P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong khơng gian

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
PHẦN 1
VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1.

Bài 2.
Câu 3.

Câu 4.

Cho hai vectơ

r
a = ( 2;3; − 1)

r
b = ( 0; − 2;1) .

;

Tính

r r
2a + 2b

;

r r
b + 5a

;

rr
a.b

;

rr
 a ; b
 

;

r r r r
 a + 2b ;5a − 3b  .


r
r
r
rr
Cho vectơ a = 2 2 ; − 1;4 . Tìm vectơ b cùng phương với a biết a.b = 20 .
r
r
r
r

a
=
1;1;1
b
(
)
Cho vectơ
; = ( 1; −1;3 ) . tìm vectơ c có độ dài bằng 3 , vng góc với hai vectơ a ,

(

)

r
b và tạo với tia Oz

một góc tù.

r r r
a , b , c sau đây
r
r
r
a = ( 2;6; −1) , b = ( 4; − 3; − 2 ) , c = ( − 4; − 2;2 ) .
r
r
r
a = ( 2; − 4;3) , b = ( 1;2; −2 ) , c = ( 3; −2;1) .

Xét sự đồng phẳng của ba vectơ

(a)
(b)

A ( 2;5;3 ) ; B ( 3;7;4 ) ; C ( x; y;6 ) . Tìm

Bài 5.

Cho ba điểm

Bài 6.

Cho bốn đỉnh

x ; y để A , B , C thẳng hàng.

A ( 1; − 1;1) , B ( 1;3;1) , C ( 4;3;1) , D ( 4; − 1;1) .

a. Chứng minh

A , B , C , D đồng phẳng và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

b. Tính độ dài các đường chéo và góc giữa hai đường chéo.
Bài 7.

Cho 4 điểm

A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − 4 ) , C ( 5; − 1;0 )

a. Chứng minh tam giác
giác.

b. Tính thể tích tứ diện
Câu 8.

Cho ba điểm

ABC

là tam giác vng và tính bán kính đường trịn nội tiếp tam

ABCD .

A,B, C

khơng thẳng hàng.

b. Tính chu vi và diện tích tam giác

f.

ABC .

ABCD là hình bình hành.
Tính độ dài đường cao của tam giác ABC .
Tính các góc của tam giác ABC .
Xác định toạ độ tực tâm của ABC .

c. Tìm toạ độ điểm

e.

D ( 1;2;1) .

A ( 1;0;0 ) ; B ( 0;0;1) ; C ( 2;1;1) .

a. Chứng minh ba điểm

d.

và

D

biết

g. Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

Bài 9.

Trong khơng gian

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

Oxyz cho 4 điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − 4 ) , C ( 5; − 1;0 )

a. Chứng minh tam giác
giác.
b. Tính thể tích tứ diện

ABC

và

D ( 1;2;1) .

là tam giác vng và tính bán kính đường trịn nội tiếp tam

ABCD .

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho 3 điểm

A ( 2;3; − 1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( 1; − 2;0 )

ABC
b) Tìm tọa độ điểm D trên Oz sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 4
a) Tính diện tích tam giác

E trên ( Oyz ) sao cho AE / / BC

d) Tìm tọa độ điểm H trên Ox sao cho DH ⊥ AC
e) Cho BF là phân giác trong của tam giác ABC . Xác định tọa độ điểm F
c) Tìm tọa độ điểm

Bài 11.

Trong không gian với hệ tọa độ
Chứng minh 4 điểm

Oxyz

cho 4 điểm

A ( 0;0;3) , B ( 1;1;5) , C ( − 3;0;0 ) , D ( 0; − 3;0 )

A, B, C , D đồng phằng và tính diện tích ∆ ACD

Bài 12: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(1;1;3), C(1;-1;4).
(a) Tìm tọa độ điểm D trên (Oxy) sao cho BD song song với AC.
(b) Tìm tọa độ điểm E trên (Ox) sao cho DE vng góc với AB.
(c) Tính diện tích tam giác ABC.
(d) Tìm tọa độ điểm S trên Ox sao cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 1.
(e) Cho CF là phân giác trong của tam giác ABC. Xác định tọa độ điểm F.
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3).
(a) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz sao cho MA=MB.
(b) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oz sao cho A, B, C, N đồng phẳng.
(c) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc Oy biết tứ diện ABCD có thể tích bằng 15.
Bài 14.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho bốn điểm

A ( 1;0;1) , B ( − 1;1;2 ) , C ( − 1;1;0 ) ,

D ( 2; − 1; − 2 ) .

A , B , C , D không đồng phẳng.
Tính độ dài đường cao DK của tam giác BCD .
Tính thể tích khối tứ diện ABCD , từ đó suy ra dộ dài đường cao AH
Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC .

(a) Chứng minh rằng bốn điểm
(b)
(c)
(d)

(e) Tìm trên mặt phẳng

Câu 15. Cho hình chóp
Trên

SA, BC

( Oxy )

SABC

có

điểm

M

MA = MB = MC .

