Dang 3. Phương pháp tích phân từng phần(VDT

Câu 1.

[2D3-2.3-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về
e
3e a  1
3
x
ln
x
d
x

�
b ?
kết quả 1
A. a . b  64 .

B. a .b  46 .

C. a  b  12 .
D. a  b  4 .
Lời giải
Tác giả: Bình Yên; Fb: Bình Yên

Chọn A
1
�
du  dx
�
u


ln
x
�
�
x
��
�
3
dv  x dx � 1 4
�
v x
� 4
Đặt
. Áp dụng tích phân từng phần ta tính được:
e

e

e

e

1 4
1 3
e4 1 4
3e 4  1
x
ln
x
d

x

x
ln
x

x
d
x


x

�
�
4
4
4 16 1
16
1
1
1
a4
�
��
� a .b  64
b  16
�
.
3

Câu 2.

[2D3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) (THPT Nam Tiền Hảif  x
0; 2
Thái Bình-Lần 2-2018)Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn 
và thoả mãn
2

f  x  dx  4
f  2   16, �
0
A. I  12 .

1

. Tính tích phân
B. I  7 .

I �
x. f �
 2 x  dx
0

.
I

13

C.
.

D. I  20 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  2 x � dt  2dx . Đổi cận: x  0 � t  0 và x  1 � t  2 .
2
2
u t
du  dt
�
�
2
1
�
�
I �
tf  t  dt
4I  �
tf  t  �
f  t  dt
�
�
�
�0  �
dv  f �
t  dt
v  f  t


40
�
�
0
Vậy
. Đặt
, khi đó
2

 2 f  2  �
f  x  dx
0

Câu 3.

 32  4  28 � I  7 .

[2D3-2.3-3]

(GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)
Tính
tích
phân
2
ae  b
a
e 1
I  �x ln  x  1 dx
c , trong đó a, b, c �� và b là phân số

0
ta được kết quả có dạng
2
tối giản. Tính T  a  2b  3c .
A. 17 .
B. 10 .
C. 17 .
D. 18 .
Lời giải
Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình
Chọn C
e 1

Xét

I  �x ln  x  1 dx
0


1
�
du 
dx
�
�
x 1
�
u  ln  x  1
�
x2 1

�
�
v

dv  xdx
2
Đặt �
, khi đó ta chọn được �
.
e 1

Suy ra


I  �x ln  x  1 dx 
0

x2  1
ln  x  1
2

e 1
0

e 1

�
0

x 1

e 2  2e x 2  2 x
dx 

2
2
4

e 1
0

e 2  2e e 2  4e  3 e 2  3


2
4
4 .

T  a 2  2b  3c  12  2  3  3.4  17
a

1,
b


3,
c

4
Do đó
. Vậy ta có

.

3

Câu 4.

[2D3-2.3-3] (Chun Lê Q Đơn Điện Biên Lần2) Biết
a , b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức

T  a2  b ?
A. T  9 .

B. T  13 .

x
3
I  � 2 dx 
  ln b
a
0 cos x

C. T  7 .

, với

D. T  11 .

Lờigiải
Tácgiả:TrầnĐứcKhải; Fb: facebook.com/duckhai93
Chọn D


3

x
I  � 2 dx
0 cos x

Ta giải:
.
u=x
�
�
du = dx
�
�
�
��
�
d
x
�
�
v = tan x
dv =
�
�
2
�
cos
x

Đặt
.
p
3
0

I = x tan x -

p
3

�tan xdx = x tan x

p
3
0

p
3

d ( cos x)
p
+�
3
=
x
tan
x
+
ln

cos
x
(
)
cos x
0
0

0
Suy ra:
�
p
p
p�
3
3
=�
.tan + ln cos �
- ( 0.tan 0 + ln cos 0 ) =
p - ln 2 =
p - ln b
�
�
�
�
3
3�
3
a
�3

a =3
�
��
� a 2 + b = 11
�
�
b=2
�
Câu 5.

[2D3-2.3-3]

(Chuyên

Hùng

Vương

Gia

2

A�
 x  1 f �
 x  dx  9
0

A. I  12 .

Lai)

Cho

hàm

số

f  x

thỏa

mãn

2

f  2   f  0  3

và
B. I  12 .

I �
f  x  dx

0
. Tính
C. I  6 .
Lời giải

D. I  6 .

Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn C


Đặt

u  x 1
du  d x
�
�
��
�
dv  f �
 x  dx �v  f  x 
�

.

2

Ta có:

A�
 x  1 f �
 x  dx   x  1 f  x 
0

2
2 2

�
f  x  dx  f  2   f  0   �
f  x  dx
0 0
0

.

2

f  2  f  0  3
Với A  9 và
nên

I �
f  x  dx  6
0

.


3

Câu 6.

x
3
I  � 2 dx 
  ln b
cos x

a
0

[2D3-2.3-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết
a 2  b bằng
A. 11 .
B. 7 .
C. 13 .
Lời giải

. Khi đó, giá trị của

D. 9 .
Tác giả:Vũ Thị Loan ; Fb: Loan Vu

Chọn A
ux
�
du  dx
�
�
��
1
�
v  tan x
dv 
dx �
�
cos 2 x
Đặt �


3
0


3

I  x tan x  �
tan xdx 
0



Câu 7.

