DS_C3_UNG DUNG TICH PHAN

CHỦ ĐỀ 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn
b

[ a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được xác định: S =�f ( x) dx
a

y
y  f (x)

O a c1

c2

c3 b x

�y  f (x)
�
�y  0
(H ) �
�x  a
�
�x  b

b

S�
f ( x ) dx
a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , y =g ( x ) liên tục trên
b

đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x =a , x =b được xác định: S =�f ( x ) - g ( x) dx
a

y

�
(C1): y  f1(x)
�
(C ): y  f2 (x)
�
(H ) � 2
�x  a
�x  b
�

(C1)
(C2 )

b

c2 b

a c1

O

S�
f1 ( x )  f 2 ( x ) dx

x

a

Chú ý:
b

b

a

a

- Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x) không đổi dấu thì: �f ( x) dx =�f ( x) dx
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g ( y ) , x =h( y ) và hai
d

đường thẳng y =c , y =d được xác định: S =�g ( y ) - h( y ) dy
c

2. Thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay
a) Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại
các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
vng góc với trục Ox tại điểm x , (a �x �b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a; b] .

(V )
O

x

a

b

b

x

V �
S ( x )dx
a

S(x)

Trang
1/34


b

S ( x) dx
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V =�
a

b) Thể tích khối trịn xoay:
Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox:
y

y  f (x)

O

a

�
(C ): y  f (x)
�
b
(Ox): y  0
2
�
Vx   �
f ( x ) dx

�
x �x  a
a
�
x

b
�

b

Chú ý:
- Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường x =g ( y ) , trục hoành và hai đường thẳng y =c , y =d quanh trục Oy:
y

d

c
O

�
(C ): x  g(y)
�
(Oy): x  0
�
�
�y  c
�
�y  d

x

d

Vy  �
 g( y ) dy
2

c

- Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x) , y =g ( x ) và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox:
b

V =p�f 2 ( x) - g 2 ( x) dx
a

Trang
2/34


B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình
b

phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ), y =g ( x ), x =a, x =b là S =�f ( x ) - g ( x) dx .
a

Phương pháp giải tốn
+) Giải phương trình f ( x) =g ( x) (1)
b

+) Nếu (1) vơ nghiệm thì S =�
( f ( x) - g ( x)) dx .
a

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc . [ a; b] . giả sử a thì
a

b

a

a

S =�
( f ( x) - g ( x)) dx +�( f ( x) - g ( x)) dx
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x) - g ( x) trên đoạn [ a; b] rồi dựa vào bảng
xét dấu để tính tích phân.
Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình
b

phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x), y =g ( x) là S =�f ( x) - g ( x) dx . Trong đó a, b là
a

nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f ( x ) =g ( x)

( a �a
Phương pháp giải tốn
Bước 1. Giải phương trình f ( x) =g ( x) tìm các giá trị a, b .
b

Bước 2. Tính S =�f ( x ) - g ( x) dx như trường hợp 1.
a

Câu 1. Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x) ,
y =g ( x ) liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x =a , x =b (a f ( x) - g ( x) .dx .
A. S =p�
a

( f ( x) - g ( x))dx .
B. S =�
a

( f ( x) - g ( x)) 2 .dx .
C. S =�
a

f ( x) - g ( x) .dx .
D. S =�
a

b

b

b

b

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , liên tục trên
[a ; b] trục hoành và hai đường thẳng x =a, x =b ( a b

A. S =�f ( x) dx.
a

b

B. S =�f ( x) dx.
a

b

C. S =p�f ( x) dx.
a

b

2
D. S =p�f ( x) dx.
a

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x +11x - 6, y =6 x , x =0, x =2 .
3

(Đơn vị diện tích)
4
5
8
A.
B.
C.
3

2
3
3
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =x , y =4 x là:

2

D.

18
23

A. 8
B. 9
C. 12
D. 13
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện
tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x) , trục hoành và hai
đường thẳng x =a , x =b được tính theo công thức

Trang
3/34


b

b

A. S =�f ( x)dx.

B. S =-�f ( x)dx.

a

a

b

2
C. S =-�f ( x)dx.
a

b

2
D. S =�f ( x)dx.
a

Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục
trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được tính theo
cơng thức
b

b

A. S =�f ( x) dx.

B. S =�f ( x)dx.

a

a

b

C. S =�f ( x) dx.
2

a

b

D. S =p�f ( x)dx.
a

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x) , y =g ( x )
liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được tính
theo cơng thức
b

A. S =�f ( x) - g ( x) dx.
2

a

b

C. S =�f ( x ) - g ( x ) dx.
a

b

[f ( x ) - g ( x)]dx.
B. S =�
a

b

D. S =p�f ( x ) - g ( x ) dx.
2

a

Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm trong hình)
là

0

1

-2

0

-2

1

0

0

A. S =�f ( x)dx +
�f ( x)dx
C. S =�f ( x)dx +
�f ( x)dx

1

B. S =�f ( x)dx
-2

0

1

-2

0

D. S =�f ( x)dx -�f ( x)dx

Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 3 , trục hoành và
hai đường thẳng x =1 , x =3 là
A. 19
B. 18
C. 20
D. 21
Câu 10.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành

và hai đường thẳng x =1 , x =4 là
14
A. 4
B.
5
Câu 11.

C.

13
3

D.

