DS_C8_PHUONG TRINH MAT CAU

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả
những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là
mặt cầu tâm I, bán kính R.
2/ Các dạng phương trình mặt cầu :
Kí hiệu: S  I ; R  � S  I ; R    M / IM  R
Dạng 1 : Phương trình chính tắc
Dạng 2 : Phương trình tổng quát
( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
(2)
Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính
� Điều kiện để phương trình (2) là
R0.
phương trình mặt cầu:

 S  :  x  a

2

  y  b   z  c   R2
2

2

a 2  b2  c2  d  0



(S) có tâm I  a; b; c  .



(S) có bán kính: R  a 2  b 2  c 2  d
.

3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P  . Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên  P 
� d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  . Khi đó :
+ Nếu d  R : Mặt cầu + Nếu d  R : Mặt phẳng
+ Nếu d  R : Mặt phẳng
và mặt phẳng khơng có tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó:
 P  cắt mặt cầu theo
điểm chung.
 P  là mặt phẳng tiếp diện
thiết diện là đường tròn
của mặt cầu và H là tiếp
có tâm I' và bán kính
điểm.
r  R 2  IH 2

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính
và thiết diện lúc đó được gọi là đường trịn lớn.
4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu S  I ; R  và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó :
+ IH  R :  khơng cắt + IH  R :  tiếp xúc với mặt + IH  R :  cắt mặt cầu
mặt cầu.
cầu.  là tiếp tuyến của (S) tại hai điểm phân biệt.
và H là tiếp điểm.

Trang
1/51


* Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính
như sau:
+ Xác định: d  I ;    IH .
2

+ Lúc đó:

�AB �
R  IH  AH  IH  � �
�2 �
2

2

2

ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
* Đường trịn (C) trong khơng gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt
phẳng ( ) .

 S :
 :

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

I

Ax  By  Cz  D  0

R

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm I '  d �   .

R'

I'



Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vng góc với mp ( )
+ Bán kính

R '  R 2   II '   R 2  �
d  I;    �
�
�
2

2

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S) �
+ Mặt phẳng    là tiếp diện của (S)

d  I ;    R.

� d  I ;      R.

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  .

uuuu
r r
�
IM 0  d
�
IM 0  ad
��
uuuu
r r
Sử dụng tính chất : �
IM 0    
IM 0  n
�
�
�

Trang
2/51


B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I  a; b; c  .

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  và bán kính R .
(S ) :

 x  a

2

  y  b   z  c   R2
2

2

* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Phương trình (S) hồn tồn xác định nếu biết được a, b, c, d . ( a 2  b 2  c 2  d  0 )
Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a)  S  có tâm I  2; 2; 3 và bán kính R  3 .
b)  S  có tâm I  1; 2;0  và (S) qua P  2; 2;1 .
c)  S  có đường kính AB với A  1;3;1 , B  2;0;1 .
Bài giải:
a) Mặt cầu tâm I  2; 2; 3 và bán kính R  3 , có phương trình:
(S):  x  2    y  2    z  3  9
uur
b) Ta có: IP   1; 4;1 � IP  3 2 .
2

2

2

Mặt cầu tâm I  1; 2;0  và bán kính R  IP  3 2 , có phương trình:
(S):  x  1   y  2   z 2  18
uuu
r
c) Ta có: AB   3; 3;0  � AB  3 2 .
2

2

�1 3 �
 ; ;1�.
Gọi I là trung điểm AB � I �
�2 2 �
�1 3 �
 ; ;1�và bán kính R  AB  3 2 , có phương trình:
Mặt cầu tâm I �
�2 2 �
2
2
2

2

9
2
� 1� � 3�
(S): �x  � �y  �  z  1  .
2
� 2� � 2�
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A  3;1;0  , B  5;5;0  và tâm I thuộc trục Ox .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng    : 16 x  15 y  12 z  75  0 .
c) (S) có tâm I  1; 2; 0  và có một tiếp tuyến là đường thẳng  :

x 1 y 1 z

 .
1
1
3

Bài giải:

uu
r
uur
a) Gọi I  a;0;0  �Ox . Ta có : IA   3  a;1;0  , IB   5  a;5;0  .
Do (S) đi qua A, B � IA  IB �

 3  a

2

1 

 5  a

2

 25 � 4a  40 � a  10

� I  10;0;0  và IA  5 2 .
Mặt cầu tâm I  10;0;0  và bán kính R  5 2 , có phương trình (S) :  x  10   y 2  z 2  50
2

b) Do (S) tiếp xúc với    � d  O,      R � R 

75
 3.
25
Trang
3/51


Mặt cầu tâm O  0;0;0  và bán kính R  3 , có phương trình (S) : x 2  y 2  z 2  9
uu
r
c) Chọn A  1;1; 0  � � IA   0; 1;0  .
uu
r r
r
�
IA
Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u   1;1; 3 . Ta có: �
� , u �  3;0; 1 .
uu
r r
�
IA
, u �

Do (S) tiếp xúc với  � d  I ,    R � R  � r � 10 .
u
11
10
Mặt cầu tâm I  1; 2; 0  và bán kính R 
, có phương trình (S) :
11
10
.
121
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) (S) qua bốn điểm A  1; 2; 4  , B  1; 3;1 , C  2; 2;3  , D  1;0; 4  .

 x  1

2

  y  2  z 2 
2

b) (S) qua A  0;8;0  , B  4;6; 2  , C  0;12; 4  và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
a) Cách 1: Gọi I  x; y; z  là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
�IA2  IB 2
 y  z  1 �x  2
�IA  IB
�
� 2
�
�

�
2
Theo giả thiết: �IA  IC � �IA  IC � �x  7 z  2 � �y  1 .
�IA  ID
� 2
�y  4 z  1
�z  0
2
�
�
�
�IA  ID
Do đó: I  2;1;0  và R  IA  26 . Vậy (S) :  x  2    y  1  z 2  26 .
2

2

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 ,

a

2

 b2  c2  d  0 .

Do A  1; 2; 4  � S  �

2a  4b  8c  d  21

Tương tự: B  1; 3;1 � S  � 2a  6b  2c  d  11

C  2; 2;3 � S  � 4a  4b  6c  d  17
D  1;0; 4  � S  � 2a  8c  d  17

(1)
(2)
(3)

(4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :

 x  2

2

  y  1  z 2  26 .
2

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) � I  0; b; c  .
�IA2  IB 2
b7
�
�
��
Ta có: IA  IB  IC � � 2
.
2
c5
�
�IA  IC

Vậy I  0;7;5  và R  26 . Vậy (S): x 2   y  7    z  5   26.
2

2

�x  t
�
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng  : �y  1 và
�z  t
�
(S) tiếp xúc với hai mặt phẳng    : x  2 y  2 z  3  0 và    : x  2 y  2 z  7  0 .
Bài giải:
Gọi I  t ; 1; t  � là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Trang
4/51


1 t

Theo giả thiết: d  I ,      d  I ,     �
Suy ra: I  3; 1; 3 và R  d  I ,     

3



5t
3

1 t  5  t

�
��
�t  3.
1 t  t  5
�

2
4
2
2
2
. Vậy (S) :  x  3   y  1   z  3   .
3
9

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A  2;6;0  , B  4;0;8  và có tâm
x 1 y z  5
 
