Vấn đề 3. Phương trình đường tròn

Email:
Câu 1.

π

α 0 <α < ÷
Cho số thực 
4  . Góc giữa hai tiếp tuyến được vẽ từ điểm P đến đường trịn có
phương trình
nào sau đây.

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 9sin 2 α + 13cos 2 α = 0

2α . Quỹ tích điểm P

là

A.

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 = 0.

B.

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 9 = 0.

C.

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 9 = 0.

D.

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 4 = 0.

là đường tròn

Tác giả : Nguyễn Duy Chiến,Tên FB: Nguyễn Duy Chiến
Lời giải
Chọn B

Tâm đường trịn

I ( − 2;3) ,

Bán kính đường tròn

R = 4 + 9 − 9sin 2 α − 13cos 2 α = 4 − 4cos 2 α = 2 1 − cos 2 α = 2sin α

Gọi

P ( x, y ) , xét tam giác IAP ta có

⇒

( x + 2 ) + ( y − 3)
2

2

sin α =

IA R

= =
IP IP

2sin α

( x + 2 ) + ( y − 3)
2

2

= 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 3) = 4
2

2

⇔ x2 + y 2 + 4x − 6 y + 9 = 0
Email:
Câu 2.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

Oxy , cho đường thẳng ∆ : x − y = 0.

∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = 4 2 . Các tiếp tuyến của ( C )

kính

R = 10

A, B

cắt nhau tại một điểm thuộc tia

cắt

Đường tròn

Oy . Phương trình của đường trịn ( C )

A.

( x + 5 ) + ( y + 3)

2

= 10 .

B.

( x − 5 ) + ( y − 3)

2

= 10

C.

( x − 5 ) + ( y + 3)

2

= 10

D.

( x + 5) + ( y − 3)

2

= 10

2

2

2

2

( C)

có bán

tại hai điểm

là:

Lời giải
Tác giả : Phạm Văn Thuấn,Tên FB: Pham Van Thuan
Chọn B

Giả sử đường trịn

( C)

có tâm

H = IM ∩ AB . Suy ra H
Vì

Mà

là giao điểm của các tiếp tuyến tại

AB, AH =

là trung điểm của

A, B

của

( C) ,

AB
=2 2
.
2

1
1
1
=
+
→ AM = 2 10
2
2
thuộc tia Oy nên M ( 0; t ) , t ≥ 0. Ta có AH
AM AI 2

M

Vậy

I . Gọi M

MH = MA2 − AH 2 = 4 2.
MH = d ( M , ∆ ) →

Đường thẳng

Toạ độ

Ta có

H

IM

qua

t

= 4 2 → t = 8 → M ( 0;8 ) .

2

M

và vng góc với

∆ nên có pt: x + y − 8 = 0.

x − y = 0
x = 4
⇔
⇒ H ( 4;4 )

là nghiệm của hpt:  x + y − 8 = 0
y = 4

IH = IA2 − AH 2 = 2 =

Vậy phương trình đường trịn

HM uuur 1 uuuur
→ IH = HM → I ( 5;3)
4
4

( C)

là:

( x − 5 ) + ( y − 3)
2

2

= 10 .

Email:
Câu 3.

Cho đường thẳng

( ∆ ) : 3x + 4 y − 25 = 0

OM .ON = a,(a > 0) .
I ( xI , y I ) . Biết
1
A. 2 .

Khi

3 xI + 4 y I =

M thay

và điểm

đổi thì

1
2 . Giá trị của

B. 1.

N di

M ∈ ( ∆ ) . Trên tia OM lấy điểm N

sao cho

động trên một đường trịn cố định có tâm

a là:
2
C. 3 .

1
D. 3 .

Lời giải
Tác giả : Đỗ Minh Đăng,Tên FB: Johnson Do
Chọn B


CáCh 1

H = hc( ∆ ) O ⇒ ( OH ) : 4 x − 3 y = 0

+ Gọi

3x + 4 y − 25 = 0  x = 3
⇔
⇒ H ( 3, 4 )

+ H = ( ∆ ) ∩ ( OH ) ⇒ Tọa độ của H là nghiệm của hệ 4 x − 3 y = 0
y = 4
+ Gọi

K ∈ OH thỏa OK .OH = OM .ON = a . Khi đó tứ giác HKNM nội tiếp.

+ Mà

KHM = 900 ⇒ KNM = 900 ⇒ KNO = 900 .

