Phương pháp newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến

Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

Mục lục
1

Lời nói đầu

2

Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
1.1 Phát biểu bài toán
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

3

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN
CHO BÀI TOÁN BÙ PHI TUYẾN
2.1 Giới thiệu bài tốn
2.2 Tính chất của tốn tử Φλ
Tính chất của hàm Ψλ
2.4 Thuật toán và sự hội tụ
2.5 Kết quả tính tốn

4

KẾT LUẬN


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60 của
thế kỷ XX, là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các
bài toán cân bằng. Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới
thiệu lần đầu tiên vào năm 1966.Những nghiên cứu đầu tiên về bất
đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến phân,
bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên cho phương trình
đạo hàm riêng.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức biến phân là một cơng cụ khá hữu ích trong việc
nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, cơ khí,
nghiên cứu tốn tử và vật lí tốn. Bài tốn bất đẳng thức biến
phân liên quan mật thiết đến các bài toán tối ưu khác. Gần đây, bài
toán bất đẳng thức biên phân cũng là một đề tài được nhiều người
quan tâm nghiên cứu vì vai trị của nó được sử dụng như một cơng
cụ lập trình tốn học trong mơ hình một lớp rộng các vấn đề phát
sinh trong ngành khoa học thuần túy và ứng dụng. Trong những
hướng nghiên cứu gần đây, việc giải bài toán bất đẳng thức biến
phân được đưa về việc giải một bài toán tương đương có tên là bài
tốn bù phi tuyến (Nonlinear complementarity problems - NCP)
[4]. Với mong muốn tìm hiểu những kiến thức mới so với bản thân,
dưới sự gợi ý và hướng dẫn của cô Phan Quang Như Anh, em
chọn đề tài: Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán bù
phi tuyến để làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

Mục đích nghiên cứu

• Bất đẳng thức biến phân.
• Bài tốn bù phi tuyến.
• Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán bù phi tuyến.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

Bố cục của khóa luận

Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được
trình bày trong ba chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến
thức liên quan đến không gian Euclid - n chiều, tập lồi, nón lồi,
hàm lồi, đạo hàm riêng, gradient, phép chiếu trực giao.

• Chương 2: Trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân và ứng
dụng, các định lý về nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân,
mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán bù
phi tuyến.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

Bố cục của khóa luận

• Chương 3: Trình bày phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán
bù phi tuyến. Thuật toán thoạt đầu rất giống phương pháp
Newton cổ điển ứng dụng cho hệ phương trình trơn. Tuy nhiên,
điểm khác biệt ở đây là ta sử dụng khái niệm Jacobian suy rộng
theo Clark [14] thay vì dùng khái niệm Jacobian cổ điển. Thuật
tốn ở đây hội tụ tồn cục với tốc độ hội tụ là siêu tuyến tính.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.1 Phát biểu bài toán

Bài toán
Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của Rn và
F : C → Rn . Khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân, viết tắt
VI (F , C ), được phát biểu dưới dạng:
Tìm x ∗ ∈ C sao cho F (x ∗ ) , x − x ∗ ≥ 0 ∀x ∈ C .
Như thường lệ, F được gọi là ánh xạ giá.
Một biểu diễn hình học của bài tốn bất đẳng thức biến phân
VI (F , C ) có dạng: x ∗ ∈ C là một nghiệm của VI (F , C ) khi và chỉ
khi góc tạo bởi véc tơ F (x ∗ ) và véc tơ y − x ∗ là góc nhọn hoặc
vng góc với mọi y ∈ C .


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Định nghĩa 1.2.1
Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của không gian Rn và một
ánh xạ F : C → Rn . Ánh xạ F được gọi là

(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hằng số β > 0,
nếu
F (x) − F (y ) , x − y ≥ β x − y 2 ∀x, y ∈ C ,
(b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C , nếu
F (x) − F (y ) , x − y > 0 ∀x, y ∈ C , x = y ,
(c) đơn điệu (monotone) trên C , nếu
F (x) − F (y ) , x − y > 0 ∀x, y ∈ C ,


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

(d) γ-giả đơn điệu mạnh (strongly pseudomonotone) trên C , nếu
với mỗi x, y ∈ C ,
F (y ) , x − y ≥ 0 ⇒ F (x) , x − y ≥ γ x − y

2

,

(e) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C , nếu với mỗi x, y ∈ C ,
F (y ) , x − y ≥ 0 ⇒ F (x) , x − y ≥ 0,
(f) tựa đơn điệu (quasimonotone) trên C , nếu với mỗi x, y ∈ C ,
F (y ) , x − y > 0 ⇒ F (x) , x − y ≥ 0,
(g) tựa đơn điệu hiển (explicilty quasimonotone) trên C , nếu với
mỗi x, y ∈ C ,
F (y ) , x − y > 0 ⇒ F (z) , x − y ≥ 0 ∀z ∈

x +y
,x .

