Dang 3. Phương pháp tích phân từng phần(TH)

2

Câu 1.

[2D3-2.3-2] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Biết
nguyên tố. Tính
A.

∫ 2 x ln ( 1 + x ) dx = a.ln b , với a, b∈ ¥ * , b
0

là số

3a + 4b .

42 .

B.

21 .

C. 12 .

D.

32 .

Lời giải
Tác giả: Trần Minh Nhựt; Fb: Trần Minh Nhựt
Chọn B

1

du =
dx

 u = ln ( 1 + x ) ⇒ 
1
+
x
I = ∫ 2 x ln ( 1 + x ) dx

 v = x 2 − 1 .
Xét
. Đặt  dv = 2 xdx
0
2

2

2
 x2 
x2 − 1
2
I = ( x − 1) ln ( x + 1) − ∫
dx = 3ln 3 − ∫ ( x − 1) dx = 3ln 3 −  − x ÷ = 3ln 3
0
x+1
Ta có:
.
 2

0
0
0
2

2

Vậy

a = 3 , b = 3 ⇒ 3a + 4b = 21 .
3

Câu 2.

[2D3-2.3-2] (Nguyễn Du số 1 lần3) Biết
Khi đó,
A.

∫ ln( x − 1)dx = a ln 2 + b
2

với

a, b

là các số nguyên.

a − b bằng

0.

B. 1.

C. 3.
D. 2.
Lời giải
Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.
Phản biện :Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai.

Chọn C
3

Ta có

3

∫ ln( x − 1)dx = x ln( x − 1) | − ∫ x.
3
2

2

2

1
dx
x −1

3

1 

= 3ln 2 − ∫  1 +
÷ dx
x − 1
2

= 3ln 2 − ( x + ln x − 1 ) |32 = 2ln 2 − 1
a = 2
⇒
b = −1
Vậy,

a − b = 3.
1

∫ ( 2 x +1) e dx = a + b.e , tích a.b bằng
[2D3-2.3-2] (Cẩm Giàng) Biết rằng tích phân
x

Câu 3.

0

A.

− 15 .

Chọn C

B.

− 1.

C. 1.
D. 20.
Lời giải
Tác giả: Đào Thị Hương; Fb Hương Đào:


Điều kiện:

a , b∈ ¢ .

 u = 2 x + 1  du = 2dx
⇒

x
x
Đặt  dv = e dx
.
v = e
1

⇒

∫ ( 2 x +1) e dx = ( 2 x +1) e
x

0

a = 1
⇒
b = 1 . Vậy tích
Câu 4.

1

x1
0

− 2 ∫ e x dx
0

= ( 2 x − 1) e x =1+ e = a + b.e .
0
1

a.b= 1 .

[2D3-2.3-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số

f ′ ( x)

hàm
A. I

và thỏa mãn

= 1.

1

1

0

0

f ( x)

có đạo

∫ ( 2 x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 , 3 f ( 1) − f ( 0 ) = 12 . Tính I = ∫ f ( x ) dx .
B. I

= −2.

C. I = 2 .
D. I = − 1 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tiến Phúc; Fb:Nguyễn Tiến Phúc

Chọn A

u = 2 x + 1 ⇔ du = 2dx , dv = f ′ ( x ) dx

Đặt:

chọn

v = f ( x) .

1

1 1
′
∫ ( 2 x + 1) f ( x ) dx = 10 ⇔ ( 2 x + 1) f ( x ) 0 − 2∫0 f ( x ) dx = 10
Ta có: 0
1

1

0

0

⇔ 3 f ( 1) − f ( 0 ) − 2∫ f ( x ) dx = 10 ⇔ 12 − 2∫ f ( x ) dx = 10 ⇔
2

Câu 5.

[2D3-2.3-2] (THPT Nghèn Lần1) Tính
A.

T=

13
3 .

B.

T=

I=∫

ln x

1 ( x + 1)

134
27 .

2

∫ f ( x ) dx = 1 .
0

dx = a ln 3 + b ln 2

T=

C.

1

8
3.

. Tính

D.

T = a 2 + b3 .

T=

152
27 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết ; Fb: Thuyết Nguyễn Đăng
Chọn D
2

2

2

2

ln x
dx
1
x
5
I=∫
dx = −
+∫
= − ln 2 − ln
= − ln 3 + ln 2 = a ln 3 + b ln 2

2
( x + 1) 1 1 x ( x + 1)
3
x + 11
3
.
1 ( x + 1)
Suy ra
Câu 6.

ln x

a = −1;

[2D3-2.3-2]
e+1

ln ( x − 1)

∫ ( x − 1)

2

b=

5
152
⇒ a 2 + b3 =
3
27 .

(KIM

LIÊN

dx = a + be −1 ( a , b∈ ¢ )

2

A.

a + b = 1.

B.

HÀ

NỘI

NĂM

2018-2019

LẦN

03)

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

a + b = − 1.

C.

a+ b= −3.

D.

a+ b= 3.

Biết


Lời giải
Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb:Hà Trần
Chọn B
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

1
⇒
d
u
=
dx
Đặt: u = ln ( x − 1)
x−1 .
dv =

1

( x − 1)

2

dx

⇒

chọn

v=−

1
x−1.

Khi đó ta có
e +1

ln ( x − 1)

∫ ( x − 1)
2

Suy ra:

2

e + 1 e+1 1
e+1 1 e+1
1
1

dx = −
ln ( x − 1)
+ ∫
d
x
=
−
ln
x
−
1
−
= 1 − 2e − 1
(
)
2
2
2
x −1
x −1
x−1 2
2 ( x − 1)

a = 1; b = − 2 ⇒ a + b = − 1 .
e

3ea + 1
∫ x ln xdx = b với
[2D3-2.3-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Cho 1
3

Câu 7.

a, b∈ ¢ . Tổng a + b
A.

bằng

20 .

B. 10 .

C. 17 .

D. 12 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb:Hoàng Điệp Phạm
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn
Chọn A

1
x4
3
u = ln x ⇒ du = dx dv = x dx ⇒ v =
Đặt
x ;
4 .
e

e

e

x4  1 3
e4  1  e 4 e 4 1 3e 4 + 1
⇒ I =  ln x. ÷ − ∫ x dx = −  x 4 ÷ = − + =
4 1 4 1
4  16  1 4 16 16
16 .


a=4
⇒
⇒ a + b = 20
.
 b = 16
2

Câu 8.

ln x
b
d
x
=
∫ 2 c + a ln 2 trong đó
[2D3-2.3-2] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Biết 1 x
các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của

A. 6 . B. 5 .

a∈ ¡ ; b , c là

2a + 3b + c .

D. − 6 .

C. 4 .
Lờigiải

Tácgiả: Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb: Nguyên Thi Bích Ngọc
Chọn C


1

du = dx
u = ln x



x
1 ⇒

dv = x 2 dx v = − 1
Đặt

x .
2

2

2

2

ln x
1
1
1
1
1
 1

d
x
=
−
ln
x
+
d
x
=
−
ln
2
−
=

−
ln
2
+

÷
2
2
∫
∫
2
x1
2
2.
 x
1 1 x
Ta có 1 x
Theo đề ta có
Do đó

a=−

1
2 , b = 1,

c = 2.

2a + 3b + c = 4 .
2

Câu 9.

[2D3-2.3-2] (Hùng Vương Bình Phước) Cho tích phân

ln x
b
dx
=
+ a ln 2
2
x
c
với
1

I=∫

a

là số

b
là các số dương, đồng thời c là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

b và c
P = 2a + 3b + c .
A. P = 6 .
thực,

B.

P = 5.

C. P = − 6 .
D. P = 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quyền; Fb: Văn Quyền Nguyễn

Chọn D

dx

 u = ln x  du =
2
− ln x 2
1


 − ln x − 1  2 1 ln 2
x
⇒I=
+ ∫ 2 dx = 
+ ÷ = −

dx ⇒ 
−
1
1
x
x

x
x 1 2 2
dv
=

1

 v=
2
x
Đặt
x


⇒ b = 1, c = 2, a =

−1
⇒ P = 2a + 3b + c = 4
.
2
4

Câu 10. [2D3-2.3-2] (Nguyễn Khuyến)Biết
tối giản. Tính
A.

T = 11 .

J = ∫ x log 2 xdx = 16 −
1

a
a
*
b ln 2 với a, b ∈ ¥ , b là phân số

T = a+ b.
B.

T = 19 .

C. T
Lời giải

= 17 .

D.

T = 13 .

Tác giả: Dương Vĩnh Lợi; Fb: Dương Vĩnh Lợi
Chọn B
4

4

1
J = ∫ x log 2 xdx =
x ln xdx
∫

ln
2
Ta có
. Đặt
1
1

u = ln x
x2
1

v=
du = dx
dv = xdx suy ra
2
x và chọn


4
4
4


 2
2 4
1  x2
1
1
x
x

 ln x −
÷ = 1  8ln 4 − 15 
J=
ln x − ∫ xdx ÷ =

÷
÷ ln 2  2
ln 2  2
21
4 ÷ ln 2 
4
1
1
1
ta được




=

1 
15 
15
 16ln 2 − ÷ = 16 −
ln 2 
4
4ln 2 .

 a = 15


Vậy  b = 4 nên T =

a + b = 15 + 4 = 19 .

Câu 11. [2D3-2.3-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho

 F ( x ) + 2 x + ln ( x − 1) 
I = ∫
dx
x
Khi đó
 bằng?
2

∫ ln ( x

2

− x ) dx = F ( x ) , F ( 2 ) = 2ln 2 − 4 .

3

A.

3ln3 − 3 .

B.

3ln3 − 2 .

C. 3ln3 − 1 .
D. 3ln3 − 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền Trang; Fb: Nguyen Trang

Chọn B
Ta có:

F ( x ) = x ln ( x 2 − x ) − ∫

x ( 2 x − 1)
2x − 1
2
d
x
=
x
ln
x
−
x
−
(
)
∫ x − 1 dx
x2 − x

1 


2
= x ln ( x 2 − x ) − ∫  2 +
÷dx = x ln ( x − x ) − 2 x − ln x − 1 + C .
 x − 1

F ( 2 ) = 2ln 2 − 4 ⇔ 2ln 2 − 4 + C = 2ln 2 − 4 ⇔ C = 0 .

Suy ra:

F ( x ) = x ln ( x 2 − x ) − 2 x − ln x − 1 .

 x ln ( x 2 − x ) − 2 x − ln ( x − 1) + 2 x + ln ( x − 1) 
dx
I = ∫
x


2
Khi đó:

3

3

= ∫ ln ( x 2 − x ) dx =  x ln ( x 2 − x ) − 2 x − ln ( x − 1) 

3
2

2

= 3ln 6 − 6 − ln 2 − 2ln 2 + 4 = 3ln3 − 2 .
2

∫ ( x + 1) e dx = ae
[2D3-2.3-2] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho
x

Câu 12.

1

nguyên. Tính
A.

a+ b+ c.

3.

B. 4.

2

+ be + c

với

a , b , c là các số

C. 1. D. 0.

Lời giải
Tác giả: Thu Hương; Fb: Hương Mùa Thu
Chọn C

u = x + 1

x
x
Đặt  dv = e dx ta được du = dx, v = e .


2

∫ ( x + 1) e dx = ( x + 1) e
x

2

x 2
1

1

− ∫ e x dx = xe x 12 = 2e2 − e
1

.

⇒ a = 2, b = − 1, c = 0 ⇒ a + b + c = 1 .

e

Câu 13. [2D3-2.3-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Biết

b

là các số hữu tỉ. Giá trị của

A.

3.

9 ( a + b)

I = ∫ x 2 ln xdx = ae3 + b
1

với

a,

bằng

B. 10 .

C.

9.

D.

6.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc ; Fb:Nguyen Phuc
Chọn A

1

d
u
=
dx

x

 u = ln x
x3


v=
2
Đặt  dv = x dx ta có 
3
e

e

e

x3 ln x
x2
e3 x 3
2
1
I=
− ∫ dx = −
= .e3 +
3 1 1 3
3 91 9
9.
Suy ra
Vậy

a=

1
2
b=
9 nên 9 ( a + b ) = 3 .
9,
e

Câu 14. [2D3-2.3-2] (Lương Thế Vinh Lần 3) Biết
Giá trị của
A.

9 ( a + b)

I = ∫ x 2 ln xdx = ae3 + b

1

với

a, b

là các số hữu tỉ.

bằng

3.

B. 10 .

C.

9.

D.

6.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Hoài Phúc ; Fb:Nguyen Phuc
Chọn A

1

 du = x dx


 u = ln x
3
v = x

2
Đặt  dv = x dx ta có 
3
e

e

e

x 3 ln x
x2
e3 x 3
2
1
I=
− ∫ dx = −
= .e3 +
3 1 1 3
3 91 9
9.
Suy ra
Vậy

a=

1

2
b=
9 nên 9 ( a + b ) = 3 .
9,


2

Câu 15. [2D3-2.3-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho

a , b, c

với

a
dx = ln 2 − ln c
b
1 ( x + 1)

I=∫

ln x

2

a
là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

a+b
c .

5
S= .
A.
3
S=

B.

S=

8
3.

C.

S=

6
5.

D.

S=

10
3 .

Lời giải
Chọn B
Ta có:

2

2

2
2
1
1
1 
 1 
 1
2
1
I=∫
dx = − ∫ ln xd 
ln x ÷ + ∫
dx = − ln 2 + ∫  −
÷= − 
÷dx
2
3
x x +1
 x +1
 x +1
 1 1 ( x + 1) x
1 ( x + 1)
1
1

ln x

a = 5
2 5
1
a+b 8

= − ln 2 + ( ln x − ln x + 1 ) = ln 2 − ln 3 ⇒  b = 3 ⇒ S =
= .
1 3
3
c
3
c = 3

Tác giảFb:Thao Duy
2

∫ ( 2 x + e ) e dx = a.e
[2D3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 10) Biết
x

Câu 16.

x

4

+ b.e 2 + c

0

số hữu tỉ. Giá trị của
A. 9.

2a + 3b + 2c

với

a , b, c

là các

bằng

B. 10.

C. 8.

D. 7.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang
Chọn B

 u = 2 x + e x

x
Đặt:  dv = e dx ta được

 du = ( 2 + e x ) dx


x
 v = e
.

2

∫ ( 2 x + e ) e dx = ( 2 x + e ) e
Khi đó:
x

x

x

2

x 2
0

0

− ∫ ( 2e x + e2 x ) dx
0

2

1 

= ( 2.2 + e ) e − ( 2.0 + e ) e −  2e x + e 2 x ÷ = 1 e4 + 2e2 + 3

2 0 2

2.
2

2

0

0

1
3
a = ; b = 2; c =
Theo bài ra ta có
2
2
1
3
2a + 3b + 2c = 2. + 3.2 + 2. = 10
Vậy:
.
2
2


Câu 17. [2D3-2.3-2] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Biết
2

ln x

b
dx
=
∫1 x2 c + a ln 2 (với
Giá trị của
A.

2a + 3b + c

−6.

a

b
là số thực, b, c là các số nguyên dương và c là phân số tối giản).

bằng.
B.

4.

5.

C.

D.

6.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Duy Tân; Fb: Nguyễn Duy Tân
Chọn B
2

Gọi

ln x
dx
2
x
.
1

I =∫

Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

1

du
=
dx
 u = ln x


x
1 ⇒

1
dv

=
dx 

2
v=−
x
Đặt

x
2

2

2

2

ln x
ln 2
1
1
1
1
 1 1
1  1 1
⇒I=−
− ∫  − ÷. dx = −
+ ∫ 2 dx = − ln 2 −
= − ln 2 −  − 1÷ = − ln 2
x 1 1 x x

2 1x
2
x1
2
2  2 2
1
⇒ a = − ; b = 1; c = 2
.
2
Vậy

2a + 3b + c = 4 .

Câu 18. [2D3-2.3-2] (THTT lần5) Cho hàm số
1

x
f ( 1) = 0 và ∫

2018

f ( x ) dx = 2

0

A.

y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1]
1

∫x
. Giá trị của

2019

0

2
B. 2019

− 4038 .

f ′ ( x ) dx

bằng

4038

C.

thỏa mãn

D.

−

2
2019

Lời giải

Tác giả: Cao Văn Tùng, Fb: Cao Tung
Chọn A
1

Ta có:

I =∫x

1

2019

0

f ′ ( x ) dx = ∫ x
0

2019

d ( f ( x) ) = x

2019

1

1

f ( x ) − ∫ 2019 x 2018 f ( x ) dx
0

0

1

= f ( 1) − 2019 ∫ x 2018 f ( x ) dx
0

= 0 − 2019.2 = − 4038 .

