Dang 4. Tích phân của hàm ẩn. Tích phân đặc biệt(TH)

Câu 1.

[2D3-2.4-2] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho
7

7

3

3

f ( x)

liên tục trên

¡

thỏa mãn

f ( x ) = f ( 10 − x ) và

∫ f ( x ) dx = 4 . Tính I = ∫ xf ( x ) dx .
A.

80 .

B.

60 .

C. 40 .

D. 20 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy ; Fb: Ngọc Duy

Chọn D

t = 10 − x . Khi đó dt = − dx .
Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 7 .
x = 7⇒ t = 3.
Đặt

3

Khi đó

7

7

I = − ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − x ) f ( 10 − x ) dx
7

3

3

7

7

7

7

3

3

3

3

= ∫ ( 10 − x ) f ( x ) dx = 10∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx = 10∫ f ( x ) dx − I

.

7

Suy ra
Câu 2.

2 I = 10∫ f ( x ) dx = 10.4 = 40
3

. Do đó

I = 20 .

[2D3-2.4-2] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số

f ( x ) liên tục trên ¡ và đồng thời

5

10

5

10

0

3

3

0

f ( x ) dx =7 ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ f ( x ) dx =1
f ( x ) dx
∫
∫
thỏa mãn
;
;
. Tính giá trị của
.
A.

6

B. 10

C.

8

D.

9

Lời giải
Tác giả: Vũ Quốc Triệu; Fb: Vũ Quốc Triệu
Chọn D

Ta có :

Vậy
Câu 3.

5

3

5

3

5

5

0

0

3

0

0

3

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 7 − 1= 6.

10

3

10

0

0

3

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 6 +3= 9.
[2D3-2.4-2] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số

2

f ( x)

liên tục trên

2

∫ ( f ( x ) + 3x ) dx = 10 . Tính ∫ f ( x ) dx .
2

0

A.

0

2.

B.

−2.

C. 18 .
Lời giải
Fb: Hương Liễu Lương

D.

− 18 .

¡

và


Chọn A
Ta có:
2

∫(
0

2

∫ f ( x ) dx = 10 − x

⇔

3

0

Câu 4.

2

f ( x ) + 3x 2 ) dx = 10 ⇔
2
0

2

f ( x ) dx + ∫ 3x 2dx = 10 ⇔

∫

0

0

2

∫

0

2

f ( x ) dx = 10 − ∫ 3x 2dx
0

2

⇔

∫ f ( x ) dx = 10 − 8 = 2 .
0

[2D3-2.4-2] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Biết

9

4

0

1

f ( x)

là hàm liên tục trên

¡

và

∫ f ( x ) dx = 9 . Khi đó giá trị của ∫ f ( 3x − 3) dx là
A.

0.

B.

24 .

C.

27 .

D.

3.

Lời giải
Tác giả: Biện Tấn Nhất Huy; Fb: Nhất Huy
Chọn D
4

Xét

I = ∫ f ( 3 x − 3 ) dx

Đặt

t = 3x − 3 ⇒ dt = 3dx .

1

.

9
9
1
1
1
x = 4 ⇒ t = 9
I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = .9 = 3

3
30

3
Đổi cận:  x = 1 ⇒ t = 0 . Vậy
.
0

3

Câu 5.

∫ f ( x ) dx = − 4

[2D3-2.4-2] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho
3

1

1

−2

−2

và

∫ f ( x ) dx = 2 . Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng
A.

−6 .

B.

6.

C.

−8.

D.

−2 .

Lời giải
Tác giả: Đoàn Khắc Trung Ninh; Fb: Đoàn Khắc Trung Ninh
Chọn A
3

3

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

Ta có

Vậy

1

−2

−2

1

1

3

3

−2

−2

1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = − 4 − 2 = − 6 .
2

Câu 6.

[2D3-2.4-2] (SỞ LÀO CAI 2019) Cho

4

∫ f ( x)dx = 1 , ∫ f (t )dt = − 4

−2

−2

4

. Tính

∫ f ( y)dy .
2


A.