14
3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =3 x , trục hoành

và hai đường thẳng x =1 , x =8 là
45
45
45
45
A.
B.
C.
D.

2
4
7
8
Câu 12.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =sin x , trục
3p
hoành và hai đường thẳng x =p , x =
là
2

Trang
4/34


A. 1
Câu 13.

1
3
C. 2
D.
2
2
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =tan x , trục
B.

p
p
hoành và hai đường thẳng x = , x = là

6
4
3
6
3
6
B. ln
C. - ln
D. - ln
3
3
3
3
2x
Câu 14.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =e , trục hoành
và hai đường thẳng x =0 , x =3 là
A. ln

A.

e6 1
+
2 2

e6 1
e6 1
C.
+
2 2

3 3
[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
B.

D.

e6 1
3 3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 3 - 3x 2 , trục
hoành và hai đường thẳng x =1 , x =4 là
53
51
49
25
A.
B.
C.
D.
4
4
4
2
Câu 16.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4 - 3 x 2 - 4 , trục
hoành và hai đường thẳng x =0 , x =3 là
142
143
144

141
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
x +1
Câu 17.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
, trục
x +2
hoành và đường thẳng x =2 là
A. 3 +2 ln 2
B. 3 - ln 2
C. 3 - 2 ln 2
D. 3 +ln 2
Câu 15.

Câu 18.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y =2 - x 2 và đường thẳng
y =- x là

A.
Câu 19.

7

9
9
B.
C. 3
D.
2
4
2
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =cos 2 x , trục

p
hoành và hai đường thẳng x =0, x = là
2
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Câu 20.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4 - 3 x 2 - 4 , trục
hoành và hai đường
thẳng x =0 , x =3 là
71
73
72
A.
B.
C.
D. 14
5
5

5
x +1
Câu 21.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
, trục
x +2
hoành và đường thẳng x =2 là
A. 3 +2 ln 2
B. 3 - ln 2
C. 3 - 2 ln 2
D. 3 +ln 2
Câu 22.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y =2 - x 2 và đường
thẳng y =- x là
A.

9
2

B.

9
4

C. 3

D.

7
2

Trang
5/34


Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =cos 2 x , trục

Câu 23.

p
hoành và hai đường thẳng x =0, x = là
2
A. 1
B. 2
C. 3
Câu 24.

D. 4

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x

và

y =3 x là
A.
Câu 25.

1
1
1
1

B.
C.
D.
12
13
14
15
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y =2 x 3 - 3x 2 +1

và y =x 3 - 4 x 2 +2 x +1 là
37
37
B.
C. 3
D. 4
13
12
Câu 26.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =- x 2 +4 , đường thẳng
x =3 , trục tung và trục hồnh là
22
32
25
23
A.
B.
C.
D.
3
3

3
3
3
Câu 27.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x  4 x , trục hoành và
A.

hai đường thẳng x  3, x  4 là
202
203
201
A.
B.
C.
3
4
5
Câu 28.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
x =e là
đường thẳng
A.
Câu 29.

201
4
y =x ln x , trục hoành và
D.

e2 - 1

e 2 +1
e2 - 1
e 2 +1
B.
C.
D.
2
2
4
4
2
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =x +x - 2, y =x +2

và hai đường thẳng x =- 2; x =3 . Diện tích của (H) bằng
87
87
87
87
A.
B.
C.
D.
5
4
3
5
Câu 30.
Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

(

)

y = 1 +e x x, y =( 1 +e) x . Diện tích của (H) bằng
A.
Câu 31.

e- 1
2

e- 2
e +1
D.
2
2
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
2
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x - 1 , y = x +5 .
B.

e- 2
2

C.

Diện tích của (H) bằng
71
73
70
74

A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
2
Câu 32.
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x - 4 x +3 , y =x +3 .
Diện tích của (H) bằng
108
109
109
119
A.
B.
C.
D.
5
5
6
6
2
Câu 33.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y =x +3 , tiếp tuyến của (P) tại
điểm có hồnh độ x =2 và trục tung bằng
Trang
6/34

A.
Câu 34.

8
4
7
B.
C. 2
D.
3
3
3
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y - 2 y +x =0, x +y =0

là
A.
Câu 35.

9
4
Diện

9
2
hình phẳng
B.

tích

giới

1
27
y =x 2 ; y = x 2 ; y =
bằng
27
x
A. 27 ln 2
B. 27 ln 3
Câu 36.

A.
Câu 37.

7
2
hạn

C.

11
2
đồ thị
D.

bởi

các

C. 28ln 3

hàm

số

D. 29 ln 3

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

8
3

B.

11
3

C.

7
3

D.

10
3

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các

a
. Khi đó a +b bằng
b
A. 68
B. 67
C. 66
D. 65
Câu 38.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =1, y =x và đồ thị
đường thẳng y =8 x, y =x và đồ thị hàm số y =x 3 là

a
x2
hàm số y = trong miền x �0, y �1 là . Khi đó b - a bằng
b
4
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
�
- x, nÕu x �1
�
Câu 39.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =�
và
�
�x - 2, nÕu x>1

10
a
y = x - x 2 là . Khi đó a +2b bằng
3
b
A. 16
B. 15

C. 17

D. 18
- x +4 x - 4
Câu 40.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y =
, tiệm cận xiêm
x-1
của (C ) và hai đường thẳng x =0, x =a ( a <0) có diện tích bằng 5 Khi đó a
bằng
A. 1 - e5
B. 1 +e5
C. 1 +2e5
D. 1 - 2e5
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật trịn xoay giới hạn bởi các đường:
2

Trang
7/34


Những điểm cần lưu ý:

. Tính thể tích khối trịn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y = f(x) , y = 0 , x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = p�
f 2(x)dx .
a

Trường hợp 2. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là
b

V = p�f 2(x) - g2(x) dx .
a

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 41.