SC = AC = AB = a 2, SC ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC

lần lượt lấy các điểm

a) Tính độ dài đoạn

sao cho

của tứ diện.

M, N

sao cho

AM = CN = t

trong đó

vng tại

0 < t < 2a .

MN .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề

A.


SP của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD-VDC.

b) Tìm

t để MN

ngắn nhất.

c) Tìm

t để MN

là đoạn vng góc chung của

Câu 16. Cho bốn điểm

b) Gọi M ,
diện đều.

Câu 18:

SA và BC .

S ( 3;1;2 ) , A ( 5;3;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 1;2;0 ) .

a) Chứng minh rằng

Câu 17:

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

N, P

SA ⊥ ( SBC ) , SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) .

lần lượt là trung điểm của

Cho hai điểm

A(2;3;1), B(3; − 4;1).

T = 2MA2 + MB 2

đạt giá trị nhỏ nhất ?

BC , CA , AB . Chứng minh rằng SMNP

Tìm điểm

Cho hai điểm

A(− 1;6;6), B(3; − 6; − 2). Tìm điểm M

T = MA + MB

đạt giá trị nhỏ nhất ?

M

thuộc trục

thuộc mặt phẳng

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Oy

là tứ

sao cho biểu thức

( Oxy )

sao cho biểu thức

Trang 3 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong khơng gian

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
GIẢI PHẦN 1
VECTO VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1.

Cho hai vectơ

r
a = ( 2;3; − 1)

;

r
b = ( 0; − 2;1) .

Tính

r r r r
 a + 2b ;5a − 3b  .



r r
2a + 2b

r r
b + 5a

;

;

rr
a.b

;

rr
 a ; b
 

Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly

Bài 2.

r r
 2a + 2b = 2 ( 2;3; − 1) + 2 ( 0; − 2;1) = ( 4;2;0 ) .
r r
b
+ 5a = ( 0; − 2;1) + 5 ( 2;3; − 1) = ( 10;13; − 4 )

rr
 a.b = 2.0 + 3 ( −2 ) − 1.1 = −7
r r


  a ; b  = ( 1; − 2; − 4 )

r r r r


a
  + 2b ;5a − 3b 
r r
a
Ta có + 2b = ( 2;3; − 1) + 2 ( 0; − 2;1) = ( 2; − 1;1)
r r
5a − 3b = 5 ( 2;3; − 1) − 3( 0; − 2;1) = ( 10;21; − 8 )
r ur r r


a
Suy ra  + 2b ;5a − 3b  = ( − 13;26;52 )
r
r
r
Cho vectơ a = 2 2 ; − 1;4 . Tìm vectơ b cùng phương với a

(

)

biết

rr
a.b = 20 .

Lời giải

Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly

r
b
Giả sử = ( x ; y ; z ) .
r
r
Vì vectơ b cùng phương với a
Lại có

nên tồn tại số

k

sao cho

x = 2 2k

;

y = − k ; z = 4k .

4
rr
k=
a.b = 20 . Suy ra 8k + k + 16k = 20 . Suy ra
5.

r  8 2 4 16 
b = 

; − ; ÷÷
5
5 5 .
Vậy


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề

;


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Câu 3.

Cho vectơ

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

r
r
r
a = ( 1;1;1) ; b = ( 1; −1;3) . tìm vectơ c

r
b và tạo với tia Oz

3 , vng góc với hai vectơ

có độ dài bằng

một góc tù.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuyết Lê ; Fb: Nguyen Tuyet Le.

Gọi tọa độ của vectơ

Từ

(2) , (3)

suy ra

r
c = ( x; y; z )

r
c =3
 urr
 a.c = 0
 urr
 b.c = 0
 urr
. Theo giả thiết ta có:  j.c < 0

x = − 2 z , y = z , thay vào (1) ta được

z2 =

⇔

 x 2 + y 2 + z 2 = 3 (1)

x + y + z = 0
(2)

(3)
 x − y + 3z = 0
z < 0
(4)


3
2 . Kết hợp điều kiện (4) ta có:


x = 6

6

y = −
2

r 
6
6

6

c
=
6;
−
;
−

÷

z = −
2
2 ÷ .

2 . Vậy

Cách 2: do cơ Hồng Minh Tuấn ( pb) đề xuất
Do

r r r r
c⊥ a, c⊥ b

nên tồn tại số

p

sao cho:

r
r
c = p.  a ;

r
b  = ( 4 p ; -2p ; -2p ) .

r
6
c = 3 ⇔ 24 p 2 = 9 ⇔ p = ±
Vì
4
r 
r 
6
6
6
6
c
=  6 ; ; - ÷÷
c =  − 6 ;
;
÷÷
2
2 
2
2  hoặc
Từ đó


r 
6
6

c
=
6
;
;
r
rr

÷÷.
2
2
Mặt khác c tạo với Oz một góc tù nên c.k < 0 . Vậy




Câu 4.

r r r
a , b , c sau đây
r
r
r
a = ( 2;6; −1) , b = ( 4; − 3; − 2 ) , c = ( − 4; − 2;2 ) .
r
r
r
a = ( 2; − 4;3) , b = ( 1;2; −2 ) , c = ( 3; −2;1) .

