DS_C4_Dau cua tam thuc bac hai - Bat phuong trinh bac hai

Chương 44

Câu 1:

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 5
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Gọi
là tập nghiệm của bất phương trình 2
. Trong các tập hợp
S
x − 8x + 7 ≥ 0
sau, tập nào không là tập con của S ?
A. ( −∞; 0] .

B. [ 8; +∞ ) .

C. ( −∞; −1] .

D. [ 6; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D

Câu 2:

x ≥ 7
2
Ta có x − 8 x + 7 ≥ 0 ⇔ 

.
x ≤1
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f x = − x 2 − x + 6 ?
( )
A.

x

−∞

−2

−

f ( x)

0

+∞

3

+

0

−

B.

x

−∞

f ( x)

−2

+

0

+∞

3

−

0

+

C.

x

−3

−∞

f ( x)

−

0

+∞

2

+

0

−

D.

x
f ( x)

−∞

−3

+

0

+∞

2

−

0

+

Hướng dẫn giải
Chọn C

 x = −3
2
Ta có − x − x + 6 = 0 ⇔ 
x = 2
Hệ số a = −1 < 0
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có đáp án C là đáp án cần
tìm.
Câu 3:

Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f x = − x 2 + 6 x − 9 ?
( )
A.
Trang
1/18


x

−∞

f ( x)

x

+
−∞

x

−∞

x

−∞

f ( x)

0

0

B.

+∞
+

0

.

C.

+∞

.

−
D.
.

+∞

3

+

.

−

3

−

f ( x)

0
3

−

f ( x)

+∞

3

+
Hướng dẫn giải

Chọn C
Tam thức có 1 nghiệm x = 3 và hệ số a = −1 < 0
Vậy đáp án cần tìm là C
Câu 4:

Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f x =  x 2 + 12 x + 36 ?
( )
A.

x
f ( x)

x

−
−∞

f ( x)

x

x
f ( x)

+

−∞

0

−∞

0

C.

+∞
+
+∞

−6

−

0

.

−

−6

+

B.

+∞

−6

+

f ( x)

0

.

+∞

−6

−∞

.

D.
.

−
Hướng dẫn giải

Chọn C
Tam thức có một nghiệm x = −6, a = 1 > 0 đáp án cần tìm là C

Trang
2/18


Câu 5:

Cho tam thức bậc hai f x = x 2 − bx + 3 . Với giá trị nào của
thì tam thức
( )
b
f ( x) có hai nghiệm?

A. b ∈  −2 3; 2 3  .

(

(
)
D. b ∈ ( −∞; −2 3 ) ∪ ( 2
B. b ∈ −2 3; 2 3 .

)

C. b ∈ −∞; −2 3  ∪  2 3; +∞ .

)

3; +∞ .

Hướng dẫn giải
Chọn A

Câu 6:

b < −2 3
2
2
Ta có f ( x ) = x − bx + 3 có nghiệm khi b − 12 > 0 ⇔ 
.
 b > 2 3
Giá trị nào của m thì phương trình m − 3 x 2 + m + 3 x − m + 1 = 0 (1) có hai
(
)
(
) (
)

nghiệm phân biệt?
3

A. m ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ ) \ { 3} .
5


 3 
B. m ∈  − ;1÷ .
 5 

 3

C. m ∈  − ; +∞ ÷.
 5


D. m ∈ ¡ \ { 3} .
Hướng dẫn giải

Chọn A
m ≠ 3

m ≠ 3
a ≠ 0
5

⇔ 2
⇔   m < − .
Ta có ( 1) có hai nghiệm phân biệt khi 
3
∆ ' > 0
5m − 2m − 3 > 0

  m > 1
Câu 7:

Tìm tập xác định của hàm số

1

A.  −∞;  .
2


y = 2 x2 − 5x + 2

.

1

1 
C.  −∞;  ∪ [ 2; +∞ ) . D.  ; 2  .
2

2 
Hướng dẫn giải

B. [ 2; +∞ ) .

Chọn C

x ≥ 2
Điều kiện 2 x − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ 
.
x ≤ 1


2
2

Câu 8:

1

Vậy tập xác định của hàm số là  −∞;  ∪ [ 2; +∞ ) .
2

Các giá trị m để tam thức
đổi dấu 2 lần là
f ( x) = x 2 − (m + 2) x + 8m + 1

A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 28 .
D. m > 0 .

B. m < 0 hoặc m > 28 .

C. 0 < m < 28 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
để tam thức f ( x) = x 2 − ( m + 2) x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi

Trang
3/18

 m > 28 .
2
∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 8m + 1) > 0 ⇔ m 2 − 28m > 0 ⇔ 
m < 0
Tập xác định của hàm số
là
2
f
(
x
)
=
2
x
−
7
x
−
15
Câu 9:

3

A.  −∞; − ÷∪ ( 5; +∞ ) .
2


B.