2


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Mệnh đề 1.2.2
Cho C là một tập con, lồi khác rỗng của Rn . Nếu F : C → Rn là
ánh xạ tựa đơn điệu và affine (hay F (x) = Mx + q, M là một ma
trận vng cấp n), thì F là tựa đơn điệu hiển trên C .
Mệnh đề 1.2.3
Cho C là một tập còn, lồi, mở và khác rỗng của Rn . Nếu
F : C → Rn là ánh xạ tựa đơn điệu và affine (hay F (x) = Mx + q,
M là một ma trận vng cấp n), thì F là giả đơn điệu trên C.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài tốn 1.2.1
Một trường hợp riêng điển hình của bài toán VI (F , C ) là bài toán
qui hoạch lồi khả vi ở đây g : C → R là một hàm lồi khả vi trên C .
Thật vậy, x ∗ là nghiệm của bài toán (??) khi và chỉ khi x ∗ là
nghiệm của bài toán tối ưu không ràng buộc
min {g (x) + δC (x) : x ∈ Rn } ,
trong đó δC là hàm chỉ trên C . Áp dụng điều kiện tối ưu cho bài
tốn lồi khơng ràng buộc và tính chất ∂δC (x) = NC (x), ta được
0 ∈ ∂ (g + δC ) (x ∗ ) = 0 ∈ ∇g (x ∗ ) + NC (x ∗ ) .
Hay
−∇g (x ∗ ) ∈ NC (x ∗ ) ⇔ ∇g (x ∗ ) , x − x ∗ ≥ 0 ∀x ∈ C .

Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài tốn 1.2.1

Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài trên C tại điểm x ∗ ,x ∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI (∇g , C ).


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán 1.2.2 Bài toán bù phi tuyến NCP

Bài toán
Giả sử C = R+n := x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0 ∀i = 1, n và
ánh xạ F : C → Rn . Bài toán bù phi tuyến được phát biểu dưới
dạng
Tìm x ∗ ∈ C sao cho F (x ∗ ) ∈ C và F (x ∗ ) , x ∗ = 0.
Định lý 1.2.4
Điểm x ∗ là một nghiệm của bài toán bù phi tuyến nếu và chỉ nếu
x ∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán 1.2.2 Bài toán bù phi tuyến NCP

Định nghĩa 1.2.5
Trong bài toán bất đẳng thức biến phân, với mỗi x ∈ C và λ > 0,
xét ánh xạ FCnat : C → Rn được xác định bởi
FCnat (x) = x − PRC (x − λF (x)) .
Mệnh đề 1.2.6
Điểm x ∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân nếu
và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FCnat , hay 0 = FCnat (x ∗ ).
Định lý 1.2.7
Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của một không
gian Rn , và một ánh xạ liên tục F : C → Rn . Khi đó bài tốn bất
đẳng thức biến phân có nghiệm.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán 1.2.2 Bài toán bù phi tuyến NCP
Định lý 1.2.8
Cho C là một tập cịn lồi, đóng và khác rỗng của không gian Rn ,
và một ánh xạ liên tục F : C → Rn . Khi đó, bài tốn bất đẳng
thức biến phân có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại r > 0 sao cho bài
toán bất đẳng thức biến phân VI (F , C ∩ B (0, r )) có một nghiệm
xr thỏa mãn r > xr
Hệ quả 1.2.8
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một khơng gian
Rn , và một ánh xạ liên tục F : C → Rn thoả mãn điều kiện bức,
hay tồn tại x 0 ∈ C sao cho
F (x) − F x 0 , x − x 0
→ +∞ khi
x − x0

x → +∞, ∀x ∈ C .


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài tốn 1.3.1
Bài tốn cân bằng mạng giao thơng
Xét một mạng giao thông cho bới một mạng luồng hữu hạn. Giả
sử các dữ liệu được cho bởi :
N : Tập hợp các nút của mạng.
A : Tập hợp các cạnh mà mỗi cạnh là một đoạn đường. Giả
sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử của O
được gọi là điểm nguồn, cịn mỗi phần tử của D được gọi là
điểm đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau
bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh ( được gọi là một tuyến
đường ).
I : Tập hợp các phương tiện giao thông.
fai : Mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường
a ∈ A. Đặt f là véc tơ có các thành phần fai với i ∈ I và
a ∈ A.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài tốn 1.3.1

Bài tốn cân bằng mạng giao thơng

cai : Chi phí khi sử dụng phương tiện giao thơng i trên đoạn
đường a ∈ A. Đặt c là véc tơ có các thành phần cai với i ∈ I
và a ∈ A. Chi phí giao thơng hồn tồn phụ thuộc vào lưu
lượng, tức là c = c(f ) là một hàm của biến f .
dwi : Nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên đoạn
đường w = (o, d) với o ∈ O và d ∈ D.
λiw : Mức độ chi phí giao thơng trên tuyến đường w của
phương tiện giao thông i.
xwi : Mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến
w ∈ O × D.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài tốn 1.3.1
Giả sử trong mạng giao thơng trên, phương trình cân bằng sau
được thỏa mãn:
dwi =

xpi ∀i ∈ I , w ∈ O × D,

(1)

p∈Pw

trong đó, Pw là tập hợp các tuyến đường của w = (o, d) nối
điểm nguồn o và điểm đích d. Trên phương trình (1), thì nhu
cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến đường w bằng đúng
tổng mật độ giao thông của phương tiện đó trên mọi tuyến

đường nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi
đó, ta có phương trình :
fai =

xpi δap ∀i ∈ I , w ∈ O × D.
p∈Pw

(2)


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài tốn 1.3.1
trong đó
1, a ∈ p,
0, a ∈
/ p.

δap =

Với mỗi tuyến đường p nối điểm nguồn o và điểm đích p, đặt:
Cpi =

cai δap .

(3)

a∈A

Như vậy, Cpi là chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến
đường p. Đặt d là véc tơ có các thành phần là dwi với
i ∈ I , w ∈ O × D. Một cặp (d ∗ , f ∗ ) thỏa mãn các điều kiện (1),
(2) được gọi là một điểm cân bằng của mạng giao thông, nếu :
Cpi (f ∗ ) =

= λiw (d ∗ ) , xpi > 0,
> λiw (d ∗ ) , xpi > 0,

(4)


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán 1.3.1
với mỗi tuyến đường p và với mỗi i ∈ I . Theo định nghĩa này, tại
điểm cân bằng đối với mỗi loại phương tiện giao thông và mỗi
tuyến đường, chi phí thấp nhất khi có lưu lượng giao thơng trên
tuyến đó. Trái lại, chi phí thấp nhất khi có lưu lượng giao thơng
trên tuyến đó. Trái lại, chi phí sẽ khơng phải thấp nhất. Đặt :
C = {(f , d) : ∃x ≥ 0} sao cho (1) và (2) đúng.
Khi đó, ta có định lý sau:
Định lý 1.3.1
Một cặp véc tơ (f ∗ , d ∗ ) ∈ C là một điểm cân bằng của mạng
giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài tốn bất đẳng
thức biến phân: Tìm (f ∗ , d ∗ ) ∈ C sao cho
c (f ∗ ) , λ (f ∗ ) , (f , d) − (f ∗ , d ∗ ) ≥ 0 ∀ (f , d) ∈ C .

(5)

Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
1.3 Ứng dụng của bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán 1.3.1

Định lý 1.3.2
Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của khơng gian Rn và
một ánh xạ liên tục F : C → Rn . Khi đó,
(i) Tập nghiệm Sol(F , C ) là lồi và đóng,
(ii) Sol(F , C )∗ ⊆ Sol (F , C ) ,
(iii) Nếu F là ánh xạ giả đơn điệu thì Sol(F , C ) ⊆ Sol (F , C )∗ .


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
2.1 Giới thiệu bài toán

Xét bài toán NCP(F)
xi ≥ 0, Fi (x) ≥ 0, xi Fi (x) = 0 ∀i ∈ I := {1, ..., n} ,
với ánh xạ F : Rn → Rn là hàm khả vi liên tục.
Bài toán này được ứng dụng trong các hoạt động nghiên cứu, các
bài toán tối ưu trong kinh tế và trong khoa học kĩ thuật.
Trên thực tế, có rất nhiều phương pháp để giải bài toán bù phi
tuyến. Rất nhiều trong số đó dựa trên hàm bù phi tuyến. Hàm
này là một ánh xạ ϕ : R2 → R có tính chất
ϕ (a, b) = 0 ⇔ a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 0.


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C

2.1 Giới thiệu bài tốn

Hai ví dụ điển hình cho hàm bù phi tuyến đo là 2 hàm cực tiểu
ϕ (a, b) = min {a, b}
cùng với hàm Fischer
ϕ (a, b) =

a2 + b 2 − a − b.

Chúng ta sẽ tìm hiểu tính chất của một lớp mới của hàm sau
ϕλ (a, b) =

(a − b)2 + λab − a − b,

(6)

với λ là một hằng số sao cho λ ∈ (0, 4). Ta dễ dàng nhận thấy
biểu thức trong căn ở (6) luôn là 1 biểu thức không âm, ta suy
ra
(a − b)2 + λab ≥ 0∀a, b ∈ R.

(7)


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
2.1 Giới thiệu bài tốn

Do đó ϕλ là một hàm xác định. Ta có thể nhận thấy ϕλ là một
hàm bù phi tuyến. Trong trường hợp λ = 2, hàm bù phi tuyến
ϕλ sẽ trở thành hàm Fischer, xét trong trường hợp λ → 0, hàm

ϕλ trở thành nhiều hàm cực tiểu.
Bây giờ, nếu chúng ta định nghĩa toán tử Φλ : Rn → Rn với


ϕλ (x1 , F1 (x))


..
Φλ (x) := 
,
.
ϕλ (xn , Fn (x))
và hàm
1
1
ψλ (x) := Φλ (x)T .Φλ (x) = Φλ (x) 2 ,
2
2


Lời nói đầu Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN C
2.1 Giới thiệu bài tốn

Theo [4] , [5], khi đó ta có x ∗ là nghiệm của bài tốn
NCP(F ) ⇔ x ∗ là nghiệm cho bài toán Φλ (x) = 0 ⇔ x ∗ là nghiệm
của bài toán cực tiểu không ràng buộc min ψλ (x) , ∀x ∈ Rn .