.
1 2
1

thuộc d:
Bài giải:

�x  1  t
�
Ta có d : �y  2t
. Gọi I  1  t ; 2t ; 5  t  �d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
�z  5  t

�
uu
r
uur
Ta có: IA   1  t;6  2t ;5  t  , IB   3  t ; 2t;13  t  .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B � AI  BI
�

 1 t 

2

  6  2t    5  t  
2

2

 3 t

2

 4t 2   13  t 

� 62  32t  178  20t � 12t  116 � t  

2

29
3

2
2
2
�32 58 44 �
32 � � 58 � � 44 �
�
� I � ;  ;  �và R  IA  2 233 . Vậy (S): �x  � �y  � �z  � 932 .
3
3 �
�3
� 3 � � 3 � � 3 �

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2;3; 1 và cắt đường thẳng
x  1 y 1 z

 tại hai điểm A, B với AB  16 .
1
4
1
Bài giải:
uuur
Chọn M  1;1;0  � � IM   3; 2;1 . Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là
r
u   1; 4;1 .
uuur r
�
IM , u �
uuur r
�
�

Ta có: �
�
IM , u �  2; 4;14  � d  I ,   
2 3.
r
�
u
:

2
AB 2
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : R  �
�
d
I
,




�
� 4  2 19.

Vậy (S):  x  2    y  3   z  1  76 .
2

2

2

Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng

 P  : 5 x  4 y  z  6  0,  Q  :

2 x  y  z  7  0 và đường

x 1 y z 1
 
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P)
7
3
2
và  sao cho (Q) cắt (S) theo một hình trịn có diện tích là 20 .
Bài giải:
(1)
�x  1  7t
�x  1  7t
�y  3t
(2)
�
�
Ta có  : �y  3t
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: �
(3)
�z  1  2t
�z  1  2t
�
�
5 x  4 y  z  6  0 (4)
�

thẳng  :

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5  1  7t   4  3t    1  2t   6  0 � t  0 � I  1;0;1 .
Trang
5/51


5 6
.
3
Gọi r là bán kính đường trịn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:
Ta có : d  I ,  Q   

20   r 2 � r  2 5.
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
2
Theo giả thiết: R  �
d  I , Q  �
�
� r 
2

110
2
2
330
2
.
. Vậy (S) :  x  1  y   z  1 
3

3

�x  t
�
Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  2 z  2  0 và đường thẳng d : �y  2t  1 .
�z  t  2
�
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và
(S) cắt (P) theo giao tuyến là đường trịn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
Gọi I  t; 2t  1; t  2  �d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
2
Theo giả thiết : R  �
d  I; P  �
�
� r  4  9  13 .
2

Mặt khác: d  I ;  P  

� 1
t
�
2t  2t  1  2t  4  2
6
2�
 2 � 6t  5  6 � �
11
4 1 4
�

t 
�
6
�

2
2
2
1
� 1 2 13 �
1 � � 2 � � 13 �
�
 ; ; �
* Với t  : Tâm I1 �
, suy ra  S1  : �x  � �y  � �z  � 13 .
6
�6 3 6 �
� 6� � 3� � 6 �

* Với t  

2
2
2
11 2 1 �
11
�
� 11 � � 2 � � 1 �
I
;


;
: Tâm 2 �
�, suy ra  S2  : �x  � �y  � �z  � 13 .
6
�6 3 6 �
� 6 � � 3� � 6�

x 1 y 1 z 1


. Viết phương trình
2
1
2
mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I.
Bài giải :
r
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u   2;1; 2  và P  1; 1;1 �d .
r uur�
uur
�
uur
u
, IP
r
�  0; 4; 2  . Suy ra: d  I ; d   � � 20 .
u
,
IP

Ta có: IP   0; 1; 2  � �
r
� �
u
3
Bài tập 9: Cho điểm I  1;0;3 và đường thẳng d :

Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I
1
1
1
2
40
 2  2  2 � R  2 IH  2d  I , d  
2
IH
IA IB
R
3
40
2
2
2
Vậy (S) :  x  1  y   z  3 
.
9
�

Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  4 x  4 y  4 z  0 và điểm
A  4; 4;0  . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB

đều.
Bài giải :
(S) có tâm I  2; 2; 2  , bán kính R  2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Trang
6/51


Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp R / 
2
/
Khoảng cách : d  I ;  P    R   R  
2

OA 4 2

.
3
3

2
.
3

2
2
2
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax  by  cz  0  a  b  c  0 

 *

Do (P) đi qua A, suy ra: 4a  4b  0 � b  a .
Lúc đó: d  I ;  P   

2 a  b  c



2c

�

2c



2
3

a2  b2  c2
2a 2  c 2
2a 2  c 2
ca
�
� 2a 2  c 2  3c 2 � �
. Theo (*), suy ra  P  : x  y  z  0 hoặc x  y  z  0.
c  1
�

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường trịn trong khơng gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn

(C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng
(P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):

r  R2  �
d  I; P  �
�
�
2

Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  3  0 cắt mặt phẳng (P):
x  2  0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải :
* Mặt cầu (S) có tâm I  1;0;0  và bán kính R  2 .
Ta có : d  I ,  P    1  2  R � mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn.
(đ.p.c.m)

r
* Đường thẳng d qua I  1;0;0  và vng góc với (P) nên nhận nP   1;0;0  làm 1 vectơ
�x  1  t
�
chỉ phương, có phương trình d : �y  0 .
�z  0
�
�x  1  t
�x  2
�y  0
�

�
� �y  0 � I /  2;0;0  .
+ Tọa độ tâm I / đường tròn là nghiệm của hệ : �
z

0
�
�z  0
�
�
�x  2  0
+ Ta có: d  I ,  P    1 . Gọi r là bán kính của (C), ta có : r  R 2  �
d  I, P  �
�
�  3.
2

Dạng 2 :

SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S) � d  I ;    R.
+ Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S)

� d  I ;      R.

* Lưu ý các dạng tốn liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Trang

7/51


Bài tập 1: Cho đường thẳng    :

x y 1 z  2


và và mặt cầu  S  :
2
1
1

x 2  y 2  z 2  2 x  4 z  1  0 . Số điểm chung của    và  S  là :
A. 0.B.1.C.2.D.3.
Bài giải:

r
Đường thẳng    đi qua M  0;1; 2  và có một vectơ chỉ phương là u   2;1;  1
Mặt cầu  S  có tâm I  1;0;  2  và bán kính R  2.

r uuu
r
�
�
u
,
MI
r uuu
r

uuu
r
�  5;7; 3 � d  I ,    � r � 498
u
,
MI
Ta có MI   1; 1; 4  và �
�
�
6
u
Vì d  I ,    R nên    không cắt mặt cầu  S  .
Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 2: Cho điểm I  1; 2;3 . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy
là:
A.  x  1   y  2 
2

2

 z  3

2

 10.

B.  x  1   y  2 

C.  x  1   y  2 

2

 z  3

2

 10.

D.  x  1   y  2 

2

2

2

2

2

 z  3
 z  3

2

2

 10.
 9.

Bài giải:
Gọi M là hình chiếu của I  1; 2;3 lên Oy, ta có : M  0; 2;0  .
uuur
IM   1;0; 3 � R  d  I , Oy   IM  10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là :  x  1 2   y  2  2  z  3 2  10.
Lựa chọn đáp án B.
Bài tập 3: Cho điểm I  1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình

x 1 y  2 z  3


.
2
1
1

Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:
A.  x  1 2   y  2  2   z  3 2  50.
B.  x  1 2   y  2  2   z  3 2  5 2.
C.  x  1   y  2    z  3  5 2.
2

2

D.  x  1   y  2    z  3  50.

2

2

2

2

Bài giải:
Đường

 d

thẳng

đi

I  1; 2; 3 và

qua

có

VTCP

r
u   2;1;  1

r uuuu
r
�
�
u
,

AM
�
�
� d  A, d  
5 2
r
u
Phương trình mặt cầu là :  x  1   y  2 
2

2

 z  3

2

 50.

Lựa chọn đáp án D.
Bài tập 4: Mặt cầu

 S

tâm I ( 2;3;- 1) cắt đường thẳng

d:

x  11 y z  25
 
2

1
2

tại 2

điểm A, B sao cho AB  16 có phương trình là:
A.  x  2  2   y  3 2   z  1 2  17.

B.  x  2  2   y  3  2   z  1 2  289.

Trang
8/51


C.  x  2    y  3   z  1  289.
2

2

2

D.  x  2    y  3    z  1  280.
2

2

2

Bài giải:

Đường thẳng  d  đi qua M  11; 0; 25 và có vectơ
r
chỉ phương u   2;1;  2  .

I

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:
r uuu
r
2
�
�
u
,
MI
AB �
�
�
IH  d  I , AB  
 15 � R  IH 2  �
r
� �  17 .
u
�2 �

R
d

B

A
H

Vậy  S  :  x  2    y  3   z  1  289.
2

2

2

Lựa chọn đáp án C.
Bài tập 5: Cho đường thẳng d :

x5 y 7 z


và điểm I (4;1;6) . Đường thẳng d cắt
2
2
1

mặt cầu  S  có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB  6 . Phương trình của mặt
cầu  S  là:
A.  x  4  2   y  1 2   z  6  2  18.

B.  x  4  2   y  1 2   z  6  2  18.

C.  x  4    y  1   z  6   9.

D.  x  4    y  1   z  6   16.

2

2

2

2

2

2

Bài giải :
Đường thẳng d đi qua M (5;7;0) và có vectơ chỉ phương
r
u  (2; 2;1) . Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
r uuu
r
2
�
�
u
,
MI
AB �
�
�
�
2

IH  d  I , AB  
 3 � R  IH  � �  18
r
u
�2 �

I
R

2

2

d

B

A

Vậy  S  :  x  4    y  1   z  6   18.
2

H

Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 8: Cho điểm I  1;0;0  và đường thẳng d :

x 1 y 1 z  2



. Phương trình mặt
1
2
1

cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
20
20
2
2
2
.
B.  x  1  y  z  .
3
3
16
5
2
2
2
2
2
2
C.  x  1  y  z  .
D.  x  1  y  z  .
4
3
Bài giải:
Đường thẳng    đi qua M   1;1;  2  và có vectơ
r

chỉ phương u   1; 2;1
r uuu
r
uuu
r
�  5; 2; 1
u
,
MI
Ta có MI   0; 1; 2  và �
�
�
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
r uuu
r
�
�
u
,
MI
�
�
IH  d  I , AB  
 5.
r
u
2
2
A.  x  1  y  z 
2

I
R
B

A

d

H
Trang
9/51


3
2 IH 2 15
�R

2
3
3
20
2
Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1  y 2  z 2  .
3
Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  5  0 . Viết phương trình tiếp tuyến
Xét tam giác IAB, có IH  R.

của mặt cầu (S) qua A  0;0;5  biết:

r
a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương u   1; 2; 2  .
b) Vng góc với mặt phẳng (P) : 3 x  2 y  2 z  3  0.

Bài giải:

r
a) Đường thẳng d qua A  0;0;5  và có một vectơ chỉ phương u   1; 2; 2  , có phương
�x  t
�
trình d: �y  2t .
�z  5  2t
�

r
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là nP   3; 2; 2  .
Đường thẳng d qua A  0;0;5  và vng góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ
�x  3t
r
�
phương nP   3; 2; 2  , có phương trình d: �y  2t .
�z  2t  5
�
Bài

tập

10:

Cho

(S ) : x2  y 2  z 2  6 x  6 y  2z  3  0

và

hai

đường

thẳng

x 1 y 1 z 1


;
3
2
2
x y 1 z  2
2 :


. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 1 và  2 đồng
2
2
1
thời tiếp xúc với (S).
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I  3;3; 1 , R  4 .

r
Ta có: 1 có một vectơ chỉ phương là u1   3; 2; 2  .
r
 2 có một vectơ chỉ phương là u2   2; 2;1 .
r
Gọi n là một vectơ pháp của mặt phẳng (P).
r r
( P ) / / 1
n  u1
�
�
r r r
� �r r � chọn n   u1 , u2    2; 1; 2 
Do: �
( P) / /  2
n  u2
�
�
Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : 2 x  y  2 z  m  0 .
1 :

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) � d  I ;( P)   R �

5 m
3

4

m7
�

� 5  m  12 � �
.
m  17
�
Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2 x  y  2 z  7  0,  2 x  y  2 z  17  0 .

Trang
10/51


2
2
2
Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  4 y  6 z  5  0

, biết tiếp diện:
a) qua M  1;1;1 .
b) song song với mặt phẳng (P) : x  2 y  2 z  1  0 .
x  3 y 1 z  2


b) vng góc với đường thẳng d :
.
2
1
2
Bài giải:
Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2;3 , bán kính R  3 .

uuur

a) Để ý rằng, M � S  . Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là IM   2; 1; 2  , có
phương trình :
   : 2  x  1   y  1  2  z  1  0 � 2 x  y  2 z  1  0.
b) Do mặt phẳng    / /  P  nên    có dạng : x  2 y  2 z  m  0 .
Do    tiếp xúc với (S) � d  I ,      R �

m3
3

m  6
�
 3 � m 3  9 � �
.
m  12
�

* Với m  6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  6  0.
* Với m  12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  12  0.
r
c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud   2;1; 2  .
r
Do mặt phẳng     d nên    nhận ud   2;1; 2  làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra mặt phẳng    có dạng : 2 x  y  2 z  m  0 .
Do    tiếp xúc với (S) � d  I ,      R �

m6
3

m  3
�

 3 � m6  9 � �
.
m  15
�

* Với m  3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  3  0.
* Với m  15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x  2 y  2 z  15  0.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. x 2  y 2  z 2  2 x  0.
B. x 2  y 2  z 2  2 x  y  1  0.
C. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1.

D.  x  y   2 xy  z 2  1.

2

2

Câu 2. Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
A. x 2  y 2  z 2  2 x  0.

B. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0.

D.  x  y   2 xy  z 2  1  4 x.

2

2

Câu 3. Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
A.  x  1   2 y  1   z  1  6.

B.  x  1   y  1   z  1  6.

C.  2 x  1   2 y  1   2 z  1  6.

D.  x  y   2 xy  z 2  3  6 x.

2

2

2

2

2

2

2

Câu 4. Cho các phương trình sau:

 x  1

2

2

2

2

 y 2  z 2  1; x 2   2 y  1  z 2  4;
2

x 2  y 2  z 2  1  0;  2 x  1   2 y  1  4 z 2  16.
2

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 4.
B. 3.
C. 2.

2

D. 1.

Câu 5. Mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z 2  9 có tâm là:
2

2

Trang
11/51

A. I  1; 2;0  .

B. I  1; 2;0  .

C. I  1; 2;0  .

D. I  1; 2;0  .

2
2
2
Câu 6. Mặt cầu  S  : x  y  z  8 x  2 y  1  0 có tâm là:

A. I  8; 2;0  .

B. I  4;1;0  .

C. I  8; 2;0  .

D. I  4; 1;0  .

2
2
2
Câu 7. Mặt cầu  S  : x  y  z  4 x  1  0 có tọa độ tâm và bán kính R là:

A. I  2;0;0  , R  3.

B. I  2;0;0  , R  3.

C. I  0; 2;0  , R  3.

D. I  2;0;0  , R  3.

Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm I  1; 2; 3 , bán kính R  3 là:
A.  x  1   y  2    z  3  9.

B.  x  1   y  2    z  3  3.

C.  x  1   y  2    z  3  9.

D.  x  1   y  2    z  3  9.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 9. Mặt cầu  S  :  x  y   2 xy  z 2  1  4 x có tâm là:
2

A. I  2;0;0  .
Câu 10.

B. I  4;0;0  .

D. I  2;0;0  .

Đường kính của mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  1  4 bằng:
2

A. 4.
Câu 11.

C. I  4;0;0  .

B. 2.

C. 8.

D. 16.
Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là I  1;1;0  ?

A. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  0.

B. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0.

C. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1  2 xy.

D.  x  y   2 xy  z 2  1  4 x.

2

Câu 12.
A.
Câu 13.

2

Mặt cầu  S  : 3 x 2  3 y 2  3z 2  6 x  12 y  2  0 có bán kính bằng:
7
.
3

B.

2 7
.
3

C.

21
.
3

D.

13
.
3

uur
2
Gọi I là tâm mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  2   4 . Độ dài OI ( O là gốc tọa độ)

bằng:
A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. 2. `
Câu 14.
Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba
trục toạ độ?
A. x 2  y 2  z 2  6 z  0.
B. x 2  y 2  z 2  6 y  0.
C. x 2  y 2  z 2  9.
Câu 15.

D. x 2  y 2  z 2  6 x  0.

2
2
2
Mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  10 y  3 z  1  0 đi qua điểm có tọa độ nào sau

đây?
A.  2;1;9  .
Câu 16.

B.  3; 2; 4  .

C.  4; 1;0  .

D.  1;3; 1 .

Mặt cầu tâm I  1; 2; 3 và đi qua điểm A  2;0;0  có phương trình:

A.  x  1   y  2    z  3  22.

B.  x  1   y  2    z  3  11.

C.  x  1   y  2    z  3  22.

D.  x  1   y  2    z  3   22.

2

2

Câu 17.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cho hai điểm A  1;0; 3 và B  3; 2;1 . Phương trình mặt cầu đường kính AB

là:
A. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  0.

B. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  0.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  y  z  6  0.

D. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  6  0.
Trang
12/51


Câu 18.

đi qua bốn điểm M  2; 2; 2  , N  4;0; 2  , P  4; 2;0 

 S

Nếu mặt cầu

và

Q  4; 2; 2  thì tâm I của  S  có toạ độ là:
A.  1; 1;0  .

B.  3;1;1 .

C.  1;1;1 .

D.  1; 2;1 .

Lựa chọn đáp án A.
Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M  1;0;1 , N  1;0;0  , P  2;1;0  và Q  1;1;1

Câu 19.

bằng:
A.
Câu 20.

3
.
2

B.

Cho mặt cầu

 S :

3.

C. 1.

D.

3
.
2

x 2  y 2  z 2  4  0 và 4 điểm M  1; 2; 0  , N  0;1;0  , P  1;1;1 ,

Q  1; 1; 2  . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm khơng nằm trên mặt cầu

 S

?

A. 2 điểm.
Câu 21.

Mặt

B. 4 điểm.
C. 1 điểm.
 S  tâm I  1; 2; 3 và tiếp

cầu

 P  : x  2 y  2z 1  0

D. 3 điểm.
xúc

với

mặt

phẳng

có phương trình:

4
2
2
2

A.  x  1   y  2    z  3  .
9
4
2
2
2
C.  x  1   y  2    z  3  .
3
Câu 22.

4
2
2
2
B.  x  1   y  2    z  3  .
9
16
2
2
2
D.  x  1   y  2    z  3  .
3
Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm I  2;1;3 và tiếp xúc với mặt

phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 ?
A.  x  2    y  1   z  3  16.

B.  x  2    y  1   z  1  4.

C.  x  2    y  1   z  1  25.

D.  x  2    y  1   z  1  9.

2

2

2

Câu 23.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Mặt cầu ( S ) tâm I  3; 3;1 và đi qua A  5; 2;1 có phương trình:

A.  x  3   y  3   z  1  5.

B.  x  5    y  2    z  1  5.

C.  x  3   y  3   z  1  5.

D.  x  5    y  2    z  1  5.

2

2

2

Câu 24.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A  1;3; 2  , B  3;5;0 

là:
A. ( x  2)2  ( y  4) 2  ( z  1) 2  3.

B. ( x  2) 2  ( y  4) 2  ( z  1) 2  2.

C. ( x  2) 2  ( y  4) 2  ( z  1) 2  2.

D. ( x  2) 2  ( y  4) 2  ( z  1) 2  3.

Câu 25.

Cho I  1; 2; 4  và mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  1  0 . Mặt cầu tâm I và tiếp

xúc với mặt phẳng  P  , có phương trình là:
A.  x  1   y  2    z  4   4.

B.  x  1   y  2    z  4   1.

C.  x  1   y  2    z  4   4.

D.  x  1   y  2    z  4   3.

2

2

2

Câu 26.

2

2

2

Cho đường thẳng d :

2

2

2

2

2

2

x y 1 z 1



và điểm A  5; 4; 2  . Phương trình mặt
1
2
1

cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng  Oxy  là:
A.  S  :  x  1   y  2   z 2  64.
2

2

B.  S  :  x  1   y  1  z 2  9.
2

2

Trang
13/51


C.  S  :  x  1   y  1  z 2  65.
2

2

D.  S  :  x  1   y  1  ( z  2) 2  65.
2

2

Câu 27.
Cho ba điểm A(6; 2;3) , B (0;1;6) , C (2;0; 1) , D(4;1;0) . Khi đó mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:
A. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  3  0.
B. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  3  0.
C. x 2  y 2  z 2  2 x  y  3z  3  0.
Câu 28.

D. x 2  y 2  z 2  2 x  y  3z  3  0.

Cho ba điểm A  2;0;1 , B  1;0;0  , C  1;1;1 và mặt phẳng

Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C

 P : x  y  z  2  0 .
và có tâm thuộc mặt phẳng  P 

là:
A. x 2  y 2  z 2  x  2 z  1  0.

B. x 2  y 2  z 2  x  2 y  1  0.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0.

D. x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  1  0.

Câu 29.

Phương trình mặt cầu tâm I  1; 2;3 và tiếp xúc với trục Oy là:

A.  x  1   y  2    z  3  9.

B.  x  1   y  2    z  3  16.

C.  x  1   y  2    z  3  8.

D.  x  1   y  2    z  3   10.

2

2

2

Câu 30.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

�x  1  t
�
Cho các điểm A  2; 4;1 , B  2;0;3 và đường thẳng d : �y  1  2t . Gọi  S  là
�z  2  t
�

mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d . Bán kính mặt cầu  S 
bằng:
A. 3 3.

B. 6.

C.3.

D. 2 3.
x 1 y  2 z  3


Câu 31.
Cho điểm A  1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình
.
2
1
1
Phương trình mặt cầu tâm A , tiếp xúc với d là:
A.  x –1   y  2    z – 3  50.

B.  x –1   y  2    z – 3  5.

C.  x –1   y  2    z – 3  50.

D.  x  1   y  2    z  3  50.

2

2

2

Câu 32.

2

2

2

Cho đường thẳng d:

2

2

2

2

2

x 1 y  1 z

 và mặt phẳng
3
1
1

2

 P  : 2x  y  2z  2  0 .

Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ
nhất tiếp xúc với  P  và đi qua điểm A  1; 1;1 là:
A.  x  2    y  2    z  1  1.

B.  x  4   y 2   z  1  1.

C.  x  1   y  1  z 2  1.

D.  x  3   y  1   z  1  1.

2

2

Câu 33.

2

2

2

2

2

2

2

2

Phương trình mặt cầu có tâm I  1; 2;3 và tiếp xúc với mặt phẳng  Oxz 

là:
A. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0.

B. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0.

D. x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  10  0.

Câu 34.

Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu tâm I  1; 3; 2  tại điểm M  7; 1;5  có

phương trình là:
A. 6 x  2 y  3 z  55  0.
C. 6 x  2 y  3 z  55  0.

B. 3 x  y  z  22  0.
D. 3 x  y  z  22  0.
Trang
14/51


Câu 35.

Cho

mặt

cầu

(S ) : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0

và

mặt

phẳng

( ) : 4 x  3 y  12 z  10  0 . Mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) và song song với ( ) có
phương trình là:
A. 4 x  3 y  12 z  78  0.

B. 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc 4 x  3 y  12 z  26  0.
C. 4 x  3 y  12 z  26  0.
D. 4 x  3 y  12 z  78  0 hoặc 4 x  3 y  12 z  26  0.
Câu 36.

Cho mặt cầu ( S ) :  x  2    y  1  z 2  14 . Mặt cầu ( S ) cắt trục Oz tại A và
2

2

B ( z A  0) . Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của ( S ) tại B :
A. 2 x  y  3 z  9  0.
B. 2 x  y  3 z  9  0.
C. x  2 y  z  3  0.
D. x  2 y  z  3  0.
Câu 37.

Cho 4 điềm A  3; 2; 2  , B  3; 2; 0  , C  0; 2;1 và D  1;1; 2  . Mặt cầu tâm A và

tiếp xúc với mặt phẳng ( BCD) có phương trình là:
A.  x  3   y  2    z  2   14.

B.  x  3   y  2    z  2   14.

C.  x  3   y  2    z  2   14.

D.  x  3   y  2    z  2   14.

2

2

2

Câu 38.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  2  0 . Mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc trục Oz,

2
và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:
14
2

2
2
2
2
2
2
2
A. x  y   z  3  hoặc x  y   z  4   .
7
7
2
2
2
2
2
2
2
2
B. x  y   z  1  hoặc x  y   z  2   .
7
7
2
2
2
2
2
2
2
2
C. x  y  z  hoặc x  y   z  4   .

7
7
2
2
2
2
2
2
2
2
D. x  y  z  hoặc x  y   z  1  .
7
7
x5 y 7 z

 và điểm I  4;1;6  . Đường thẳng d cắt
Câu 39.
Cho đường thẳng d :
2
2
1
mặt cầu ( S ) tâm I tại hai điểm A, B sao cho AB  6 . Phương trình của mặt
cầu ( S ) là:
bán kính bằng

A. ( x  4) 2  ( y  1) 2  ( z  6) 2  18.

B. ( x  4) 2  ( y  1) 2  ( z  6) 2  12.

C. ( x  4) 2  ( y  1) 2  ( z  6) 2  16.

D. ( x  4)2  ( y  1) 2  ( z  6) 2  9.

 P  : x  2 y  z  1  0 và
 Q  : 2 x  y  z  3  0. Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng  P  và tiếp xúc với
mặt phẳng  Q  tại điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng  Oxy  và có

Câu 40.

 P ,  Q

Cho hai mặt phẳng

có phương trình

hồnh độ xM  1 , có phương trình là:
A.  x  21   y  5    z  10   600.

B.  x  19    y  15    z  10   600.

C.  x  21   y  5    z  10   100.

D.  x  21   y  5   z  10   600.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Trang
15/51


Câu 41.

2
2
2
Cho hai điểm M  1;0; 4  , N  1;1; 2  và mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  2 y  2  0.

Mặt phẳng  P  qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) có phương trình:

A. 4 x  2 y  z  8  0 hoặc 4 x  2 y  z  8  0.
B. 2 x  2 y  z  6  0 hoặc 2 x  2 y  z  2  0.
C. 2 x  2 y  z  6  0.
D. 2 x  2 y  z  2  0.
Câu 42.

A  1; 2;3 , B  1;0;1

Cho hai điểm

và mặt phẳng

Phương trình mặt cầu ( S ) có bán kính bằng

 P : x  y  z  4  0 .

AB
có tâm thuộc đường thẳng
6

AB và ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng  P  là:
1
2
2
2
A.  x  4    y  3   z  2   .
3
1
1
2

2
2
2
2
2
B.  x  4    y  3   z  2   hoặc  x  6    y  5    z  4   .
3
3
1
2
2
2
C.  x  4    y  3   z  2   .
3
1
1
2
2
2
2
2
2
D.  x  4    y  3   z  2   hoặc  x  6    y  5    z  4   .
3
3
x 1 y  2 z  3


d:
Câu 43.

Cho đường thẳng
và hai
2
1
2

 P1  : x  2 y  2 z  2  0;  P2  : 2 x  y  2 z  1 0 . Mặt cầu có
tiếp xúc với 2 mặt phẳng  P1  ,  P2  , có phương trình:

tâm I

mặt

phẳng

nằm trên d và

A.  S  :  x  1   y  2    z  3  9.
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2
2
2
� 19 � � 16 � � 15 � 9
B.  S  :  x  1   y  2    z  3  9 hoặc  S  : �x  � �y  � �z  �
.
� 17 � � 17 � � 17 � 289

C.  S  :  x  1   y  2    z  3  9.
2

2

2

� 19 � � 16 � � 15 � 9
D.  S  :  x  1   y  2    z  3  9 hoặc  S  : �x  � �y  � �z  �
.
� 17 � � 17 � � 17 � 289
x 1 y  4 z


Câu 44.
Cho điểm A(1;3; 2) , đường thẳng d :

và mặt phẳng
2
1
2
( P ) : 2 x  2 y  z  6  0 . Phương trình mặt cầu ( S ) đi qua A, có tâm thuộc d
đồng thời tiếp xúc với ( P ) là:
2

2

2

A. ( S ) :  x  1   y  3    z  2   4.
2

2

2

B. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  3) 2  ( z  2) 2  16 hoặc
2

2

2

� 83 � � 87 � � 70 � 13456
( S ) : �x  � �y  � �z  �
.
� 13 � � 13 � � 13 � 169

C. ( S ) : ( x  1) 2  ( y  3)2  ( z  2)2  16 hoặc
2

2

2

� 83 � � 87 � � 70 � 13456
( S ) : �x  � �y  � �z  �
.
� 13 � � 13 � � 13 � 169
Trang
16/51


D. ( S ) :  x  1   y  3   z  2   16.
2

Câu 45.