 3
 ln cos x
3


3
0




3


3


sin xdx  3
d(cos x)
. 3�

�
3
cos x
3
cos x
0
0

 3
1
 3
 ln  ln1 
 ln 2
� a  3; b  2 . Vậy a 2  b  11 .
3
2
3

[2D3-2.3-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương a của phương trình
a

 2 x  1 ln xdx   a
�
1

A.

 1;3 .

2



 a ln a  9
thuộc khoảng nào sau đây?
 3;5 .
 5;7  .
B.
C.
Lời giải

D.

 7;10  .

Tác giả: lê huệ; Fb: lê huệ
Chọn C
Đặt u  ln x và

dv   2 x  1 dx

, ta có

a

Khi đó, đặt



du 



1
dx
2
x
và v  x  x .
a



I �
 2 x  1 ln xdx  x  x ln x 1  �x 2  x
1

2

a

1

 1x dx

a

�x 2
�

a

a
ln
a


 a  a ln a  �
 x  1 dx 
�  x�
�2
�
1
1



2



a

2

�a 2 1
�
�a 2
1�
  a 2  a  ln a  �   a  1�  a 2  a  ln a  �  a  �
2�
�2 2
�
�2
.

.


Theo giả thiết:

�
a  1 3 2
a2
1
2
�

a


9
�
a


2
a

17

0
�
�
2
2
I   a 2  a  ln a  9
a  1 3 2
�

.

Do a  0 nên a  1  3 2 .
Câu 8.

[2D3-2.3-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng
e 2 x cos 3xdx  e 2 x  a cos 3 x  b sin 3 x   c
�
, trong đó a , b , c là các hằng số, khi đó tổng a  b
có giá trị là
5
1
5
1



A. 13 .
B. 13 .
C. 13 .
D. 13 .
Lời giải
Tác giả: Cao Hữu Trường ; Fb: Cao Hữu Trường
Chọn C
�
du  2e2 x dx
�
u  e2 x
�
�� 1
�
dv  cos 3xdx
v  sin 3 x
�
�
3
�
Đặt
.
1
2 2x
2x
 e 2 x sin 3 x  �
e sin 3 x
e
cos
3

x
d
x
3
3
Ta có �
.

�
du  2e 2 x dx
�
u  e2 x
�
��
�
1
dv  sin 3xdx
v   cos 3x
�
�
3
�
Đặt
1

e cos 3xdx  3 e
Ta có �
2x

�

2x

2
4 2x
sin 3 x  e2 x cos 3 x  �
e cos 3 xdx
9
9

13 2 x
1
2
e cos 3 xdx  e 2 x sin 3 x  e 2 x cos 3 x  C1
�
9
3
9

3
�2
�
��
e 2 x cos 3 xdx  e 2 x � cos 3 x  sin 3 x � C
13
13
�
� .

Suy ra

Vậy

a

2
3
b
13 và
13 .

ab 

5
13 .

Cách khác:
Ta có

�e2 x cos 3xdx � �
e 2 x a cos 3x  b sin 3x   c �
�
�
�
� � 

� e 2 x cos 3x  2e 2 x  a cos 3x  b sin 3x   e 2 x  3a sin 3x  3b cos 3 x 
� e 2 x cos 3 x  e 2 x �
 2a  3b  cos 3x   3a  2b  sin 3 x �
�
�

� 2
a
�
2a  3b  1
�
� 13
��
�
3a  2b  0
3
�
�
b
�
13 .
Đồng nhất biểu thức ta có


Vậy
Câu 9.

ab 

5
13 .

f ( x)

[2D3-2.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số

xác định và liên tục trên �. Gọi

x
y=
x + f 2 ( x)

g ( x)

là một nguyên hàm của hàm số
2
x2
�x + f 2 ( x) dx
2 g ( 2) - g ( 1) = 2
. Tích phân 1
bằng
1,5
A.
.
B. 1 .
C. 3 .

2

. Biết rằng

�g ( x) dx =1
1

và

D. 2 .

Lời giải
Tácgiả:Kim Liên; Fb: Kim Liên
Chọn B
Vì

y=

g ( x)

Đặt

là một nguyên hàm của hàm số
2
2
x2
I =�
dx � I = �xg �
( x) dx
x + f 2 ( x)
1
1

Đặt

�
u=x
du = dx

�
�
��
�
�
�
dv = g �
v = g ( x)
( x) dx �
�
�

Khi đó

2
I = xg ( x ) 1

x
x + f 2 ( x)

g�
( x) =
nên

x
x + f 2 ( x)

.

.

.

2

�g ( x) dx = 2 g ( 2) -

g ( 1) - 1 = 1

1

.

Câu 10. [2D3-2.3-3] (CHUYÊN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số
1

y  f  x

f  0   f  1  1
với
. Biết rằng
2019
2019
biểu thức a  b
bằng
2018
A. 2  1 .
B. 2 .

e �

d x  ae  b
 x �
�f  x   f �
�
�
x

0

, a , b ��. Giá trị của

2018
D. 2  1 .

C. 0 .
Lời giải

Tác giả: Hải Thương; Fb: Hải Thương
Chọn C
Cách 1:
1

Ta có

1

�
1
�
ex �

dx  �
ex f  x  �
ex f  x  �
 x �
�f  x   f �
�
�
�
�dx  �
�
�0  e. f  1  f  0   e  1
0

0

.

1

e �
dx  ae  b
 x �
�f  x   f �
�
�
x

Theo đề bài

0

a 2019  b 2019  12019   1
Do đó
Cách 2:
1

2019

0

1

, a , b �� suy ra a  1 , b  1 .