Suy ra

N di động trên đường tròn đường kính OK . Hay I ( xI , yI )

uuur
OH
= ( 3,4 )
+ Ta có
uuur
uuur uuur
OH

Z
Z
OK
⇒ OK = ( 3m,4m ) ,(m > 0) .
+ Mặt khác

là trung điểm của OK

uuur uuur
a
 3a 4a 
 3a 2a 
OK .OH = OK .OH = 9m + 16m = a ⇔ m = ⇒ K  ; ÷⇒ I  ; ÷
+
25
 25 25 
 50 25 
+ Vậy

3 xI + 4 y I =

1
3a
2a 1
⇔ 3× + 4 × = ⇔ a = 1
2
50
25 2

CáCh 2

+ Gọi

uuur
N ( x, y ) ⇒ ON = ( x, y ) , ON 2 = x 2 + y 2

uuuur
a
a
a uuur
OM .ON = a ⇔ OM =
=
×ON
OM Z Z ON ⇒ OM =
×ON
+
, mà
ON ON 2
ON 2
ax

 xM = x 2 + y 2


3ax
4ay
 y = ay
M ∈ ( ∆ ) ⇔ 3xM + 4 yM − 25 = 0 ⇔ 2 2 + 2 2 − 25 = 0
M
2
2

x + y mà
Suy ra 
x +y x +y

⇔ x2 + y2 −

3a 4a
x− y = 0
. Vậy
25 25

 3a 2a 
I  ; ÷ ⇒ 3xI + 4 yI = 1 ⇔ 3 ×3a + 4 ×2a = 1 ⇔ a = 1
 50 25 
2
50
25 2

Email: Facebook: Tran Quoc An


Câu 4.

Trong hệ toạ độ

Oxy ,

d :2x − y − 2 = 0 . Tìm số
thẳng

cho đường trịn

(C ):(x − 1)2 + (y − 1)2 = 10

và đường thẳng

tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết các tiếp tuyến tạo với đường

d một góc 450 .

.
A.

4.

B.

3.

C.

2.

D. 1.

Lời giải
Chọn A

• (C) có tâm

r
I (1;1) bán kính R = 10 . Gọi n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến  (a2 + b2 ≠ 0) ,
2a − b

Vì

(·∆ , d) = 450

nên

a2 + b2 . 5

=

1
2

⇔ 2. 2a − b = 5. a2 + b2 ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = 0

 a = 3b
⇔
 b = − 3a
 Với

 Với

a = 3b  : 3x + y + c = 0 . Mặt khác d(I ;∆ ) = R

⇔

b = − 3a  : x − 3y + c = 0 . Mặt khác d(I ;∆ ) = R

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:

⇔

4+ c


= 10 ⇔ c = 6
10
c = −14

− 2+ c


= 10 ⇔ c = −8
10
c = 12

3x + y + 6 = 0; 3x + y − 14 = 0; x − 3y − 8 = 0; x − 3y + 12 = 0.

Email: Facebook: Tran Quoc An
Câu 5.

Trong hệ toạ độ

Oxy ,

cho đường tròn

(C ):(x − 1)2 + (y − 1)2 = 10

và đường thẳng

d :2x − y − 2 = 0 . Biết đường thẳng (∆ ) : ax + by + c = 0

là tiếp tuyến của đường trịn (C ) , biết

d một góc 450 ,với a, b

là số nguyên dương và ước chung lớn

tiếp tuyến tạo với đường thẳng
nhất của

a, b bằng 1.Tính tổng S = a + b + c.

.
A.

0.

B.

4.

C.

2.

D. 3.

Lời giải
Chọn A

• (C) có tâm

r
I (1;1) bán kính R = 10 và n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến  (a2 + b2 ≠ 0) ,


2a − b
Vì

(·∆ , d) = 450

a2 + b2 . 5

nên

=

1
2

⇔ 2. 2a − b = 5. a2 + b2 ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = 0

 a = 3b
⇔

 b = − 3a
 Với

 Với

a = 3b  : 3x + y + c = 0 . Mặt khác d(I ;∆ ) = R

⇔

b = − 3a  : x − 3y + c = 0 . Mặt khác d(I ;∆ ) = R

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
Do đó :

4+ c


= 10 ⇔ c = 6
10
c = −14

− 2+ c


= 10 ⇔ c = −8(loai )
10
c = 12

⇔

3x + y + 6 = 0; 3x + y − 14 = 0

S = 3 + 1 + 6 + 3 + 1 − 14 = 0.

Email: Facebook: Tran Quoc An
Câu 6.