Câu 19. [2D3-2.3-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) = e

2 x+ 1

là :


(
C. (
A.

)
2 x + 1 + 1) e
2x + 1 − 1 e

2 x +1

+C.

2 x +1

+C.

B.

e

2 x+1

+ C.

2 x + 1e

D.
Lời giải

2 x +1

+C .

Tác giả:Đào Thị Kiểm ; Fb:Đào Kiểm.
Chọn A
Đặt

t = 2 x + 1 . Ta có t 2 = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇒ dx = tdt .

Khi đó ta có :
Đặt

∫e

2 x+1

dx = ∫ tet dt .

u = t và dv = et dt , ta có du = dt và v = et . Do đó :

∫ te dt = te − ∫ e dt = te − e + C = ( t − 1) e + C = (
dx = ( 2 x + 1 − 1) e
+C.
Vậy ∫ e
t

t

t

t

t

t

2 x+1

)

2x + 1 − 1 e

2 x +1

+C .

2 x+1

2

Câu 20. [2D3-2.3-2] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Biết
là số ngun tố. Tính
A.

33 .

6 a + 7b .
B. 25 .

C.

∫ 2 x ln ( x + 1) dx = a ln b , với a, b∈ ¥ * , b
0

42 .

D.

39 .

Lời giải
Tác giả:Lê Đình Năng ; Fb: Lê Năng

Chọn D

1

du
=
dx

 u = ln ( x + 1) ⇒ 
x +1

v = x2
Đặt  dv = 2 xdx
.

2

2

2

x2
1 

∫0 2 x ln ( x + 1) dx = x 2 ln ( x + 1) 0 − ∫0 x + 1 dx = 4ln 3 − ∫0  x − 1 + x + 1 ÷ dx
2

2

 x2


= 4 ln 3 −  − x + ln x + 1 ÷
 2
0

= 4ln3 − ln3 = 3ln3 . Do đó a = b = 3 ⇒ 6a + 7b = 39 .
1

Câu 21. [2D3-2.3-2] (Yên Phong 1) Cho

1
A. 2 .

1
B. 4 .

I = ∫ xe2 x dx = a.e2 + b
0

C. 0 .
Li gii

vi

a, b Ô . Tớnh tng a + b
D. 1 .
Tác giả: ; Fb: Biện Tuyên

Chọn A
Cách 1.

Sử dụng phương pháp từng phần.


 du = dx

u = x
⇒  1 2x

2x
 v = 2 e .
Đặt:  dv = e dx
1

1

1

1

1

1
1
1
1
I = u.v 0 − ∫ v.du = x.e 2 x − ∫ e 2 x dx = x.e 2 x − e 2 x = 1 e2 + 1
2
20
2
4 0 4

Khi đó:
0
0
0
4.
1
1
a.e 2 + b = e 2 +
Suy ra:
4
4.
1
1
1
a=
b=
a+ b=
Đồng nhất hệ số hai vế ta có:
4,
4 . Vậy:
2.
1

Cách 2.
Dùng máy tính cầm tay.

A

Bước 1: Tính tích phân bằng máy tính, lưu vào máy là
Bước 2:

( SHIFT → STO → A ).

A = a.e2 + b ⇒ b = A − a.e2 ( Rút ẩn b theo a)

Bước 3: Đưa biểu thức cần tính về : a + b = a + A − a.e
Bước 4: Thử 4 phương án ra nghiệm đẹp thì chọn. Thử phương án A ta được:
2

x + A − x.e 2 =

1
1
x=
SHIFT → SOLVE
2     →
4
2

Câu 22. [2D3-2.3-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho tích phân

a

là

b
là các số nguyên dương, đồng thời c là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu

b và c
thức P = 2a + 3b + c .

A. P = 6 .
số thực,

ln x
b
d
x
=
+ a ln 2
2
x
c
với
1

I=∫

B.

P = −6.

C. P =
Lời giải

5.

D.

P= 4.

Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh
Chọn D

1

du = .dx
 u = ln x



x
⇒
1

 dv = x 2 .dx  v = − 1
Đặt
x

2

2

2

1
−1
1 1 1
 −1

I =  .ln x ÷ + ∫ 2 dx = ln 2 − = − ln 2 ⇒ b = 1, c = 2, a = − 1

2
x1 2 2
 x
1 1 x
Ta có
2 . Khi đó

 −1
P = 2  ÷ + 3.1 + 2 = 4
.
 2


Câu 23. [2D3-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số

f ( x)

có

f ′ ( x) và f ′ ( x)
3

Biết

f (1) = 1 , f (3) = 81 , f ′ (1) = 4 , f ′ (3) = 108 . Giá trị của ∫1

A. 48.

− 64 .

B.

( 4 − 2 x ) . f ′′( x)dx

− 48 .

C.

liên tục trên đoạn

[ 1;3] .

bằng

D. 64.

Lời giải
Tác giả: Châu Hòa Nhân; Fb: Hòa Nhânn
Chọn B

 u = 4 − 2 x

Đặt  dv = f ′′( x)dx . Khi đó

 du = − 2dx

 v = f ′( x) .

Suy ra:
3

3

∫ ( 4 − 2 x ) . f ′′( x)dx =  ( 4 − 2 x ) . f ′( x) − ∫ f ′( x).( − 2dx ) =  ( 4 − 2 x ) . f ′( x) 
3
1

1

1

3

3
1

+ 2 ∫ f ′( x)dx
1

=  ( 4 − 2 x ) . f ′ ( x)  13 + 2 f ( x) 13 = − 2 f ′(3) − 2 f ′(1) + 2 f (3) − 2 f (1) .

= − 2.108 − 2.4 + 2.81 − 2.1 = − 64 .
3

Vậy

∫ ( 4 − 2 x ) . f ′′( x)dx = − 64 .
1

3

Câu 24. [2D3-2.3-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho
a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị

17
A. 8 .

B.

a 2 + b2 − c 2
S=

1
8.

I=∫
1

3 + ln x

( x + 1)

2

dx = a ln 3 + b ln 2 + c
với

bằng
C. 1 .

D.

0.

Lời giải
Chọn C
3

3

3
1
 1   1
3
I=∫
dx = − ∫ ( 3 + ln x ) d 
(3 + ln x) ÷ + ∫
dx
÷= −
2
1
x
+
1
x
+
1
(
x
+

1)
x




x
+
1
(
)
Ta có:
1
1
1

3 + ln x

3

1
3 1 1 
= − (3 + ln 3) + + ∫  −
÷dx
4
2 1  x x + 1
3

a = 4
3 3 1


3 1
3 3
= − ln 3 + ( ln x − ln x + 1 ) = − ln 3 + ln 3 − ln 4 + ln 2 = + ln 3 − ln 2 ⇒ b = − 1
1 4 4
4 4
4 4

3
c=
4 .



2

2

 3
 3
a + b − c =  ÷ + 12 −  ÷ = 1
Khi đó
.
 4
 4
2

2

2

Tác giả Fb:Thao Duy
1

Câu 25. [2D3-2.3-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Cho

∫ x ln( x + 2)dx = a ln 3 + b ln 2 + c , với a, b, c
0

T = 2a − b + 4c .
B. T = − 2 .
C. T = 4 .

là

các số thực. Tính giá trị của biểu thức
A.

T = 2.

D.

Lời giải

T = −8.

Tác giả: ; Fb Biện Tuyên.
Chọn B

 u = ln ( x + 2 )

1
1 2

d
u
=
d
x
v
=
x −4
Đặt:  dv = x dx
. Suy ra
.
x + 2 và chọn
2

(

1

)

1

1

1
3
1

1 2
1 x2 − 4
x ln( x + 2)dx = ( x − 4 ) .ln ( x + 2 ) − ∫
dx = − ln 3 + 2ln 2 − ∫ ( x − 2 ) dx
∫
2
20
2
2 0 x+ 2
Ta có: 0
0
1

3
11

= − ln 3 + 2ln 2 −  x 2 − 2 x ÷ = − 3 ln 3 + 2ln 2 + 3
2
2 2
0
2
4.
3
3
a
=
−
c
=
Với a, b, c là các số thực suy ra

2, b= 2,
4.
 3
 3
= 2  − ÷− 2 + 4  ÷ = −2
Vậy T = 2a − b + 4c
.
 2
 4
Câu 26. [2D3-2.3-2] (Kim Liên) Cho hàm số
5

∫ xf ′ ( x ) e

f ( x)

5

dx = 8

0

A.

f ( x)

− 33 .