.
1

e �
dx  �
e f  x  dx  �
e f�
 x �
 x  dx
�f  x   f �
�
�
x

x

x

0
0
Ta có 0
u  f  x  dv  e x d x
du  f �
 x  dx , v  e x .
Đặt
,
; ta có

Khi đó,

.

1

1

1

1

0

0

0

0

1
1
e x f  x  dx  �
ex f  x  �
ex f �
e x f  x  dx  �
ex f �
ex f  x �
 x  dx � �
 x  dx  �
�
�
�0  �
�
�0

1

1
��
ex �
dx  �
ex f  x  �
 x �
�f  x   f �
�
�
�0  e. f  1  f  0   e  1

0

.


1

e �
dx  ae  b
 x �
�f  x   f �
�
�
x

Theo đề bài

0

a 2019  b 2019  12019   1

Do đó

2019

0

, a , b �� suy ra a  1 , b  1 .

.

Câu 11. [2D3-2.3-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho
1





I �
x  x 2  15 dx  a  b ln 3  c ln 5
0

5
B. 2 .

A. 1.

với a, b, c ��. Tính tổng a  b  c .
1
1
C. 3 .
D. 3 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.
Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My.

Chọn B

� �
�

x
�
1
�
�dx
u  x  x 2  15 �du  �
� � � x 2  15 �
�
dv  dx
�
�
vx
�
Đặt
.
1
1
�
�
x
I  x x  x 2  15  �
x�
1
dx
�
2
0
x

15

0 �
�
Ta có:
1
�
15 �
2
 5 �
dx
�x  x  15  2
�
x  15 �
0�
1
1
15
 5 �
x  x 2  15 dx  �
dx  5  I  J
x 2  15
0
0
.







Suy ra:



I
1

5 J

2 2.
15



J �
dx  15ln x  x 2  15
2
x  15
0
Tính
 15ln 5  15ln 15
15
15
 15 ln 5  ln 3  ln 5
2
2
15
15
  ln 3  ln 5
2

2
.
5 15
15
I   ln 3  ln 5
2 4
4
Vậy
.
5
15
15
a  ;b   ; c 
2
4
4 .
Do đó
5
a bc 
2.
Vậy



1
0

12

1 �x  1x

a dc
�
1

x

e
dx

e
�
�
�
x�
b
1 �

Câu 12. [2D3-2.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Biết 12
a c
,
các số nguyên dương và các phân số b d là tối giản. Tính bc  ad .
A. 12.
B. 1.
C. 24.

trong đó a, b, c, d là

D. 64.

Lời giải
Tác giả:Đặng Văn Long ; Fb:Đặng Long
Chọn C

I
Ta có:

12

1
� � 1 � �x  x
x
1


1
e
�
� � 2 � � dx 
1 �� x � �

12

12

12

12

12

1
1
x
� 1 �x  x
x
x
1

e
dx

e
dx
� 2�
�
�
x
�
�
1
1

.

ux
�
�du  dx
�
�

1
�
x

� � 1 � x
� x 1
dv

1

e
dx
x
�
�
2
�
�
�v  e
x �
Đặt: � �
.
12

Khi đó:
12 

 12e

12

12

12

1
12

1
1
1
x
x
� 1 �x  x
x
I�
x�
1 2 �
e dx  �
e dx  x.e x
x
�
�
1
1
12
1
12



12

x

1
x

12

x

1
x

�
e dx  �
e dx
1
12

1
12

1 12121 143 145
e

e 12
12
12

.

Vậy : a  143; b  12; c  145; d  12. Dó đó: bc  ad  12.145  143.12  24 .

y = f ( x)
 0;1
Câu 13. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1
1
1
9
x
3
2
�
f
x
d
x

f
x
cos
d
x

f  x  dx





�
�
�
f  0  0
2
2
4
0
0
0
và thỏa mãn
Biết
và
. Tích phân
bằng
6
2
4
1
A.  .
B.  .
C.  .
D.  .
Lời giải
Chọn A
1
1
1


2

2

3
f
(
x
)
sin
xdx


f
(
x
).cos
x

f '( x).cos xdx 
�
�
2

2 0  0
2
2
Ta có: 0
1

1
1
1
 2


2
(
f
(
x
)

3sin
x
)
dx

f
(
x
)
dx

6
f
(
x
)sin
xdx


9
sin 2 xdx  0
�
�
�
�
2
2
2
0
0
0
0
f ( x)  3sin

1
1


6
x��
f  x  dx  �
3sin xdx 
2
2

0
0

Từ đây ta suy ra
PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN CÂU 42

.

 0;1 và
Câu 14. [2D3-2.3-3] (Đoàn Thượng) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
1
1
1
1

2
�
f ( x)dx 
f ( x)cos( x) dx 
f ( x)dx
�
�
2 �
2
f (0)  f (1)  0 . Biết 0
0
0
,
. Tính
.
3
2
1

A.  .
B. 2 .
C. 
D. 
Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb: Hoàng Điệp Phạm.
Chọn C
1

I1  �
f�
( x) cos ( x)dx 
2
0
Ta có
.
( x)dx chọn v  f ( x) .
Đặt u  cos( x) � du   sin( x) , dv  f �


1

1

1

0

0


.
2

� I1  f ( x )cos ( x)|  �
 f ( x)sin( x)dx   f (1)  f (0)   �
f ( x)sin( x) dx 
0

1

��
f ( x)sin( x)dx 
0

1
2

.
1
1
1
I2  �
f 2 ( x)dx  � I1  I 2 � �
f ( x)sin( x) dx  �
f 2 ( x)dx
2
0
0
0

1

Ta có

.

1

2
2
�
��
�f ( x)  sin   x  �
� 0
�f ( x)  f ( x) sin( x) �
�dx  0 � f ( x)  f ( x)sin( x)  0 � f ( x) �
0

� f ( x )  0 hoặc f ( x )  sin   x   0 . Vì I1 �0 và I 2 �0 nên f ( x )  0 loại.

� f ( x )  sin   x   0 � f ( x)  sin   x 
1

1

0

0

��

f ( x) dx  �
sin( x)dx  

.

cos( x) 1 2
|0  


.

Câu 15. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số
1

.

�
 x �
�f �
�dx  7
f  1  0 �
thỏa mãn
, 0
và
7
A. 5 .
B. 1 .
2

f  x

1

x 2 f  x  dx 
�
0

1
3

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1

1

. Tích phân

7
C. 4 .
Lời giải

f  x  dx
�
0

bằng

D. 4 .

Chọn A

Nhận xét
- Ý tưởng sáng tác bài toán giống câu 50 trong đề minh họa của BGD năm 2018. Vì thầy
Nguyễn Việt Hải phân tích q hay nên tơi trích dẫn lại ngun văn nhận xét và ý tưởng đó
1

Từ giả thiết:

x 2 f  x  dx 
�
0

1

1
��
3 x 2 f  x  dx  1
3
0

.

1

Tính:

I �
3x 2 f  x  dx
0

.

�
u  f  x
�
du  f �
 x  dx
�
�
�
�
�
dv  3x 2 dx �
v  x3
Đặt: �
.
Ta có:
1

1

1

1

0

0

0

I �
3x 2 f  x  dx  x 3 f  x   �
x3. f �
x3 . f �
x3 . f �
 x  dx  1. f  1  0. f  0   �
 x  dx  �
 x  dx
0
1

0

Mà:

1

1

0

0

3x 2 f  x  dx  1 � 1  �
x3 . f �
 x  dx
�

.


1

1

1

1

��
x .f �
x .f �
7x . f �
�
 x  dx  1 � 7 �
 x  dx  7 � �
 x  dx  �
 x �
�f �
�dx
3

3

0

0

1

�
 x �
�f �
�dx  7
�

2

3

0

0

, (theo giả thiết:

2

0

1



).



1

��
7x . f �
f�
7 x3 + f �
dx  0
 x + �
 x �
 x �
 x �
�f �
� dx  0 � �
�
�
0

2

3

0

7 4
3 � f  x  
x C
�
�
� 7 x + f  x   0 � f  x   7 x
4

.
3

Với

7 4
7
f  1  0 �  4 .1  C  0 � C  4

.

7
7
f  x    x4 
4
4.
Khi đó:
1

5
� 7 4 7 �   7 �x  x � 7
f
x
d
x


x

d

x
�
�
�
�
�  �
4 �5
4
4�
�0 5 .
0�
Vậy: 0
1

1



PHÂN TÍCH
1

1

1

1

x3
x3 1
x3

1 3
x
f
(
x
)d
x

f
x
d

f
(
x
)
|

df ( x )   �
x . f '( x)dx


0
�
�
�
3
3
3
30

0
0
0
2



f '(x)
Từ đây, chúng ta quan sát giả thiết bài toán: Ta thấy xuất hiện 


x3. f '(x)

2

và

2

�f '(x)  ax3 �
�, như vậy số a  ? tương ứng với bài toán?
Nghĩ ngay đến hằng đẳng thức �
1

+

 f '(x)
�

2

dx  7

0

1

2ax . f '(x)dx  2a
�
3

+

0

1

+





2

3
�ax dx 
0

a2

7
1

2
a2
3
�
�
f
'(
x
)

ax
dx

7

2
a

 0� a 7
�
�
�
7
0
Do đó số a chọn tương ứng là
.

7x4 7
f '(x)  7x � f (x) 

4
4.
. Suy ra
3



Vậy đáp chọn: A


NHẬN XÉT:


Vì đây là trắc nghiệm chỉ cần ĐS đúng do đó ta sử dụng kỷ thuật đồng nhất suy ra
đáp số dễ dàng.


1

 f '(x)
�

1

2

dx  7

 7x  f '(x)dx  7
�
3

và

. Vì trắc nghiệm nên đồng nhất hai biểu thức dưới dấu
7x4 7
f '(x)  7x3 � f (x) 
 �A
4
4
tích phân. Suy ra
.
0



0

Hướng tiếp cận khác theo con đường BĐT.
1

1

ff(1)  0, �
 '(x) dx  7
2

1

x f (x)dx 
�
3
2

và 0
.
+ Ta nghĩ đến đánh giá bằng BĐT: Thật vậy sử dụng kiến thức dấu tam thức bậc hai. Chúng ta
có kết quả BĐT Cauchy – Schawz
+ Quan sát giả thiêt bài toán:

b

0

b

b

b

�
t2 �
f 2  x dx  2t�
f  x g x dx  �
g2  x dx  �
t. f  x  g x �
�

�dx �0, t ��
a
a
a
a
.
Suy ra: BĐT Cauchy – Schawz
2

2

b
b
�
� b
2
2
f
x
g
x
dx
�
f
x
dx
.
g x dx
    � �  �
�

�
a
a
�
� a
Do đó ta có hướng giải bài tốn trên:
1
1
1 3
1
1
x3
x3 1
x
1 3
2
 x f (x)dx  �
f  x d  f (x) |0  � df (x)   �
x . f '(x)dx
3 �
3
3
3
30
0
0
0
.
2

Ta suy ra:

1
� 11 3 2
2
1 �1 3
1
� �
x f ' x dx�� �
x dx�
f ' x  dx 

9 �3 0
9
� 90

 

f ' x  k.x

.

3

Tương đương


Ý TƯỞNG SÁNG TẠO ĐỀ
a

Tạo hằng tích phân có dạng đẳng thức:

 A  B
�

a

2

dx  0
Hoặc

0

a

Chọn a, A, B thích hợp tương ứng ta có bài tốn.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ

 A  B  C
�

0

a
� 1;0 
C. b
.

B. a  b  4 .

Lời giải.
Chọn C
Đặt

x  t � x  t 2 � dx  2tdt .
x

t

0
0

2



…

a

a

a

0

0

0 �
A dx  �
2A.Bdx  �
B2dx
 A  B dx  �
2

Câu 16. [2D3-2.3-3] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân
 a, b �� , Mệnh đề nào sau đây đúng?
2

dx  0

0

2

0

I

a
 3
A. b
.

2

2

�x .sin

x dx  a 2  b

0

D. a  b  6 .




I �
2t 2 sin tdt

Ta có:

0

.

du  4tdt
�
u  2t 2
�
��
�
v   cos t
dv  sin tdt �
Đặt �
.

Suy ra

Đặt





I  2t cos t  �
4t cos tdt
2

0

0

u1  4t
du1  4dt
�
�
��
�
dv1  cos tdt �
v1  sin t
�


.

.




I  2t cos t  4t sin t 0  �
4sin tdt
2

0

Vậy

Do đó a  2; b  8

0

�

 2   2   4 cos t 0  2 2  8
.


a
� 1; 0 
b
.

Câu 17. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số
1

�
 x �
�f �
�dx  36
f  1  4 �
0
thỏa mãn
,
và
3
5
A. 6 .
B. 2 .
2

f  x

1

x. f  x  dx 
�
0

1
5

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 0;1

1

. Tích phân

f  x  dx
�
0

bằng

2
D. 3 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn B
1

Từ giả thiết:

x. f  x  dx 
�
0

1

1
��

5 x. f  x  dx  1
5
0

.

1

I �
5 x. f  x  dx

Tính:

0

.

�
du  f �
 x  dx
�
u  f  x
�
�� 5 2
�
dv  5 xdx �
v x
�
� 2
Đặt:

.
1

Ta có:

I �
5 x. f  x  dx 
0

1

5 2
51 2
x . f  x  �
x .f �
 x  dx
2
2
0
0

1

1

5
5 2
5 2
 . f  1  �
x .f �

x .f �
 x  dx  10  �
 x  dx
2
20
20
1

Mà:

I �
5 x. f  x  dx  1 � 1  10 
0

1

, (vì

f  1  4

)

1

5 2
18
x .f �
x2 . f �
 x  dx � �
 x  dx 

�
20
5
0

1

1

1

0

0

0

� 10�
x2. f �
x2 . f �
�
 x  dx  36 � 10�
 x  dx  �
 x �
�f �
�dx

1

2

, (theo giả thiết:

�
 x �
�f �
�dx  36
�
0

2

)


1

1

2
�
�
��
10 x 2 . f �
x  �
f�
x �
dx  0 � �
f�
10 x 2  f �



 x �
 x �
�
�
�
�dx  0
�
�
0
0

10 x 3
�
f
x

C


� 10 x  f �
 x  0 � f �
 x   10 x
3
2

2

10.1

2
f  1  4 � 4  3  C � C  3
Với
.

Khi đó:

f  x 

10 x 3 2

3
3.
1

4
�
10 x 3 2 � �5 x 2 � 3

 x�
f
x
d
x


d
x



�
�
�
�
�
3 �0 2
3
3 � �6
�
0
0
Vậy:
.

1

1

Câu 18. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn
2
2
2
2
1
2
�

�
x f  x  dx 
f  x  dx
�f  x  �
�dx  4
�
�
f  2  3 �
3
0
0
0
thỏa mãn
,
và
. Tích phân
bằng
297
562
2
266
A. 115 .
B. 115 .
C. 115 .
D. 115 .
Lời giải

Chọn C
2

Từ giả thiết:

x 2 f  x  dx 
�
0

2
1
��
3 x 2 f  x  dx  1
3
0

.

2

Tính:

I �
3x 2 f  x  dx
0

.

�
u  f  x
�
du  f �
 x  dx

�
�
�
�
�
dv  3x 2 dx �
v  x3
Đặt: �
.
2

2

2

0

0

I �
3 x f  x  dx  x . f  x   �
x3 . f �
x3 . f �
 x  dx  24  �
 x  dx
0
2

Ta có:

2

3

0

2

2

I �
3x f  x  dx  1 � 1  24  �
x3 . f �
 x  dx
2

Mà:

0

2

0

2

4
��
x .f �
x3 . f �

 x  dx  23 � �
 x  dx  4
23 0
0
3

�

2
2
4 2 3
�
x
.
f
x
d
x

�
f�
dx


 x �
�
�
�
�
23 0

0

1

�
 x �
�f �
�dx  4
�
2

, (theo giả thiết: 0
)
2
2�
4 3
�4 3 �
��
x . f  x  �
f�
dx  0 � �
f�
x  f�
dx  0
 x �
 x �
 x �
�
�
�

�
�
�
23
23
�
�
�
0 �
0
2

�

4 3
4
1
x  f�
 x  0 � f �
 x   x3 � f  x   x4  C
23
23
23

, (vì

f  2  3

)

 0; 2


16
53
�
3


C
�
C

f  2  3
23
23 .
Với
Khi đó:

f  x 

2

1 4 53
x 
23
23 .
2

2

�1 4 53 � �1 5 53 � 562
f  x  dx  �
dx 
x  x�
� x  �
�
23
23 � �
115
23 �0 115
�
�
0
0
Vậy
.
1

Câu 19. [2D3-2.3-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tích phân
a, b là các số nguyên dương. Tổng a  b 2 bằng
A. 8.

B. 16.

I �
 x  2  ln  x  1 dx  a ln 2 
0

C. 12.

7
b

trong đó

D. 20.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyễn
GV phản biện: Hoàng Vũ; Fb: Hoàng Vũ
Chọn D
1
�
du 
dx
�
�
x 1
�
u  ln  x  1 � �
�
x2
�
�
v

 2x
dv   x  2  dx
� 2

Đặt �
. Ta có
1

1
�x 2
�
�x 2
�1
dx
I�
 x  2  ln  x  1 dx  �2  2 x �ln  x  1  �
�  2x �
2
�
�
�x  1
0�
0
0
1

1
�x 2
�
1  x  3  x  1  3
 �  2x �
ln  x  1  �
dx
20

x 1
�2
�
0
1

1

1

1

�x 2
�
1
3
2
 �  2x �
ln  x  1   x  3  ln  x  1  4 ln 2  7
4
2
�2
�
0
0
4
0

.

a4
�
�
b4 .
Suy ra �
2
2
Vậy a  b  4  4  20 .

Câu 20. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn
1
1
1
2
1
�
�
f
x
�
d
x

5
x
.

f
x
d
x


f  x  dx
 
�  �
�
�
f  1  4 �
2
thỏa mãn
, 0
và 0
. Tích phân 0
bằng
17
15
15
17
A. 19 .
B. 4 .
C. 18 .
D. 4 .
Lời giải

Chọn D
�

du  f �
 x  dx
�
u  f  x
�
�� 1 2
�
I �
x. f  x  dx
dv  xdx
v x
�
�
� 2
0
Tính:
. Đặt:
1

 0;1


1 11 2
1 2
11 2
I  x . f  x  �
x f�
x f�
 x  dx  2  �
 x  dx

0 20
2
20

Ta có:
1

Mà:

f  1  4

).

1

1
1
1 2
x. f  x  dx   �   2  �
x f�
 x  dx
�
2
2
20
0

1

1

��
x f�
 x  dx  5
0



1

1

�
x2 f �
�
 x �
 x  dx  �
 x �
�f �
�dx  5 � �
�f �
�dx
�
0
0
0
, (theo giả thiết:
)

2

1

, (vì



2

2

1

��
x f�
f�
x2  f �
dx  0
 x  �
 x �
 x .�
 x �
�f �
� dx  0 � �
�
�
0

2

2

0

1 3
2
f
x

x C


�
�
� x  f  x  0 � f  x  x �
3
.
2

11
f  1  4 � C  3
Với
.
1
11
f  x   x3 
3
3 .
Khi đó:
1

1
�1 3 11 � �1 4 11 �1 15
f
x
d
x

dx  � x  x � 


�x  �
�
�
3
3� �
12
3 �0 4
�
0
0
Vậy
.

Câu 21. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số
2

f  2  6

thỏa mãn

A. 8 .

�
 x �
�f �
�dx  7
�
B. 6 .

có đạo hàm liên tục trên đoạn

2

2

0

f  x

và

17
x. f  x  dx 
�
2
0

2

. Tích phân

C. 7 .
Lời giải

f  x  dx
�
0

D. 5 .

Chọn A
2

Tính:

I �
x. f  x  dx
0

.

du  f �
�
 x  dx
�
u  f  x
�
�� 1 2
�
dv  xdx

v x
�
�
� 2
Đặt:
I
Ta có:

2 12 2
1 2
12 2
x . f  x  �
x f�
x f�
 x  dx  12  �
 x  dx
0 20
2
20
2

Theo giả thiết:

2

17
17
1 2
x. f  x  dx 
�  12  �

x f�
 x  dx
�
2
2
20
0

2

��
x2 f �
 x  dx  7
0

�

2

2

0

0

x2 f �
�
 x  dx  �
 x �
�f �

�dx
�
2

, (vì

f  2  6

).

bằng

 0; 2


 x f � x   ��f � x  �� dx  0
�
2

2

2

�

0

2

f�

x
 x . �
�
�

 f�
dx  0
 x �
�

2

�

0

1 3
2
2 � f  x 
x C
�
�
x

f
x

0
�
f

x

x




�
3
.
Với

f  2  6 �

Khi đó:

f  x 

10
3 .

1 3 10
x 
3
3 .

2

Vậy

C

2

�1 3 10 � �1 4 10 �2
f
x
d
x

dx  � x  x �  8


�x  �
�
�
3
3� �
12
3 �0
0
0�

.


4

Câu 22. [2D3-2.3-3] (Sở Phú Thọ) Cho
hữu tỉ. Giá trị của abc bằng

15
5
A. 8 .
B. 8 .

ln  sin x  2 cos x 
dx  a ln 3  b ln 2  c
cos 2 x
0

�

5
C. 4 .
Lời giải

với a, b, c là các số

17
D. 8 .

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn A

4



4


ln  sin x  2 cos x 
cos x  2sin x
4
dx  tan x ln  sin x  2 cos x  0  �
tan x.
dx
2
�
cos x
sin x  2 cos x
0
0




4
3 4�
2
3 
1
�
 ln
�
1

d
x

ln



2
dx
�
�
2
2
�
cos
x
tan
x

2


2 0 � sin x cos x  2 cos x �
2 4
0

 ln


4

3 
1
  2�
dt an x  ln 3    2 ln tan x  2

tan x  2
2 4
2 4
0


4
0

1

3
 ln 3  ln 2   2 ln
2
4
2

5
1
 3ln 3  ln 2  
2
4 .

5
1
15
a  3, b   , c   � abc  .
2
4
8

Do đó

2

Câu 23.

Cho
bằng
1
A. 4 .

ln  sin x  2 cos x 
dx  a ln 3  b ln 2  c
2
�
sin
x

4

3
B. 16 .

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc

3
C. 8 .

D.



3
8.


Câu 24. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 6. Cho hàm số

f  x

có đạo hàm liên tục trên đoạn
3
3
3
2
154
2
�
�
x . f  x  dx 
f  x  dx
�f  x  �
�dx  2
�
�
f  3  6 �
3
0
0
0

thỏa mãn
và
. Tích phân
bằng
117
13
53
153
A. 5 .
B. 20 .
C. 5 .
D. 5 .
Lời giải

 0;3

Chọn B
3

I �
x 2 . f  x  dx

Tính

0

.

du  f �
�

 x  dx
�
u  f  x
�
�
�� 1 3
�
v x
dv  x 2 dx �
�
� 3
Đặt
.

Ta có

3
3 13 3
1
1 3
I  x3 . f  x   �
x f�
x f�
 x  dx  54  �
 x  dx
0 30
3
30
3

Theo giả thiết:

x 2 . f  x  dx 
�
0

, (vì

f  3  6

).

154
154
13 3
�
 54  �
x f�
 x  dx
3
3
30

3

3

3

0

0

0

3





��
x3 f �
x3 f �
�
x3 f �
 x  dx  8 � �
 x  dx  4 �
 x �
 x  4 �
 x �
�f �
�dx � �
�f �
� dx  0
2

0

2

3

��
f�
x3  4 f �
dx  0
 x �
 x �
�
�
0

.

x3
x4
�
�
f
x

�
f
x

C





� x 4f �
 x  0
4
16
.
3

Với

15
f  3  6 � C  16

.

x 4 15
f  x  
16 16 .
Khi đó:
3

Vậy

3
�1 4 15 � �1 5 15 �3 117
f
x
d
x


dx  � x  x � 


� x  �
�
�
16
16
16 �0 20
�
�
�80
0
0

Câu 25. [2D3-2.3-3] (Chuyên Vinh Lần 3) 7. Cho hàm số
1

�
 x �
�f �
�dx  8
f  1  2 �
0
thỏa mãn
,
và
194
2


A. 285 .
B. 95 .
Chọn C

2

f  x

.
có đạo hàm liên tục trên đoạn

1

x 3 . f  x  dx  10
�
0

116
C. 57 .
Lời giải

1

. Tích phân

f  x  dx
�
0

584

D. 285 .

bằng

 0;1


1

I �
x 3 . f  x  dx

Tính:

0

.

�
du  f �
 x  dx
�
u  f  x
�
�
�� 1 4
�
v x
dv  x 3dx �
�

� 4
Đặt:
.

Ta có:

1
1 11 4
1 4
1 1 4
I  x . f  x  �
x f�
x f�
 x  dx   �
 x  dx
0 40
4
2 40
1

f  1  2

).

1

x . f  x  dx  10
x f�
 x  dx  38
�

�
�
3

Theo giả thiết:

, (vì

4

0

0

1

1

1

� 8.�
x f�
x4 f �
�
 x  dx  38.8 � 8.�
 x  dx  38.�
 x �
�f �
�dx
4

0

1

0



2

0



1

��
8x4 f �
f�
8 x 4  38 f �
dx  0
 x   38 �
 x �
 x .�
 x �
�f �
� dx  0 � �
�
�

0

2

0

4
4
4
f�
f  x    x5  C
 x    x4
�
8
x

38
f
x

0


�
�
�
19
95
.
194

f  1  2 � C  95
Với
.
Khi đó:

f  x  

4 5 194
x 
95
95 .

1

1
� 4 5 194 � � 2 6 194 �1 116
f
x
d
x

 x 
dx  �

x 
x� 
 
�
�
�

�
95
95
285
95
�
�
�
�0 57 .
0
Vậy 0

Câu 26. [2D3-2.3-3]
(PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH)
e
ln x
a
2
dx 
 b ln
c
2
�
e+1
e+1
1  1 x
với a, b, c ��. Tính a  b  c .
A. 1 .
B. 1 .
C. 3 .