Trong hệ toạ độ

Oxy ,

d :2x − y − 2 = 0 . Tìm số
thẳng

cho đường tròn

(C ):(x − 1)2 + (y − 1)2 = 10

và đường thẳng

tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết các tiếp tuyến tạo với đường

d một góc 450 .

.
A.

4.

B.

3.

C.

2.

D. 1.

Lời giải
Chọn A

• (C) có tâm

r
I (1;1) bán kính R = 10 . Gọi n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến  (a2 + b2 ≠ 0) ,
2a − b

Vì

(·∆ , d) = 450

nên

a2 + b2 . 5

=

1
2

⇔ 2. 2a − b = 5. a2 + b2 ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = 0

 a = 3b
⇔
 b = − 3a
 Với

 Với

a = 3b  : 3x + y + c = 0 . Mặt khác d(I ;∆ ) = R

⇔

b = − 3a  : x − 3y + c = 0 . Mặt khác d(I ;∆ ) = R

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:

⇔

4+ c


= 10 ⇔ c = 6
10
c = −14

− 2+ c



= 10 ⇔ c = −8
10
c = 12

3x + y + 6 = 0; 3x + y − 14 = 0; x − 3y − 8 = 0; x − 3y + 12 = 0.

Gmail:


Câu 7.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

K ( 4;5)

và ngoại tiếp đường trịn tâm
có dạng
A.

Oxy , cho tam giác ABC

ax + by + c = 0 , với a, b∈ ¥

− 35 .

B.

a, b

ngun tố cùng nhau. Tính tổng

49.

I ( 6;6 )

A(2;3) . Biết phương trình đường thẳng BC

. Biết đỉnh

và

nhọn nội tiếp đường tròn tâm

C.

− 8.

D.

a+ b+ c

22 .

Bài Giải :
Tác giả: Nguyễn Thị Hiền,Tên FB: Hien Nguyen
Chọn A

Có

IA = 5 nên phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

( x − 6) + ( y − 6)
2

2

Đường phân giác
tại điểm thứ hai

Có

= 25 ( C )

AK

qua

D ( 9;10 )

∠ DCK = ∠ DKC =

.

A và K

nên có phương trình

x − y + 1 = 0 , dễ tìm được AK

cắt (C)

.

∠A+ ∠C
, nên tam giác
2

DC = DK = DB ⇒ B, C

là

thuộc đường tròn tâm

KBD cân tại D

D

, bán kính

, do đó

DK = 50

. Vậy

B, C

thỏa mãn

 ( x − 6 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = 25

2
2
hệ phương trình  ( x − 9 ) + ( y − 10 ) = 50 , suy ra phương trình

BC :3x + 4 y − 42 = 0 ⇒ a + b + c = − 35 .
Câu 8.

Email :
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường tròn

và
(C1 ) : ( x + 2) + y = 1
2

Biết đường thẳng

2

.
(C2 ) : ( x − 2) + y = 16
2

là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn
d : ax + by − 10 = 0

Tính

2

và
(C1 )

.
(C2 )

.

S = a 2 + b2
A.
.
S = 12

B.

.

C.

S = 16

S = 20

D.

.

S = 24

Lời giải
Họ và tên : Nguyễn Ngọc Duy

Facebook: Ngọc Duy

Chọn B

CáCh 1
Gọi

,

lần lượt là bán kính đường trịn

và

. Ta có

,

lần lượt là

I (−2;0) J (2;0)
(C1 )
(C2 )
nên hai đường tròn đã cho cắt nhau, do đó chúng

R1 R2
tâm đường trịn đó. Vì
IJ = 4 < 1 + 4 = R1 + R2

chỉ có hai tiếp tuyến chung ngồi. Gọi

là giao điểm của

IJ

và tiếp tuyến chung ngồi

S

của hai đường trịn.

SI IC 1
=
=
Ta có SJ JD 4 , suy ra
hay
uur uur r
uuu
r
4 SI − SJ = 0

uur uuu
r
3OS = 4OI − OJ

. Do đó

.
 10 

S =  − ;0 ÷
 3 

CD


Giả sử tiếp tuyến

r
n = (u; v) .

CD có vectơ pháp tuyến
. Suy ra

Phương trình đường thẳng

CD

là

10 

u  x + ÷+ vy = 0
3


1 = R1 = d ( I , CD) =
Kết hợp giả thiết ta có

4

u
3
u 2 + v2

hay

và

7
u = ±v
3
.
. Từ đó

a = −3

a b −10
= =
u v 10u
3

⇔

b = ±v

Trong tất cả các trường hợp ta đều có

.
b=± 7

.
S = a 2 + b 2 = 16

CáCh 2

( d)

tiếp xúc với

( d)

( C ) nên
1

tiếp xúc với ( C2 )

− 2a − 10
a2 + b2
2a − 10

nên

a +b
2

2

= 1⇔ a2 + b2 = 2a + 10

( 1)

= 4 ⇔ 4 a2 + b2 = 2a − 10

( 2)


25
2a − 10 = 8a + 40
a= −

2a − 10 = 4 2a + 10 ⇔ 
⇔
3

2
a
−
10
=
−
8
a
−
40

1
2
Từ
và
suy ra

 a = −3

() ( )

Với

Với
Vậy

a= − 3 thì ta có a2 + b2 = 4 ⇔ a2 + b2 = 16 . Lúc này b= ± 7 (Nhận)
a= −

25
20
400
225
a2 + b2 = ⇔ a2 + b2 =
2 −
3 thì ta có
3
9 . Lúc này b = 9 (Loại)

a2 + b2 = 16.

Email:
Câu 9.

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy , cho tam giác ABC

có trực tâm

H ( − 1;3) , đường trịn đi qua ba
2

 5 25
x +  y− ÷ =
có phương trình là
4 . Đường trịn
 2
2

trung điểm của các cạnh tam giác
ngoại tiếp tam giác
A.

( 3;6) .

ABC

ABC đi qua điểm nào sau đây?
B.

( 5;5) .

C.

( −5;0) .

D.

( 1;2) .

Lời giải
Tác giả : Lê Thanh Bình,Tên FB: Lê Thanh Bình


Chọn B

M,N, P

Gọi

lần lượt là trung điểm của

BC,CA, AB .

∆ ABC

và bán kính

Đường trịn ngoại tiếp

có tâm

R.

I

A
B'
P

K

Gọi

là trung điểm của

Kẻ đường kính
Ta có

HBDC

M

Suy ra

HI .

C'

AD của đường trịn

( I) .
B

là hình bình hành.

N
K

I

H
A'

C

M

HD . Do đó

là trung điểm của

D

1
1
KM = ID = R
2
2 .
1
KN = KP = R
Tương tự ta có
2 .
Vậy đường trịn đi qua 3 điểm

M,N, P có tâm là K

1
r= R
và bán kính là
2 .

 5
5
K  0; ÷ r =
Theo bài ra ta có  2  và
2.
Vì

K

là trung điểm của

HI

nên

I ( 1;2)

Vậy phương trình đường trịn ngoại tiếp
Vì điểm

( 5;5)

thỏa mãn phương trình

và

R = 2r = 5.

∆ ABC

là:

( x − 1) + ( y− 2)

( x − 1) + ( y− 2)
2

2

2

2

= 25.

= 25 nên chọn B.

Email:
Câu 10.

Oxy , cho đường tròn tâm I và điểm C nằm ngồi đường trịn
CA, CB của ( I ) (với A, B là hai tiếp điểm ). Đường tròn ( I ) cắt

Trong mặp phẳng với hệ tọa độ

( I ) . Từ C

IC

kẻ hai tiếp tuyến

K .Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
thuộc đường thẳng AC .
tại

A. 4

B. 3

Họ và tên: Lê Thị Lan,Tên FB: Lê Lan
Bài giải:

C. 2

biết

A(8;12), K (12;4)
D. 5

và

D(16;6)

A
D
H
E

K

I

C

B

·
·
CAK
+ KAI
= 900

0
·
·
·
·
 KAB + AKI = 90 ⇒ CAK = KAB ⇒
·
·
Ta có  KAI = AKI
Mặt khác, IC là phân giác góc
giác

·ACB

và

AD

là phân giác góc

K = IC ∩ AK

nên

K

·
CAB

là tâm đường trịn nội tiếp tam

ABC

Phương trình đường thẳng

AK : 2 x + y − 28 = 0 .

Gọi

E

Gọi

H = AK ∩ DE ,tọa độ điểm H

là điểm đối xứng với

 2 x + y − 28 = 0
⇔

x
−
2
y
−
4
=
0


D

qua

AK . Phương trình đường thẳng DE : x − 2 y − 4 = 0
là nghiệm hệ phương trình

 x = 12
⇒ H (12;4)

y

=
4
.


Do H là trung điểm của

DE

nên

E (8;2) . Phương trình đường thẳng AB : x − 8 = 0

Vậy: Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

ABC

là

r = d ( K , AB) = 4 . Chọn A