Dang 7. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng(TH)

Câu 1.

[2H3-2.7-2] (Chuyên Bắc Giang) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
x 1 y z  2
d1 :
 
2
1
2 ,
x  2 y 1 z
d2 :


2
1 2 . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.
A. Chéo nhau.
B. Trùng nhau.
C. Song song.
D. Cắt nhau.
Lời giải
Chọn C
Tác giả: Nguyễn Ngọc Lan; Fb:Ngoclan Nguyen
ur
u   2;1; 2 
M  1;0; 2 
d1
có véc tơ chỉ phương 1
và đi qua điểm 1
.
Đường thẳng
uu

r
u2   2; 1; 2 
d2
Đường thẳng
có véc tơ chỉ phương
.
d1 // d 2
�
ur
uu
r
,  1
�
d1 �d 2
u1 cùng phương với u2 nên ta có �
.
Do
1  2 1 2


M
d
1 2 , (mệnh đề sai).
Thay tọa độ 1 vào phương trình 2 ta được: 2

M �d 2 ,  2 
Suy ra 1
.
 1 và  1 , ta có d1 // d2 .
Từ

Câu 2.

[2H3-2.7-2] (Chuyên Thái Nguyên) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
 S  : x 2  y 2  z 2  6 x  4 y  12  0 . Mặt phẳng nào sau đây cắt  S  theo một đường tròn có bán
kính r  3 ?
A. 4 x  3 y  z  4 26  0 .
B. 2 x  2 y  z  12  0 .
C. 3x  4 y  5 z  17  20 2  0 .

D. x  y  z  3  0 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.

Chọn C
Mặt cầu
R  5.

 S

2
2
2
I  3;  2; 0 
có phương trình x  y  z  6 x  4 y  12  0 có tâm
và bán kính

Ta gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h , khi đó để mặt
 S  theo một đường trịn có bán kính r  3 thì h  R 2  r 2  25  9  4 .
phẳng cắt mặt cầu

Đáp án A loại vì

h

18  4 26
26

14
�4
3
Đáp án B loại vì
.
Chọn đáp án C vì h  4.
h

Đáp án D loại vì

h

1 3
�4
3
.

�4
.


Câu 3.

[2H3-2.7-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019)Trong không gian Oxyz , cho hai
   : x  y  z  1  0 và    : 2 x  y  mz  m  1  0 , với m là tham số thực. Giá trị
mặt phẳng
       là
của m để
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Lê Phong; Fb: lêphong
Chọn A
uur

n   1 ;1; 1

   có véctơ pháp tuyến
Mặt
có véctơ pháp tuyến
và
uur phẳng
n   2 ;  1; m 
uur uur
       � n  n � 1  m  0 � m  1 .

Câu 4.

[2H3-2.7-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho điểm
I  1; 2; 2 
 P  : 2 x  2 y  z  5  0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt

và mặt phẳng
 P  theo giao tuyến là một đường trịn có diện tích bằng 16 .
phẳng
2
2
2
2
2
2
x  2    y  2    z  1  36
x  1   y  2    z  2   9
A. 
.
B. 
.
x  1
C. 

2

  y  2    z  2   25
2

x  1
D. 

2

.

2

  y  2    z  2   16
2

2

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Tỉnh; Fb: Ngọc Tỉnh
Chọn C

Ta có:

d  d  I; P  

2.1  2.2  2  5
22  22  12

Bán kính của đường trịn giao tuyến là:

3
.
r

S
 16  4

.

 P  theo giao tuyến là một đường tròn nên ta có:
Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng
R 2  d 2  r 2  9  16  25 � R  5 .
x  1   y  2    z  2   25
Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R  5 là: 
.
2

Câu 5.

[2H3-2.7-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Trong
(S ) : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  m  4  0 .
Tìm
số

2

khơng
thực

2

gian Oxyz , cho mặt
m
để
mặt
phẳng

( P) : 2 x  2 y  z  1  0 cắt  S  theo một đường trịn có bán kính bằng 3 .

A. m  3 .
B. m  2 .
C. m  1 .
D. m  4 .

Lời giải
Tác giả: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức.
Phản biện: Lê Xuân Hưng; Fb: Hưng Xuân Lê
Chọn A


x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  m  4  0 � x 2  y 2  z 2  2.(1).x  2.(2). y  2.3.z  ( m  4)  0

a  1 , b  -2 , c  3 , d  -m  4
2
2
2
Điều kiện: a  b  c  d  0 � 10  m  0 � m  10 .

Mặt cầu

( S ) có tâm I  1;  2;3 , bán kính R  10  m .

d ( I , ( P)) 

2.(1)  2.( 2)  3  1
2   2   1
2

2

2

2

.

( P ) cắt  S  theo một đường trịn có bán kính bằng 3 � d ( I , ( P ))  R 2  32 .
� 2

 m  10   32

.

� m  3 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy m  3 là giá trị cần tìm.
Câu 6.

[2H3-2.7-2] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Trong không gian Oxyz , cho
2
2
I  3; 1; 4 
S1  :  x  1  y 2   z  2   1
 S  có

điểm
và mặt cầu
. Phương trình của mặt cầu
S 

tâm I và tiếp xúc ngoài với mặt cầu 1 là

 x  3
A.

2

  y  1   z  4   4

 x  3

2

  y  1   z  4   4

C.

2

2

2

.

 x  3
B.

  y  1   z  4   16

.

 x  3

2

  y  1   z  4   2

2

2

D.
Lời giải

2

2

2

.

2

.

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn
Chọn C

S 
S 
Gọi I1 là tâm mặt cầu 1 và R1 là bán kính mặt cầu 1 .
2
2
2
S 
Tính được khoảng cách II1  2  1  2  3  R1  1 nên điểm I nằm ngoài mặt cầu 1
 S  là R  II1  R1  2 .
Suy ra bán kính của mặt cầu

Câu 7.

[2H3-2.7-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian Oxyz , có bao nhiêu số thực m để
P : x  2 y  2z 1  0
Q : 2 x  (m  2) y  2mz  m  0
mặt phẳng  
song song với mặt phẳng  
?
0
1
2
A. .
B. .
C. Vô số.
D. .


Lời giải
Tác giả:; Fb: Đào Duy Cang

Chọn B

uur
nP   1; 2; 2 
r .
nQ   2; m  2; 2 m 
Q : 2 x  (m  2) y  2mz  m  0
Mặt phẳng  
có 1 VTPT là
.
m2
1
2
2
1 � �
� m ��
�


�
P  Q

m
�
2
�
2
m

2


2
m

m
Để
//
thì
.
Suy ra khơng có giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
P : x  2 y  2z  1  0
Mặt phẳng  
có 1 VTPT là

Câu 8.

[2H3-2.7-2] (Sở Điện Biên) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , khoảng cách từ tâm
mặt cầu

 S  : x2  y 2  z 2  4 x  4 y  4 z 1  0
4
A. 3 .

7
B. 3 .

đến mặt phẳng

 P  : x  2 y  2 z  10  0

bằng

8
D. 3 .

C. 0 .
Lời giải

Chọn C
S
Mặt cầu  

Câu 9.

có tâm

I  2; 2; 2 

, do đó

d  I, P  

2  4  4  10
1 4  4

 0.

 S  có đường kính 10 cm và mặt phẳng
[2H3-2.7-2] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho mặt cầu
 P  cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm . Khẳng định nào sau đây sai?

 P  và  S  có vơ số điểm chung.
A.
 P  tiếp xúc với  S  .
B.
 P  cắt  S  theo một đường tròn bán kính 3cm .
C.
 P  cắt  S  .
D.
Lờigiải
Tácgiả:TrầnPhương;Fb:TrầnPhương
ChọnB
d  d  I; P   4  R
Vì bán kính của mặt cầu là R  5 ,
(với I là tâm mặt cầu)
Do đó
Vậy

 P

 P

cắt

 S

2
2
2
2
theo một đường trịn bán kính là r  R  d  5  4  3 .

không tiếp xúc với

 S .

Câu 10. [2H3-2.7-2] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Trong hệ trục tọa độ
2
2
2
Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  4 y  6 z  0 cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại
 ABC  là
các điểm A , B , C (khác O ). Phương trình mặt phẳng
x y z
x y z
x y z
x y z
  1
  1
  0
  1
A. 2 4 6
.
B. 2 4 6
.
C. 2 4 6
.
D. 2 4 6
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thế Quốc; Fb:Quốc Nguyễn

Chọn B


Gọi điểm

A  a ; 0;0 

là giao điểm của mặt cầu và trục hồnh trong đó a �0 .

�
a  0  l
a 2  2a  0 � �
a  2  n
�
Khi đó
.
Do đó

A  2;0; 0 

Gọi điểm

.

B  0; b ; 0 

là giao điểm của mặt cầu và trục tung trong đó b �0 .

�
b  0  l

b 2  4b  0 � �
b  4  n
�
Khi đó
.
Do đó

B  0; 4;0 

Gọi điểm

.

C  0;0; c 

là giao điểm của mặt cầu và trục Oz trong đó c �0 .

c  0  l
�
c 2  6c  0 � �
c  6  n
�
Khi đó
.
Do đó

C  0; 0; 6 

.

x y z
  1
C
2
4 6
A
B
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , là
.
Câu 11. [2H3-2.7-2] (Sở Quảng NamT) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2
2
2
 S  :  x  2    y  1   z  1  12 . Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến
là một đường tròn?
 P: x yz20 .
 P : x yz 2  0.
A. 1
B. 2
 P  : x  y  z  10  0 .
 P  : x  y  z  10  0 .
C. 3
D. 4
Lời giải
Tác giả: Viết Ánh ; Fb: Viết Ánh
Chọn A
 S  có tâm I  2;  1;1 , bán kính R  12 .
Mặt cầu
Ta có:

d  I ,  P1   

Vậy mặt phẳng

2  1  1  2
3

 P1 

cắt mặt cầu



2
 12  R
3
.

 S  theo giao tuyến là một đường tròn.

 S  có tâm I  1; 2;  3 và
Câu 12. [2H3-2.7-2] (Thị Xã Quảng Trị) Trong không gian Oxyz , mặt cầu
 Oyz  có phương trình là
tiếp xúc với mặt phẳng
2
2
2
2
2
2

 x  1   y  2    z  3  1 .
 x  1   y  2    z  3  1 .
A.
B.
C.

 x  1

2

  y  2    z  3  13
2

2

.

D.

 x  1

2

  y  2    z  3  13
2

2

.

Lời giải
Tác giả: Trần Dung ; Fb: Trần Dung
Chọn B


Phương trình mặt phẳng
Do mặt cầu

 S

d I , Oyz    R �

 Oyz 

là x  0 .

tiếp xúc với mặt phẳng

1.1  0.2  0.(3)
12  02  0 2

 Oyz 

nên:

 R � R 1
.

x  1
Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: 

2

  y  2    z  3  1
2

2

.

 S :
Câu 13. [2H3-2.7-2] (TTHT Lần 4) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
2
2
2
 x  2    y  1   z  2   4 và mặt phẳng  P  : 4 x  3 y  m  0 . Tìm tất cả các giá trị thực
 P  và mặt cầu  S  có đúng 1 điểm chung.
của tham số m để mặt phẳng
A. m  1 .
B. m  1 hoặc m  21 .
C. m  1 hoặc m  21 .
D. m  9 hoặc m  31 .
Lời giải
Tác giả: Tống Thị Thúy; Fb: Thuy tong
Chọn C

I  2; 1; 2 
2
2
2

R2
S   x  2    y  1   z  2   4

Ta có mặt cầu
:
có tâm
, bán kính
.
 P  và mặt cầu  S  có đúng 1 điểm chung khi và chỉ khi mặt phẳng  P  tiếp xúc
Mặt phẳng
4.2  3.  1  m
m 1
�
�
2
��
� d  I, P   R
� 11  m  10
m  21
42  32
�
S

với mặt cầu
.
Câu 14. [2H3-2.7-2] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Phương
2
2
2
trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Oz và cắt mặt cầu ( S ) : x  y  z  2 x  2 y  2 z  6  0 theo

đường trịn có bán kính bằng 3 là
A. x  y  0 .
B. x  y  0 .
C. x  2 y  0 .
D. x  2 y  0 .
Lời giải
Tác giả: Mai Liên ; Fb: mailien.
Chọn A
Vì mặt phẳng ( P ) chứa trục Oz nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng ax  by  0
 a2  b2  0 .
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;  1;1) và bán kính R  3 . Mặt khác mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng ( P )
theo giao tuyến là đường trịn có bán kính bằng 3 nên mặt phẳng ( P ) đi qua tâm I (1;  1;1) của
măt cầu.
Ta có

I � P  � a.1  b.( 1)  0 � a  b

Vậy phương trình mặt phẳng

2
2
. Vì a  b  0 nên chọn a  1 � b  1 .

( P) là: x  y  0 .


Câu 15. [2H3-2.7-2] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
 Q  : x  2y  2z  3  0 và mặt phẳng  P  không qua O , song song mặt phẳng  Q 
phẳng
d   P  ; Q    1.

P
và
Phương trình mặt phẳng   là
A. x  2y  2z  3  0 .
B. x  2y  2z  0 .
C. x  2y  2z  1  0.

D. x  2y  2z  6  0 .
Lời giải.

Chọn D
Gọi phương trình mặt phẳng

Có

d   P  ; Q    1 �

P 

có dạng x  2y  2z  d  0 Với d �0;d �3.

d 3

d 0
�
 1� �
d  6.
1 2 2
�
2

2

2

 P  có dạng: x  2y  2z  6  0 .
Kết hợp điều kiện �
Câu 16. [2H3-2.7-2]

(TTHT

Lần

 x  2   y  4   z  1
2

2

2

4)

Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

mặt

cầu

 S :

 P  : x  my  z  3m  1  0 . Tìm tất cả các giá
và mặt phẳng
 P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường trịn có
trị thực của tham số m để mặt phẳng
đường kính bằng 2 .
4

A. m  1 .
C. m  1 hoặc m  2 .

B. m  1 hoặc m  2 .
D. m  1
Lời giải
Tác giả: Tống Thị Thúy; Fb: Thuy tong

Chọn A

 S  :  x  2
Mặt cầu
Ta có

d  I, P  

2

  y  4   z  1  4
2

2  4m  1  3m  1
1  m2  1

2



có tâm
m2

I  2;4;1

, bán kính

R2

.

m2  2

 P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường trịn có đường kính bằng 2 nên bán
Mặt phẳng
kính đường trịn giao tuyến r  1 .

R2  d 2  I ,  P    r

Ta có
� m 1.

 m  2
2 � 4

2

m2  2

 1 � m 2  4m  4  3  m 2  2 

� 2m 2  4m  2  0

A  0 ; 1; 2 
Câu 17. [2H3-2.7-2] (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm
B  2;  2 ;1 C  2 ; 0;1
,
,
. Phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc BC với là
A. 2 x  y  1  0 .
B.  y  2 z  3  0 .
C. 2 x  y  1  0 .
D. y  2 z  5  0 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Việt Thảo; Fb: Việt Thảo
Chọn C

uuur
BC   4; 2 ; 0 
Ta có
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.
4  x  0   2  y  1  0 � 2 x  y  1  0
Vì mặt phẳng đi qua A nên có phương trình:
.
Câu 18. [2H3-2.7-2] (Chun Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :
( x  2)2  y 2  ( z  1) 2  9 và mặt phẳng ( P ) có phương trình 2 x  y  2 z  3  0 . Biết mặt
phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) . Tính bán kính r của (C )
A. r  5 .

C. r  2 2 .
Lời giải

B. r  2 .

D. r  2 .

Tác giả: Đồng Anh Tú; Fb: AnhTu
Chọn C
Mặt cầu ( S ) có tâm I (2;0; 1) , bán kính R  3 .

d ( I ;( P )) 
Khi đó, ta có

2.2  0  2  1  3
22   1   2 
2

2

1

2
2
2
và r  R  d ( I ; ( P ))  8 � r  2 2 .

Câu 19. [2H3-2.7-2] (Kim Liên 2016-2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt
phẳng
 P  : 2 x  by  4 z  3  0 và  Q  : ax  3 y  2 z  1  0 ,  a, b �� .

 P  và  Q  song song với nhau.
Với giá trị nào của a và b thì hai mặt phẳng
3
a
2 ; b 9.
A. a  1 ; b  6 .
B. a  1 ; b  6 .
C.
D. a  1 ; b  6 .
Lời giải

Tác giả: Đào Thị Kiểm ; Fb: Đào Kiểm
Chọn B uur
uu
r
n
 P  và  Q  . Ta có :

n
P
Gọi
, Q lần lượt
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
uur
uur
nP   2; b ; 4 
n   a ;3;  2 
và Q
.
Cách 1.
�2  k .a
�
k  2
�
b  3.k
�
uur
uur
�
�
�
�
nP  k nQ
�
 2; b ; 4   k  a ;3;  2  �4  2.k � �a  1
 P  //  Q  � �
��
�

�
�
b  6
3 �k .1
3 �k .1
�
�
�
�3 �k
Ta có
.


Cách 2.

uur uur r
�
nP �nQ  0
�
a  1
�
 P  //  Q  � �
��
�  2b  12; 4a  4;6  ab    0;0;0 
3 �1
b  6 .
�
�
Ta có
Câu 20. [2H3-2.7-2] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y - 2 z +1 = 0 ; hai điểm A ( 1;0;0) , B ( - 1; 2;0) và mặt cầu
2
2
( S ) : ( x - 1) +( y - 2) + z 2 = 25 . Viết phương trình mặt phẳng ( a ) vng góc với mặt phẳng
( P ) , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính
bằng r = 2 2 .
A. 2 x + 2 y + 3 z +11 = 0; 2 x + 2 y + 3 z - 23 = 0 .
B. 2 x - 2 y + 3 z +11 = 0; 2 x - 2 y + 3 z - 23 = 0 .
C. 2 x - 2 y + 3z - 11 = 0; 2 x - 2 y + 3 z + 23 = 0 .

D 2 x + 2 y + 3 z - 11 = 0; 2 x + 2 y +3 z + 23 = 0 .
Lời giải
Tácgiả:Kim Liên; Fb:Kim Liên
Chọn A
2
2
I ( 1; 2;0)
S ) : ( x - 1) +( y - 2) + z 2 = 25
(
Mặt cầu
có tâm
và bán kính R = 5 .

( a ) là d ( I , ( a ) ) = R 2 - r 2 = 17 .
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng
r
uuu
r
P)
n = ( 1; 2; - 2)

AB = ( - 2; 2; 0)
(
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
, vectơ
.
( a ) vuông góc với mặt phẳng ( P) và song song với đường thẳng AB nên vectơ
Vì mặt phẳng
ur r uuu
r
�
�
�
n
=
n
,
AB
= ( 4; 4;6)
a)
(
�
�
�
�
pháp tuyến của mặt phẳng
là
.
( a ) có dạng ( a ) : 2 x + 2 y + 3z + D = 0 .
Suy ra, phương trình mặt phẳng

�
�
D + 6 = 17
D = 11
D +6
D +6
��
��
d ( I ,( a ) ) =
� 17 =
�
�
D + 6 =- 17
D =- 23 .
17
17
�
�
Ta có:
( a ) là 2 x + 2 y + 3z +11 = 0 hoặc 2 x + 2 y + 3z - 23 = 0 .
Do đó, phương trình mặt phẳng
A �( a )
( a ) song song với đường thẳng AB .
Dễ thấy,
nên
( a ) là 2 x + 2 y + 3z +11 = 0 hoặc 2 x + 2 y + 3 z - 23 = 0 .
Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 21. [2H3-2.7-2] (Kim Liên 2016-2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 1 y  1 z
x2 y z3

d1 :


d2 :
 
1
2
1 và
1
2
2 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
A  1; 0; 2 
d
d
cắt 1 và vng góc với 2 .
x 1 y z  2
x3 y 3 z  2
:
 
:


2
3
4 .
2
3
4 .
A.
B.

C.

:

x 5 y 6 z 2


2
3
4 .

D.
Lời giải

:

x 1 y z  2
 
2
3
4 .

Tác giả: Tuấn ; Fb: Tuấn
Chọn B
 P  là mặt phẳng qua điểm A  1;0; 2  và vng góc với d 2 .
Gọi
 P :
Phương trình mặt phẳng

1 x  1  2  y  0   2  z  2   0

� x  2 y  2z  5  0
Phương trình tham số của đường thẳng d1 :
� x  1 t
�
�y  1  2t
� z  t
�
 P  và đường thẳng d1 , khi đó tọa độ điểm B thỏa hệ:
Gọi B là giao điểm của
�x  2 y  2 z  5  0
�t  2
�
�x  3
x  1 t
�
�
�
�
�
� y  1  2t
�y  3
�
�
z  t
�
�z  2 � B  3;3; 2  .
A  1; 0; 2 
d

d
Vì đường thẳng  đi qua điểm
, cắt 1 và vng góc với 2 nên đường thẳng  đi
A và B .
qua
uuu
r 2 điểm
AB   2;3; 4 
uuu
r
AB
  2;3; 4 
Phương trình đường thẳng  đi qua B nhận
làm vecto chỉ phương là:
x 3 y 3 z  2
:


2
3
4 .
Câu 22. [2H3-2.7-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Trong không gian
Oxyz , mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  2  0 vng góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. 2 x  y  z  2  0 .

B. x  y  z  2  0 .

C. x  y  z  2  0 .

D. 2 x  y  z  2  0 .

Lời giải
Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông
Chọn B

 P
Mặt phẳng

có một vectơ pháp tuyến

uur
nP   2;1;1

.

 Q : x  y  z  2  0
Mặt phẳng

có một vectơ pháp tuyến
uur uur
uur uur
n .n  2  1  1  0 � nP  nQ �  P    Q 
Mà P Q
.

uur
nQ   1; 1; 1

.

Vậy mặt phẳng x  y  z  2  0 là mặt phẳng cần tìm.
Câu 23. [2H3-2.7-2] (KonTum 12 HK2) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu
2
2
 S  :  x  1  y 2   z + 2   4 và điểm M  3;1; 2  . Điểm A di chuyển trên mặt cầu  S  thỏa
uuu
r uuur
mãn OA.MA  3 thì điểm A thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A. x + y + 6z  2 = 0.
B. 3x + y + 2z  3 = 0.
C.

5x + y  2z  4 = 0.

D. 2x  4z  1 = 0.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Bình; Fb: Nguyễn Văn Bình

Khơng có đáp án
Cách 1
Gọi

uuu
r
uuur
A
x
;
y
;

z
OA

x
;
y
;
z
MA   x  3; y  1; z  2  .




A có tọa độ là
.
,


A  x; y; z 
 S  nên ta có  x  1  y 2   z + 2   4 .
Vì
thuộc
mặt
cầu
uuu
r uuur
OA.MA  3 � x  x  3 + y  y  1 + z  z  2   3.
Ta có
2
2

2
� x 2  y 2  z 2  3x  y  2z + 3 = 0 �  x  1  y   z + 2   4  x  y  6z  2 = 0
2

2

�  x  1  y 2   z + 2   4  x + y + 6z  2 � x + y + 6z  2  0.
2

2

   : x + y + 6z  2  0 (1)
Điểm A thuộc mặt phẳng
2
2
I  1;0; 2 
S : x  1  y 2   z + 2   4
Ta thấy   
có tâm
bán kính R = 2
13
d  I,    
2R
 S  �    �suy ra (1) vô lý. Vậy khơng có mặt phẳng chứa
38
suy ra
uuu
r uuur
S


OA
.MA  3.
A
A
điểm thỏa mãn yêu cầu di chuyển trên mặt cầu
và
Cách 2
uuu
r
uuur
A
x
;
y
;
z
OA

x
;
y
;
z
MA   x  3; y  1; z  2  .