4
, y  0, x  1, x  4 quanh trục ox là:
x
A. 6
B. 6
C. 12
y

Câu 42.

D. 6

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  cos 4x, Ox, x = 0, x =


quay
8

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

�  1 �
2
2
.
A.
B.
C.
D. �
�
4
�16 �
2
16
Câu 43.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), Ox, x  a, x  b quay
xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
b

2
f ( x) dx.

A. V   �
a

Câu 44.

b

f 2 ( x)dx.
B. V   �
a

b

b

a

a

 2 . f 2 ( x)dx. D. V  �
f 2 ( x)dx.
C. V  �
y  x  1 ; trục Ox và đường

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

thẳng x  3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành
bằng:
3
A. 

B. 3
C. 2
D. 
2
Câu 45.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  1, y  0, x  0, x  1 quay
xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A. 79
63
Câu 46.

B. 23
14

C. 5
4

D.

9

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2  x, x  a, x  b (0  a  b) quay

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
b

xdx.
A. V   2 �
a

Câu 47.

b

B. V   � xdx.
a

b

b

xdx.
C. V   �

D. V   2 � xdx.

a

a

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x  2x, y  0 quay xung
2

quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A. 496
B. 4
C. 64
D. 16
15
3

15
15
Câu 48.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x 2 , y  0 quay xung quanh

trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Trang
8/34


B. 2
3

A. 3
2

C. 
2

D. 4

3
Câu 49.
Thể tích khối trịn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt
phẳng x  0; x   và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vng góc với Ox tại
điểm ( x;0;0) bất kỳ là đường trịn bán kính
A.
Câu 50.

B.

V  2.

V  .

C.

sin x là:

V  4 .

D.

V  2 .

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  tan x, y  0, x  0, x 


quay
3

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A. V   � 3   �
B. V   � 3   � C. V   � 3   � D. V   � 3   �
�
�
�
�
�

�
�
�
3�
3�
3�
3�
�
�
�
�
Câu 51.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x , Ox, x = 0, x = 4 quay

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
28
68
28
68
A.  2
B.  .
C. 
D.  2 .
3
3
3
3
VẬN DỤNG
Câu 52.

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình
trịn giới hạn bởi đường trịn x 2  y 2  16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật
bởi các mặt phẳng vng góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vng.
Thể tích của vật thể là:

A.
Câu 53.

�4  16  x  dx
4

2

4

B.

4

�4x dx
2

4

C.

4

�4 x dx
2

4

D.

�4  16  x  dx
4

2

4

Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y 2  4 x và đường thẳng x  4 .

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
A. 32
B. 64
C. 16
D. 4
y

ln
x
,
y

0, x  2 quay xung
Câu 54.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

A. 2ln 2 2  4ln 2  2

2
C.   2ln 2  4ln 2  2 

Câu 55.

2
B.   2ln 2  4ln 2  2 

D.   2ln 2  1

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  a.x 2 , y  bx (a, b �0) quay xung

quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A.

V  .

b3 �1 1 � B.
b5

V


.
�
�
a3 �3 5 �
5a3

C.

V  .

b5
3a 3

D.

V  .

b5 �1 1 �
� �
a3 �3 5 �
Trang
9/34


1
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4  x 2 , y  x 2 quay xung
3
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:

Câu 56.

24 3
28 3
28 2
24 2

B. V 
C. V 
D. V 
5
5
5
5
y

3
x
,
y

x
,
x

0,
x

1
Câu 57.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
8
4
2
.

A. V  .
B. V 
C. V  .
D. V  .
3
3
3
Câu 58.
Gọi  H  là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong  C1  : y  f  x  ,

A. V 

 C2  : y  g  x  ,

hai đường thẳng x  a , x  b , a  b . Giả sử rằng  C1  và  C2 

khơng có điểm chung trên  a, b  và thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi
b





f  x �
g x �
�
quay  H  quanh Ox là V  �
�
� �
�

� dx . Khi đó
a

2

2

f  x   g  x  , x � a, b 

 1 :
 2 :
 3 :

f  x   g  x  �0, x � a, b 

0 �f  x   g  x  , x � a, b 

Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 59.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x. ln x , y  0, x  e quay xung
quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. .
Câu 60.

4e3  1

9

B. .

4e3  1
9

C. .

2e3  1
9

D. .

2e3  1
9

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  6 x 2  9 x, y  0 quay xung

quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A.
Câu 61.

729
35

B.

27
4

C.

256608
35

D.

7776
5

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình

trịn giới hạn bởi đường tròn x 2  y 2  16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật
Trang
10/34


bởi các mặt phẳng vng góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều.
Thể tích của vật thể là:

A. V 
Câu 62.

256 3
.
3

B. V 

256
.
3

C. V 

32 3
.
3

D. V 

32
.
3

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x 2 , y 2  4 x quay xung quanh

trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A. V 

Câu 63.

88
.
5

B. V 

9

.
70

C. V 

4
.
3

D. V 

6
.
5

BÀI TẬP TỔNG HỢP
( Chỉ có phần đáp số)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong ax  y 2 ; ay  x 2 (a > 0

cho trước) là:
A. S 

a3
3

B. S 

a3
2

C. S 

2a 3
3

D.

4a 3
S
3
Câu 64.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của:

đường thẳng x = 0,
x = 2 là:
2
4
A.
B.
3
3
Câu 65.

C.

1
3

y  x 2  2 x , trục Ox và 2

D. 0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y   x 2 và đường thẳng y = -x -

2
A.

11
2

B.

5
2

C.

9
2

D.

1
- 2
2

Câu 66.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường: y = sinx, y = cosx và x = 0
A. 2  2

B. 2 2  1
C. 2
D. 2 2  1
1
1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol: y = x 2 và y =3 x - x 2 là:
4
2
A 7
B. 8
C. 9
D. 6.

Câu 67.

Trang
11/34


Câu 68.

Diện

tích

giới

hạn

bởi

2

đường

cong:

(C1 ) : y  f1 ( x)  x  1;(C2 ) : y  f 2 ( x)  x  2 x và đường thẳng x = -1 và x = 2.
2

A. 7
Câu 69.

2

B.

11
2

C.

13
2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol:

parabol
M(3 ; 5) và trục tung
A. 7

B. 6

D. -

11
2

y  x 2  2 x  2 tiếp tuyến với

tại

điểm
C. 5

D. 9

Câu 70.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0
1
1
1
A 1.
B.
C.
D.
2
4
3

Câu 71.
Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0. Tính
diện tích của miền D
1
1
1
A. 1
B.
C.
D.
4
2
8
Câu 72.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0,

p
x=
2
3
A
2
Câu 73.

B. 1

C. 2

D.

1
2

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới

hạn bởi: y  2 x  x 2 ; y  0
quay quanh Ox.
14p
16p
A.
B.
15
15
Câu 74.

C.

17p
15

D.

48p
15

Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

đường y  x 2 ;8 x  y 2 quay quanh trục Oy là:
A.

Câu 75.

21p
15

B.

23p
15

C.

24p
15

D.

48p
5

Thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng

giới hạn bởi trục Ox và Parabol (C ) y  ax  x 2 (a  0) là:
A.
Câu 76.

pa 5
30

pa 5

B.
20

pa 4
C.
5

pa 5
D.
10

Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S

giới hạn bởi các đường: y  x.e x , x  1, y  0(0 �x �1) là:
A.

 (e 2  1)
4

B.

 (e 2  1)
4

C.

 (e 2  1)
2

D.

(

)

p e2 - 1
12

Trang
12/34


C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
A D A B A D B C B D C D C A D B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x) ,
y =g ( x ) liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x =a , x =b (a f ( x) - g ( x) .dx .
A. S =p�
a

( f ( x) - g ( x))dx .

B. S =�
a

( f ( x) - g ( x)) 2 .dx .
C. S =�
a

f ( x) - g ( x) .dx .
D. S =�
a

b

b

b

b

Câu 2. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , liên tục trên
[a ; b] trục hoành và hai đường thẳng x =a, x =b ( a b

b

A. S =�f ( x) dx.

B. S =�f ( x) dx.

a

a

b

C. S =p�f ( x) dx.
a

b

2
D. S =p�f ( x) dx.
a

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x +11x - 6, y =6 x , x =0, x =2 .
3

(Đơn vị diện tích)
4
A.
3

8
3
Hướng dẫn giải:
3
2
Đặt h( x) =( x +11x - 6) - 6 x =x 3 - 6 x 2 +11x - 6
h( x) =0 � x =1�x =2 �x =3 (loại).
B.

5
2

C.

2

D.

18
23

Bảng xét dấu
x

0

h(x)

1

(

2

1
0

-

2

)

+

(

0

)

S =-�x 3 - 6 x 2 +11x - 6 dx +�x 3 - 6 x 2 +11x - 6 dx
0

1

1

2

�x 4
� �x 4
� 5
11x 2
11x 2
3
3
�

�
�
=- � - 2 x +
- 6 x � +� - 2 x +
- 6x �
� =2 .
2
2
�4
�0 �4
�1
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =x 3 , y =4 x là:
A. 8

B. 9

C. 12
Hướng dẫn giải:
3
Ta có x =4 x � x =- 2 �x =0 �x =2

D. 13

Trang
13/34


�4
�0
�4

�2
x
x
� S =�x 3 - 4 x dx +�x3 - 4 x dx = �
- 2 x2 �
+�
- 2 x2 �
=8 .
�
�
�
�
�
�
�
�
4
4
-2
0
�
�- 2 �
�0
0

(

2

)

(

)