D. 2 .

Biết

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng
Chọn B

1
�
du  dx
u  ln x
�
�
�
x
�
��
1
�
1
dv 
dx
�
v
�  1 x 2
� 1 x .
Đặt �
e

e
ln x e
1
dx  
�
dx
2
�
1 x 1 1 x  1 x
1  1 x

ln x


=

e


=

1
1 �
�1
�
dx
�
�
e +1 1 �x x  1 � .

e
1
1
  ln x  ln  x  1 

 1  ln  e  1  ln1  ln 2
1 = e +1
e +1
.



=

1
2
a
2
 ln
1
 b ln
c
e +1
e 1
� a  1; b  1; c  1 � a  b  c  1 .
e+1
= e+1
ln  s in x  cos x 
a


dx  ln 2 
2
cos x
b
c
0


4

Câu 27. [2D3-2.3-3] (HSG Bắc Ninh) Biết
bc
nguyên. Khi đó, a bằng
8
A. 6 .
B. 3 .

�

C. 6 .

với a, b, c là các số

D.



8
3.

Lời giải
Tác giả:Trần Kim Nhung; Fb:Nhung tran thi kim
Chọn D
�
u  ln  sin x  cos x 
cos x  s in x
�
du 
dx
�
�
��
s in x  cos x
�
1
dv 
dx
�
�
2
v  tan x
cos
x
�
�
Ta có:
.

4

Khi đó:

ln  s in x  cos x 
I�
dx  tan x.ln  sin x  cos x 
cos 2 x
0

4

Đặt

J �
tan x.
0


4


4

0


4

�
tan x.
0

cos x  sin x
dx
sin x  cos x

.

cos x  sin x
tan x  tan x
dx  �
dx
sin x  cos x
tan
x

1
0
2

dt

x  �t 1
2
1  t . Với x  0 � t  0 và
4
Đặt
2
1
1
1

1
 t  1  1  t
t  t2
dt
dt

J �
dt=
dt=

  ln 2
2
�
�
�
2
2
1 t
t 1 4
0  t  1 . t  1
0  1 t  . 1 t
0
0
Ta có :
.

3

bc
8

I  ln 2   ln 2  ln 2  �

4
2
4
a
3.
Vậy
tan x  t � dt   1  tan 2 x  dx � dx 



Câu 28. [2D3-2.3-3]





(Nguyễn





Du



Dak-Lak

2019)

Cho

tích

phân


4

sin 2 x  x sin x
 2 1
2 1
dx 
 ln
 c ln 2
2
cos
x
a
b
2

1
0
(với a, b, c là các số nguyên). Khi đó a  b  c
bằng
A. 2 .
B. 4 .

C. 1 .
D. 1 .
Lời giải

�

Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên
Chọn C

4

Ta có:

4


4


4

sin 2 x  x sin x
2sin x
x sin x
dx  �
dx  � 2 dx
2
cos x
cos x
cos x

0
0
0

�

1
 2 � d  cos x   I  2 ln cos x
cos x
0

0

4

 I  2 ln

2
 I  ln 2  I
2

.



4

Tính

x sin x

I  � 2 dx
cos x
0

.

u  x và

Đặt:


4

Khi đó:

dv 

sin x
1
dx
v
2
cos x , ta có du  dx và
cos x .


4





4
4
x
1

cos x

1
I
 � dx 
2�
d
x

2

d  sin x 
2
2
�
cos x 0 0 cos x
4
1

sin
x
4
sin

x

1
0
0


1 sin x  1

2  ln
4
2 sin x  1


4
0

1
1

1
2

2  ln
1

1
2 1
4
2

1 
2  ln
4
2
2
2 1 .


4

sin 2 x  x sin x

1
2 1
d
x

ln
2

I


2

ln
 ln 2
2
�
cos

x
4
2
2

1
Vậy 0
.
a  4
�
�
b2
�
�
c  1 � a  b  c  1
Suy ra: �
.

1
2 x 2 là một
Câu 29. [2D3-2.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho
e
�
eln x �
f ( x)
1
�
I �
dx
�f ( x) ln x 

�
f  e  2
x �
1�
2e , tính tích phân
nguyên hàm của hàm số x . Biết
.
1
1
1
I e
I e+
I  e
2.
2.
2
A.
B.
C. I  e .
D.
.
F ( x) 

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Thom Tran
Chọn A
e

�
elnx

�
I �
f
x
.ln
x



�
x
1�
Xét

e
e lnx
�
e
d
x
�

f
x
.ln
x
.d
x

dx



�
�
�
x
�
1
1

e
e
e
f  x
�
f
x
.ln
x

.d
x

e lnx .d  ln x 
�
� 
�1 �x
�
1
1

e

1
1
1
�
�
 �f  x  .ln x  2  elnx �  f  e   2  e +  1  e  1
2
2x
2e
�
�1
2.
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hình thang cong dựng trên trục hoành.

�y  f ( x)
b
�
D : �y  0
�S �
f  x  .dx
a
�x  a, x  b
�

Hình vẽ

a ; b
( f ( x) là hàm số liên tục trên 
).
2. Miền D tạo bởi hai đường cong

f  x

và

g  x

.

�y  f ( x )
b
�
D : �y  g ( x ) � S D  �
f  x   g  x  .dx
a
�x  a, x  b
�
Hình vẽ: