giải tích 12 phần 4 đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

Giải tích 12

September 14,2009
/>Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần IV : Đồ thị của hàm số - phép tịnh tiến hệ tọa độ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT

/>1. Định nghĩa : (Đồ thị của hàm số)
* Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp các điểm có tọa độ
(x , f(x) ) của mặt phẳng tọa độ.
* Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường cong có phương trình y = f(x) ( gọi tắt
là đường cong y = f(x))
2.Công thức chuyển hệ tọa độ ( bằng phép tịnh tiến )
0
x
y
0 0
( ; )I x y
Y
X
( ; )M X Y
X
Y
x
y
( ; )M x y
Cho hệ tọa độ Oxy với véc tơ đơn vị
;i j
r r
Thực hiện phép tịnh tiến theo

( )
0 0
( ; / )OI I x y mpOxy
uuur
( ; )M x y
( ; )M X Y
( )
mp Oxy
( )
mp IXY
Công thức chuyển hệ tọa độ :
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Biên tập pps: vinhbinhpro
3. Phương trình của đường cong đ/v hệ tọa độ mới :
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C) đối với hệ tọa độ Oxy.
Viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ mới IXY .
( ; )M x y
( ; )M X Y
( )
mp Oxy

( )
mp IXY
( , ) ( ) ( )M x y C y f x
∈ ⇔ =
Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

Ta có :
0 0 0 0
( , ) ( ) ( ) ( )M X Y C Y y f X x Y f X x y
∈ ⇔ + = + ⇔ = + −
0 0
( )Y f X x y
= + −
Vậy phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ mới IXY là :
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
4. Giải bài toán tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm số :
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C) đối với hệ tọa độ Oxy.
Phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ mới IXY là :
0 0
( )Y f X x y
= + −
a) Ta đi chứng minh hàm số (*) là hàm số

chẳn :
: ( ) ( )X D F X F X∀ ∈ − =
(*) : ( )Y F X
=
Lúc này đường cong (C) của hàm số nhận trục Y’IY làm trục đối xứng của đồ thị
b) Ta đi chứng minh hàm số (*) là hàm số lẻ :
: ( ) ( )X D F X F X
∀ ∈ − =−
Lúc này đường cong (C) của hàm số nhận

0 0
( ; )I x y
làm tâm đối xứng của đồ thị
Tâm đối xứng
của đồ thị
Trục đối
xứng của
đồ thị
Bài tập
Phần IV : Đồ thị của hàm số - phép tịnh tiến hệ tọa độ
Bài tập 1

Biên tập pps : vinhbinhpro
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số :
3 2
3 2 1y x x x
= − + −
có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’ = 0.
b) Chứng minh I là tâm đối xứng của đồ thị (C)
Hướng dẫn

2
) ' 3 6 2 '' 6 6 '' 0 6 6 0 1a y x x y x y x x
= − + ⇒ = − ∗ = ⇔ − = ⇔ =
( )
3 2
1 ; 3 2 1 1( ) 1; 1
I I I I I
x y xI C x Ix
⇒ = ⇒ = − + − = ∗ ⇒∈ −−
b) Thực hiện chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo
vectơ
OI
uur
ta có hệ tọa độ
mới IXY. Áp dung công thức chuyển hệ tọa độ
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

( ) ( ) ( )
3 2
( , ) ( ) 3 2 1
I I I I
M X Y C Y y X x X x X x
∗ ∈ ⇔ + = + − + + + −

( ) ( ) ( )
3 2
1 1 3 1 2 1 1Y X X X
⇔ − = + − + + + −
Thu gọn ta được:
3
Y X X
= −
3
( )Y X X X
= −
Đặt
( )
( )
( )
3 3 3
( )( ) X X X X X XY X Y X
∗ = − − − = + = − − = −−−
Vậy Y(X) là hàm số lẻ
Kết Luận : Đồ thị (C) nhận I (1 ; -1 ) làm tâm đối xứng
Bài tập 2

/>Xác định tâm đối xứng của hàm số sau :
3 2
1
x
y
x
−
=

+
Hướng dẫn :
Gọi
( , )
I I
I x y
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ theo
OI
uur
về hệ tọa độ mới IXY
I
I
x X x
y Y y
= +


= +

3 2 5
3
1 1
x
y
x x
−
= = −
+ +
Dạng khác của hàm số

( )
5 5
* ; ( ) 3 3 ( )
1 1
I I
I I
M X Y C Y y Y y Y X
X x X x
∈ ⇔ + = − ⇔ = − − =
+ + + +
( , )
I I
I x y
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
( )Y X
⇒
là hàm số lẻ
5 5
3 3( ) ( ; ,
1 1
)
I I
I I
y y
X
Y X Y X X
x X x
X
 
− − = − −⇒

 ÷
+ + + +
 
⇔− −=−
−
∀ ∀
Thu gọn phương trình ,ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 3 1 5 1 0 ;
I I I I
y X y x Xx
− − − + + = ∀+
1
3
I
I
x
y
⇒
= −


=

có vô số nghiệm
( ) ( ) ( )
2
3 0

3 1 5 1 0
I
I I I
y
y x x
− =



− − + + + =
⇒


Bài tập 3

/>Xác định trục đối xứng của hàm số sau :
2
7
2 3
8
y x x
= + −
Hướng dẫn :
Chuyển hệ tọa độ Oxy về hệ tọa độ IXY bằng phép tịnh tiến theo
OI
uur
với
( , ).
I I
I x y

Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ :
I
I
x X x
y Y y
= +


= +

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
(* ( ))
7 7
2 3 2 3
8 8
I I I I I I
Y y X x X x Y X Y Xx X x y
+ = + + + − ⇔ = + + + − −
Đồ thị hàm số có 1 trục đối xứng nên *Y(X) phải là hàm số chẳn .Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
7 7
2 3 2 3 ;
8 8
I I I I I I
X x X x y X x X x y X
⇔ + + + − − = + + + − −− ∀−
* ( ) ( ) ,Y X Y X X
− = ∀

Thu gọn phương trình trên ta có
( )
8 6 0 0 (*),
I I
x X y X
+ + = ∀
(* có vô số nghiệm)
3
8 6 0 ,
4
I I I
x x y
= −⇔ + = ⇔ ∀
Vậy trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng có
pt :
3
4
x
= −
(song song trục Oy)
Bài tập 4
Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số :
2
2 3
1
x x
y
x
+ +
=

−
nhận điểm I (1,4) làm tâm đối xứng
Hướng dẫn :
Chọn hệ tọa độ mới IXY với gốc I (1;4) bằng phép tịnh tiến theo
OI
uur
Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ
1
4
x X
y Y
= +


= +

Phương trình của (C) trong hệ tọa độ IXY là :
( ) ( )
( )
2
2
1 2 1 3
6
4 ( )*
1 1
X X
X
Y Y F X
X X
+ + + +

+
+ = ⇔ = =
+ −
( )
( )
2
2 2
6
6
( ) (
6
)
X
X X
X X X
F X F X
− +
 
+ +
• = = = − =
 ÷
− −
 
− −
( )F X
⇒
là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận I(1,4) là tâm đối xứng
Đón xem phần V: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học
sinh phần nào rèn luyện được khả năng tự học

và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment
bên dưới chiếu hình trực tuyến.
vinhbinhpro