;

f ( 5 ) = ln 5 . Tính
B.

I =∫e

33 .

liên tục và có đạo hàm trên đoạn
f ( x)

[ 0;5]

thỏa mãn

dx

0

C. 17.
Lời giải

D.

− 17 .

Tác giả: Nguyễn Thị Xuyến; Fb: Nguyen Xuyen
Chọn C
5

Tính

Đặt

I =∫e

f ( x)

dx

0

f ( x)
u = e f ( x ) ⇒ du = f ′ ( x ) e d x ;

dv =dx ⇒ v = x .
Theo cơng thức tích phân từng phần, ta có


I =  xe

f ( x)

5

5

 − xf ′ ( x ) e f ( x ) dx = 5.e f ( 5) − 0.e f ( 0) − 8 = 5e ln5 − 8 = 5.5 − 8 = 17
0 ∫
.
0

m

Câu 27.

∫ x ( 2ln x + 1) dx = 2m
[2D3-2.3-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Tìm số thực m > 1 thỏa mãn
1

A.

m= e.

B.

m= 2.

2

.

C. m = 0 .
D. m = e2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Hảo. Fb: Ycdiyc Thanh Hảo

Chọn D
Cách 1:
m

Gọi

I = ∫ x ( 2ln x + 1) dx
1

.

2

 du = x dx
 u = 2ln x + 1 ⇒  x 2
v =

Đặt:  dv = xdx
.

2
m

m

x2
2 x2
I = ( 2ln x + 1) − ∫ . dx
2
x 2
Khi đó:
1
1
m

m

m

m

x2
x2
x2
⇒ I = ( 2ln x + 1) − ∫ xdx = ( 2ln x + 1) −
2
2
21
1
1
1
m

 2
x2 x2 
⇒ I =  x .ln x + − ÷
2
2 2  1 = x .ln x


(

)

m

1

⇒ I = m .ln m .
2

Theo đề ta có:
Cách 2:

I = 2m2 ⇒ m2 .ln m = 2m2 ⇒ ln m = 2 ( m > 1) ⇒ m = e2 . Chọn đáp án D.

Dựa vào điều kiện m > 1 , loại đáp án C.
Thế số, bấm máy tính kiểm tra, chọn đáp án D.
e

Câu 28. [2D3-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Biết rằng

a − 3b + 1 bằng

A. 125.

∫
1

B. 120.

4ln x + 1
a− b
dx =
x
6

với
C. 124.

a,b ∈ ¥ * . Giá trị của

D. 123.

Lời giải
Tác giả:Đào Hoàng Diệp ; Fb:Diệp Đào Hoàng
Chọn D

 x = e ⇒ t = 5

Đặt 4ln x + 1 = t Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 1


4
1
1
⇒ 4ln x + 1 = t 2 ⇒ .dx = 2t.dt ⇒ .dx = t.dt
x
x
2
e

∫

Vậy:

1

e

5

4ln x + 1
1
1
dx = ∫ 4 ln x + 1. dx = ∫ t. t.dt =
x
x
2
1
1

 a = 125
⇒
⇒ a − 3b + 1 = 123
b = 1

⇒

5

1 2
t 3 5 125 − 1
t
.d
t
=

=
∫1 2
61
6 .

Chọn đáp án D.

Câu 29. [2D3-2.3-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hàm số
2

2

0

0

y = f ( x)

liên tục trên

¡ . Biết f ( 2 ) = 4

f ( x )dx = 5
I = ∫ xf ′( x)dx
∫
và
. Tính
.
A. I

= 1.

B. I

= 3.

C. I

= − 1.

D. I

= 9.

Lờigiải
Tác giả:Dương Chiến; Fb: Duong Chien
Phản biện: Nguyễn Thị Hồng Gấm; Fb:Nguyễn Thị Hồng Gấm
ChọnB

 u = x
⇒

Đặt  dv = f ′ ( x ) dx

 du = dx

 v = f ( x )

2

⇒ I = xf ( x ) 0 − ∫ f ( x)dx = 2.4 − 5 = 3.
2

0

Câu 30. [2D3-2.3-2] (Sở Cần Thơ 2019) Biết

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

x
2

f ( x ) = xe và

F (0) = − 1. Giá trị của F (4) bằng
A.

7 2 3
e −
B. 4
4.

3.

C.

4e2 + 3 .

D.

4e2 − 3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vĩnh Thái ; Fb:Thaiphucphat.
Chọn C

 u = x
⇒
x

2
Đặt  dv = e dx
x
2

 du = dx
x

2
 v = 2e
x
2

x
2

x
2

x
2

x

x

Khi đó: ∫ x.e dx = 2 x.e − 2 ∫ e dx = 2 x.e − 4e + C ⇒ F ( x ) = 2 x.e 2 − 4e 2 + C .
Mà
Vậy

F (0) = − 1 ⇔ − 4 + C = − 1 ⇔ C = 3.
F (4) = 8e 2 − 4e 2 + 3 = 4e 2 + 3.


π
2

Câu 31. [2D3-2.3-2] (TTHT Lần 4) Biết m là số thực thỏa mãn
đề nào dưới đây đúng?
A.

m≤ 0.

B.

0 < m ≤ 3.

C. 3 <

Lời giải

2
∫ x ( cos x + 2m ) dx=2π +
0

m ≤ 6.

D. m >

π
−1
2
. Mệnh

6.

Tác giả: Trịnh Thị Hiền; Fb: Hiền Trịnh
Chọn D
π
2

Ta có:

Gọi

π
2

π

2

π
2

mπ 2
∫0 x ( cos x + 2m ) dx= ∫0 x cos xdx + ∫0 2mxdx = ∫0 x cos xdx + 4 .

I =ị

0

π
2

ìï u = x
ïí
Þ
x cos xdx . Đặt ï dv = cos xdx
ïỵ
π
2
0

ïíìï du = dx
ïïỵ v = sin x .

π
2

π
π
π
I = x sin x | - ò sin xdx = + cos x |02 = - 1
2
2 .
0
π
2

mπ 2 π
∫0 x ( cos x + 2m ) dx= 4 + 2 − 1 .

Khi đó:

m
= 2⇔ m=8
.
4

Suy ra

a

Câu 32. [2D3-2.3-2] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Biết rằng
dưới đây là khẳng định đúng?
A.

a ∈ ( 18;21) .

B.

a ∈ ( 1;4 ) .

C.

∫ ln xdx = 1 + 2a, ( a > 1) . Khẳng định nào
1

a ∈ ( 11;14 ) .

D.

a ∈ ( 6;9 ) .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn A

1
⇒ du = dx
x

u = ln x
dv = dx ⇒ v = x

Đặt

Ta có

a

a

1

1

∫ ln xdx = a.ln a − ∫ dx = a ln a − a + 1 = 1 + 2a

⇒ a ln a = 3a ⇔ ln a = 3 ⇔ a = e3.


Vậy

a ∈ ( 18;21) .
5

Câu 33.

∫ ln ( x
[2D3-2.3-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho
2

số nguyên. Tính
A.

S = 23 .

S = a + 2b − c .

B. S = 20 .

2

− x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c

⇒

2x − 1

dx
 du = 2
x −x

 v = x
.

5

Khi đó

5

2x − 1
ln
x
−
x
d
x

=
x
ln
x
−
x
−
dx
(
)
(
)
∫2
2 ∫2 x − 1
2

2

5

5

5
1 

2
= 5ln 20 − 2ln 2 − ∫  2 +
d
x
=

5ln
5.2
−
2ln
2
−
2
x
+
ln
x
−
1
(
)
(
)
÷
2
x − 1
2

= 5ln 5 + 8ln 2 − ( 10 − 4 + ln 4 − ln1) = 5ln5 + 6ln 2 − 6 .
Suy ra

a, b, c

là các

C. S = 17 .

D. S = 11 .
Lời giải
Tác giả: Lưu Thế Dũng; Fb: Lưu Thế Dũng

Chọn A

 u = ln ( x 2 − x )

Đặt  dv = dx

với

a = 5 , b = 6 , c = − 6 ⇒ S = a + 2b − c = 5 + 2.6 + 6 = 23 .