Xét sự đồng phẳng của ba vectơ

(c)
(d)

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuyết Lê ; Fb: Nguyen Tuyet Le.
Để xét sự đồng phẳng của ba vectơ

r r r
a,b ,c

urr r


T
=
a
ta xét tích hỗn hợp
 ,b  .c

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

.

Trang 5 Mã đề

r
a,


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Nếu

T=0

Nếu

T ≠ 0 thì ba vectơ

(a) Ta có

r r r
a,b ,c

thì ba vectơ

r r r
a, b, c
r r r
a, b, c

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

đồng phẳng.
không đồng phẳng.

r r
urr r
 a ; b  = ( − 15;0; − 30 )
 a,b  .c = ( −15 ) . ( −4 ) + 0. ( −2 ) + ( −30 ) .2 = 0 . Vậy ba vectơ

⇒  


đồng phẳng.

urr
urr r
 a,b  = ( 2;7;8 )  a;b  .c = 2.3 + 7. ( − 2 ) + 8.1 = 0 . Vậy ba vectơ r , r , r
⇒  
 
a b c

(b) Ta có
phẳng.
,
Bài 5.

Cho ba điểm

A ( 2;5;3 ) ; B ( 3;7;4 ) ; C ( x; y;6 ) . Tìm

đồng

x ; y để A , B , C thẳng hàng.

Lời giải
Tác giả: Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi

uuur
AB = ( 1; 2;1)

uuur
AC = ( x − 2; y− 5; 3 )

;

x − 2 = 3

x = 5
x− 2 y− 5 3 ⇒  y−5
⇔
=
=
=
3
Ta có : 1
y = 6 .
2
1  2
Bài 6.

Cho bốn đỉnh

A ( 1; − 1;1) , B ( 1;3;1) , C ( 4;3;1) , D ( 4; − 1;1) .

a. Chứng minh

A , B , C , D đồng phẳng và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

b. Tính độ dài các đường chéo và góc giữa hai đường chéo.

Lời giải
Tác giả: Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi

uuur
uuur
uuur
a. AB = ( 0; 4;0 ) ; AC = ( 3;4;0 ) ; AD = ( 3;0;0 )
uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB , AC  = ( 0;0; − 12 ) ;  AB, AC  . AD = 0.3 + 0.0 + 0. ( −12 ) = 0 .




Vậy

A , B ,C , D

đồng phẳng.

uuur uuur
r
 AB , AC  = ( 0;0; − 12 ) ≠ 0 nên , , không thẳng hàng.


ABC
uuur
uuur uuur
DC = ( 0; 4;0 ) nên DC = AB hay tứ giác ABCD là hình bình hành.
Mặt khác :

b. AC =

uuur uuur
AB.AD = 0.3 + 4.0 + 0.0 = 0

nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

32 + 4 2 = 5 ; BD = AC = 5

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

cos ( AC , BD ) =

3.3 + 4 ( −4 )

=

5.5

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

7
°
⇒
AC

,
BD
=
73
44' .
(
)
25


Bài 7.

Cho 4 điểm

A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − 4 ) , C ( 5; − 1;0 )

ABC

a. Chứng minh tam giác
giác.

và

D ( 1;2;1) .

là tam giác vng và tính bán kính đường trịn nội tiếp tam

ABCD .

b. Tính thể tích tứ diện

Lời giải
Tác giả:Vũ Ngọc Tân; Fb: Vũ Ngọc Tân

ABC

a. Chứng minh tam giác
+) Chứng minh tam giác
Ta có:

ABC

là tam giác vng

uuur
uuur
uuur
AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − 6 ) , BC = ( 8;0;4 )

uuur uuur
Xét AB. AC = 24 + 0 − 24 = 0
Vậy

là tam giác vng và tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác.

∆ ABC

vng tại

nên

AC ⊥ BC

nên

∆ ABC

vng tại

C.

C.

+) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ∆ ABC .

Theo cơng thức:
Ta có :

∆ ABC

Chu vi tam giác

r=

1
1
S∆ABC = . AC.BC = .3 5.4 5 = 30
là tam giác vuông tại C nên
2
2

∆ ABC

:

P∆ ABC =

ABCD .

1
VABCD =
Theo công thức:
6

Với

AB + AC + BC 5 5 + 3 5 + 4 5
=
=6 5
.
2
2

S∆ ABC 30
=
= 5
P∆ ABC 6 5
.

b. Tính thể tích tứ diện

Ta có:

S∆ ABC
P∆ ABC .

AB = 5 5, AC = 3 5, BC = 4 5 ,

khi đó vì

Vậy

S∆ ABC = P∆ ABC .r ⇔ r =

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD



uuur
uuur
uuur
AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − 6 ) , AD = ( −1;3; − 5)

uuur uuur uuur
uuur uuur
 AB, AC  = ( 0; −60;0 ) ,  AB, AC  . AD = 0 − 60.3 + 0 = 180 .






Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

1 uuur uuur uuur 1
VABCD =  AB, AC  . AD = .180 = 30
Vậy
.
6
6

Câu 8.

Cho ba điểm

A ( 1;0;0 ) ; B ( 0;0;1) ; C ( 2;1;1) .

h. Chứng minh ba điểm

A,B, C

khơng thẳng hàng.

i.

Tính chu vi và diện tích tam giác

j.

Tìm toạ độ điểm

k.
l.
m.

ABC .

ABCD là hình bình hành.
Tính độ dài đường cao của tam giác ABC .
Tính các góc của tam giác ABC .
Xác định toạ độ tực tâm của ABC .

D

biết

n. Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC .

Lời giải
Tác giả: Đào Văn Tiến;face: Đào Văn Tiến

a.

Do đó
b.

uuur
uuur
uuur uuur
Ta có AB ( −1;0;1) ; AC ( 1;1;1) suy ra AB ≠ k AC .
uuur uuur
AB ; AC không cùng phương suy ra A , B , C không thẳng hàng.
uuur
uuur
uuur
AB
−
1;0;1
AC
1;1;1
(
) ; ( ) ; BC ( 2;1;0) ⇒ AB = 2 ; BC = 5 ; AC = 3 ;
Ta có
uuur uuur
 AB; AC  = ( − 1; 2; − 1) .



ABC
D ( a; b; c )

Chu vi tam giác
c. Gọi

là

p= 2+ 3+ 5

sao cho

A,B , C , D

−1 = 2 − a

⇔ 0 = 1 − b ⇔
uuur uuur 
Ta có AB = DC
1 = 1 − c
d.

và

S ABC

1
=
2

là bốn đỉnh hình bình hành.

a = 3


b = 1
 c = 0 ⇒ D ( 3;1;0 )
.


6
1
1
1
S ABC = a.ha = b.hb = c.hc ⇒ ha =
Ta có
5 ; hb = 2 ; hc = 3 .
2
2
2

e. Áp dụng công thức hàm số cosin cho tam giác

+

+

uuur uuur
1
6
 AB; AC  = 1 + 4 + 1 =

 2
2 .

cos A =

2+ 3− 5
=0
2. 3. 2
⇒ A = 90°

cos B =

2+5−3
2
=
2. 5. 2
5

ABC ta có

⇒ B = 51°

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

+

cos C =

3+5−2
3
=
2. 5. 3
5

⇒ C = 39°

Cách khác: có thể dùng cơng thức
f.

Gọi

H ( a; b; c )

g. Gọi

Ta có

I ( a; b; c )

ABC

uuur uuur

uuur uuur AB. AC
=
cos A = cos AB, AC AB.AC .

(

)

ABC

là toạ độ trực tâm tam giác

uuur uuur
 AH .BC = 0
 uuur uuur
 BH . AC = 0
⇔
 uuur uuur uuur


Ta có   AB; AC  .BH = 0
Cách khác: Tam giác

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

 2a + b − 2 = 0
a = 1


 a + b + c − 1 = 0 ⇔ b = 0
 − a + 2b − c + 1 = 0  c = 0 ⇒ H ( 1;0;0 )
.



vuông tại

A nên trực tâm tam giác ABC

là toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

là

A ( 1;0;0 ) .

ABC

 IA = IB

 ( 1 − a ) 2 + b2 + c2 = a2 + b2 + ( 1 − c ) 2

 IB = IC
⇔
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r


2
2
2
2
2
2
  AB; AC  .BI = 0  a + b + ( 1 − c ) = ( 2 − a ) + ( 1 − b ) + ( 1 − c )
a = 1
 1
 − 2 a + 2c = 0


⇔ b =
⇔  4a + 2b = 5
 1 
 2
 − a + 2b + c − 1 = 0  c = 1 ⇒ I  1; ;1÷

 2 


Bài 9.

Cách khác: Tam giác

ABC

 1 
I  1; ;1÷

 2  của

BC .

Trong khơng gian

vng tại

A nên tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm

Oxyz cho 4 điểm A ( 2; − 1;6 ) , B ( − 3; − 1; − 4 ) , C ( 5; − 1;0 )

a. Chứng minh tam giác
giác.
b. Tính thể tích tứ diện

ABC

và

D ( 1;2;1) .

là tam giác vng và tính bán kính đường trịn nội tiếp tam

ABCD .
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Tân; Fb: Vũ Ngọc Tân

a. Chứng minh tam giác
+) Chứng minh tam giác

Ta có:

ABC
ABC

là tam giác vng.
là tam giác vuông

uuur
uuur
uuur
AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − 6 ) , BC = ( 8;0;4 )

uuur uuur
Xét AB. AC = 24 + 0 − 24 = 0

nên

AC ⊥ BC

nên

∆ ABC

vuông tại

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

C.
Trang 9 Mã đề

SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

∆ ABC

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong khơng gian

C.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD .
Vậy

vuông tại

1 uuur uuur uuur
VABCD =  AB, AC  . AD
Theo cơng thức:
6
Ta có:
Với

uuur
uuur
uuur
AB = ( −5;0; − 10 ) , AC = ( 3;0; − 6 ) , AD = ( −1;3; − 5)

uuur uuur uuur
uuur uuur
 AB, AC  = ( 0; −60;0 ) ,  AB, AC  . AD = 0 − 60.3 + 0 = 180 .






