Bài giảng Giải tích 12 – Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60

ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN
TÍCH HÌNH PHẲNG


?1 Nhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình
thang cong và tích phân?
Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên
đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là:
b

S = ∫ f ( x)dx
a


H1

Nhóm 1: Tính diện tích hình trịn bán kính R
giới hạn bởi đường trịn có phương trình :
x2 + y2 = R2

Thực hiện các
bài tập sau:

Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 trục hoành và hai

đường thẳng x = 1, x = 2 với kết quả ở trờn.
Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x3 – 3x2 + 6, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.
Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x2 – 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.


Lời giải
Xét đường trịn có phương trình: x2 + y2 = R2

N1

Diện tích hình trịn bán kính R là: S = 4S’
trong đó S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị
2
hàm
y = Rsố
− x2
và hai đường thẳng x = 0 và x = R.
R
Ta có:S' = ∫ R 2 − x 2 dx
0

Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt.
x = 0 thì t = 0; x = R thì t = π/2
 π
R − x = R − R sin t = R cos t ( t ∈ 0;  )
 2
R
2

2

2

2

2

S' = ∫ R 2 − x 2 dx
0

π
2

π
2

π
2
1
+
cos
2
t
R
sin
2
t
πR 2



2
= ∫ R cos t .R cos tdt = R ∫
dt =
t +
2 =
2
2 
2 0
4
0
0

Vậy S = 4S’ =
πR2

Quay lại…


N2

Vậy diện tích hình thang cong giới
hạn bởi
thị hàm
y = f(x)
+ Diện
tíchđồhình
thangsốcong
giớiliên

hạn bởi
trên
trụcOx
Ox và
đồtục,
thị âm
hàm
sốđoạn
y = [a;b],
x2, trục
và hai
hai đường
= 2a,là:
x = b là gì?
đường
thẳng thẳng
x = 1, xx =

y

y = x2

2

x3 2
S1 = ∫ x dx =
3 1
1
2

7
=
3

x

+ Căn cứ vào hình vẽ nhận
thấy: Diện tích hình thang
cong
Diện
giới
tích
hạn
hình
bởithang
đồ thịcong
hàmgiới hạn
2
sốbởi
y =đồ
- xthị
, trục
hàmOx
sốvà
y=
hai
f(x) liên tục,
đường
âm trên
thẳng

đoạn
x =[a;b],
1, x =trục
2 là:
Ox và hai
7
đường thẳng x = a, x = b là:
S2 = S1 = 3 b

S = ∫ − f ( x )dx
a

y = - x2
Tiếp tục…


N3
Diện tích hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2
+ 6 , trục Ox và hai đường thẳng x
= 1, x = 3 là:
3

S 3 = ∫ ( x 3 − 3x 2 + 6)dx
1

 x4
3
3
=  − x + 6x 

 4
1
 81
 1

=  − 27 + 18  −  − 1 + 6 
 4
 4

=6
Quay lại…


N4
Diện tích hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 ,
trục Ox và hai đường thẳng x = 1,
x = 3 là:
3

S 4 = ∫ ( x 2 − 2x + 1)dx
1

 x3
3
2
=  − x + x 
 3
1
 27

 1

=  − 9 + 3  −  − 1 + 1
 3
 3

8
=
3
Quay lại…


Nhận xét:
Từ kết quả của nhóm 3 và
Diện tích hình phẳng giới hạn
nhóm 4, tính diện tích hình
bởi đồ thị các hàm số:
phẳng giới hạn bởi
đồ thị các
y = x3 – 3x2
hàm số:
+ 6 , y = x23 - 2x 2+ 1 và hai 2
y = x – 3x + 6 , y = x - 2x +
đường thẳng x = 1, x = 3 là:
1 và hai đường thẳng x = 1, x
3?
S = S=
3 – S4

1

1

= ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 6)dx − ∫ ( x 2 − 2 x + 1)dx
Vậy8diện
10tích hình phẳng
=giới
6 − hạn
= bởi đồ thị các
hàm3 số 3
y = f(x), y = g(x) liên tục
trên đoạn [a;b] và hai
đường thẳng x = a, x = b
bằng?

1
2x +
x 2y=

x
+6

3

y = x 3 – 3x 2

3

y

Tiếp tục…


1. Một số cơng thức cần nhớ
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b là:
b

S = ∫ f ( x ) dx
a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y =
f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng
x = a, x = b
b

S = ∫ f ( x) − g( x) dx
a

Quay lại…


2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số
y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng
x = 2.
y
Lời giải:

y = x3 - 1
Đặt f(x) = x3 – 1.
Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x)
≥ 0 trên [1; 2]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

S = ∫ x 3 − 1dx
0
1

=

2

∫ (1 − x )dx + ∫ ( x
3

0

3 11 7
= +
=
4
4
2

1

3

− 1)dx

x


Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
các hàm số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x

Lời giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm
số f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là:
3
y f1(x) =x – 3x
 x = −2

x 3 − 3x = x ⇔ x 3 − 4x = 0 ⇔  x = 0
 x = 2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

S=

∫

x 3 − 4x dx

−2

0

x

2

= ∫ ( x − 4 x )dx + ∫ (4 x − x )dx
3

−2

3

0

4
0
 x4


2
x
2
2
=  − 2x 
+  2x − 
4 0
 4
−2 

= 4+4 =8

f2(x) =x


3. Bài tập vận dụng
Thực hiện H1 và
H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
hàm sách
số: y = 4 –
H2thịtrong
x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hồnh.giáo khoa!
H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2
và Parabol y = x2 + x - 2

H1:

Giải:

Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên [2; 3] nên:
3

S=∫
0

2

3

23

4 − x dx = ∫ ( 4 − x )dx + ∫ ( x − 4)dx =
3
0
2
2

2

H2:

2

Giải:

PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x = -2; x = 2. Vậy:
2

32
S = ∫ 4 − x dx =
3
−2
2


Chú ý:

+

Để khử dấu giá trị tuyệt đối

trong công thức:

b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

Ta thực hiện như sau:
• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b], giả sử pt
có các nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b).
• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) khơng đổi
dấu.
• Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [c; d], ta có:
d

d

c

c

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx


Củng cố:

y=

- Ghi nhớ các cơng thức tính diện tích hình phẳng.
y

- Bài tập đề nghị:
y = x2 - 4x + 3
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị các hàm số:
y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và
y = 2x – 6.
-2x

− 4 x + 3 − ( −2 x + 2) dx

3

[

1

]

+ ∫ x 2 − 4 x + 3 − ( 2 x − 6) d x
2

2
=
3

2x

]

2

y=

S=

-6

+2

∫ [x
2

x