A có tọa độ là
.

,
Gọi
A  x; y; z 
 S  nên ta có  x  1 2  y 2   z + 2  2  4 .
Vì
thuộc
mặt
cầu
uuu
r uuur
OA.MA  3 � x  x  3 + y  y  1 + z  z  2   3.
Ta có
2
2
1
2
� 3� � 1�
� x 2  y 2  z 2  3x  y  2z + 3 = 0 � �x  � �y  �  z  1 
2.
� 2� � 2�
�3 1 �
2
I' � ; ;1�
R' =
�
S'


2
Suy ra A thuộc mặt cầu

có tâm �2 2 �bán kính
2
2
I  1;0; 2 
S  :  x  1  y 2   z + 2   4

Ta có
có tâm
bán kính R = 2
38
2
II' =
> 2+
= R + R'
 S  � S'   �.
2
2
suy ra
Ta thấy

 S  và
Vậy
có mặt phẳng chứa điểm A thỏa mãn yêu cầu A di chuyển trên mặt cầu
uuu
r ukhông
uur
OA.MA  3.
Đề xuất sửa đề:
Câu 24. [2H3-2.7-2] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0 và mặt phẳng    : 4 x  3 y  12 z  10  0 . Lập


S
phương trình mặt phẳng   thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với   ; song song

với   và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương.
A. 4 x  3 y  12 z  78  0 .
B. 4 x  3 y  12 z  26  0 .
C. 4 x  3 y  12 z  78  0 .

D. 4 x  3 y  12 z  26  0 .
Lời giải
Tác giả: Lương Thị Hương Liễu; Fb: Lương Hương Liễu.

Chọn C
Mặt cầu
Vì

 S

có: tâm

I  1; 2;3

2
2
2
, bán kính R  1  2  3  2  4 .

   P   nên phương trình mp    có dạng:

4 x  3 y  12 z  d  0,  d �10 

.


S
tiếp xúc mặt cầu   nên:
4.1  3.2  12.3  d
d  I ,     R �
 4 � d  26  52 �
2
4 2  32   12 

Vì

Do





Vậy mp

d  26
�
�
d  78
�

.

cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương nên chọn d  78 .

   : 4 x  3 y  12 z  78  0 .

Câu 25. [2H3-2.7-2] (KonTum 12 HK2) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2
2
 S  :  x  1  y 2   z + 2   9 và điểm M  3;1; 2  . Điểm A di chuyển trên mặt cầu  S  thỏa
uuu
r uuur
OA
.MA  2 thì điểm A thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
mãn
A. x + y + 6z  2 = 0.
B. 3x + y + 2z  3 = 0.
C.

5x + y  2z  4 = 0.

D. 2x  4z  1 = 0.

I  1; 2;5
Câu 26. [2H3-2.7-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
   : x  2 y  2 z  2  0 . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với    là
2
2
2
2

2
2
x  1   y  2    z  5   3
x  1   y  2    z  5   3


A.
.
B.
.
C.

 x  1

2

  y  2   z  5  9
2

 x  1

2

.

D.

2

  y  2   z  5  9

2

2

.

Lời giải
Chọn C

Từ tọa độ tâm

I  1; 2;5 

ta loại được hai đáp án B, D.

R  d  I,    
Mặt khác theo bài ta có

1  2.2  2.5  2
12   2   22

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm có phương trình
Vậy chọn C

2

3

 x  1

nên đáp án A loại.
2

  y  2   z  5  9
2

2

.

 Q
Câu 27. [2H3-2.7-2] (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
 P  : 2 x  2 y  z  17  0 . Biết mặt phẳng  Q  cắt mặt cầu  S  :
song song với mặt phẳng
2
2
x 2   y  2    z  1  25
 Q  có
theo một đường trịn có chu vi bằng 6 . Khi đó mặt phẳng
phương trình là:
A. 2 x  2 y  z  7  0 .
B. 2 x  2 y  z  17  0 .


C. x  y  2 z  7  0 .

D. 2 x  2 y  z  17  0 .
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu

Chọn A

 Q  song song với mặt phẳng
Do mặt phẳng
2 x  2 y  z  D  0,  D �17 
.
Mặt cầu

 S

có tâm

I  0; 2;1

 P

nên mặt phẳng

 Q

có dạng:

và bán kính R  5 .

Đường trịn giao tuyến có chu vi bằng 6 , suy ra: 2 r  6 � r  3 .

Do đó:

d  I ,  Q    R2  r 2  4

Vậy phương trình mặt phẳng

�

2.0  2.  2   1  D
22   2   12
2

�
D  7  TM 
 4 � D  5  12 � �
D  17  L 
�

.

 Q  là: 2 x  2 y  z  7  0 .

* Phân tích bài tốn
- Đây là bài toán về sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng.
- Để giải quyết bài toán này chúng ta cần nhớ lại kiến sau:

S  O; R 
   . Gọi H là hình chiều vng góc của O lên   
Cho mặt cầu
và một mặt phẳng
d  d  O,      OH
và
. Khi đó
Nếu d  R thì mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường trịn có tâm H và bán kính

r  R2  d 2 .

Câu 28. [2H3-2.7-2] (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
 P  : 2 x  y  2 z  3  0 và điểm I  1;3; 1 . Gọi  S  là mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng  P 
 S .
theo một đường tròn cho chu vi bằng 2 . Viết phương trình mặt cầu
2
2
2
2
2
2
S  :  x  1   y  3    z  1  5.
S  :  x  1   y  3   z  1  5.


A.
B.
C.

 S  :  x  1

Chọn D

2

  y  3   z  1  3.
2

2

D.
Lời giải

 S  :  x  1

2

  y  3   z  1  5.
2

2


Bán kính của đường trịn là:

2
1
2
.
2.1  3  2.(1)  3
d
2
22  (1) 2 22

r

 P  là:
Khoảng cách từ I đến

.
2
2
2
2
 S  là: R  r  d  1  2  5.
Bán kính mặt cầu
 S  là:  S  :  x  1 2   y  3 2   z  1 2  5.
Phương trình mặt cầu
Câu 29. [2H3-2.7-2] (TTHT Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A(3; 2;6), B(0;1;0) và mặt cầu ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  25 . Mặt phẳng
( P) : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ
nhất. Tính T  a  b  c .
B. T  5
C. T  2
D. T  4
A. T  3
Lời giải
Chọn A

 S

I  1; 2;3 ,

bán kính R  5.
r
P
nP   a; b; c 

Mặt phẳng

có vec-tơ pháp tuyến
Mặt cầu

có tâm

B  0;1;0  � P  : b  2  0 � b  2.
Theo giả thiết
uuu
r
r
AB   3;3; 6 
u   1; 1; 2 
Ta có:
cùng phương với
.

�x  t
�
AB : �y  1  t
�z  2t
�
Phương trình đường thẳng
Gọi r là bán kính đường trịn giao tuyến. K là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng
AB, H là hình chiếu vng góc của I lên  P 
Ta có:

uur
K �AB � K  t ;1  t ; 2t  � IK   t  1; t  1; 2t  3

uuu

r uur
uur
IK  AB � AB.IK  0 � t  1 � IK   0; 2; 1

.

r  R 2  d 2  I ,  P    25  d 2  I ,  P    25  IH 2
Ta có:

rmin � IH max

.

.


Mà

IH �
IK �IH�
max

IK

H

K

 P

r
IK � nP

uur
và IK cùng phương.

a0
a0
�
�
uur �
a0
�
r
�
� nP  k .IK � �
b  2 k � �
k  1 � �
c 1
�
�
�
c  k
c 1
�
�
� t  a  b  c  0  2  1  3.