1 uuur uuur uuur 1
VABCD =  AB, AC  . AD = .180 = 30
Vậy
.
6
6


Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho 3 điểm

A ( 2;3; − 1) , B ( − 1;0;2 ) , C ( 1; − 2;0 )

ABC
Tìm tọa độ điểm D trên Oz sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 4

f) Tính diện tích tam giác
g)

E trên ( Oyz ) sao cho AE / / BC
Tìm tọa độ điểm H trên Ox sao cho DH ⊥ AC
Cho BF là phân giác trong của tam giác ABC . Xác định tọa độ điểm F

h) Tìm tọa độ điểm
i)
j)

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Phương ; Fb:Minh Phương
a) Ta có

uuur
uuur
uuur uuur
AB = ( −3; −3;3) , AC = ( −1; −5;1) ⇒  AB, AC  = ( 12;0;12 )

Khi đó diện tích tam giác
b) Gọi

ABC :

S∆ ABC =

1 uuur uuur 1
 AB, AC  =
2.122 = 6 2


(đvdt)
2
2

D ( 0;0;z ) . Ta có

uuur
uuur uuur uuur

AD ( 3;3;z − 3) ⇒  AB, AC  . AD = 12.3 + 0.3 + 12. ( z − 3) = 12 z ≠ 0 ⇔ z ≠ 0
1 uuur uuur uuur
1
⇒ VABCD = 4 ⇒  AB, AC  . AD = 4 ⇔ 12 z = 4 ⇔ z = ± 2
6
6

Vậy điểm
c) Gọi

D ( 0;0;2 ) hoặc D ( 0;0; − 2 )

E ( 0; y;z ) . Ta có

uuur
uuur
AE = ( −2; y− 3;z+ 1) , BC = ( 2; −2; −2 )

Ta có AE / / BC khi
Vậy

E ( 0;5;1)

−2 y − 3 z + 1
uuur uuur
AE; BC cùng phương 2 = − 2 = − 2 ⇔ y = 5; z = 1

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 10 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

H ( x;0;0 ) . Ta có
uuuur
uuuur
DH ( x;0; − 2 ) hoặc DH ( x;0;2 )

d) Gọi

uuuur uuur
− x − 2 = 0
DH ⊥ AC ⇔ DH .AC = 0 ⇔ 
⇔
− x + 2 = 0
e) Gọi

F ( x; y;z )

BF là phân giác trong tam giác ABC

mà

F

AF BA
⇒
=
=
CF BC

( −3) + ( −3) + ( 3)
2
2
22 + ( −2 ) + ( −2 )
2

2

2

=

3
2

2 − −3 2 .1 7

x
=
=

1 + 32

5

uuu
r −3 uuur 
−
3
3− 2.− 2
A, C ⇒ FA =
FC ⇒  y =
=0
3
2
1
+
2


−1 − −3 2 .0 −2
z
=
=

nằm giữa
1 + 32
5


 7 −2 
F  ;0; ÷
Vậy  5

5
Bài 11.

 x = −2
x = 2


Trong không gian với hệ tọa độ
Chứng minh 4 điểm

Oxyz

cho 4 điểm

A ( 0;0;3) , B ( 1;1;5) , C ( − 3;0;0 ) , D ( 0; − 3;0 )

A, B, C , D đồng phằng và tính diện tích ∆ ACD
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Phương ; Fb:Minh Phương

Ta có:

uuur
uuur
uuur
AB ( 1;1;2 ) ; AC ( − 3;0; − 3) ; AD ( 0; − 3; − 3)

uuur uuur  − 3 − 3 − 3 0 0 − 3 
 AD, AC  = 
;

;
÷ = ( 9;9; − 9 )


0
−
3
−
3
−
3
−
3
0



uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
⇒ AB.  AD, AC  = 1.9 + 1.9 + 2. ( − 9 ) = 0 ⇒ AB, AC , AD

đồng phẳng

phằng

1
S∆ACD =
Diện tích ∆ ACD :
2

⇒

4 điểm

A, B, C , D đồng

uuur uuur 1 2 2
9 3
2
 AD, AC  =
9
+
9
+
−
9
=
(
)

 2
2 ( đvdt)

Bài 12: Trong không gian với hệ Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(1;1;3), C(1;-1;4).
(f) Tìm tọa độ điểm D trên (Oxy) sao cho BD song song với AC.
(g) Tìm tọa độ điểm E trên (Ox) sao cho DE vng góc với AB.
(h) Tính diện tích tam giác ABC.
(i) Tìm tọa độ điểm S trên Ox sao cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 1.

(j) Cho CF là phân giác trong của tam giác ABC. Xác định tọa độ điểm F.
Bài giải
Tác giả:Lương Thị Chính ; Fb: ChínhLương
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

(a) Gọi D(x;y;0) trên Oxy.

uuur
uuur
AC = (1; − 2;2), BD = ( x − 1; y − 1; − 3)
AC / / BD ⇔

Vậy

−1

x − 1 y − 1 −3
x =
=
=
⇔ 
2
1

−2
2

y
=
4


1
D(− ;4;0)
2

(b) Gọi E(x;0;0)

uuur
uuur
1
DE = ( x + ; −4;0), AB = (1;0;1)
2
uuur uuur
1
1
AB ⊥ DE ⇔ DE. AB = 0 ⇔ x + = 0 ⇔ x = −
2
2
1
E (− ;0;0)
2

Vậy

(c)

Diện tích tam giác

S=

1
2

uuur
uuur uuur
uuur


AB
=
(1;0;1)
⇒
AC = (1; − 2;2)
 AB, AC  = (2; − 1; − 2)

uuur uuur 3
 AB, AC  =

 2

(d) Gọi S(x; 0;0) trên Ox.

VS.ABC

,

uuur uuur
uuur
 AB, AC  = (2; − 1; − 2), AS = ( x; − 1; − 2)




1
x
=
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r

1
1
2
= [AB, AC ].AS = 2 x + 1 + 4 = 1 ⇔ 
6
6

 x = − 11

2

1
11
S ( ;0;0); S (− ;0;0)
2
2
(e) Gọi F(x;y;z) là chân đường phân giác trong

Khi đó
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

uuur
uuur
AC uuur uuur
FA = −
.FB, FA = (− x;1 − y;2 − z ), FB = (1 − x;1 − y;3 − z )
BC
AC = 3; BC = 5
−3



(1 − x)
3
− x =
x=

5

3+ 5

−3
3
2 5+9

⇔ 1 − y =
(1 − y ) ⇔  y = 1
⇒ F(
;1;
)
5
3
+
5
3
+
5



z = 2 5 + 9

−3
2
−
z
=
(3
−
z
)

3+ 5

5

Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3).
(d) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oz sao cho MA=MB.
(e) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oz sao cho A, B, C, N đồng phẳng.
(f) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc Oy biết tứ diện ABCD có thể tích bằng 15.
Lời giải
Tác giả:Lương Thị Chính ; Fb: ChínhLương
(a) Gọi M(0;0;z)

MA = MB ⇔ 4 + 1 + ( z + 1)2 = 9 + ( z − 1)2 ⇔ z = 1
⇒ M (0;0;1)
(b) Gọi N(0;0;z)

uuur
uuur
uuur uuur
AB = (1; − 1; 2), AC = (0; − 2; 4),  AB, AC  = (0; − 4; − 2)

uuur
AN = (− 2; − 1; z + 1)
Để A, B, C, N đồng phẳng

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AN = 0 ⇔ 4 − 2( z + 1) = 0 ⇔ z = 1


⇒ N (0;0;1)
(c) Gọi D(0;y;0)

uuur
AD = (− 2; y − 1;1)
VABCD =

1 uuur uuur uuur 1
 y = − 22
[AB, AC ].AD = − 4(y − 1) − 2 = 15 ⇔ 
6
6
 y = 23

Vậy D(0; -22; 0); D(0; 23; 0)
,
Bài 14.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho bốn điểm

A ( 1;0;1) , B ( − 1;1;2 ) , C ( − 1;1;0 ) ,

D ( 2; − 1; − 2 ) .

A , B , C , D không đồng phẳng.
Tính độ dài đường cao DK của tam giác BCD .
Tính thể tích khối tứ diện ABCD , từ đó suy ra dộ dài đường cao AH

(f) Chứng minh rằng bốn điểm
(g)
(h)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

của tứ diện.
Trang 13 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

(i) Xác định tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác

( Oxy )

(j) Tìm trên mặt phẳng

điểm

M

sao cho

ABC .
MA = MB = MC .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai ; Fb:Mai Nguyen
(a) Ta có

uuur
uuur
uuur
AB = ( − 2;1;1) , AC = ( − 2;1; − 1) , AD = ( 1; − 1; − 3) .
uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  = ( − 2; − 4;0 ) , AD.  AB, AC  = 2 ≠ 0 .





Do đó, bốn điểm
(b) Ta có:

A , B , C , D không đồng phẳng.

uuur uuur
uuur
uuur

BC = ( 0;0; − 2 ) , BD = ( 3; − 2; − 4 ) ,  BC , BD  = ( − 4; − 6;0 ) , BC = 2 .

1 uuur uuur
1
 BC , BD  = 42 + 62 = 13
 2
.
2
2S
1
S∆ BCD = DK .BC ⇒ DK = ∆BCD = 13
Mặt khác, ta có:
.
2
BC
S∆ BCD =

Vậy
(c)

DK = 13 .

1 uuur uuur uuur 1
VABCD =  AB, AC  AD =
Thể tích khối tứ diện ABCD là:
6

3
3VABCD
1
1
⇒
AH
=
=
VABCD = AH .S BCD
S∆ BCD
Lại có:
13 .
3
1
AH =
Vậy
13

(d) Tọa độ trọng tâm tam giác

ABC

x A + xB + xC
1

=−
 xG =
3
3


y A + yB + yC 2

=
 yG =
3
3

 1 2 
z +z +z

zG = A B C = 1 ⇒ G  − ; ;1÷

là: 
3
 3 3 .

K ( a; b; c ) . Ta có:
uuur
uuur
uuur
AK = ( a − 1; b; c − 1) , BK = ( a + 1; b − 1; c − 2 ) , CK = ( a + 1; b − 1; c ) .

Giả sử trực tâm

K

của tam giác

ABC

là

−3

a = 5
uuur uuur

 AK .BC = 0
4

⇔ b =
c = 1
 uuur uuur
5


 BK . AC = 0
⇔
2
a
−
b
+
c
=
−
1

 c = 1 ⇒ K  − 3 ; 4 ;1
 uuur uuur uuur


÷


 AK .  AB, AC  = 0
 a + 2b − 1 = 0
 5 5 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

(e) Giả sử

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

M ( x; y;0 ) ∈ ( Oxy ) , ta có:

AM 2 = ( x − 1) + y 2 + 1 , BM 2 = ( x + 1) + ( y − 1) + 4 , CM 2 = ( x + 1) + ( y − 1)
2

2

MA = MB = MC ⇔ MA2 = MB 2 = MC 2
toán khơng có điểm M thỏa mãn.

2

2

2

.

 4 x − 2 y = −4
⇔
4 x − 2 y = 0 . Hệ này vơ nghiệm dẫn đến bài


Câu 15. Cho hình chóp
Trên

SA, BC

SABC

có

SC = AC = AB = a 2, SC ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC

lần lượt lấy các điểm

a) Tính độ dài đoạn

M, N

sao cho

AM = CN = t

trong đó

vng tại

A.

0 < t < 2a .

MN .

b) Tìm

t để MN

ngắn nhất.

c) Tìm

t để MN

là đoạn vng góc chung của

SA và BC .

Lời giải
Tác giả:Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu
a) Chọn hệ trục tọa độ

(

Oxyz

như hình vẽ, ta có

) (

) (

A ≡ O ( 0;0;0 ) ; B a 2;0;0 ; C 0; a 2;0 ; S 0;a 2; a 2

).

 t t   t
 t t 
M  0; ; ÷; N  ; 2  a − ÷; − ÷ ( 0 < t < 2a )
Ta tính được tọa độ các điểm:
.
2 2  2
2
 2

uuuur t
uuuur
t 
t2
t2
2

2
2
MN  ; 2 ( a − t ) ; −
÷ ⇒ MN = MN = 2 + 2 ( a − t ) + 2 = 3t − 4at + 2a
.
2
 2

t

MN

b) Tìm để
ngắn nhất.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

MN

ngắn nhất

⇔   3t 2 − 4at + 2a 2

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

nhỏ nhất.

2

2a  2a 2
2a 2

3t − 4at + 2a =  3t − ÷ +
≥
, ∀t ∈ ( 0;2a )
3
3
3
Ta có

2

2

2

2a 
2a

 3t − ÷ = 0 ⇔ t = 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
.
3

MN

Vậy

c) Tìm

ngắn nhất là

t để MN

MN =

a 6
2a
⇔t=
3
3 .

là đoạn vng góc chung của

SA và BC .

Cách 1.

MN

là đoạn vng góc chung của

⇔ MN =

SA và BC khi và chỉ khi MN

ngắn nhất

a 6
2a
⇔ t=
3
3 .

Cách 2.

MN

là đoạn vng góc chung của

SA và BC khi và chỉ khi

uuuur uur
 MN .SA = 0
−2a ( a − t ) + at = 0
2a
⇔
⇔t=
 uuuur uuur
3 .
 MN .BC = 0 −at + 2a ( a − t ) = 0
Vậy

MN

Câu 16. Cho bốn điểm

là đoạn vng góc chung của

2a
3 .

S ( 3;1;2 ) , A ( 5;3;1) , B ( 2;3;4 ) , C ( 1;2;0 ) .

a) Chứng minh rằng
b) Gọi M ,
diện đều.

SA và BC khi và chỉ khi

t=

N, P

SA ⊥ ( SBC ) , SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) .

lần lượt là trung điểm của

BC , CA , AB . Chứng minh rằng SMNP

là tứ

Lời giải
Tác giả:Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu

a) Ta có :

uur

uur
uuur
SA = ( 2;2; − 1) , SB = ( − 1;2;2 ) , SC = ( −2;1; − 2 ) .

uur uur
uur uuur
Ta có : SA . SB = − 2 + 4 − 2 = 0 , SA.SC = − 4 + 2 + 2 = 0
Vậy SA ⊥ ( SBC ) .
Chứng minh tương tự ta cũng có :

 SA ⊥ SB

Suy ra :  SA ⊥ SC .

SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

 3 5   5 1  7 5
M  ; ;2 ÷ N  3; ; ÷ P  ;3; ÷
b) Ta có:  2 2  ,  2 2  ,  2
2.
uuuur  3

uuur  1 1 
3
3 2
3 2
MN =  ;0; − ÷ ⇒ MN =
MP =  2; ; ÷ ⇒ MP =
Suy ra:
2
2 .
2 .
2
 2 2
uuur  1 1 
uuur  3 3 
3 2
3 2
NP =  ; ;2 ÷ ⇒ NP =
SM =  − ; ;0 ÷⇒ SM =
2 .
2 .
2 2 
 2 2 
uuur  3 3 
uur  1 1 
3 2
3 2
SN =  0; ; − ÷⇒ SN =
SP =  ;2; ÷ ⇒ SP =
2 .
2 .

 2 2
 2 2
Do

MN = MP = NP = SM = SN = SP

nên

(Hiển nhiên S không thể đồng phẳng với

Câu 19:

Cho hai điểm

A(2;3;1), B(3; − 4;1).

T = 2MA2 + MB 2

đạt giá trị nhỏ nhất ?

SMNP

là tứ diện đều.

( MNP ) ).

Tìm điểm

M

thuộc trục

Oy

sao cho biểu thức

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo; Fb: Nguyễn Thanh Thảo
Điểm M thuộc trục

Oy nên tọa độ điểm

uuur
uuur
M (0; y;0) ⇒ MA ( 2;3 − y;1) ; MB ( 3; −4 − y;1) .

Ta có
2
2
T = 2MA2 + MB 2 = 2  2 2 + ( 3 − y ) + 12  +  32 + ( − 4 − y ) + 12  = 3 y 2 − 4 y + 54

 

2

2  185 185

= 3 y ữ +

3

3
3


ổ2 ử
2
ữ
y = ị M ỗỗỗ0; ;0ữ
ữ
ữ
3
3
ố
ứ
T đạt giá trị nhỏ nhất thì
Câu 20:

Cho hai điểm

A(− 1;6;6), B(3; − 6; − 2). Tìm điểm M

T = MA + MB

đạt giá trị nhỏ nhất ?

thuộc mặt phẳng

( Oxy )

sao cho biểu thức

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo; Fb: Nguyễn Thanh Thảo
Cách 1:
Vì

zA .zB < 0 nên A, B khác phía đối với mặt phẳng ( Oxy )

Gọi N là giao điểm của AB và

.

( Oxy ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

Lấy

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong khơng gian

M Ỵ (P ) ta có MA + MB ³ AB = NA + NB .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi N
Suy ra

T = MA + MB

º M.

nhỏ nhất khi và chỉ khi

NºM

hay 3 điểm A, B, M thẳng hàng.

Cần tìm điểm M thỏa mãn:

ìï - 1- x = - 3( 3 - x)
ìï x = 2
ïï
uuur
uuur
uuur ïï
d ( A;(Oxy)) uuur
ï
MA = .MB Û MA = - 3.MB Û í 6 - y = - 3( - 6 - y) Û íï y = - 3
ïï
ïï
d ( B ;(Oxy))
ïï z = 0
ïï z = 0
ỵ
ỵ
Vậy

(

)

M 2;- 3;0 .

Cách 2:
Phương trình mặt phẳng

( Oxy )

z = 0.

là

Xét vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng

( Oxy )

ta có:

TA .TB = 6 ( − 2 ) = − 12 < 0. Vậy A, B khác phía đối với mặt phẳng ( Oxy )

.

uuur
AB = 4 1;- 3;- 2 làm véc tơ chỉ phương, suy ra
Đường thẳng AB qua A(− 1;6;6), và nhận

(

)

ìï x = - 1 + t
ïï
ï y = 6 - 3t
í
ïï
AB có phương trình: ïïỵ z = 6 - 2t .
Gọi N là giao điểm của AB và

( Oxy ) , suy ra tọa độ điểm N là nghiệm của hệ:

ìï x = - 1 + t
ïï
ìï x = 2
ïï y = 6 - 3t
ïï
ïí
ïï z = 6 - 2t Û ïí y = - 3
ïï
ïï
ïï z = 0 .
ïïỵ z = 0
ỵ
Ta chứng minh
Thật vậy, lấy

T = MA + MB

nhỏ nhất khi và chỉ khi

Nº M

M Ỵ (P ) ta có MA + MB ³ AB = NA + NB .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi N

º M . Vậy

(

)

M 2;- 3;0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 18 Mã đề


SP của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC.

P1-Vecto và hệ trục toạ độ trong không gian

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 19 Mã đề