I = 5.

B.

I = 3.

C. I
Lời giải

= −3.

D.

I = −5.

Tác giả:Trần Thủy ; Fb:Trần Thủy
Chọn D

Ta có

2

2

−2

−2

∫ f ( x)dx = 1 ⇔ ∫ f ( y)dy = 1 .

4

4

−2

−2

∫ f (t )dt = − 4 ⇔ ∫ f ( y)dy = − 4 .
4

2

2

−2

−2

∫ f ( y)dy = ∫ f ( y)dy − ∫ f ( y)dy = − 4 − 1 = − 5.

Khi đó

Câu 7.

4

[2D3-2.4-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho

3

3

1

1

∫ f ( x)dx = 3 và ∫ g( x)dx = 4 .

3

Giá trị

∫ [ 4 f ( x) + g( x)] dx bằng

A. 16 .

B. 11 .

1

C. 19 .

D.

7.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vĩnh Thái ; Fb:Thaiphucphat.
Chọn A
3

3

3

1

1

1

∫ [ 4 f ( x) + g( x)] dx = 4∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx = 4.3 + 4 = 16 .
Câu 8.

Câu 17
đạo hàm
A.

3.

[2D1-2.1-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số

f ( x)

có

f '( x) = x( x − 1)2 ( x − 2)3 , ∀ x ∈ R . Số điểm cực trị của hàm đã cho là
B. 2 .
C. 5 .
D. 1 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Tuấn ; Fb: Nguyễn Thanh Tuấn

Chọn B

x = 0
f '( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = 2 .
Ta thấy:
Trong đó
Và

x = 0, x = 2 là các nghiệm bội lẻ, f '( x)

x = 1 là nghiệm bội chẵn, f '( x)

Dựa vào đó ta có bảng xét dấu của

đổi đấu khi qua các điểm này.

không đổi đấu khi qua điểm này.

f '( x)

như sau:


f '( x)

Ta thấy
Câu 9.

Câu 18

đổi dấu hai lần tại

x= 0, x= 2

nên hàm số có 2 điểm cực trị.

[1D3-3.5-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho cấp số cộng

1
1
u1 = , d = −
có
4
4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
9
3

5
S5 = −
S5 = −
S5 = −
A.
B.
C.
4.
4.
4.

D.

S5 = −

( un )

15
4.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Tuấn ; Fb: Nguyễn Thanh Tuấn
Chọn C

Ta có cơng thức:

Vậy

S5 = 5u1 +

Sn = nu1 +

n(n − 1)
d
.
2

5.4
1
5
 1
.d = 5. + 10.  − ÷ = −
2
4
4.
 4

Câu 10. [2D3-2.4-2] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Biết

∫
A.

2 x + 1dx = a ( 2 x + 1) + C . Tính P = a.b .
1
3
P=
P=−
B.
2.
2.

a, b

là các số thực thỏa mãn

b

C.

P=−

1
2.

D.

P=

3
2.

Lời giải
Tác giả: Biện Tấn Nhất Huy; Fb: Nhất Huy
Chọn A
CÁCH 1:
Xét

I = ∫ 2 x + 1dx .

Đặt

t = 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx ⇒ tdt = dx .

1
1
I = ∫ t.t dt = ∫ t 2 dt = t 3 + C =
Suy ra
3
3
Suy ra

a=

CÁCH 2:

(

)

3

2x + 1 + C =

1
3
1 3 1
b=
P = a.b = . =
3 và
2 . Vậy

3 2 2.

3
1
2
x
+
1
(
)2 +C.
3


3

3
1
1 ( 2 x + 1) 2
1
2 x + 1 dx = ∫ ( 2 x + 1) . d ( 2 x + 1) = .
+ C = ( 2 x + 1) 2 + C
3
2
2
3
.
2
1
2

I=∫
Xét

Câu 11. [2D3-2.4-2] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số

f '( x) =

f ( x)

liên tục trên

( 0; + ∞ ) . Biết

ln x
3
f ( 1) =
x và
2 . Tính f ( 3) .

ln 2 3 − 3
B.
2 .

ln 3 + 3
A.
2 .

ln 2 3 + 3
D.
2 .

ln 3 − 3
C.
2 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan
Chọn D
3

Ta có

∫
1

3

3

3

3
ln x
ln 2 x
f ' ( x ) dx = ∫
dx ⇔ f ( x ) 1 = ∫ ln xd ( ln x ) ⇔ f ( 3) − f ( 1) =
x
2 1.
1

1

ln 2 3 3 ln 2 3 3 + ln 2 3
f ( 3) = f ( 1) +
= +
=
Như vậy, ta được:
2
2
2
2 .

f ( x)

có đạo hàm liên

∫ ( 2 x − 4 ) . f ' ( x ) dx = 4 .

Tính tích phân

Câu 12. [2D3-2.4-2] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Cho hàm số
2

tục trên đoạn

[ 0;2]

f ( 0) = 2 ,

và thỏa mãn

0

2

I = ∫ f ( x ) dx
0

A.

.

I = 2.

B.

I = −2.

C. I
Lời giải

= 6.

D.

I = −6.

Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh
Chọn A
2

( 2 x − 4 ) . f ' ( x ) dx = 4
∫
Ta có:
.
0

 u = 2 x − 4
 du = 2dx
⇒


 v = f ( x )
Đặt  dv = f ' ( x ) dx
2

Nên

∫ ( 2 x − 4 ) . f ' ( x ) dx = ( 2 x − 4 ) . f ( x )
0

Theo giả thiết ta có:

2
0

2

− 2 ∫ f ( x ) dx
0

= 4. f ( 0 ) − 2 I = 8 − 2I .

4 = 8 − 2I ⇔ 2I = 4 ⇔ I = 2 .

Câu 13. [2D3-2.4-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Giả sử hàm số

[ 0;2]

biết

2

2

0

0

∫ ƒ ( x ) dx = 8 . Tính ∫  ƒ ( 2 − x ) + 1 dx .

y = ƒ ( x)

có đạo hàm liên tục trên


A.

−9.

B.

9.

C. 10 .
Lời giải

−6.

D.

Tác giả: Trần Tân Tiến; Fb: Tân Tiến
Chọn C

t = 2 − x ⇒ dt = − dx .
Khi đó x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 2 ⇒ t = 0 .
Đặt

Suy ra

2

2

2

2

0

0

0

0

∫  ƒ ( 2 − x ) + 1 dx = ∫ ƒ ( 2 − x ) dx + ∫ dx = ∫ ƒ ( t ) dt + 2 = 10 .

Câu 14. [2D3-2.4-2] (CổLoa Hà Nội) Cho hai hàm số f và
5

5

5

1

1

1

g

liên tục trên đoạn

[ 1;5]

sao cho

∫ f (x)dx = 2 và ∫ g(t)dt = 3. Giá trị của ∫ [ 2g(u) − f (u)] dulà:

A.

4.

B.

6.

C. 2 .
Lời giải

−2.

D.

Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền ; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền
Chọn A

Ta có:

5

5

5

5

5

1

1

1

1

1

∫ [ 2g(u) − f (u)] du = 2∫ g(u)du − ∫ f (u)du = 2∫ g(x)dx − ∫ f (x)dx = 2.3− 2 = 4.

Câu 15. [2D3-2.4-2] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho

2

2

−1

−1

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = − 1. Tính

2

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx
.
−1

A.

I=

5
2.

B.

I=

17
2.

C.
Lời giải

I=

11
2.

D.

I=

7
2.

Tác giả: Nguyễn Thị Thùy Mai ; Fb: Mai Nguyen

Chọn B
2

x2
I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx =
2
Ta có:
−1

2

−1

2

2

−1

−1

+ 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx   

1
17
= 2 − + 2.2 − 3.( − 1) =
2
2 .
6

Câu 16. [2D3-2.4-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm
3

∫ f ( 2 x ) dx bằng
0

số f ( x )

liên tục trên

¡

và

∫ f ( x ) dx = 10 , thì
0


A. 30.

B. 20.

C. 10.
D. 5.
Lời giải
Tác giả: Ngọc Thanh ; Fb: Ngọc Thanh

Chọn D
3

Xét tích phân
Đổi cận:

∫ f ( 2 x ) dx . Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx .
0

x = 0⇒ t = 0; x = 3⇒ t = 6.

3

6

6

1
1
f
2
x
d
x
=
f
t
dt
=
f ( x ) dx = 5
(
)
(

)
∫
2 ∫0
2 ∫0
Do đó: 0
.
3

∫ f ( 2 x ) dx = 5 .

Vậy

0

Câu 17. [2D3-2.4-2] (Cẩm Giàng) Cho biết
A.

P = 15 .

B. P =

5

2

−1

0

∫ f ( x ) dx = 15 . Tính giá trị của P = ∫  f ( 5 − 3x ) + 7  dx .

C. P =
Lời giải

37 .

27 .

D.

P = 19 .

Fb:Xuan Thuy Delta.
Chọn D

1
⇒ dx = − dt
− 3dx
3 .

t = 5 − 3 x ⇒ dt =
Đổi cận: x = 0 thì t = 5 ; x = 2 thì t = − 1 .
Đặt

Ta có:

2

2

2

−1

0

0

0

5

P = ∫  f ( 5 − 3x ) + 7  dx = ∫ f ( 5 − 3 x ) dx + ∫ 7dx =

∫

f ( t)

5
dt
2
1
+ 7 x 0 = ∫ f ( t ) dt + 14
−3
3 −1

1
= .15 + 14 = 19
.
3
Câu 18. [2D3-2.4-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm trên

¡

đồng thời thỏa

1

mãn
A.

f ( 0 ) = f ( 1) = 5 . Tính tích phân

I = 10 .

B.

I = ∫ f ′ ( x ) .e f ( x ) dx
0

I = −5.

.

C. I = 0 .
D. I = 5 .
Lời giải

Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886

Chọn C
1

I = ∫ f ′ ( x ) .e
0

Vậy

f ( x)

1

dx = ∫ e

f ( x)

d ( f ( x) ) = e

f ( x) 1
0

=e

f ( 1)

−e

f ( 0)

= e5 − e5 = 0

0

.

I = 0.

Câu 19. [2D3-2.4-2] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số
x
2

như hình bên. Xét hàm số

F ( x ) = ∫ f ( t ) dt
4

. Giá trị

F '( 6)

bằng

y = f ( x)

có đồ thị


A.

F ' ( 6) = 1 .

B.

F ' ( 6) = 0 .

C.

F ' ( 6) = 6 .

D.

F ' ( 6) = 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phùng; Fb: Phùng Nguyễn
Chọn A
Đặt

h(t ) = ∫ f (t )dt ⇒ h '(t ) = f (t )
x
2

1  x 1  x
1
 x
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt = h  ÷ − h(4) ⇒ F '( x) = h '  ÷ = f  ÷ ⇒ F '(6) = f ( 3) = 1
2  2 2  2
2

Ta có:
 2
4
Câu 20. [2D3-2.4-2] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số
2

∀ x ∈ [ 1;2]

và có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 1;2] . Biết f ( 2) = 20 và ∫
1

y = f ( x) > 0

f ′( x)
dx = ln 2
f ( x)
. Tính

f ( 1) .
A.

20 .

B. 10 .

C.

0.

D.

− 10 .

Tác giả:Phạm Minh Tuấn; Fb:Bánh Bao Phạm
Chọn B
2

2
d ( f ( x) )
2
f ′ ( x)
dx = ∫
= ln f ( x )
1 = ln f ( 2 ) − ln f ( 1) = ln 20 − ln f ( 1) .
f ( x)
f ( x)
1

Ta có:

∫

Do đó:

ln 20 − ln f ( 1) = ln 2 ⇔ ln f ( 1) = ln10 ⇔ f ( 1) = 10 ⇒ f ( 1) = 10 vì f ( x ) > 0

1

∀ x ∈ [ 1;2] .
5

Câu 21.

∫
[2D3-2.4-2] (Chuyên Bắc Giang) Cho tích phân
số nguyên. Tính

P = abc .

1

x− 2
dx = a + b ln 2 + c ln 3
x+1
với

a, b, c

là các


A.

P = − 36 .

B.

P= 0.

C. P = − 18 .
D. P = 18 .
Lời giải
Tác giả: Ngô Quốc Tuấn; Fb: Quốc Tuấn

Chọn A
Bảng xét dấu:

5

∫

Khi đó:

1

2

5

2

5

x− 2
x− 2
x− 2
3 
3 



dx = − ∫
dx + ∫
dx = − ∫  1 −
÷dx + ∫  1 −
÷dx
x+1
x
+
1
x
+
1
x
+
1
x
+
1


1
2
1
2

5
d ( x + 1) 5
d ( x + 1)

= − ∫ d x + 3∫
+ ∫ dx − 3∫
x+1 2
x+1
1
1
2
2

2

2

2

5

5

= − x 1 + 3ln x + 1 1 + x 2 − 3ln x + 1 2 = 2 − 6ln 2 + 3ln3 .
Suy ra:

a = 2, b = − 6, c = 3 . Vậy P = − 36 .

[ 0;4]

biết

∫ f ( x ) dx=5 và ∫ f ( x ) dx=7 , f ( x )

liên

Câu 22. [2D3-2.4-2] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Cho hàm số
2

2

4

0

1

0

y = f ( x)

liên tục trên

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ f ( 2 x ) dx = 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx
A.

I=6.

B.

I = −6.

C. I
Lời giải

= − 10 .

D.

I = 10 .

Chọn A
2

Xét

J = ∫ f ( 2 x ) dx = 4

Đặt

t = 2 x ⇒ dt = 2dx

1

.

Đổi cận:

x =1⇒ t = 2
x=2⇒t =4
4

Khi đó,

Vậy

J = ∫ f ( t ) dt = 4
2

4

2

4

0

0

2

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

= 2+ 4 = 6

.

Câu 23. [2D3-2.4-2] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Cho
5

tục trên đoạn

f x dx
[ 1;5] . Tính ∫ ( ) .

3

5

3

1

1


A.

−2.

B. 12 .
C. 2 . D. − 12 .
Lời giải
Tác giả:MinhHuế ; Fb: Trai Thai Thanh

Chọn A

Ta có:

5

3

5

5

5

3

1

1

3

3

1

1

∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 5 − 7 = − 2 .

Câu 24. [2D3-2.4-2] (Kim Liên 2016-2017) Cho

f ( x)

là hàm số có đạo hàm trên

4

4

1

1

[ 1;4]

, biết

∫ f ( x ) dx = 20 và f ( 4 ) = 16 , f ( 1) = 7 . Tính I = ∫ xf ′ ( x ) dx .
A.

I = 37 .

B.

I = 47 .

C. I = 57 .
D. I = 67 .
Lời giải
Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm

Chọn A
4

Xét

I = ∫ xf ′ ( x ) dx
1

4

4

1

1

I = xf ( x ) 1 − ∫ f ( x ) dx = 4 f ( 4 ) − f ( 1) − ∫ f ( x ) dx
4

Do đó:

 u = x
⇒

, dùng phương pháp tích phân từng phần :  dv = f ′ ( x ) dx

= 4.16 − 7 − 20 = 37

 du = dx

 v = f ( x )