VDC-Phương-trình-liên-quan-đồ-thị-hàm-số-P2-2

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐỒ THỊ HÀM SỐ P2

ĐỀ BÀi
Câu 1:

[2D1-5.4-4] Cho hàm số

y = f ′ ( x)

y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + m

Câu 2:

4.

rằng hàm số

f ( x) = m

có số phần tử là
C. 3 .

B. 1 .

y = f ′ ( x)

trong đó

2.

m, n, p, q, r ∈ ¡

có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình

Câu 3:

D.

y = f ( x ) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r

[2D1-5.5-4] Cho hàm số

25
A. 4 .

( a, b, c, d , m ∈ ¡ ) . Hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên.

Tập nghiệm của phương trình
A.

với

B.

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

4.

y = f ( x)

liên tục trên

f ( x) = r .

C.

2.

¡

có đồ thị như hình vẽ.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D. 14 .

Trang 1 Mã đề X

. Biết


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Số các giá trị nguyên của tham số
biệt là
A.
Câu 4:

5.

B.

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

Phương trình
A. 3.
Câu 5:

A.

m

4.

y = f ( x)

liên tục trên

B. 4.

C.

7.

¡

có đồ thị như hình vẽ.

y = f ( x)

C. 5.
liên tục trên

là số nghiệm của phương trình

m = 6.

m2 − 1
f (e ) −
=0
để phương trình
có hai nghiệm phân
8
x

D.

6.

f ( 2 − f ( x ) ) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

Gọi

m

Đề Trường A Lần X Năm 2019

B.

m= 7.

¡

D. 6.

và có đồ thị như hình vẽ.

f ( f ( x ) ) = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
C.

m = 5.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

m = 9.

Trang 2 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 6:

y = f ( x)

[2D1-5.2-3] Cho hàm số

A.

m

và có đồ thị như hình vẽ. Gọi

để phương trình

f ( f ( x) ) = m

S

là tập hợp

có nghiệm thuộc

( − 1;0) . Tìm số phần tử của tập S .

2.

B.

[2D1-5.3-4]

Câu 7:

¡

liên tục trên

tất cả các giá trị nguyên của tham số
khoảng

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Cho

5.

hàm

C.
số

D. 3 .

4.

f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 1 .

Số

nghiệm

của

phương

trình

f  f ( x ) + 2 + 4 = f ( x ) + 1 là
A.
Câu 8:

5.

B.

6.

f ( x ) = x3 − 3x 2 − 6 x + 1 .

[2D1-5.3-4] Cho hàm số

f  f ( x ) + 1 + 1 = f ( x ) + 2
A.
Câu 9:

6.

A.
Câu 10:

m= 2.

C. 9.

y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + x − 2 . Gọi m

B.

m= 4.

u ( x)

nghiệm trên đoạn

C.

liên tục trên đoạn

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

5.

Số nghiệm phân biệt của phương trình

D. 7.
là số nghiệm thực của phương

f ( f ( x ) ) + 3 = 1 − f ( x ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

[2D1-5.1-3] Cho hàm số

A.

D. 9 .

là

B. 4.

[2D1-5.4-3] Cho hàm số
trình

C. 8 .

m = 6.

D.

m = 9.

[0; 5] và có bảng biến thiên như hình vẽ:

m để phương trình 3x + 10 − 2 x = m.u ( x) có

[0; 5] ?
B.

6.

C. 3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

4.

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 11:

2 − f ( x) = f ( x)

[0D3-4.6-4] Phương trình

2 g ( x ) − 1 + 3 3g ( x ) − 2 = 2 g ( x )
phương trình
A.
Câu 12:

4.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

có tập nghiệm

f ( x) g ( x) + 1 = f ( x) + g ( x)
B.

có tập nghiệm là

7.

T1 = { 20;18;3} . Phương trình

T2 = { 0;3;15;19}

. Hỏi tập nghiệm của

có bao nhiêu phần tử?
C.

6.