3


 −∞; −  ∪ [ 5; +∞ ) .
2

3

C.  −∞; − ÷∪ [ 5; +∞ ) .
2


3

D.  −∞;  ∪ [ 5; +∞ ) .
2

Hướng dẫn giải

Chọn B
x ≥ 5
Điều kiện 2 x − 7 x − 15 ≥ 0 ⇔ 
.
x ≤ − 3

2
2

3

Vậy tập xác định của hàm số là  −∞; −  ∪ [ 5; +∞ ) .
2


Dấu của tam thức bậc 2:
được xác định như sau
f ( x) = − x 2 + 5x − 6
Câu 10:
A. f ( x ) < 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) > 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
B. f ( x ) < 0 với −3 < x < −2 và f ( x ) > 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
C. f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
D. f ( x ) > 0 với −3 < x < −2 và f ( x ) < 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có bảng xét dấu
x
−∞
−
f ( x)

2
0

+

3
0

−

+∞

Vậy f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .

Câu 11:

2
Tập nghiệm của hệ bất phương trình  x − 4 x + 3 > 0 là
 2
 x − 6 x + 8 > 0

A. ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) .

B. ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ ) . C. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . D. ( 1; 4 ) .
Hướng dẫn giải

Chọn B
 x < 1

 x 2 − 4 x + 3 > 0
x < 1
 x > 3
⇔
⇔
Ta có:  2
.
 x − 6 x + 8 > 0
x > 4
 x < 2
  x > 4


Trang
4/18

 x2 + 4x + 3 ≥ 0
Hệ bất phương trình  2
có nghiệm là
2 x − x − 10 ≤ 0
 2
2 x − 5 x + 3 > 0

Câu 12:

A. −1 ≤ x < 1 hoặc

3
5
2
2

B. −2 ≤ x < 1 .

C. −4 ≤ x < −3 hoặc −1 ≤ x < 3 .

D. −1 ≤ x ≤ 1 hoặc

3
5
2
2

Hướng dẫn giải
Chọn A

  x ≤ −3

2
 x ≥ 1
 x + 4x + 3 ≥ 0
 −1 ≤ x < 1

 2
5
Ta có: 2 x − x − 10 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇔  3
.
 2

 2
2
2
2 x − 5 x + 3 > 0
 x < 1

 x > 3
 
2

x2 + 5x + m
Xác định m để với mọi x ta có

.
−1 ≤ 2
<7
2 x − 3x + 2

Câu 13:

5
A. − ≤ m < 1 .
3

5
5
B. 1 < m ≤ .
C. m ≤ − .
3
3
Hướng dẫn giải

D. m < 1 .

Chọn A
Ta có: −1 ≤

x2 + 5x + m
< 7 có tập nghiệm là ¡ khi hệ sau có tập nghiệm là ¡
2 x 2 − 3x + 2

(do 2 x 2 − 3 x + 2 > 0 ∀x ∈ ¡ )
−1( 2 x 2 − 3x + 2 ) ≤ x 2 + 5 x + m

13x 2 − 26 x + 14 − m > 0 ( 1)

⇔ 2
có tập nghiệm là ¡
 2
2
3x + 2 x + m + 2 ≥ 0
2)
(
x
+
5
x
+
m
<
7
2
x
−
3
x
+
2

(
)




Ta có ( 1) có tập nghiệm là ¡ khi ∆ ' < 0 ⇔ −13 + 13m < 0 ⇔ m < 1 (3)

( 2)

có tập nghiệm là ¡ khi ∆ ' ≤ 0 ⇔ −5 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ −

5
(4)
3

5
Từ (2) và (4), ta có − ≤ m < 1 .
3
Câu 14:

Khi xét dấu biểu thức

f ( x) =

x 2 + 4 x − 21 ta có
x2 − 1

A. f ( x ) > 0 khi −7 < x < −1 hoặc 1 < x < 3 .
B. f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .
C. f ( x ) > 0 khi −1 < x < 0 hoặc x > 1 .
D. f ( x ) > 0 khi x > −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Trang

5/18


Ta có: x 2 + 4 x − 21 = 0 ⇔ x = −7; x = 3 và x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . Lập bảng xét dấu ta có

f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .
Tìm m để m + 1 x 2 + mx + m < 0, ∀x ∈ ¡ ?
(
)

Câu 15:

A. m < −1 .

B. m > −1 .

4
C. m < − .
3
Hướng dẫn giải

D. m >

4
.
3

Chọn C
Với m = −1 không thỏa mãn.
a < 0

2
Với m ≠ −1 , ( m + 1) x + mx + m < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆ < 0

Câu 16:

m < −1

m + 1 < 0
4
4

⇔
⇔
m < − ⇔ m < − .
2
3
3
−3m − 4m < 0

  m > 0
Tìm m để f x = x 2 − 2 2m − 3 x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ¡ ?
( )
(
)

A. m >

3
.

2

B. m >

3
.
4

3
3
4
2
Hướng dẫn giải
C.