Cho
1 :

2

mặt

2

 P  : x  2 y  2 z  10  0

phẳng

và

hai

đường

thẳng

x  2 y z 1
x2 y z3
 
 
, 2 :
. Mặt cầu  S  có tâm thuộc 1 , tiếp xúc
1
1
1
1
1
4

với  2 và mặt phẳng  P  , có phương trình:
2

2

2

2

2

2

11 � � 7 � � 5 � 81
A. ( x  1)  ( y  1)  ( z  2)  9 hoặc �
�x  � �y  � �z  � .
� 2 � � 2� � 2� 4
2

2

2

11 � � 7 � � 5 � 81
B. ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  2) 2  9 hoặc �
�x  � �y  � �z  � .
� 2 � � 2� � 2� 4
C. ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  2) 2  9.
D. ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  2) 2  3.
Câu 46.

 P

Cho mặt phẳng

và mặt cầu ( S ) có phương trình lần lượt là

 P  : 2 x  2 y  z  m2  4m  5  0; ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  6  0 . Giá trị của
 P  tiếp xúc ( S ) là:
A. m  1 hoặc m  5.
C. m  1.
Câu 47.

Cho

mặt

B. m  1 hoặc m  5.
D. m  5.

 S  : x2  y 2  z 2  2x  4 y  2z  3  0

cầu

 P  : x  y  2 z  4  0 . Phương trình đường thẳng d
tại A  3; 1;1 và song song với mặt phẳng  P  là:
�x  3  4t
�
A. �y  1  6t .
�z  1  t
�
Câu 48.

m để

�x  1  4t

�
B. �y  2  6t .
�z  1  t
�

và

mặt

phẳng

tiếp xúc với mặt cầu

�x  3  4t
�
C. �y  1  6t .
�z  1  t
�

 S

�x  3  2t
�
D. �y  1  t .
�z  1  2t
�

Cho điểm A  2;5;1 và mặt phẳng ( P) : 6 x  3 y  2 z  24  0 , H là hình chiếu

vng góc của A trên mặt phẳng  P  . Phương trình mặt cầu ( S ) có diện tích

784 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt

cầu là:
A.  x  8    y  8    z  1  196.

B.  x  8    y  8    z  1  196.

C.  x  16    y  4    z  7   196.

D.  x  16    y  4    z  7   196.

2

2

2

Câu 49.

2

2

2

Cho mặt phẳng

2

2

2

 P : 2x  y  z  5  0

2

2

và các điểm

2

A  0;0; 4  , B  2;0;0  .

Phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng  P  là:
A.  x  1   y  1   z  2   6.

B.  x  1   y  1   z  2   6.

C.  x  1   y  1   z  2   6.

D.  x  1   y  1   z  2   6.

2

2

Câu 50.

2

2

Cho mặt phẳng

2

2

2

2

 P  : x  2 y  2z  2  0

2

2

2

2

và điểm A  2; 3;0  . Gọi B là điểm

thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B , tiếp xúc với mặt phẳng
kính bằng 2. Tọa độ điểm B là:
A.  0;1;0  .
B.  0; 4;0  .

C.  0; 2;0  hoặc  0; 4;0  .

 P

có bán

D.  0; 2;0  .
Trang
17/51


Cho hai mặt phẳng ( P ) : 2 x  3 y  z  2  0, (Q) : 2 x  y  z  2  0 . Phương trình

Câu 51.

mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A 1; 1;1  và có tâm thuộc
mặt phẳng (Q) là:
A. ( S ) :  x  3   y  7    z  3  56.

B. ( S ) :  x  3   y  7    z  3  56.

C. ( S ) :  x  3   y  7    z  3  14.

D. ( S ) :  x  3   y  7    z  3  14.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

�x  1  t
�
Cho điểm I (0;0;3) và đường thẳng d : �y  2t . Phương trình mặt cầu (S)
�z  2  t
�

Câu 52.

có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB
vuông là:

3
8
2
2
A. x 2  y 2   z  3  .
B. x 2  y 2   z  3  .
2
3
2
4
2
2
C. x 2  y 2   z  3  .
D. x 2  y 2   z  3  .
3
3
x2 y z 3
:
 
Câu 53.
Cho
đường
thẳng
và
và
mặt
cầu
(S):
1
1

1
x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  21  0 . Số giao điểm của    và  S  là:
A. 2.

B.1.

C.0.

D.3.

Cho đường thẳng d : x  2  y  2  z  3 và mặt cầu (S) : x 2  y 2   z  2  2  9 .
2
3
2

Câu 54.

Tọa độ giao điểm của    và  S  là:
A. A  0;0; 2  , B  2; 2; 3 .

B. A  2;3; 2  .

C. A  2; 2; 3 .

D.    và (S) không cắt nhau.

Câu 55.

Cho

đường

thẳng

�x  1  t
  : �
và
�y  2
�z  4  7t
�

mặt

 S :

cầu

x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  67  0 . Giao điểm của    và  S  là các điểm có tọa
độ:
A.    và (S) khơng cắt nhau.

B. A  1; 2;5  , B  2;0; 4  .

C. A  2; 2;5  , B  4;0;3  .

D. A  1; 2; 4  , B  2; 2;3  .

Câu 56.

Cho điểm I  1;0;0  và đường thẳng d :

x 1 y 1 z  2


. Phương trình mặt
1
2
1

cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB  4 là:
A.  x  1  y 2  z 2  9.

B.  x  1  y 2  z 2  3.

C.  x  1  y 2  z 2  3.

D.  x  1  y 2  z 2  9.

2

2

Câu 57.

2

Cho điểm I  1;1; 2  đường thẳng d :

2

x 1 y  3 z  2


. Phương trình mặt
1
2
1

cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB  6 là:

Trang
18/51


A.  x  1   y  1   z  2   27.

B.  x  1   y  1   z  2   27.

C.  x  1   y  1   z  2   24.

D.  x  1   y  1   z  2   54.

2

2

2

Câu 58.

2

2

2

2

2

2

Cho điểm I  1;0;0  và đường thẳng d :

2

2

2

x 1 y 1 z  2


. Phương trình mặt
1
2
1

cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác
IAB vuông là:

A.  x  1  y 2  z 2  12.

B.  x  1  y 2  z 2  10.

C.  x  1  y 2  z 2  8.

D.  x  1  y 2  z 2  16.

2

2

2

Câu 59.

2

�x  1  t
�
Cho điểm I  1;0;0  và đường thẳng d : �y  1  2t . Phương trình mặt cầu  S 
�z  2  t
�

có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều
là:
20
20
2
2

A.  x  1  y 2  z 2  .
B.  x  1  y 2  z 2  .
3
3
16
5
2
2
C.  x  1  y 2  z 2  .
D.  x  1  y 2  z 2  .
4
3
�x  1  t
�
Câu 60.
Cho các điểm I  1;1; 2  và đường thẳng d : �y  3  2t . Phương trình mặt
�z  2  t
�
cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác
IAB vuông là:
A.  x  1   y  1   z  2   3.

B.  x  1   y  1   z  2   9.

C.  x  1 2   y  1 2   z  2  2  9.

D.  x  1 2   y  1 2   z  2  2  36.

2

Câu 61.

2

2

2

Cho điểm I  1;1; 2  đường thẳng d :

2

2

x 1 y  3 z  2


. Phương trình mặt
1
2
1

cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác
IAB đều là:
A.  x  1   y  1   z  2   24.

B.  x  1   y  1   z  2   24.

C.  x  1   y  1   z  2   18

D.  x  1   y  1   z  2   18.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x 1 y  3 z  2


. Phương trình mặt

1
2
1
�  30o là:
cầu  S  có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho IAB

Câu 62.

Cho điểm I  1;1; 2  đường thẳng d :

A.  x  1   y  1   z  2   72.

B.  x  1   y  1   z  2   36.

C.  x  1   y  1   z  2   66.

D.  x  1   y  1   z  2   46.

2

2

2

Câu 63.

2

2

2

2

2

2



2

2

2



Phương trình mặt cầu có tâm I 3; 3; 7 và tiếp xúc trục tung là:



A.  x  3  y  3
2



2

  z  7   61.

2



B.  x  3  y  3
2



2

  z  7   58.
2

Trang
19/51




C.  x  3  y  3
2



2

  z  7   58.

2

Phương trình mặt cầu có tâm I

Câu 64.



C.  x  5 

2

  y  3   z  9   86.

2

  y  3   z  9   90.

A. x  5

2







2

  z  7   12.

2

5;3;9 và tiếp xúc trục hoành là:



D.  x  5 

2

2



D.  x  3  y  3

2

B. x  5

2



2

  y  3   z  9   14.

2

  y  3   z  9   90.

2

2

2

2



Phương trình mặt cầu có tâm I  6;  3; 2  1 và tiếp xúc trục Oz là:

Câu 65.



   y  3   z 
6    y  3   z 

A. x  6



C. x 

2

2

2

2





2

2  1  9.



   y  3    z  2  1  9.
6    y  3    z  2  1  3.
2

B. x  6



2

2  1  3.

2

2

D. x 

2

2

2

Phương trình mặt cầu có tâm I  4;6; 1 và cắt trục Ox tại hai điểm A, B

Câu 66.

sao cho tam giác IAB vuông là:
A.  x  4    y  6    z  1  26.

B.  x  4    y  6    z  1  74.

C.  x  4    y  6    z  1  34.

D.  x  4    y  6    z  1  104.

2

2

2

2

2

2

2

2

Phương trình mặt cầu có tâm I

Câu 67.

2



2

2

2



3;  3;0 và cắt trục Oz tại hai điểm A,

B sao cho tam giác IAB đều là:





C. x 



   y  3   z  8.
3    y  3   z  9.
2

A. x  3

2

2

2

   y  3   z  9.
3    y  3   z  8.

B. x  3

2



2

2

D. x 

2

2

2

2

2

Phương trình mặt cầu có tâm I  3;6; 4  và cắt trục Oz tại hai điểm A, B

Câu 68.

sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6 5 là:
A.  x  3   y  6    z  4   49.

B.  x  3   y  6    z  4   45.

C.  x  3   y  6    z  4   36.

D.  x  3   y  6    z  4   54.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Mặt cầu (S) có tâm I  2;1; 1 và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam

Câu 69.

giác IAB vuông. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):
A.  2;1;1 .

B.  2;1;0  .

C.  2;0;0  .

D.  1;0;0  .

Gọi (S) là mặt cầu có tâm I  1; 3;0  và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao

Câu 70.

cho tam giác IAB đều. Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):





A. 1; 3; 2 3 .
Câu 71.





B. 3; 3; 2 2 .





C. 3; 3; 2 2 .

Cho các điểm I  1;0;0  và đường thẳng d :

D.  2; 1;1 .

x  2 y 1 z 1


. Phương trình
1
2
1

mặt cầu  S  có tâm I và tiếp xúc d là:
A.  x  1  y 2  z 2  5.

B.  x  1  y 2  z 2  5.

C.  x  1  y 2  z 2  10.

D.  x  1  y 2  z 2  10.

2

2

2

2

Trang
20/51

x 1 y  6 z

 . Phương trình mặt cầu
2
1
3
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích

Câu 72.

Cho điểm I  1;7;5  và đường thẳng d :

tam giác IAB bằng 2 6015 là:
A.  x  1   y  7    z  5  2018.

B.  x  1   y  7    z  5  2017.

C.  x  1   y  7    z  5  2016.

D.  x  1   y  7    z  5   2019.

2

2

Câu 73.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cho các điểm A  1;3;1 và B  3; 2; 2  . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm

thuộc trục Oz có đường kính là:
A. 14.
B. 2 14.
Câu 74.

2

C. 2 10.

D. 2 6.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A  1; 2;1 và B  0;1;1 .

Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hồnh có đường kính là:
A. 2 6.
Câu 75.

B. 6.

C. 2 5.

D. 12.

Cho các điểm A  2;1; 1 và B  1;0;1 . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm

thuộc trục Oy có đường kính là:
A. 2 2.

B. 2 6.

C. 4 2.

D. 6.

x 1 y  2 z  3


.
1
1
2
Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:

13 17 12 �
�
�3 3 �
�4 2 7 �
�6 9 13 �
.
.
.
.
A. � ; ; �
B. � ; ; 2 �
C. � ; ; �
D. � ; ; �
10 10 5 �
�
�2 2 �
�3 3 3 �
�5 5 5 �
x y 3 z
 . Mặt
Câu 77.
Cho các điểm A  1;3;0  và B  2;1;1 và đường thẳng d : 
2
1
1
Câu 76.

Cho các điểm A  0;1;3 và B  2; 2;1 và đường thẳng

d:

cầu ( S) đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của

( S)

là:

A.  4;5; 2  .
Câu 78.

B.  6;6;3 .

C.  8;7; 4  .

Cho các điểm A  1;1;3 và B  2; 2;0  và đường thẳng d :

D.  4;1; 2  .
x y 2 z 3


. Mặt
1
1
1

cầu ( S) đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm ( S)
là:
11 23 7 �
A. �
.

� ; ; �
�6 6 6 �
Câu 79.

5 7 23 �
B. �
.
�; ; �
�6 6 6 �

5 7 25 �
C. �
.
�; ; �
�6 6 6 �

1 9 19 �
D. �
.
�; ; �
�6 6 6 �

�x  t
�
Cho đường thẳng d : �y  1  3t . Phương trình mặt cầu có đường kính là
�z  1
�

đoạn thẳng vng góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:
1

1
2
2
2
2
A.  x  1  y 2   z  2   .
B.  x  1  y 2   z  2   .
2
4
1
2
C.  x  1  y 2  z 2  .
2

2

2

1� 2 � 1� 1
D. �
�x  � y  �z  � .
� 3�
� 2� 4
Trang
21/51


�x  t '
�x  2t
�

�
Câu 80.
Cho hai đường thẳng d : �y  t và d ' : �y  3  t ' . Phương trình mặt cầu có
�z  4
�z  0
�
�
đường kính là đoạn thẳng vng góc chung của đường thẳng d và d’ là:
A.  x  2  2   y  1 2   z  2  2  4.

B.  x  2  2  y 2  z 2  4.

C.  x  2    y  1   z  2   2.

D.  x  2    y  1  z 2  4.

2

2

2

2

2

Cho các điểm A  2; 4;1 và B  2;0;3 và đường thẳng d :

Câu 81.

x 1 y  2 z  3


.
2
1
2

Gọi  S  là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Bán kính
mặt cầu (S) bằng:
A.

1169
.
4

B.

873
.
4

C.

1169
.
16

D.

967
.
2

�x  1  2t
�
Cho các điểm A  2; 4; 1 và B  0; 2;1 và đường thẳng d : �y  2  t . Gọi  S 
�z  1  t
�

Câu 82.

là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Đường kính mặt cầu

 S

bằng:

A. 2 19.
Câu 83.

B. 2 17.

C.

D.

19.

17.

Mặt cầu tâm I  2; 4;6  và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

A.  x  2    y  4    z  6   16.

B.  x  2    y  4    z  6   36.

C.  x  2    y  4    z  6   4.

D.  x  2    y  4    z  6   56.

2

2

Câu 84.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Mặt cầu tâm I  2; 4;6  và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

A.  x  2    y  4    z  6   16.

B.  x  2    y  4    z  6   4.

C.  x  2    y  4    z  6   36.

D.  x  2    y  4    z  6   56.

2

2

Câu 85.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Phương trình mặt cầu tâm I  2; 4;6  nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:

A.  x  2    y  4    z  6   20.

B.  x  2    y  4    z  6   40.

C.  x  2    y  4    z  6   52.

D.  x  2    y  4    z  6   56.

2

2

Câu 86.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Mặt cầu tâm I  2; 4;6  tiếp xúc với trục Oz có phương trình:

A.  x  2    y  4    z  6   20.

B.  x  2    y  4    z  6   40.

C.  x  2    y  4    z  6   52.

D.  x  2    y  4    z  6   56.

2

2

Câu 87.

2

2

Cho mặt cầu

2

2

2

2

 S  :  x  1 2   y  2  2   z  3 2  9 .

2

2

2

2

Phương trình mặt cầu nào

sau đây
là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):
A.  x  1   y  2    z  3  9.

B.  x  1   y  2    z  3  9.

C.  x  1   y  2    z  3  9.

D.  x  1   y  2    z  3  9.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Trang
22/51


Câu 88.

Cho mặt cầu

 S  :  x  1 2   y  1 2   z  2  2  4 .

Phương trình mặt cầu nào

sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:
A.  x  1   y  1   z  2   4.

B.  x  1   y  1   z  2   4.

C.  x  1   y  1   z  2   4.

D.  x  1   y  1   z  2   4.

2

2

Câu 89.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Đường tròn giao tuyến của  S  :  x  1   y  2    z  3   16 khi cắt bởi mặt
2

2

2

phẳng (Oxy) có chu vi bằng :

A.

7 .

B. 2 7 .

C. 7 .

D. 14 .

Trang
23/51


D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B A C A D A
81 82 83 84 85 86 87 88 89
A A B A C A D A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. x 2  y 2  z 2  2 x  0.
B. x 2  y 2  z 2  2 x  y  1  0.

C. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1.
2

D.  x  y   2 xy  z 2  1.
2

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu  S  có hai dạng là:
(1)  x  a    y  b    z  c   R 2 ;
2

2

2

(2) x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi
đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 2. Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
A. x 2  y 2  z 2  2 x  0.

B. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1.

C. x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0.

D.  x  y   2 xy  z 2  1  4 x.

2

2

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu  S  có hai dạng là :
(1)  x  a    y  b    z  c   R 2 ;
2

2

2

(2) x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến
đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy
nhiên
ở
đáp
án
A
thì
phương
trình:
2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1 � x 2  y 2  z 2  2 xy  2 x  1  0
2

khơng

đúng

dạng

phương trình mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 3. Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt cầu ?
A.  x  1   2 y  1   z  1  6.
2

2

2

B.  x  1   y  1   z  1  6.
2

2

2

Trang
24/51


C.  2 x  1   2 y  1   2 z  1  6.
2

2

D.  x  y   2 xy  z 2  3  6 x.

2

2

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu  S  có hai dạng là:
(1)  x  a    y  b    z  c   R 2 ;
2

2

2

(2) x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 với a 2  b 2  c 2  d  0 .
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến
đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Phương trình ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt
cầu. Ví dụ :
2

2

2

2
2
2
� 1� � 1� � 1� 3
C.  2 x  1   2 y  1   2 z  1  6 � �x  � �y  � �z  � .
� 2� � 2� � 2� 2

D.  x  y   2 xy  z 2  3  6 x � x 2  y 2  z 2  6 x  3  0.
2

Lựa chọn đáp án A.
Câu 4. Cho các phương trình sau:

 x  1

2

 y 2  z 2  1; x 2   2 y  1  z 2  4;
2

x 2  y 2  z 2  1  0;  2 x  1   2 y  1  4 z 2  16.
2

2

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 4.
B. 3.
C. 2.
Hướng dẫn giải:

D. 1.

2

2

2
2
� 1� � 1�
Ta có:  2 x  1   2 y  1  4 z 2  16 � �x  � �y  � z 2  4
� 2� � 2�

 x  1

2

 y 2  z 2  1 là phương trình của một mặt cầu.

Lựa chọn đáp án A.
Câu 5. Mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z 2  9 có tâm là:
2

A. I  1; 2;0  .

2

B. I  1; 2;0  .

C. I  1; 2;0  .

D. I  1; 2;0  .

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu

 S

có dạng

 x  a

2

  y  b    z  c   R 2 có tâm
2

2

I  a; b; c  , bán kính R.
Lựa chọn đáp án A.
2
2
2
Câu 6. Mặt cầu  S  : x  y  z  8 x  2 y  1  0 có tâm là:
A. I  8; 2;0  .

B. I  4;1;0  .

C. I  8; 2;0  .

D. I  4; 1;0  .

Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt cầu

 S

có dạng

x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

a 2  b 2  c 2  d  0 , có tâm I  a; b; c  , bán kính R  a 2  b2  c 2  d .
Lựa chọn đáp án A.
2
2
2
Câu 7. Mặt cầu  S  : x  y  z  4 x  1  0 có tọa độ tâm và bán kính R là:
A. I  2;0;0  , R  3.

B. I  2;0;0  , R  3.

C. I  0; 2;0  , R  3.

D. I  2;0;0  , R  3.

Hướng dẫn giải:
Trang
25/51

với