D. 5 .

( ) =ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e trong đó a, b, c, d , e là các hệ số

[2D1-5.4-4] Cho hàm số y = f x
thực có đồ thị như hình vẽ sau đây.

Số nghiệm của phương trình
A.

3.

B.

f

4.

(

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là
C.

2.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

0.

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 13:

[2D1-5.3-4] Cho hàm số

y = f ( x)

Đề Trường A Lần X Năm 2019

¡

liên tục trên

và có đồ thị hàm số

f ′ ( x)

như hình vẽ.

x2
g ( x) = f ( x) + − 3
Đặt
. Điều kiện cần và đủ để phương trình g ( x ) = 0 có bốn nghiệm phân
2

biệt là

 g ( 0) > 0

 g ( 1) < 0

A.  g ( − 2 ) < 0 .
Câu 14:

 g ( 0 ) < 0


B.  g ( − 2 ) > 0 .

[2D1-5.4-3] Cho parabol
hình vẽ.

( P ) : y = − x2

 g ( 0 ) < 0

C.  g ( 1) > 0 .
và đồ thị hàm số

P = a − 3b − 5c .
B. P = − 7 .

 g ( 0) < 0

 g ( 1) < 0

D.  g ( −2 ) > 0 .

y = ax3 + bx 2 + cx − 2

có đồ thị như

Tính giá trị của biểu thức:
A.
Câu 15:

P = − 1.

[2D1-5.3-4] Cho hàm số

y = f ( x)

C.

liên tục trên

¡

P = 9.

D.

P = 3.

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

nghiệm?
A. 5.
B. 4.
Câu 16:

[2D1-5.17-3] Cho hàm số

y = f '( x)

để phương trình

2f

C. 7.

y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

(

)

9 − x 2 = m − 2019

có

D. 8.
với

( a, b, c, d ∈ ¡ ) .

Hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình
A. 4 .
Câu 17:

m

f ( x ) = d − 2a

B. 1 .

[2D1-5.17-4]Cho các hàm số

( m, n, p, q, r, a, b, c, d ∈ ¡ )

là
D. 2 .

C. 3 .

f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r

thỏa mãn

và

g ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

f ( 0) = g ( 0 ) . Các hàm số y = f ′ ( x )

và

g′ ( x )

có đồ thị

như hình vẽ bên.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Tập nghiệm của phương trình
A. 4.
B. 2.
Câu 18:

y = f ( x)

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

A. 1 .

B. 0 .

[2D1-5.9-4] Cho hàm số

S

có đồ thị như hình vẽ

3

− 6x + 2) = m

−8.

y = f ( x)

C. 2 .
liên tục trên

¡

có 6 nghiệm phân biệt thuộc

D. 3 .

và có đồ thị như hình vẽ.

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

nghiệm thuộc nửa khoảng
A.

D. 3.

[ − 1;2] ?

đoạn

Gọi

có số phần tử là
C. 1.

m để phương trình f ( 2 x

Có bao nhiêu số nguyên

Câu 19:

f ( x) = g ( x)

Đề Trường A Lần X Năm 2019

m để phương trình

( 0;1] . Tổng các phần tử của S

B.

− 10 .

C.

f ( x) = 3x + m

bằng

−6.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

D.

−5.

Trang 7 Mã đề X

có


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 20:

[2D1-5.9-4] Cho hàm số

Gọi

Câu 21:

S

y = f ( x)

¡

có đạo hàm trên

là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số

và có đồ thị như hình vẽ.

m để phương trình f ( sin x ) = 2sin x + m

có nghiệm trong khoảng

( 0;π ) . Tính tổng các giá trị của S .

A. 10.

B.

[2D1-5.6-4] Cho hàm số

−8.

C.

y = f ( x)

liên tục trên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có 12 nghiệm thực phân biệt?
A. 1 .
Câu 22:

Đề Trường A Lần X Năm 2019

B. 2 .

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

A. 13 .

B. 12 .

D.