Vậy S =8 (đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn [ a; b] phương trình f ( x) =g ( x) khơng cịn nghiệm
b

b

a

a

nào nữa thì ta có thể dùng công thức �f ( x ) - g ( x ) dx =�
[ f ( x) - g ( x)] dx .
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện
tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x) , trục hoành và hai
đường thẳng x =a , x =b được tính theo cơng thức
b

b

A. S =�f ( x)dx.

B. S =-�f ( x)dx.

a

a

b

2
C. S =-�f ( x)dx.
a

b

2
D. S =�f ( x)dx.
a

Hướng dẫn giải
b

Theo cơng thức (SGK cơ bản) ta có S =�f ( x)dx.
a

Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục
trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được tính theo
cơng thức
b

b

A. S =�f ( x) dx.

B. S =�f ( x)dx.

a

a

b

C. S =�f ( x) dx.
2

a

b

D. S =p�f ( x)dx.
a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =�f ( x) dx.
a

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x) , y =g ( x )
liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được tính
theo công thức
b

A. S =�f ( x) - g ( x) dx.
2

a

b

C. S =�f ( x ) - g ( x ) dx.
a

b

[f ( x ) - g ( x)]dx.
B. S =�
a

b

D. S =p�f ( x ) - g ( x ) dx.
2

a

Hướng dẫn giải
b

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =�f ( x) - g ( x) dx.
a

Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm trong hình)
là

Trang
14/34


0

1

-2

0

-2

1

0

0

1

A. S =�f ( x)dx +
�f ( x)dx

B. S =�f ( x)dx
-2

C. S =�f ( x)dx +
�f ( x)dx

0

1

-2

0

D. S =�f ( x)dx -�f ( x)dx
Hướng dẫn giải
0

1

-2

0

Theo định nghĩa ta có S =�f ( x)dx -�f ( x)dx
Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 3 , trục hoành và
hai đường thẳng x =1 , x =3 là
A. 19
B. 18

C. 20
Hướng dẫn giải

D. 21
3

x4
Ta có x �0 trên đoạn [1;3] nên S =�x dx =
�x dx = 4 =20
1
1
1
3

3

3

Câu 10.

3

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành

và hai đường thẳng x =1 , x =4 là
14
13
A. 4
B.
C.
5
3
Hướng dẫn giải

Ta có

4

4

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =3 x , trục hoành

và hai đường thẳng x =1 , x =8 là
45
45
45
A.
B.
C.
2
4
7
Hướng dẫn giải
Ta có
Câu 12.

14
3

2 32
14
xdx
=
x =

x �0 trên đoạn [1; 4] nên S =� x dx =
�
3 1 3
1
1
4

Câu 11.

D.

45
8

8

3 43
45
[1;8]
nên S =� x dx =
x �0 trên đoạn
� xdx =4 x = 4
1
1
1
8

3

D.

8

3

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =sin x , trục

3p
hoành và hai đường thẳng x =p , x =
là
2
1
A. 1
B.
C. 2
2
Hướng dẫn giải

D.

3
2

Trang
15/34


3p

3p

p

p

� 3p �
3p
2
2
p; �nên S = sin x dx =- sin xdx =cos x 2 =1
Ta có sin x �0 trên đoạn �
�
�
� 2�
p
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =tan x , trục

Câu 13.

p
p
hoành và hai đường thẳng x = , x = là
6
4
A. ln

3
3

B. ln

6
3

3
3
Hướng dẫn giải
C. - ln

D. - ln

p
4

p
4

6

6

6
3

p
�
p p�
6

tan xdx =- ln(cos x) p4 =- ln
Ta có tan x �0 trên đoạn � ; �nên S =�tan x dx =
�
3
�6 4 �
p
p
6

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =e 2 x , trục hoành
và hai đường thẳng x =0 , x =3 là

Câu 14.

A.

e6 1
+
2 2

B.

e6 1
2 2

e6 1
+
3 3
Hướng dẫn giải
C.

D.

e6 1
3 3

3

3
3
1 2x
e6 1
2x
2x
[0;3]
e dx =
Ta có e �0 trên đoạn
nên S =�
�e dx =2 e = 2 - 2
0
0
0
2x

[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 3 - 3x 2 , trục
hoành và hai đường thẳng x =1 , x =4 là
53
51

49
25
A.
B.
C.
D.
4
4
4
2
Hướng dẫn giải
3
2
Ta có x - 3 x =0 � x =3 �[1; 4]

Câu 15.

Khi đó diện tích hình phẳng là
3

4

�x 4
� �x 4
�
3
� +� - x3 � =6 +27 =51
S =�x - 3x dx =�
( x - 3x )dx +�
( x - 3x )dx = �

x
�4
� �4
�
4
4
1
1
3
�
�1 �
�3
4

3

3

2

3

2

4

3

2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4 - 3 x 2 - 4 , trục
hoành và hai đường thẳng x =0 , x =3 là
142
143
144
141
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
Hướng dẫn giải
4
2
Ta có x - 3x - 4 =0 � x =2 �[0;3]

Câu 16.

Khi đó diện tích hình phẳng là
3

2

3

S =�x 4 - 3 x 2 - 4 dx =�
( x 4 - 3x 2 - 4) dx +�

( x 4 - 3 x 2 - 4) dx
0

0

2

2

3

�x 5
� �x 5
�
3
� +� - x 3 - 4 x � =48 +96 =144
=�
x
4
x
�5
� �5
� 5 5
5
�
�0 �
�2

Trang
16/34

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

Câu 17.

x +1
, trục
x +2

hoành và đường thẳng x =2 là
A. 3 +2 ln 2
B. 3 - ln 2
C. 3 - 2 ln 2
D. 3 +ln 2
Hướng dẫn giải
2
2
2
� 1 �
x +1
�
�dx = x - ln x +2
dx =�
1=3 - 2 ln 2
Ta có x +1 =0 � x =- 1 nên S =�
�
�
-1
- 1 x +2

- 1 � x +2 �

(

Câu 18.

