Bài giảng Giải tích 12 - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

ng định:

àm số sau đây luôn đồng biến trên từng khoảng xác địn
Đúng hay sai?
1) y = tgx

2) y = cotgx

§

S

3) y = 1 – 3xS

 x
6)y =(
)
2

(
7) y =

§

x

e )
3

S
§

8) y = ex

4) y = lgx

§

9) y = log0,5(1- x)

5)y = lnx

§

10) y = 3

2 -5x

§
S


Chơng II:ứng dụng của đạo hàm

Tiết 1: sự Đồng biến, nghịch biến
của hàm số


.Nhắc lại định nghĩa Hàm Số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số f(x) xác định trên (a;b)

. f(x) đồng biến trên ( a x;b
)
1,,x
2 (a;b) và x1< x2 => f(x1) < f(x
A

f(x) nghịch biến trên ( a x;b
1,,x
)
2 (a;b) vµ x1< x2 => f(x1) > f(
yy = f(x)
y = f(x)
y
A

O

a

b

x

x

O
b

a

Nhận xét

f(x) đồng biến trên (a;b)
=> f (x) = limy 0 trªn (a;b)
0 x

 f(x) ngh biÕn trªn (a;b)
=> f (x) = limy 0 trên (a;b)
0 x

Giới hạn này
Chiều
ngợc
có là điều
lạikiện
có đúng
đủ
không?
của
tính
đơn điệu?


2.Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý Lagrăng:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
có đạo hàm trên khoảng (a;b)

Thì tồn tại c (a;b) sao cho f(b) f(a) = f’( c )(b – a)

Hay

f(b) – f(a)
f (c)=
b-a
y
’

f(b) – f(a)
f (c)=
b-a

d


’

C

f(c)

B

kd = f ‘ (c)
kAB

f(b) – f(a)
=
b-a

f(a)
O

A
a

c

b

x


nghĩa hình học của định lý Lagrăng (sgk)

o hàm số y = f(x) thoả mÃn định lý Lagrăng đồ thị ( C )

; B  ( C ) = >  C (c; f (c) ) cung
saoAB
cho tiÕp tuyÕn t¹i C //
d
y

C

f(c)
f(a)
O

B

A
a

c

b

x


nh lý 1Cho hµm sè y = f (x) cã đạo hàm trên khoảng (a;b).

)Nếu f (x) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến t
hoảng đó.

)Nếu f (x) < 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biế
hoảng đó.
Chứng minh
a y

áp dụng định lý Lagrăng
thoả mÃn trên tập [x1;x2]

f(b)
f(x2)
f(x1)
f(a)
O

a x1

x2

b

> c  (x1;x2) sao cho
f(x2) – f(x1) = f ’( c) (x2 – x1)
Do f ’ (x) > 0 /(a;b) =>
f ’ (x) > 0 / (x2 –x1) =>
xf ’ (c ) > 0 l¹i do x2 – x1> 0
=> f (x2) > f (x1)…


nh lý 1 Cho hµm sè y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

)Nếu f (x) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến t
hoảng đó.

)Nếu f (x) < 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biế
hoảng đó.
Mở rộng

lý 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Lợi ích của
điều
ếu f (x) 0 với mọi xđịnh
(a;b)lýthì
hàm số f(x) đồng biến trên

kiện
mởhữu hạn điểm)
ảng đó.(Đẳng thức chỉ
xảyđủ
ra tại
rộng?

ếu f (x) 0 với mọi x (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến t
ảng đó.( Đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)
Định lý 2 định lý 1 n t n?


VíTìm
dụ 1:khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sa
y = x2 4x +6
Bài giảiTập xác định: D = R
Chiều biến thiên:
y = 2x 4 ,
Giải phơng tr×nh y’ = 0  2x – 4 = 0 x = 2
Dấu y

X



2



y

-

0

+

Hàm số luôn luôn đồng biến trên khoảng ( 2 ;+)
Và nghịch biến trên khoảng (- ; 2)


VíTìm
dụ 2:khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sa
y = x3 3x2 +6
Bài giảiTập xác định: D = R
Chiều biến thiên:

y = 3x2 6x ,
Giải phơng tr×nh y’ = 0  3x3 – 6x = 0 x = 0 v x =
Dấu y

X



0

y

+

0

-

2



0

+

Hàm số luôn luôn đồng biến trên các khoảng ( - ; 0) ;(2
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)


VíTìm
dụ 3:khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số sa
y = - x4 + 2x2 +6
Bài giảiTập xác định: D = R
Chiều biến thiên:

y = - 4x3 +4x ,
Giải phơng trình y = 0 -4x3 + 4x = 0 x = 0 v x = 1
DÊu y’

X

-

-1

y

-

0

0
+

0

1
-

0

+
+

Hµm sè luôn luôn đồng biến trên các khoảng ( - ; 0) ;(2
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)


Ví dụ
Xác
4: định chiều biến thiên của hàm số:

3
y 3 x 5
x

Bài giải:

*Tập xác định: D = (-;0)(0;+)
3( x 2 1)
* Đạo hàm y =
x2

y = 0 x = 1

X



-1 0

y

+

0

1

-|| - 0

Nêu Quy

tắc xác
định
chiều
biến
thiên
của
hàm số


+

àm số đồng biến trên các khoảng (-;-1) ;(1;+)
àm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) ;(0;1)


3.Điểm tới hạn.

h nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) v
(a;b).Điểm x0 đợc gọi là một điểm tới hạn của hàm số f(x)
u tại đó f (x) không xác định hoặc x0 là nghiệm của phơng
) = 0.

Qui
tắc:
ãTìm
tập xác định của hàm số
ãTìm điểm tới hạn của hàm số
ãxét dấu f (x)
ãKết luận về khoảng ®ång biÕn , nghÞch biÕn theo ®Þn

Bài tập về nhà.
Từ bài 1 đến hết bài 4 sgk / Tr52 ,53