ta


21

có:
x − x∗ , y − x∗ ≤ 0 ∀y ∈ C.

Thay thế y = x ∈ C , ta nhận được:
x − x∗ , x − x∗ ≤ 0

Bằng cách làm tương tự, ta cũng có:
x − x, x − x ≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có:
x − x∗

2

≤ 0.

Như vậy, x∗ = x và phép chiếu P rC (x) tồn tại và duy nhất.
Dùng công thức (1.22), ta chứng minh được các tính chất sau.
Tính chất 1.8.4. [4]
(i) PrC (x) − PrC (y)

2

≤ PrC (x) − PrC (y) , x − y ∀x, y ∈ Rn ,

(ii) PrC (x) − PrC (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ Rn ,
(iii) PrC (x) − x

2

≤ x−y

2

− PrC (x) − x + y − PrC (y) 2 ∀x, y ∈ Rn ,

(iv) PrC (x) − y

2

≤ x−y

2

− PrC (x) − x 2 ∀x, y ∈ Rn , y ∈ C .

Chứng minh. (i) Từ tính chất 1.2 (ii): x − P rC (x) ∈ NC (PrC (x)), suy ra:
x − PrC (x) , z − PrC (x) ≤ 0 ∀z ∈ C.

Thay z trong bất đẳng thức này bởi P rC (y), ta nhận được:
x − PrC (x) , PrC (y) − PrC (x) ≤ 0 .

Bằng cách làm tương tự, ta cũng có:
y − PrC (x) , PrC (x) − PrC (y) ≤ 0 .

Cộng hai bất đẳng thức trên, ta nhận được bất đẳng thức (i).
(ii) Trường hợp này được suy ra trực tiếp từ (i) bằng việc áp dụng bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz:
x, y ≤ x

cho vế phải của bất đẳng thức này.

y

∀x, y ∈ Rn ,