)

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y =2 - x 2 và đường thẳng
y =- x là

A.

7
2

B.

9
4

C. 3

D.

9
2

Hướng dẫn giải
�

x =- 1
2
Ta có 2 - x =- x � �
và 2 - x 2 �- x, " x �[ - 1; 2]
�
x =2
�
2

� x 2 x3 � 9
(2 +x - x )dx =�
2x + - �
=
Nên S =�
�
2 3�
-1
�
�- 1 2
2

Câu 19.

2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =cos 2 x , trục

p
hoành và hai đường thẳng x =0, x = là
2

A. 2
B. 1
C. 3
Hướng dẫn giải
p � p�
0; �
Ta có cos 2 x =0 � x = ��
4 � 2�
p
2

p
4

p
2

D. 4

p

p

�1
�4 �1
�2
�
�
�
cos 2 xdx +�

cos 2 xdx = �
sin
2
x
+
sin
2
x
Nên S =�cos 2 x dx =�
�
� �
�p =1
p
�2
�0 �2
�
0
0
4

4

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4 - 3 x 2 - 4 , trục
hoành và hai đường
thẳng x =0 , x =3 là
71
73
72
A.
B.

C.
D. 14
5
5
5
Hướng dẫn giải
4
2
Ta có x - 3x - 4 =0 � x =2 �[0;3]
Khi đó diện tích hình phẳng là

Câu 20.

3

2

3

S =�x 4 - 3 x 2 - 4 dx =�
( x 4 - 3x 2 - 4) dx +�
( x 4 - 3 x 2 - 4) dx
0

0

2

2

3

�x 5
� �x 5
�
3
�
� - x 3 - 4 x � =48 +96 =144
=� - x - 4 x �
+
� �5
� 5 5
5
�5
�0 �
�2
Câu 21.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

hoành và đường thẳng x =2 là
A. 3 +2 ln 2
B. 3 - ln 2
C. 3 - 2 ln 2
Hướng dẫn giải
Ta có x +1 =0 � x =- 1 nên

x +1
, trục
x +2

D. 3 +ln 2

Trang
17/34


2
2
� 1 �
x +1
�
�
S =�
dx =�
1�
�dx = x - ln x +2
- 1 x +2
- 1 � x +2 �

(

)

2
-1

=3 - 2 ln 2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y =2 - x 2 và đường

thẳng y =- x là
9
9
7
A.
B.
C. 3
D.
2
4
2
Hướng dẫn giải
�
x =- 1
2
Ta có 2 - x =- x � �
và 2 - x 2 �- x, " x �[ - 1; 2]
�
x
=
2
�

Câu 22.

2

� x 2 x3 � 9
(2 +x - x )dx =�
2x + - �

=
Nên S =�
�
2 3�
-1
�
�- 1 2
2

2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =cos 2 x , trục

Câu 23.

p
hoành và hai đường thẳng x =0, x = là
2
A. 1
B. 2
C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
p
p
Ta có cos 2 x =0 � x = �[0; ]
4
2

Nên
p
2

p
4

p
2

p

p

�1
�4 �1
�2
� sin 2 x �
� +�
� sin 2 x �
� =1
S =�cos 2 x dx =�
cos 2 xdx +�
cos 2 xdx = �
p
�2
�0 �2
�p
0
0

4

4

Câu 24.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x

và

y =3 x là
A.

1
12

B.

1
13

1
14
Hướng dẫn giải
C.

�
x =0
x =3 x � �
�

x =1
�

Ta có

1

Nên S =� x 0

Câu 25.

1
15

1

1

3

D.

x dx =�
( x0

3

�2 3 3 3 4 � 1
� x �=
x )dx = �

x �
4
�3
�0 12

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
3

y =2 x - 3x 2 +1 và y =x 3 - 4 x 2 +2 x +1 là
A.

37
13

B.

37
12

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
�
x =- 2
�
3
2
3

2
x =0
Ta có 2 x - 3 x +1 =x - 4 x +2 x +1� �
�
�
x =1
�
1

0

1

-2

-2

0

3
2
( x3 +x 2 - 2 x )dx +�
( x3 +x 2 - 2 x )dx
Nên S =�x +x - 2 x dx =�

Trang
18/34


0

1

�x 4 x3
� �x 4 x3
�
2
�
� + - x 2 � =37
=� + - x �
+
� �4 3
� 12
�4 3
�- 2 �
�0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =- x 2 +4 , đường thẳng
x =3 , trục tung và trục hoành là
22
32
25
23
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3

Hướng dẫn giải
Xét pt - x 2 +4 =0 trên đoạn [ 0;3] có nghiệm x =2
2
3
23
2
- x 2 +4 dx =
Suy ra S =�- x +4 dx +�
3
0
2
Câu 27.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 3  4 x , trục hoành và
Câu 26.

hai đường thẳng x  3, x  4 là
202
203
201
201
A.
B.
C.
D.
3
4
5
4
Hướng dẫn giải
Xét pt x 3 - 4 x =0 trên đoạn [ - 3; 4] có nghiệm x =- 2; x =0; x =2

-2
0
2
4
201
3
3
3
x
4
x
dx
+
Suy ra S =�x - 4 x dx +�x - 4 x dx +
�
�x3 - 4 x dx = 4
-3
-2
0
2
Câu 28.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y =x ln x , trục hoành và
x =e là
đường thẳng

e2 - 1
4
Hướng dẫn giải
Xét pt x ln x =0 trên nữa khoảng ( 0;e] có nghiệm x =1
A.

e2 - 1
2

B.

e 2 +1
2

C.