D. 1 < m < 3 .

Chọn D

f ( x ) = x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ < 0 ⇔ 4m 2 − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3 .
Với giá trị nào của a thì bất phương trình 2
?
ax − x + a ≥ 0, ∀x ∈ ¡

Câu 17:

A. a = 0 .

B. a < 0 .

C. 0 < a ≤

1
.
2

D. a ≥

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D

Để

bất

phương

trình


1
 a ≥ 2

1 − 4a 2 ≤ 0
∆ ≤ 0

⇔
⇔ 
1
ax 2 − x + a ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
a
≤
−
a > 0
a > 0
 
2

a > 0

1
.
2
Với giá trị nào của m thì bất phương trình 2
vơ nghiệm?
x −x+m ≤0

⇔a≥
Câu 18:

A. m < 1 .

B. m > 1 .

1
.

4
Hướng dẫn giải
C. m <

D. m >

1
.
4

Chọn D

Trang
6/18


Bất phương trình x 2 − x + m ≤ 0 vơ nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình

Câu 19:

∆ < 0
1
x 2 − x + m > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m > .
4
1 > 0
Cho
. Tìm m để f ( x) âm với mọi x .
f ( x) = −2 x 2 + (m + 2) x + m − 4

A. −14 < m < 2 .
C. −2 < m < 14 .

B. −14 ≤ m ≤ 2 .
D. m < −14 hoặc m > 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
∆ < 0
2
⇔ ( m + 2 ) + 8 ( m − 4 ) < 0 ⇔ m 2 + 12m − 28 < 0
Ta có f ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
a < 0
⇔ −14 < m < 2 .
1
2 có nghiệm là
Bất phương trình 1
− ≤
Câu 20:
x−2 x x+2


 3 + 17

3 − 17 
∪
0,
2
∪
,

+∞
(
)
A.  −2,
B. x ∉ { −2, 0, 2} .
÷

÷
÷
 2
÷.
2




C. −2 < x < 0 .
D. 0 < x < 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
x ≠ 0
Điều kiện 
.
 x ≠ ±2
Với điều kiện trên ta có

x ( x + 2) − ( x − 2) ( x + 2) − 2 x ( x − 2)
1
1
2

− ≤
⇔
≤ 0.
x−2 x x+2
( x − 2) x ( x + 2)

−2 x 2 + 6 x + 4
≤ 0.
( x − 2) x ( x + 2)
Ta có bảng xét dấu
⇔

x

−∞

f ( x)

3 − 17
2

−2
+

0

−

0

+

0

3 + 17
2

2

0

−

0

+

−

0


 3 + 17

3 − 17 
∪
0,
2
∪
,

+∞
(
)
Vậy nghiệm của bất phương trình là  −2,
÷

÷
 2
÷.
2 ÷





Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình

A. S = ( −∞, −4 ) ∪ ( −1,1) ∪ ( 4, +∞ ) .
C. S = ( −1,1) .

+∞

3x
< 1 là
x −4
2

B. S = ( −∞, −4 ) .

D. S = ( 4, +∞ ) .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Điều kiện x ≠ ±2

Trang
7/18


 x 2 + 3x − 4
 3x
 3x
>
−
1
+
1
>
0
 x 2 − 4 > 0
 x 2 − 4
 x 2 − 4
3x
3x
< 1 ⇔ −1 < 2
⇔
⇔ 2
<1 ⇔ 

x2 − 4
3
x
3
x
x −4


 − x + 3x + 4 < 0
<1
−1 < 0
 x 2 − 4
 x 2 − 4
 x 2 − 4
 x < −4

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là  −1 < x < 1
 x > 4
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = ( −∞, −4 ) ∪ ( −1,1) ∪ ( 4, +∞ ) .
Câu 22:

Tìm

giá

trị

nguyên

của

k

để

bất

phương

trình

x 2 − 2 ( 4k − 1) x + 15k 2 − 2k − 7 > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ là
A. k = 2 .

B. k = 3 .

C. k = 4 .
Hướng dẫn giải

D. k = 5 .

Chọn B
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ thì:
a = 1 > 0
2
⇔ ∆′ < 0 ⇔ ( 4k − 1) − 15k 2 + 2k + 7 < 0 ⇔ 2 < k < 4

 ∆′ < 0
Vì k ∈ ¢ nên k = 3 .
Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để mọi

đều thoả bất phương
x>0
Câu 23:

(

trình x 2 + x + m

) ≥(x
2

− 3x − m ) ?
2

2

A. 0 .

B. 1 .

Chọn B

(

Ta có x 2 + x + m

) ≥(x
2

⇔ 4 x ( 2 x + m ) ( x − 1) ≥ 0

2

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

− 3 x − m ) ⇔ ( x 2 + x + m ) − ( x 2 − 3x − m ) ≥ 0
2

2

2

Với m < 0 ta có bảng xét dấu
m
TH1: − ≥ 1
2
m
2

x

−∞

0

4x

-

0

+

||

+

||

+

-

||

-

0

+

||

+

-

||

-

||

-

0

+

-

0

+

0

-

0

+

x −1
2x + m
f ( x)

−

1

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x > 0 thì −
TH 2: −

+∞

m
= 1 ⇔ m = −2
2

m
<1
2
Trang
8/18


m
2

x

−∞

0

4x

-

0

+

||

+

||

+

-

||

-

0

+

||

+

-

||

-

||

-

0

+

-

0

+

0

-

0

+

2x + m
x −1
f ( x)

−

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x > 0 thì −
Vậy có 1 giá trị
Câu 24:

Bất phương trình

 −7 < x < −2
A. 
.
3 < x < 4
Lời giải
Chọn A

( x − 1 − 3) ( x + 2 − 5 ) < 0

 −2 ≤ x < 1
B. 
.
1 < x < 2

+∞

1

m
= 1 ⇔ m = −2
2

có nghiệm là

0 < x < 3
C. 
.
4 < x < 5

 −3 < x ≤ −2
D. 
.
 −1 < x < 1

Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trong từng khoảng ta được
nghiệm là A.
Cách khác:
 x − 1 > 3
 x > 4

 x −1 − 3 > 0


⇔   x − 1 < −3
⇔   x < −2 ⇔ −7 < x < −2
Trường hợp 1: 

−5 < x + 2 < 5
−7 < x < 3
 x + 2 −5 < 0



 −3 < x − 1 < 3
−2 < x < 4
 x −1 − 3 < 0



⇔  x + 2 > 5
⇔  x > 3
⇔ 3< x < 4
Trường hợp 2: 
x
+
2
−
5
>
0






  x + 2 < −5
  x < −7
Bất phương trình:
có nghiệm là:
− x2 + 6x − 5 > 8 − 2x
Câu 25:

Câu 26:
A. 3 < x ≤ 5 .

B. 2 < x ≤ 3 .
C. −5 < x ≤ −3 .
Hướng dẫn giải

D. −3 < x ≤ −2 .

Chọn A
Ta có − x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x
 1 ≤ x ≤ 5

− x 2 + 6 x − 5 ≥ 0

1 ≤ x ≤ 5
 




  x>4
8
−
2
x
<
0



 x>4

⇔
⇔
⇔  x ≤ 4

8 − 2x ≥ 0

x
≤
4





2
 3 < x < 25
2
2
− x + 6 x − 5 > ( 8 − 2 x )
−5 x + 38 x − 69 > 0



 

3
⇔ 3 < x ≤ 5.
Bất phương trình:

có nghiệm là:
2
x
+
1
<
3
−
x
Câu 27:
Trang
9/18


(

 1

A.  − ; 4 − 2 2 ÷.
 2


)

B. 3; 4 + 2 2 .

(

)

C. 4 − 2 2;3 .

(

)

D. 4 + 2 2; +∞ .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: 2 x + 1 < 3 − x
 2x + 1 ≥ 0

⇔  3− x > 0

2
2 x + 1 < ( 3 − x )

Câu 28:


1

 x≥−1
x≥−


2
2



1
⇔
x<3
⇔
x<3
⇔ − ≤ x < 4 − 2 2.
2
− x 2 + 8x − 8 < 0


 x > 4 + 2 2

 x < 4 − 2 2
 

2
Nghiệm của hệ bất phương trình:  2 x − x − 6 ≤ 0 là:
 3
2
x + x − x −1 ≥ 0

A. –2 ≤ x ≤ 3 .

B. –1 ≤ x ≤ 3 .
C. 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x = –1 .
Hướng dẫn giải

D. 1 ≤ x ≤ 2 .

Chọn C
Ta có 2 x 2 − x − 6 ≤ 0 ⇔ −

3
≤ x ≤ 2, ( I ) .
2

 x = −1
2
2
. ( II )
x3 + x 2 − x − 1 ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ( x − 1) ≥ 0 ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ≥ 0 ⇔ 
 x ≥1
Từ ( I ) và ( II ) suy ra nghiệm của hệ là S = [ 1; 2] ∪ { −1} .
Bất phương trình:

Câu 29:
nguyên?
A. 0.
C. 2.

x4 − 2x2 − 3 ≤ x2 − 5

có bao nhiêu nghiệm nghiệm

B. 1.
D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt t = x 2 ≥ 0
2
Ta có t − 2t − 3 ≤ t − 5 .

t ≤ −1
2
Nếu t − 2t − 3 ≥ 0 ⇔ 
thì ta có t 2 − 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 loại
t
≥
3

 1 − 33
t ≤
2
2
2
Nếu t − 2t − 3 < 0 ⇔ −1 < t < 3 thì ta có −t + t + 8 ≤ 0 ⇔ 
loại.
 1 + 33
t ≥

2
Cho bất phương trình: x 2 − 2 x ≤ x − 2 + ax − 6 . Giá trị dương nhỏ nhất của a
Câu 30:
để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:
A. 0,5.
B. 1,6.
C. 2,2.
D. 2,6.

Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang
10/18


Trường hợp 1: x ∈ [ 2; +∞ ) . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

x 2 − ( a + 3) x + 8 ≤ 0 ⇔ a ≥ x +

8
− 3 ≥ 4 2 − 3 ≈ 2,65 ∀x ∈ [ 2; +∞ ) , dấu " = " xảy ra khi
x

x=2 2.

Trường hợp 2: x ∈ ( −∞; 2 ) . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
4

a ≥ x + − 1 khi x ∈ ( 0; 2 )

x
x 2 − ( a + 1) x + 4 ≤ 0 ⇔ 
4
 a ≤ x + − 1 khi x ∈ ( −∞;0 )

x
bất đẳng thức cauchy).

( 1)

( 2)

. Giải ( 1) ta được a > 3 (theo

4
4
− 1 ⇔ a ≤ −2 x. − 1 = −5 .
x
x
Vậy giá trị dương nhỏ nhất của a gần với số 2, 6 .
Số nghiệm của phương trình:
là:
x + 8 − 2 x + 7 = 2 − x +1− x + 7
Câu 31:
Giải ( 2 ) : a ≤ x +

A. 0.

B. 1.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 3.

Chọn B
Điều kiện x ≥ −7 .
Đặt t = x + 7 , điều kiện t ≥ 0 .
2
t 2 + 1 − 2t = 2 − t 2 − 6 − t ⇔ t − 1 = 2 − t − t − 6

Ta có
Nếu

t ≥1

thì ta có

t 2 − t − 6 = 9 − 6t + t 2
⇔
⇔t =3⇔

3−t = t −t −6
t ≤ 3
2

x+7 =3

⇔ x=2
t 2 − t − 6 = 1 + 2t + t 2
7
⇔ t = − ( l) .
Nếu t < 1 thì ta có 1 + t = t 2 − t − 6 ⇔ 
3
t ≥ −1
Nghiệm của bất phương trình: 2
là:
x + x − 2 2 x2 − 1 < 0
Câu 32:

(

)

 5 − 13 
A.  1;
÷
÷∪ ( 2; +∞ ) .
2



9

B.  −4; −5; −  .
2



2  2 
;1÷
C.  −2; −
÷∪ 
÷.
2 ÷

  2 

 17 
D. ( −∞; −5] ∪ 5;  ∪ { 3} .

 5
Hướng dẫn giải

Chọn C

(x

2

+ x − 2)


2
 x < −
2
 
2 x 2 − 1 > 0

2  2 .
2
⇔ 
;1÷
2x −1 < 0 ⇔  2
÷∪ 
2 ⇔ x ∈  −2; −
÷
2 ÷
 x + x − 2 < 0

  2 

 x >
2

−2 < x < 1

Trang
11/18


2
Bất phương trình 2 x − x − 1 ≤ −2 x 2 + x + 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
x +1 − 2x

Câu 33:

A. 1.
C. 3.

B. 2.
D. Nhiều hơn 3 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải

Chọn B
Nếu
•
⇔
⇔

2
2

thì 2 x − x − 1
≤ −2 x 2 + x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 ≤ −2 x 2 + x + 1
x ≥ −1
x + 1 − 2x
1− x

2 x 2 − x − 1 − ( 1 − x ) ( −2 x 2 + x + 1)
1− x

≤0⇔

2 x 2 − x − 1 − ( −2 x 2 + x + 1 + 2 x3 − x 2 − x )
1− x

≤0

x ( −2 x 2 + 5 x − 1)
−2 x3 + 5 x 2 − x
≤0 ⇔
≤0
1− x
1− x


5 + 17
x =
4
Cho x = 0 ; −2 x 2 + 5 x − 1 = 0 ⇔ 
; x −1 = 0 ⇔ x = 1


5 − 17
x =

4
5 − 17
5 + 17
Lập bảng xét dấu ta có: 0 ≤ x ≤
.
∨1 < x ≤
4
4
Vì là nghiệm ngun nên có nghiệm là 0; 2
Nếu
•
⇔
⇔

x < −1

2
2
thì 2 x − x − 1
≤ −2 x 2 + x + 1 ⇔ 2 x − x − 1 ≤ −2 x 2 + x + 1
x + 1 − 2x
−1 − 3 x

2 x 2 − x − 1 − ( −1 − 3 x ) ( −2 x 2 + x + 1)
−1 − 3 x

≤0 ⇔

2 x 2 − x − 1 − ( 2 x 2 − x − 1 + 6 x3 − 3 x 2 − 3x )
−1 − 3 x

≤0

x ( −6 x 2 + x + 3)
−6 x3 + x 2 + 3x
≤0 ⇔
≤0
−1 − 3 x
−1 − 3x


1 + 73
x =
1
12
Cho x = 0 ; −6 x 2 + x + 3 = 0 ⇔ 
; −3 x − 1 = 0 ⇔ x = −

3
1 − 73
x =

12
1 − 73
1
1 + 73
Lập bảng xét dấu ta có:

.
≤ x < − ∨0 ≤ x ≤
12
3
12
Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0 (loại)
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm ngun.