−6.

và có đồ thị như hình vẽ.

m để phương trình

f  − f 2 ( x ) + 2 f ( x ) + 1 = m ( 1)

C. 3 .

y = f ( x)

nhiêu giá trị nguyên của tham số

¡

−5.

xác định, liên tục trên

D. 0 .

¡

m để phương trình 2. f ( 3 − 4

và có đồ thị như hình vẽ. Có bao

)

6x − 9x2 = m − 3

C. 8 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

có nghiệm?

D. 10 .

Trang 8 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 23:

Phương trình
đây?
A.
Câu 24:

y = f ( x)

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

f

(

m∈ ( − 3; − 1) .

)

4 − x2 = m

B.

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

Đề Trường A Lần X Năm 2019

liên tục trên

A. 8 .

và có đồ thị như hình vẽ.

có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

m∈ [ − 3; − 1] ∪ { 1}

y = f ( x)

. C.

m∈ { − 3;1}

.

m

D.

thuộc tập nào sau

m∈ ( − 1;1) ∪ { − 3} .

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
nghiệm trên đoạn

¡

m

để phương trình

f ( 3cos x + 1) = −

[ 0;2π ] ?
B. 6 .

C. 7 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

D. 9 .

Trang 9 Mã đề X

m
2 có


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 25:

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

y = f ( x)

Đề Trường A Lần X Năm 2019

liên tục trên

¡

và có đồ thị như hình vẽ

f

m để phương trình
B. [ − 4; − 2] .
C. [ − 4;0] .

Tập hợp các giá trị thực của tham số
A.
Câu 26:

[ − 2;0] .

[2D1-3.4-3] Cho hàm số

y = f ′ ( x)

f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx + m

)

4 x − x2 − 1 = m
D.

có đạo hàm trên

có nghiệm là

[ − 1;1] .
¡

, đồ thị hàm số

như trong hình vẽ bên

Hỏi phương trình
A. 1.
Câu 27:

(

f ( x) = m

có tất cả bao nhiêu nghiệm?
B. 2.
C. 3.

[2D1-1.8-3] Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

¡

D. 4.

và có đồ thị như hình vẽ

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

S

Gọi

Đề Trường A Lần X Năm 2019

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

m

f (2cos x − 1) = m

để phương trình

có

 π π
− ; ÷
nghiệm thuộc khoảng  2 2  . Tìm số phần tử của S .
A.
Câu 28:

2

B.

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

3

y = f ( x)

C.

[2D2-5.5-4]

Câu 29:

bao

( )

nhiêu

số

ngun

3

m

A. 5 .

để

phương

C. 6 .

D. 3 .

m

để phương trình

có nghiệm thực?

B. 7 .

trình

có nghiệm thực?

B. 5 .

m + 3 3 m + 3sin x = sin x

có ba nghiệm phân

D. 2 .

[2D1-5.3-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

Câu 30:

5

2

f ex = m

C. 1 .

ln  m + 2sin x + ln ( m + 3sin x )  = sin x
A. 4 .

m để phương trình

B. Vơ số.
Có

D.

là một hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
biệt?
A. 3 .

4

C. 3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D. 2 .

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

1.C
11.C
21.C

2.D
12.B
22.A

3.A
13.C
23.D

Đề Trường A Lần X Năm 2019

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.D
7.B
15.A
16.D
17.B
25.C
26.D
27.C

4.A
14.D
24.D

8.B
18.A
28.C

9.A
19.B
29.A

10.A
20.D
30.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1:

[2D1-5.4-4] Cho hàm số

y = f ′ ( x)

y = f ( x ) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + m

với

( a, b, c, d , m∈ ¡ ) . Hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên.

Tập nghiệm của phương trình
A. 4 .

f ( x) = m

có số phần tử là

B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn C

y = f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx2 + dx + m ⇒ f ′ ( x ) = 4ax3 + 3bx 2 + 2cx + d ( 1) .
Dựa vào hình vẽ ta có: .

Từ

( 1) , ( 2 )

Khi đó:

f ′ ( x ) = a ( x + 3) ( 4 x + 5 ) ( x − 1) = 4ax 3 + 13ax 2 − 2ax − 15a ( a ≠ 0 ) ( 2 ) .

 13
b = 3 a

⇒ c = − a
 d = − 15a
4a 3b
2c
d

=
=
=
ta có: 4a 13a − 2a − 15a


f ( x ) = ax 4 +

13 3
ax − ax 2 − 15ax + m

.
3
13

Phương trình

4
3
2
f ( x ) = m ⇔ ax + 3 ax − ax − 15ax + m = m

⇔ ax 4 +

13 3
ax − ax 2 − 15ax = 0
3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

13


⇔ ax  x3 + x 2 − x − 15 ÷ = 0

3


x = 0

5
⇔ x =
3

 x = −3 .

Vậy phương trình có
Câu 2:

3 nghiệm.

[2D1-5.5-4] Cho hàm số
rằng hàm số

y = f ′ ( x)

y = f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r

m, n, p, q, r ∈ ¡

. Biết

có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình

25
A. 4 .

trong đó

B. 4 .

f ( x) = r .

C. 2 .

D. 14 .

Lời giải
Chọn D
Hàm số

y = f ( x ) = mx 4 + nx3 + px 2 + qx + r ⇒ y′ = f ′ ( x ) = 4mx3 + 3nx 2 + 2 px + q ( 1) .

Từ đồ thị hàm số
Ta được

y = f ′ ( x)


 x = −1

f ′ ( x) = 0 ⇔  x = 0


5
x=

ta có:

2 và

m≠ 0.

y′ = f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ( x + 1) ( 2 x − 5 ) = 2 x3 − 3x 2 − 5 x = 0 ( 2 ) .

 4m 3n 2 p  n = − 2m
 = =

 2 − 3 − 5 ⇒  p = − 5m


Từ (1) và (2), ta có:  q = 0
q = 0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Khi đó hàm số

Đề Trường A Lần X Năm 2019

y = f ( x ) = mx 4 + nx 3 + px 2 + qx + r = mx 4 − 2mx3 − 5mx 2 + r .

x = 0

f ( x ) = r ⇔ mx 4 − 2mx 3 − 5mx 2 = 0 ⇔ mx 2 ( x 2 − 2 x − 5 ) = 0 ⇔  x = 1 + 6
 x = 1− 6
Phương trình
.

Như vậy tổng bình phương tất cả các nghiệm của
Câu 3:

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

y = f ( x)

Số các giá trị nguyên của tham số
biệt là
A.

5.

liên tục trên

m

¡

bằng 14 .

có đồ thị như hình vẽ.

m2 − 1
f (e ) −
=0
để phương trình
có hai nghiệm phân
8
x

4.

B.

f ( x) = r

C.

7.

D.

6.

Lời giải
Chọn A

m2 − 1
m2 − 1

x
f (e ) −
=0⇔ f (e ) =
( *) .
Ta có
8
8
x

m2 − 1
f ( t) =
( 1) .
Đặt e = t ( t > 0 ) . Khi đó ( *) trở thành
8
x

Ta có mỗi

t > 0 cho duy nhất một giá trị x = lnt .

Phương trình

⇔

( *)

có hai nghiệm phân biệt

Phương trình

( 1)

có hai nghiệm dương phân biệt

m2 − 1
y=
Đường thẳng
8 cắt phần đồ thị hàm số y = f ( t ) trên khoảng ( 0;+∞ ) tại hai điểm

phân biệt

⇔

m2 − 1
−1 <
<1
8

⇒ m∈ { − 2; − 1;0;1;2} ⇒
Câu 4:

⇔

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

⇔ − 7 < m2 < 9 ⇔ − 3 < m < 3 mà m∈ ¢ .

Có 5 giá trị nguyên của

y = f ( x)

liên tục trên

¡

m thỏa mãn.
có đồ thị như hình vẽ.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Phương trình
A. 3.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

f ( 2 − f ( x ) ) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải
Chọn A

 f ( x) = 4
2 − f ( x) = −2 ⇔ 
⇔
f ( 2 − f ( x) ) = 1 ⇔ 
 f ( x ) = 1
 2 − f ( x ) = 1
Từ đồ thị ta có
Vậy phương trình
Câu 5:

f ( 2 − f ( x ) ) = 1 có ba nghiệm phân biệt.

[2D1-5.3-3] Cho hàm số

Gọi
A.

m

y = f ( x)

liên tục trên

là số nghiệm của phương trình

m = 6.

 x = x0 ( x0 < − 2 )

 x = −2

x = 1
.


B.

m= 7.

¡

và có đồ thị như hình vẽ.

f ( f ( x ) ) = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
C.

m = 5.

D.

m = 9.

Lời giải
Chọn B
Đặt

f ( x) = u

khi đó phương trình

f ( f ( x ) ) = 1 trở thành f ( u ) = 1( 1) .

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
thẳng

y = f ( u)

và đường

y = 1.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 15 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

5 
u3 ∈  ;3 ÷
Dựa vào đồ thị ta có 3 nghiệm giả sử u1 ∈ ( − 1;0 ) , u2 ∈ ( 0;1) ,
2 .
Xét số giao điểm của đồ thị hàm số

f ( x)

với từng đường thẳng

y = u1 , y = u2 , y = u3 .

Dựa vào đồ thị ta có:
Phương trình

f ( x ) = u1 , với u1 ∈ ( − 1;0 ) cho 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình

f ( x ) = u2 , với u2 ∈ ( 0;1) cho 3 nghiệm phân biệt.

5 
u3 ∈  ;3 ÷
Phương trình f ( x ) = u3 , với
 2  cho 1 nghiệm duy nhất.
Suy ra phương trình ban đầu

f ( f ( x ) ) = 1 có 7

nghiệm.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 6:

y = f ( x)

[2D1-5.2-3] Cho hàm số

liên tục trên

tất cả các giá trị nguyên của tham số
khoảng

A.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

m

¡

và có đồ thị như hình vẽ. Gọi

để phương trình

f ( f ( x) ) = m

S

là tập hợp

có nghiệm thuộc

( − 1;0) . Tìm số phần tử của tập S .

2.

B.

5.

D. 3 .

4.

C.
Lời giải

Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy
Đặt

x ∈ ( − 1;0 )

f ( x ) ∈ ( − 1;1) .

u = f ( x ) , khi đó phương trình f ( f ( x ) ) = m

trình

f ( u) = m

có nghiệm thuộc khoảng

Vậy có 3 giá trị ngun của

Câu 7:

thì

[2D1-5.3-4]

Cho

hàm

( − 1;1)

có nghiệm thuộc khoảng

( − 1;0)

khi phương

⇔ m ∈ ( − 3;1) , m nguyên nên m∈ { − 2; − 1;0}

m thỏa mãn.
f ( x ) = x3 − 3 x 2 + 1 .

số

Số

nghiệm

của

phương

f  f ( x ) + 2 + 4 = f ( x ) + 1 là
A.

5.

B.

6.

C. 8 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn B

( )

Đặt t = f x + 2 ⇒ t = x − 3 x
Khi đó phương trình trở thành
3

2

+ 3.

t − 1 ≥ 0

⇔
⇔
f ( t ) + 4 = t − 1  f ( t ) + 4 = t 2 − 2t + 1
t ≥ 1

⇔  t = 2
 t = 1 ± 3 ⇔

Xét hàm số

t ≥ 1
3
2
 t − 4t + 2t + 4 = 0

t = 2

t = 1 + 3

y = t = x3 − 3x 2 + 3

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 17 Mã đề X

trình


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

x = 0
y′ = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) = 0 ⇔ 
x = 2
Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta có phương trình
nghiệm phân biệt.

t= 2

có 3 nghiệm phân biệt, phương trình

t = 1+ 3

có 3

Vây phương trình ban đầu có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 8:

[2D1-5.3-4] Cho hàm số

f ( x ) = x3 − 3x 2 − 6 x + 1 .

f  f ( x ) + 1 + 1 = f ( x ) + 2
A.

6.

Số nghiệm phân biệt của phương trình

là

B. 4.

C. 9.

D. 7.

Lời giải
Chọn B
+ Hàm số
+ Đặt

f ( x)

có

yCD ∈ ( 3;4 ) , yCT ∈ ( − 18; − 17 ) .

t = f ( x ) + 1, t ∈ ¡

, ta được phương trình

t ≥ −1
f ( t) +1 = t +1 ⇔ 
2
 f ( t ) + 1 = t + 2t + 1
t ≥ − 1

⇔3
2
2
t − 3t − 6t + 2 = t + 2t + 1
t ≥ − 1
⇔3
⇔
2
t
−
4
t
−
8
t
+
1
=
0

+ Ta có

t = t1 ∈ ( 5;6 )
.

t
=
t
∈
0;1

(
)
2


t1 ∈ ( 5;6 ) ⇒ t1 − 1∈ ( 4;5 ) ⇒ t1 − 1 > yCD .

Suy ra phương trình

f ( x ) = t1 − 1 có duy nhất 1 nghiệm.

t2 ∈ ( 0;1) ⇒ t2 − 1∈ ( − 1;0 ) ⇒ yCT < t2 − 1 < yCD .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Suy ra phương trình

Đề Trường A Lần X Năm 2019

f ( x ) = t2 − 1 có 3 nghiệm phân biệt.

+ Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 9:

[2D1-5.4-3] Cho hàm số
trình

A.

y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + x − 2 . Gọi m

là số nghiệm thực của phương

f ( f ( x ) ) + 3 = 1 − f ( x ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

m= 2.

B.

m= 4.

C.

m = 6.

D.

m = 9.

Lời giải
Chọn A
Đặt

t = f ( x)

phương trình trở thành

1 − t ≥ 0
t ≤ 1
t ≤ 1
f (t ) + 3 = 1 − t ⇔ 
⇔
⇔
3
3
2
2
2
2
t − 3t + t − 2 + 3 = 1 − 2t + t
t − 4t + 3t = 0
 f (t ) + 3 = ( 1 − t )
t ≤ 1

 t = 0
⇔

t
=
1

  t = 3


t = 1
t = 0 ⇔


g ( x ) = x3 − 3 x2 +

 x3 − 3x 2 + x − 2 = 1
⇔
 3
2
x
−
3
x
+
x
−
2
=
0


 x 3 − 3 x 2 + x = 3 ( 1)
 3
2
 x − 3x + x = 2 ( 2 )


3− 6
 x1 =
3
g ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x + 1 = 0 ⇔ 


3+ 6
x
=

2
x . Ta có
3


Bảng biến thiên

 3− 6 
f 
÷÷ < f ( 2 ) < f ( 3)
3
2
Mà  3 
. Nên đồ thị hàm số g ( x ) = x − 3 x + x lần lượt cắt các đường
thẳng

y= 2

và

y = 3 tại 1 điểm duy nhất. Phương trình ( 1)

và

( 2)

đều có 1 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 10: [2D1-5.1-3] Cho hàm số

u ( x)

Đề Trường A Lần X Năm 2019

liên tục trên đoạn

[0; 5] và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị ngun của
phương trình

3x + 10 − 2 x = m.u ( x)
đoạn
A.

tham số

có

m để

nghiệm trên

[0; 5] ?

5.

B.

6.

C. 3 .

D.

4.

Lời giải
Chọn A
Theo bảng biến thiên ta có trên

Ta có

3x + 10 − 2 x = m.u ( x ) ⇔

Xét hàm số

Ta có

[ 0;5]

f ( x ) = 3x + 10 − 2 x

f ′ ( x) =

thì 1 ≤

u ( x ) ≤ 4 ( 1)

3x + 10 − 2 x
=m
u ( x)
.
trên

[ 0;5] .

3
2
−
2 x 2 10 − 2 x ; ∀ x ∈ [ 0;5] .

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 10 − 2 x = 2 x ⇔ 3 ( 10 − 2 x ) = 4 x ⇔ x = 3 .
Bảng biến thiên

Do đó ta có trên

[ 0;5]

thì

10 ≤ f ( x ) ≤ 5 ( 2 ) .

min f ( x ) = f ( 0 ) = 10
 max f ( x ) = f ( 3) = 5


Từ ( 1) và ( 2 ) ta có  min u ( x ) = u ( 3) = 1 và  maxu ( x ) = u ( 0 ) = 4
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 20 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

10 f ( x )
≤
≤5
u ( x)
Do đó 4
với mọi x ∈ [ 0;5] .
Phương trình

⇔
⇔

Vì

3x + 10 − 2 x = m.u ( x )

[ 0;5]

3 x + 10 − 2 x
=m
u
x
(
)
phương trình
có nghiệm trên đoạn [ 0;5]

10
≤m≤5
.
4

m∈ ¢

nên

m∈ { 1;2;3;4;5} .

Câu 11: [0D3-4.6-4] Phương trình

2 − f ( x) = f ( x)

2 g ( x ) − 1 + 3 3g ( x ) − 2 = 2 g ( x )
phương trình
A.

có nghiệm trên đoạn

có tập nghiệm là

có tập nghiệm

f ( x) g ( x) + 1 = f ( x) + g ( x)

4.

B.

7.

T1 = { 20;18;3} . Phương trình

T2 = { 0;3;15;19}

. Hỏi tập nghiệm của

có bao nhiêu phần tử?
C.

6.

D. 5 .

Lời giải
Chọn C

0 ≤ f ( x) ≤ 2


1
g ( x) ≥ .

Điều kiện: 
2

 f ( x ) ≥ 0
2 − f ( x) = f ( x) ⇔  2
⇔ f ( x ) = 1 ⇔ x ∈ T1 = { 20;18;3}
f
x
+
f
x
−
2
=
0
( )
 ( )
Ta có
.
Lại có

2 g ( x ) − 1 + 3 3g ( x ) − 2 = 2 g ( x )

⇔ g ( x ) − 2 g ( x ) − 1 + g ( x ) − 3 3g ( x ) − 2 = 0
⇔

g 2 ( x) − 2g ( x) +1

g 3 ( x ) − 3g ( x ) + 2

+
=0
g ( x ) + 2 g ( x ) − 1 g 2 ( x ) + g ( x ) 3 3 g ( x ) − 2 + 3 3 g ( x ) − 2  2



 g ( x ) − 1
 g ( x ) − 1 × g ( x ) + 2
⇔
+
=0
2
2
3
g ( x ) + 2 g ( x ) − 1 g ( x ) + g ( x ) 3 3 g ( x ) − 2 + 3 g ( x ) − 2 


2

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019


g ( x) + 2
1
⇔  g ( x ) − 1 
+
 g ( x ) + 2g ( x ) −1
2
2
3 3 g x − 2 + 3 3 g x − 2 

g
x
+
g
x
(
)
(
)
(

)
(
)



2

⇔ g ( x ) − 1 = 0 ⇔ g ( x ) = 1 ⇔ x ∈ T2 = { 0;3;15;19}


÷= 0
÷
÷


.

Do đó, ta có

f ( x ) g ( x ) + 1 = f ( x ) + g ( x ) ⇔  f ( x ) − 1 ×1 − g ( x )  = 0

 

 f ( x) = 1
⇔
 g ( x ) = 1
 x ∈ T1 = { 20;18;3}
⇔
 x ∈ T2 = { 0;3;15;19}

⇔ x ∈ T1 ∪ T2 = { 0;3;15;18;19;20} .

( ) =ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e

Câu 12: [2D1-5.4-4] Cho hàm số y = f x
thực có đồ thị như hình vẽ sau đây.

Số nghiệm của phương trình
A.

3.

B.

f

(

trong đó

a , b, c, d , e

là các hệ số

)

f ( x ) + f ( x ) + 2 f ( x ) − 1 = 0 là

4.