D.

e 2 +1
4

e
e 2 +1
x ln xdx =
Suy ra S =�
4
1
Câu 29.
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =x 2 +x - 2, y =x +2

và hai đường thẳng x =- 2; x =3 . Diện tích của (H) bằng
87
87
87
87

A.
B.
C.
D.
5
4
3
5
Hướng dẫn giải
2
Xét phương trình ( x +x - 2) - ( x +2) =0 � x 2 - 4 =0 � x =�2
2
3
87
2
2
Suy ra S =�x - 4 dx +�x - 4 dx =
3
-2
2
Câu 30.
Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

(

)

y = 1 +e x x, y =( 1 +e) x . Diện tích của (H) bằng
e- 1
2

Hướng dẫn giải
A.

(

B.

e- 2
2

C.

e- 2
2

D.

e +1
2

)

x
Xét pt 1 +e x - ( 1 +e) x =0 có nghiệm x =0, x =1
1
e- 2
x
S
=
x

e
e
dx
=
Suy ra
�
�x e - e x dx = 2
0
0
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
1

(

)

(

)

Trang
19/34


2
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x - 1 , y = x +5 .

Câu 31.

Diện tích của (H) bằng

71
73
A.
B.
3
3

70
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

74
3

2
Xét pt x - 1 = x +5 có nghiệm x =- 3, x =3
3

(

3

))

(

2

2
Suy ra S =� x -1 - x +5 dx =2�x -1 - ( x +5) dx
-3

0

Bảng xét dấu x - 1 trên đoạn [ 0;3]
2

x

0
3

1
0

-

x2 - 1

+

1
3
73
2
2
Vậy S =2�- x - x - 4 dx +�x - x - 6 dx =
3

0
1

(

(

)

)

2
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x - 4 x +3 , y =x +3 .

Câu 32.

Diện tích của (H) bằng
108
109
A.
B.
5
5

109
6
Hướng dẫn giải
C.

D.

119
6

2
Xét pt x - 4 x +3 =x +3 có nghiệm x =0, x =5
1
3
5
109
2
2
x
3
x
+
6
dx
+
Suy ra S =�- x +5 x dx +
�
�- x 2 +5x dx = 6
0
1
3

(

(

)

(

)

)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y =x 2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại
điểm có hồnh độ x =2 và trục tung bằng
8
4
7
A.
B.
C. 2
D.
3
3
3
Hướng dẫn giải
PTTT của (P) tại x =2 là y =4 x +3
�
x =0
2
2
Xét pt x +3 - ( 4 x +3) =0 � x - 4 x =0 � �
�
x =2
�

Câu 33.

(

)

2

�x 3
�
� - 2 x 2 +4 x � =8
S
=
x
4
x
+
4
dx
=
x
4
x
+
4
dx
=
Suy ra
�

�
�3
� 3
0
0
�
�0
2

(

2

2

)

(

)

2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2 - 2 y +x =0, x +y =0

Câu 34.
là

7
11

D.
2
2
Hướng dẫn giải
Biến đổi về hàm số theo biến số y là x =- y 2 +2 y, x =- y
2
Xét pt tung độ giao điểm (- y +2 y ) - ( - y) =0 có nghiệm y =0, y =3

A.

9
4

B.

9
2

C.

3
3
9
2
S
=
y
+
3
y

dy
=
Vậy
�
�- y 2 +3 y dy =2
0
0

(

)

Trang
20/34


Câu 35.

Diện

tích

hình

phẳng

1
27
y =x 2 ; y = x 2 ; y =
bằng

27
x
A. 27 ln 2
B. 27 ln 3

giới

hạn

bởi

C. 28ln 3

các

đồ

thị

hàm

số

D. 29 ln 3

Hướng dẫn giải
Xét các pthđgđ x 2 -

x2
27

x 2 27
=0 � x =0; x 2 =0 � x =3; =0 � x =9
27
x
27 x

Suy ra
2 �
3�
9�
27 x 2 �
�x 2 - x �
�
�dx =27 ln 3
S =�
dx
+
� 27 � �
� �
0�
� 3 �x 27 �
Câu 36.
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

A.

8
3

B.

11
3

C.

7
3

D.

10
3

Hướng dẫn giải
2
�
y =- 1
10
2
( y +2 - y 2 ) dy =
Ta có y =y +2 � �
, Nên S =�
�
y =2
3
0
�

Câu 37.

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các

đường thẳng y =8 x, y =x và đồ thị hàm số y =x 3 là

a
. Khi đó a +b bằng
b
Trang
21/34


A. 68

B. 67

C. 66
Hướng dẫn giải

D. 65

Ta có
�
x =0
�
x =0
8 x - x =0 � x =0;8 x - x 3 =0 � �
; x - x 3 =0 � �
�
�

x =1
x =2 2
�
�

1
2 2
63
8
x
x
dx
+
8 x - x 3 dx =
Nên S =�
) �
(0
4
1

(

Câu 38.

)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =1, y =x và đồ thị

a
x2

trong miền x �0, y �1 là . Khi đó b - a bằng
b
4
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Hướng dẫn giải
Ta có
hàm số y =

x - 1 =0 � x =1; x -

x2
x2
=0 � x =0;1 =0 � x =2
4
4

Trang
22/34


1�
2�
x2 �
x2 �
5
�
�

�
S
=
x
dx
+
1
Nên
�� 4 � �� 4 �
�dx =6
0�
� 1�
�

Câu 39.

�
- x, nÕu x �1
�
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =�
và
�
�x - 2, nÕu x>1

10
a
y = x - x 2 là . Khi đó a +2b bằng
3
b
A. 16

B. 15
C. 17
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
10
x - x 2 =- x � x =0
3
10
x - x 2 =x - 2 � x =3
3
1
�
� 3�
� 13
10
10
2
� x - x +x �
�
� x - x 2 - x +2 �
�dx =
dx +
Nên S =�
�
�
�
2
� 1 �3
�

0 �3

D. 18

- x 2 +4 x - 4
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C ) : y =
, tiệm cận xiêm
x-1
của (C ) và hai đường thẳng x =0, x =a ( a <0) có diện tích bằng 5 Khi đó a
bằng
A. 1 - e5
B. 1 +e5
C. 1 +2e5
D. 1 - 2e5
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
Ta có
TCX : y =- x +3

Câu 40.

0
� 1 � a �1 �
a
�
�
�
dx =�
dx =ln x - 1 0 =ln(1 - a)
Nên S (a) =�

�
�
� �
�
x - 1�
a � x - 1�
0�

Trang
23/34


Suy ra ln(1 - a ) =5 � a =1 - e5
II-Câu hỏi tính tính thể tích vật trịn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý:
. Tính thể tích khối trịn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
b

y = f(x) , y = 0 , x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = p�
f 2(x)dx .
a

Trường hợp 2. Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là
b

V = p�f 2(x) - g2(x) dx .
a

NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU
Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu 41.

4
, y  0, x  1, x  4 quanh trục ox là:
x
A. 6
B. 6
C. 12
D. 6
Hướng dẫn giải
Theo công thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là:
y

4

4
V �
 .( )2dx  12 .
x
1
Câu 42.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  cos 4x, Ox, x = 0, x =


quay
8

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

�  1 �
2
2
.
A.
B.
C.
D. �
�
4
�16 �
2
16
Hướng dẫn giải
Theo cơng thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là:

8

2
.
16
0
Câu 43.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), Ox, x  a, x  b quay
xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
V �
 .cos2 4xdx 

b

2
f ( x) dx.
A. V   �
a

b

f 2 ( x)dx.
B. V   �
a

b

b

a

a

 2 . f 2 ( x)dx. D. V  �
f 2 ( x)dx.
C. V  �

Hướng dẫn giải
b

f 2 ( x)dx.

Theo công thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là: V   �
a

Câu 44.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  x  1 ; trục Ox và đường

thẳng x  3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành
bằng:
3
A. 
B. 3
C. 2
D. 
2

Trang
24/34


Giao điểm của hai đường y  x  1 và y  0 là A(1;0) . Vậy thể tích của khối
3

(x  1)dx  2 .
trịn xoay cần tính là: V   �
1

Câu 45.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  1, y  0, x  0, x  1 quay

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A. 79
B. 23
C. 5
D.
9
63
14
4
Hướng dẫn giải
Theo cơng thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là:
1
23
V �
( x 3  1) 2 dx 
.
14
0
Câu 46.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2  x, x  a, x  b (0  a  b) quay

xung quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
b

xdx.
A. V   2 �

a

b

B. V   � xdx.
a

b

b

xdx.
C. V   �

D. V   2 � xdx.

a

a

Hướng dẫn giải
Với x � a; b  thì y 2  x � y  x .
b

xdx.
Theo cơng thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là: V   �
a

Câu 47.

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x 2  2x, y  0 quay xung

quanh trục Ox. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành bằng:
A. 496
B. 4
C. 64
D. 16
15
3
15
15
Hướng dẫn giải
Giao điểm của hai đường y2  x2  2x và y  0 là O(0;0) và A(2;0) . Theo công
2

( x 2  2 x) 2 dx 
thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là: V   �
0

Câu 48.

16
.
15

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x , y  0 quay xung quanh
2

trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. 3

B. 2
C. 
2
3
2
Hướng dẫn giải

D. 4

3

Giao điểm của hai đường y  1  x2 và y  0 là B(1;0) và A(1;0) . Theo cơng
4
.
3
1
Câu 49.
Thể tích khối trịn xoay trong khơng gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt
phẳng x  0; x   và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vng góc với Ox tại
1

(1  x 2 )dx 
thức ta có thể tích của khối trịn xoay cần tính là: V   �

điểm ( x;0;0) bất kỳ là đường trịn bán kính
A.

V  2.

B.

V  .

C.

sin x là:

V  4 .

D.

V  2 .

Hướng dẫn giải
Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các
đường x  0; x   ; y  sin x ; Ox quay trục Ox.
Trang
25/34