Câu 34:

2
Hệ bất phương trình  x − 1 ≤ 0 có nghiệm khi

x − m > 0

A. m > 1 .

B. m = 1 .

C. m < 1 .
Hướng dẫn giải

D. m ≠ 1 .

Chọn C

Trang
12/18

 x2 − 1 ≤ 0
 −1 ≤ x ≤ 1
⇔
Ta có: 
.
x > m
x − m > 0
Do đó hệ có nghiệm khi m < 1 .
Xác định m để phương trình x − 1  x 2 + 2 m + 3 x + 4m + 12  = 0 có ba nghiệm
(
)
(
)

Câu 35:
phân biệt lớn hơn –1.
7
16
A. m < − .
B. −2 < m < 1 và m ≠ − .
2
9
7
16
7
19
C. − < m < −1 và m ≠ − .
D. − < m < −3 và m ≠ − .
2
9

2
6
Hướng dẫn giải
Chọn D
x = 1
2
Ta có ( x − 1)  x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12  = 0 ⇔  2
.
x
+
2
m
+
3
x
+
4
m
+
12
=
0
*
(
)
(
)

Giải sử phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , theo Vi-et ta có
 x1 + x2 = −2 ( m + 3)


.


 x1.x2 = 4m + 12
2
Để phương trình ( x − 1)  x + 2 ( m + 3) x + 4m + 12  = 0 có ba nghiệm phân biệt lớn

hơn –1 . thì phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 và đều lớn
hơn −1 .
 m 2 + 2m − 3 > 0
( m + 3) 2 − ( 4m + 12 ) > 0


 ∆′ > 0
 m ≠ − 19
6m + 19 ≠ 0

6
⇔
⇔ 1 + 2 ( m + 3) + 4m + 12 ≠ 0 ⇔ 
x
+
1
+
x
+
1
>
0

(
)
(
)
1
2
 x > x > −1
 −2 ( m + 3) + 2 > 0

 2
1

 x +1 x +1 > 0
( 1 ) ( 2 )
 4m + 12 − 2 ( m + 3) + 1 > 0

Câu 36:

m > 1

  m < −3
 7

19
− 2 < m < −3
m ≠ −
⇔
.
6 ⇔
m < −2

m ≠ − 19


6

7
m > −

2
Phương trình m + 1 x 2 − 2 m − 1 x + m 2 + 4m − 5 = 0 có đúng hai nghiệm x , x
(
)
(
)
1
2

thoả 2 < x1 < x2 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
A. −2 < m < −1 .

B. m > 1 .

C. −5 < m < −3 .
Hướng dẫn giải

D. −2 < m < 1 .

Chọn A
2
2

Để phương trình ( m + 1) x − 2 ( m − 1) x + m + 4m − 5 = 0 có có đúng hai nghiệm x1 , x2

thoả 2 < x1 < x2 .
Trang
13/18


( m − 1) 2 − ( m + 1) ( m 2 + 4m − 5 ) > 0

 ∆′ > 0
m ≠ −1

.Theo Vi-et ta có
⇔ m + 1 ≠ 0 ⇔ 
( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) > 0
x > x > 2
1
 2

( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) > 0


2 ( m − 1)
 x1 + x2 =
m +1
.

2
 x .x = m + 4m − 5
 1 2

m +1

( m − 1) ( − m 2 − 5m − 6 ) > 0
  −2 < m < 1


 m ≠ −1
  m < −3

⇒  2 ( m − 1) − 4 > 0
⇔ m ≠ −1
⇔ −2 < m < −1 .
−3 < m < −1
 m +1

 2
m > −3
 m + 4m − 5 − 2. 2 ( m − 1) + 4 > 0
m +1
 m + 1
Nghiệm
dương
nhỏ
nhất
của
bất
Câu 37:

phương

trình

x 2 - 4 x - 5 + 2 x + 9 £ x 2 - x + 5 gần nhất với số nào sau đây
A. 2,8 .

B. 3 .

C. 3, 5 .
Hướng dẫn giải

D. 4, 5 .

Chọn D
Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trên ta được tập nghiệm là
 x = −1

vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x = 4,5 , đáp án D
x ≥ 9

2
Tìm m để 4 x − 2m − 1 > − x 2 + 2 x + 1 − m với mọi x ?
Câu 38:
2
2
B. m <

A. m > 3 .
C. m >

3

.
2

3
.
2

D. −2 < m < 3
Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta

thấy

để

4 x − 2m −

1
1
> − x2 + 2 x + − m
2
2

đúng

với

mọi

x

thì

1
− x 2 + 2 x + − m < 0, ∀x ∈ ¡
2
1
1
3
Hay − x 2 + 2 x + < m, ∀x ∈ ¡ ⇔ 1 + − m < 0 ⇔ m > .
2
2
2
Cho bất phương trình: x 2 + x + a + x 2 − x + a ≤ 2 x ( 1). Khi đókhẳng định nào
Câu 39:
sau đây đúng nhất?
Trang
14/18


A. (1) có nghiệm khi a ≤

1
.
4

B. Mọi nghiệm của( 1) đều khơng

âm.
C. ( 1) có nghiệm lớn hơn 1 khi a < 0 . D. Tất cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2

1 
1

Ta có x + x + a + x − x + a ≤ 2 x ⇔  x + ÷ +  a − ÷ +
2 
4

2

2

2

1 
1

 x − ÷ +  a − ÷ ≤ 2x
2 
4


Do vế trái ln lớn hơn hoặc bằng 0 nên để BPT có nghiệm thì 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
nên B đúng.
1

1
Với a > BPT ⇔ 2 x 2 − 2 x + 2a ≤ 0 vơ nghiệm hay BPT có nghiệm khi a ≤
nên
4
4
A đúng.
Khi a < 0 ta có x 2 + x + a = 0, x 2 − x + a = 0 có 4 nghiệm xếp thứ tự x1 < x2 < x3 < x4
Với x > x4 hoặc x < x1 ta có BPT: 2 x 2 − 2 x + 2a ≤ 0
Có nghiệm x1 < x < x2 và x1 + x2 = 1; x1 x2 < 0
Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng
Cho bất phương trình: x 2 + 2 x + m + 2mx + 3m 2 − 3m + 1 < 0 . Để bất phương
Câu 40:
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
.
Câu 41:
1
A. −1 < m < − .
2

1
1
.
C. − < m < 1 .
2
2
Hướng dẫn giải

B. −1 < m <

D.

1
< m <1.
2

Chọn D
Ta có: x 2 + 2 x + m + 2mx + 3m 2 − 3m + 1 < 0 ⇔ ( x + m ) + 2 x + m + 2m 2 − 3m + 1 < 0
2

⇔ ( x + m + 1) < −2m2 + 3m có nghiệm khi và chỉ khi −2m 2 + 3m > 1 ⇔
2

Câu 42:

1
< m <1
2

Tìm a để bất phương trình x 2 + 4 x ≤ a x + 2 + 1 có nghiệm?
(
)

A. Với mọi a .

B. Khơng có a .
C. a ≥ −4 .
Hướng dẫn giải

D. a ≤ −4 .

Chọn A
Ta có: a + 1
2
x 2 + 4 x ≤ a ( x + 2 + 1) ⇔ ( x + 2 ) − a x + 2 − a − 4 ≤ 0
2

a2 a2
a  a2

⇔ ( x + 2) − a x + 2 +
≤
+a+4 ⇔ x+2 − ÷ ≤
+a+4
4
4
2
4

a2
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi + a + 4 ≥ 0 ln đúng với ∀a .
4
Để bất phương trình
nghiệm đúng ∀x ∈ −5;3 ,
[ ]
( x + 5)(3 − x) ≤ x 2 + 2 x + a
Câu 43:
tham số a phải thỏa điều kiện:
2

Trang

15/18


A. a ≥ 3 .

B. a ≥ 4 .

C. a ≥ 5 .
Hướng dẫn giải

D. a ≥ 6 .

Chọn C

( x + 5) ( 3 − x )

≤ x 2 + 2 x + a ⇔ − x 2 − 2 x + 15 − x 2 − 2 x ≤ a

Đặt t = − x 2 − 2 x + 15 , ta có bảng biến thiên
x
−5
3
−1
16
2
− x − 2 x + 15
0
0
Suy ra t ∈ [ 0; 4] .Bất phương trình đã cho thành t 2 + t − 15 ≤ a .
2

Xét hàm f ( t ) = t + t − 15 với t ∈ [ 0; 4] .

Ta có bảng biến thiên
t
0

f ( t)

4

5
−15

Bất phương trình t 2 + t − 15 ≤ a nghiệm đúng ∀t ∈ [ 0; 4] khi và chỉ khi a ≥ 5.

Câu 44:

Với giá trị nào của m thìphương trình

A. m ≤

2
.
3

B. m < 0 hoặc m >

x 2 − 2m + 2 x 2 − 1 = x

2

.
3

vô nghiệm?

C.

0≤m≤

2
.
3

D. m = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều

kiện

2

 x 2 − 2m ≥ 0
 x − 2m ≥ 0
⇔
.

 2

 x − 1 ≥ 0

 x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ )

Phương

trình

trở

thành

2
2
2
x 2 − 2m = x − 2 x 2 − 1 ⇔ x − 2m = −3 x + 4 ⇔ 2 ( x − 1) = m ( 1)

với

 2 3
  2 3
x ∈ −
; −1 ∪ 1;
 . Phương trình đã cho vơ nghiệm khi phương trình ( 1)
 3
  3 

vô nghiệm khi m < 0 hoặc m >

Câu 45:

2

.
3

x 2 − 3x − 4 ≤ 0
Cho hệ bất phương trình 
 3
2
 x − 3 x x − m + 6m ≥ 0

Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
A. 2 ≤ m ≤ 8 .
B. –8 ≤ m ≤ 2 .
C. –2 ≤ m ≤ 8 .
D. –8 ≤ m ≤ –2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 .

Trang
16/18


Trường hợp 1: x ∈ [ 0; 4] , bất phương trình hai trở thành x 3 − 3x 2 − m 2 + 6m ≥ 0
3
2
⇔ m 2 − 6m ≤ x3 − 3x 2 , mà x − 3 x ≤ 16 ∀x ∈ [ 0; 4] suy ra ⇔ m 2 − 6m ≤ 16 ⇔ −2 ≤ m ≤ 8 .

Trường hợp 2: x ∈ [ −1;0 ) , bất phương trình hai trở thành x3 + 3x 2 − m 2 + 6m ≥ 0
⇔ m 2 − 6m ≤ x 3 + 3 x 2 ,

mà

x 3 − 3x 2 ≤ 2 ∀x ∈ [ −1;0 )

suy

ra

⇔ m 2 − 6m ≤ 2

⇔ 3 − 11 ≤ m ≤ 3 + 11 .
Vậy –2 ≤ m ≤ 8  thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
2
Hệ bất phương trình:  x − 5 x + 4 ≤ 0
có tập nghiệm biểu diễn

2
2
2
Câu 46:
 x − (m + 3) x + 2(m + 1) ≤ 0
trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của m là:
A. m = 0 .
B. m = 2 .

C. m = − 2 .

D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải

Chọn D
2

1 ≤ x ≤ 4
 x − 5x + 4 ≤ 0
⇔
⇔ 1 ≤ x ≤ 2 . A đúng
Thay m = 0 vào ta có  2

1 ≤ x ≤ 2
 x − 3x + 2 ≤ 0

 x2 − 5x + 4 ≤ 0
1 ≤ x ≤ 4

⇔
⇔ 2 ≤ x ≤ 4 . B đúng
Thay m = 2 vào ta có  2

2 ≤ x ≤ 3
 x − 5x + 6 ≤ 0
Tương tự C đúng.
Để phương trình: x + 3 ( x − 2) + m − 1 = 0 có đúng một nghiệm, các giá trị của
Câu 47:
tham số m là:
29
21
A. m < 1 hoặc m >
.
B. m < – 

hoặc
4
4
m > 1.
21
29
C. m < –1 hoặc m > .
D. m < – 
hoăc
4
4
m > 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có x + 3 ( x − 2 ) + m − 1 = 0 ⇔ m = 1 − x + 3 ( x − 2 )
Xét hàm số y = 1 − x + 3 ( x − 2)

 − x 2 − x + 7 khi x ≥ −3
Ta có y =  2
 x + x − 5 khi x < −3
Bảng biến thiên của y = 1 − x + 3 ( x − 2)
x

−∞

−3

+∞

−

1
2

+∞

29
4

y
1

−∞
Trang
17/18


m < 1
Dựa vào bảng trên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi 
 m > 29

4
Phương trình x − 2 x + 1 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp
(
)
Câu 48:
của tham số m là:
9
9

A. 0 < m < .
B. 1 < m < 2 .
C. – < m < 0 .
D. –2 < m < 1 .
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét x − 2 ( x + 1) + m = 0
Với x ≥ 2 , ta có:
Với x < 2 , ta có:

( 1)

( 1) ⇔ ( x − 2 ) ( x + 1) + m = 0 ⇔ m = − x 2 + x + 2
( 1) ⇔ − ( x − 2 ) ( x + 1) + m = 0 ⇔ m = x 2 − x − 2

− x 2 + x + 2 khi x ≥ 2

Đặt f ( x ) =  2

 x − x − 2 khi x < 2
Bảng biến thiên:

x

1
2

−∞

+∞

2

+∞

0

f ( x)

−

9
4

−∞

9
< m < 0.
4
Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 10 x − 2 x 2 − 8 = x 2 − 5 x + a . Giá

Dựa vào bảng biến thiên ta có −
Câu 49:
trị của tham số a là:
A. a = 1 .

 45 
C. a ∈  4;  .
 4

Hướng dẫn giải

B. a ∈ ( 1; 10 ) .

D. 4 < a <

43
.
4

Chọn D
2
2
Xét phương trình: 10 x − 2 x − 8 = x − 5 x + a

(1)

⇔ a = 10 x − 2 x 2 − 8 − x 2 + 5 x
2
2
Xét f ( x ) = 10 x − 2 x − 8 − x + 5 x

( 10 x − 2 x 2 − 8 ) − x 2 + 5 x
khi 10 x − 2 x 2 − 8 ≥ 0

=
2
2
2


− ( 10 x − 2 x − 8 ) − x + 5 x khi 10 x − 2 x − 8 < 0
−3x 2 + 15 x − 8 khi 1 ≤ x ≤ 4

= 2
khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

x − 5x + 8

Bảng biến thiên:

Trang
18/18


x

−∞

5
2

1

+∞

+∞

4

+∞

43
4

f ( x)

4
4
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

43
.
4
Để phương trình sau cónghiệm duy nhất: 2 x 2 − 3x − 2 = 5a − 8 x − x 2 , Giá trị

⇔4
Câu 50:
của tham số a là:

56
.
79
Hướng dẫn giải

A. a = 15 .

C. a = −

B. a = –12 .

D. a = −

49
.
60

Chọn A
2
2
Xét phương trình: 2 x − 3x − 2 = 5a − 8 x − x

⇔ 5a = f ( x )

( 1)

( 2 x 2 − 3 x − 2 ) + 8 x + x 2 khi 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0
=
2
2
2
 −2 x + 3 x + 2 + 8 x + x khi 2 x − 3x − 2 < 0

3x 2 + 5 x − 2 khi 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
= 2
2
− x + 11x + 2 khi 2 x − 3 x − 2 < 0
Bảng biến thiên:
x

−∞

−

+∞

f ( x)

5
6

−

1
2

2

+∞
+∞

49
12
Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có nghiệp duy nhất
5a = −

−

49
−49

⇔a=
.
12
60

Trang
19/18