C.

2.

D.

0.

Lời giải
Chọn B
*) Phân tích: Đây là bài tốn tương giao dựa vào đồ thị.
-Phương pháp chung giải bài tập loại này là ta thường biến đổi phương trình đưa về dạng

f ( x ) = m , ( m∈ ¡

).

- Ta thấy vế trái của phương trình có chứa
về dạng

f ( x) = m

ta cần đặt ẩn phụ

f ( x) , f

t = f ( x)

(

)

f ( x ) , do đó để biến đổi phương trình

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC

-Ngồi ra ta có thể tìm hàm số

Đề Trường A Lần X Năm 2019

f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e

có đồ thị như giả thiết.

Sau đây tơi xin trình bày 2 cách.
Cách 1: Biến đổi phương trình.
Điều kiện:
Đặt

f ( x) ≥ 0 .

f ( x ) = t . Dựa vào đồ thị và kết hợp điều kiện ta có t ∈ [ 0;1] .

Phương trình trở thành

f ( t ) + t 2 + 2t − 1 = 0

⇔ f ( t ) = − t 2 − 2t + 1 ( 1)
Ta có đồ thị hàm số

[ ]

y = f ( t ) và y = − t 2 − 2t + 1 như hình vẽ bên dưới.

Trên đoạn 0;1 đồ thị hàm số
một điểm duy nhất.

y = f ( t ) và đồ thị hàm số y = g ( t ) = − t 2 − 2t + 1

Do đó phương trình (1) có duy nhất nghiệm , t =
Hay phương trình tương đương với

cắt nhau tại

m ∈ ( 0;1) , với m∈ ( 0;1) .

f ( x ) = m, .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Cách 2:
Điều kiện:
Đặt

f ( x) ≥ 0

f ( x ) = t . Dựa vào đồ thị và kết hợp điều kiện ta có t ∈ [ 0;1] .

f ( t ) + t 2 + 2t − 1 = 0

Phương trình trở thành

⇔ f ( t ) = − t 2 − 2t + 1 ( 1)
Đồ thị hàm số

e = 0

a + b + c + d = 1 ⇔
a − b + c − d = 1

Ta có

f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
e = 0


a + c = 1
b + d = 0


( 2)

f ′ ( x ) = 4ax3 + 3bx 2 + 2cx + d và hàm số đạt cực trị tại x = ± 1 nên
 4a + 3b + 2c + d = 0
⇔

−
4
a
+
3
b
−
2
c
+
d
=
0


Giải hệ (2) và (3) ta có
Do đó

( 0;0 ) , ( 1;1) , ( − 1;1)

đi qua điểm

 3b + d = 0

 4 a + 2c = 0

( 3)

.

a = − 1; b = 0; c = 2; d = 0; e = 0 .

f ( x ) = − x4 + 2 x2 .

( 1) ⇔ − t 4 + 2t 2 = − t 2 − 2t + 1 ,

t ∈ [ 0;1]

⇔ − t 4 + 3t 2 + 2t − 1 = 0 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề X

nên


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Xét hàm số

Có

Đề Trường A Lần X Năm 2019

h ( t ) = − t 4 + 3t 2 + 2t − 1, ∀ t ∈ [ 0;1] .

h′ ( t ) = − 4t 3 + 6t + 2

Lập bảng xét dấu của

 1+ 3
t =
2

 1− 3
⇒ h′ ( t ) = 0 ⇔  t =
2

t = −1



h( t)

Hàm số đồng biến trên

t ∈ [ 0;1]

Sử dụng MTCT ta có nghiệm

nên phương trình

− t 4 + 3t 2 + 2t − 1 = 0

có duy nhất nghiệm.

t ≈ 0.336 hay f ( x ) ≈ 0.336 ⇔ f ( x ) ≈ 0.11 .

Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Lưu ý: Việc tìm ra nghiệm thuộc
năng MODE 7.

[ 0;1] của phương trình h ( t ) = 0 có thể dùng MTCT với chức

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề X