Dang 7. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng(VDT

Câu 1.

[2H3-2.7-3] (Sở Hà Nam)Trong không gian

Oxyz,

cho mặt phẳng

( P) : x − 2y + z + 7 = 0

và

( S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 z − 10 = 0 . Gọi ( Q ) là mặt phẳng song song với mặt phẳng
( P ) và cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường trịn có chu vi bằng 6π . Hỏi ( Q ) đi qua

mặt cầu

điểm nào trong số các điểm sau?
A.

M ( 6;0;1) .

B.

N ( − 3;1;4 ) .

J ( − 2; − 1;5) .

C.

D. K

( 4; − 1; − 2 ) .

Lời giải
Tác giả: Hoàng Văn Lâm; Fb: LamHoang
Chọn C

Mặt cầu

( S ) có tâm I ( 1;0; − 2 ) , R =

Gọi đường trịn giao tuyến của

( S)

15 .
và

( Q)

có bán kính là

r , theo đề bài

C = 2π r = 6π ⇒ r = 3.
IH = R 2 − r 2 = 15 − 9 = 6 .

( P ) // ( Q ) ⇒ ( Q ) : x − 2 y + z + D = 0 ( D ≠ 7 ) .
d ( I , ( Q ) ) = IH ⇔

1− 2 + D
6

D = 7( l)
= 6⇒ 
 D = − 5 ( t / m ) ⇒ ( Q ) : x − 2 y + z − 5 = 0 .

Thay các điểm ở đáp án vào phương trình
Câu 2.

( Q ) ⇒ J thỏa mãn.

[2H3-2.7-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hai mặt cầu

( S1 ) : x2 + y 2 + z 2 = 6

và

( S2 ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)
2

2

2

=6

. Biết rằng mặt phẳng

( P ) : ax + by + cz + 6 = 0 ( a > 0 )

vng góc với mặt phẳng

tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Tích
A.

−2 .

B.

( Q ) : 3x + 2 y + z − 1 = 0

đồng thời

abc bằng

2.

C.

0.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa
Chọn A
Ta có:

( S2 )

( S1 )

có tâm

có tâm

I1 ( 0;0;0 )

I 2 ( 1;1;1)

và bán kính

và bán kính

R1 = 6

R2 = 6

Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + 6 = 0 ( a > 0 )

có vectơ pháp tuyến

r
n( P) = ( a; b; c ) ( a > 0 )

r

Mặt phẳng ( Q ) : 3x + 2 y + z − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n( Q ) = ( 3;2;1)

Vì Mặt phẳng ( P )

và mặt phẳng ( Q ) vng góc nhau ⇒

r r
n( P ) .n( Q ) = 0 ⇔ 3a + 2b + c = 0 ( 1)

 d ( I1 ; ( P ) ) = R1

Mặt phẳng ( P ) đồng thời tiếp xúc với cà hai mặt cầu nên  d ( I 2 ; ( P ) ) = R2

6
 2 2 2 = 6
 a +b +c
⇔
 a+b+c+6 = 6
 2 2 2
 a +b +c

a + b + c = 0
| a + b + c + 6 |= 6  
⇔ 2 2 2
⇔  a + b + c = − 12
a + b + c = 6
 2 2 2
 a + b + c = 6 (2)

Từ (1) và (2)

3a + 2b + c = 0

c = a
c = 1



⇔  b = −2
a + b + c = 0 ⇔ b = −2a
 2 2 2
a 2 + 4a 2 + a 2 = 6  a = 1
TH1:  a + b + c = 6


 3a + 2b + c = 0

 a + b + c = − 12 ⇔
 2 2 2
TH2:  a + b + c = 6

⇒ abc = − 2

 c = a − 24

⇔
 b = 12 − 2a
 a 2 + (12 − 2a )2 + (a − 24)2 = 6


 c = a − 24

b = 12 − 2a

 5a 2 − 96a + 684 = 0(VN)


Ta chọn đáp án A.
Cách khác :
Ta có:

( S2 )

( S1 )

có tâm

có tâm

pháp tuyến

I1 ( 0;0;0 )

I 2 ( 1;1;1)

và bán kính

và bán kính

r
n( Q ) = ( 3;2;1) .

R1 = 6

R2 = 6

; Mặt phẳng

( Q ) : 3x + 2 y + z − 1 = 0 có vectơ


Vì

I1I 2 = 3 < 6

cả hai mặt cầu khi

nên hai mặt cầu cắt nhau mà

( P)

Ta lại có mặt phẳng

song song với

( P)

R1 = R2 = 6

( P)

( Q)

vuông góc với mặt phẳng

có vectơ pháp tuyến

r
n( P ) = ( a; b; c ) ( a > 0 )

Khi đó phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng

( P)

tiếp xúc với mặt cầu

Suy ra phương trình mặt phẳng
Câu 3.

( P)

tiếp xúc với

nên

( P ) nhận

 b = − 2a
a b c
= = ⇒
nên − 1 2 − 1  c = a .

được viết lại là:

( S1 )

nên mặt phẳng

ax − 2ay + az + 6 = 0 .

d ( I1 , ( P ) ) = R1 ⇔

6
a 6

= 6⇔ a=1

.

( P ) :1x − 2 y + z + 6 = 0 . Vậy tích abc = − 2
Oxyz , mặt cầu tâm I ( 1; 2; − 1) và cắt

[2H3-2.7-3] (SGD-Nam-Định-2019) Trong không gian
mặt phẳng
là

( P)

I1I 2 .

uuur r
 I1I 2 , n( Q )  = ( − 1;2; − 1) làm vectơ pháp tuyến.




Vì

nên mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + 2 z − 1 = 0 theo một đường trịn có bán kính bằng

A.

( x + 1) + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 9 .

C.

( x + 1) + ( y + 2 ) 2 + ( z − 1) 2 = 3 .

2

B.

2

8 có phương trình

( x − 1) + ( y − 2 ) 2 + ( z + 1)

2

= 9.

( x − 1) + ( y − 2 ) 2 + ( z + 1)

2

= 3.

D.
Lời giải

2

2

Chọn B

Gọi

J là hình chiếu của điểm

Mặt cầu tâm

I lên mặt phẳng ( P ) ta có

I ( 1; 2; − 1) và cắt mặt phẳng ( P )

bán kính mặt cầu

IJ = d ( I , ( P ) ) =

2

theo một đường trịn có bán kính bằng

8

( x − 1) + ( y − 2 ) 2 + ( z + 1)
2

2 + ( − 1) + 2
2

R = 8 + IJ 2 = 3 .

Phương trình mặt cầu cần tìm

2.1 − 2 + 2 ( − 1) − 1

2

= 9.

2

=1
.

ta có

Câu 4.

[2H3-2.7-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : mx + ( m − 1) y + z − 10 = 0

và mặt phẳng
Với giá trị nào của m thì (P) và (Q) vng góc với nhau?
A.

m = −2.

B.

m= 2.

C.

m = 1.

( Q ) :2 x + y − 2z + 3 = 0 .
D.

m = − 1.

Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa
Chọn C

( P ) : mx + ( m − 1) y + z − 10 = 0

có vectơ pháp tuyến

ur
n1 = ( m ; m − 1;1) .

uur
n
Q
:2
x
+
y
−
2z
+
3
=
0
( )
có vectơ pháp tuyến 2 = ( 2;1; − 2 ) .
ur uur
P
⊥
Q
⇔
n
( ) ( ) 1.n2 = 0 ⇔ 2m + m − 1 − 2 = 0 ⇔ m = 1 .
Câu 5.

[2H3-2.7-3]

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)

Bắc-Ninh-2019)

Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-

độ

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

( P ) : mx + ( m − 1) y + z − 10 = 0 và mặt phẳng ( Q ) :2 x + y − 2z + 3 = 0 . Với giá trị nào của m thì

(P) và (Q) vng góc với nhau?
A.

m = −2.

B.

m= 2.

C.

m = 1.

D.

m = − 1.

Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa
Chọn C

ur

( P ) : mx + ( m − 1) y + z − 10 = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = ( m ; m − 1;1) .
uur

( Q ) :2 x + y − 2z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến n2 = ( 2;1; − 2) .
ur uur

( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ 2m + m − 1 − 2 = 0 ⇔ m = 1 .
Câu 6.

Oxyz , cho mặt cầu
(S ) có tâm I (2;1;1) và mặt phẳng ( P) : 2 x + y + 2 z + 2 = 0 . Biết mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S )
theo giao tuyến là một đường trịn có bán kính bằng 1 . Viết phương trình của mặt cầu ( S ) .
[2H3-2.7-3] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Trong không gian với hệ tọa độ

A.

( S ) : ( x + 2) 2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = 8 .

C.

( S ) : ( x − 2)2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = 8 .

Chọn D

B.

( S ) : ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z + 1) 2 = 10 .

D. ( S ) :( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thành Trung ; Fb:Nguyễn Thành Trung
2

2

2


Ta có:

(

)

IH = d I ;( P ) =

Suy bán kính mặt cầu

2.2+ 1+ 2.1+ 2
22 + 12 + 22

9
=3
3 ,

R = IH 2 + r 2 = 32 + 12 = 10

Phương trình mặt câu: (S):(x − 2)


2

Câu 7.

=

+ (y − 1)2 + (z − 1)2 = 10

[2H3-2.7-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

x

y− 2

Oxyz , cho

z

2
2
2
d: =
=
mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 2 z + 1 = 0 và đường thẳng
1
1
− 1 . Hai mặt phẳng
( P ) và ( Q ) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại A và B . Gọi H ( a ; b ; c ) là trung điểm

AB . Giá trị a + b + c

bằng

1
1

A. 6 . B. 3 .

2
C. 3 .

5
D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Nghiêm Phương ; Fb: nghiêm Phương

Chọn B
Mặt cầu

( S)

Mặt phẳng

có tâm

(α )

I ( 1;0; − 1)

đi qua

I

R = 12 + 02 + ( − 1) − 1 = 1 .
2

và bán kính

và vng góc với đường thẳng

d

có phương trình:


1( x − 1) + 1( y − 0 ) − 1( z + 1) = 0 ⇔ x + y − z − 2 = 0 .
Gọi

K

là hình chiếu của

I

trên

d , do K ∈ d ⇒ K ( t ;2 + t ; − t )

và

K ∈ ( P ) ⇒ t + 2 + t − ( − t ) − 2 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ K ( 0;2;0 ) .

Mặt phẳng

(α )

IK =

cắt

( S)

theo đường tròn lớn

( 0 − 1) + ( 2 − 0 ) + ( 0 + 1)
2

IH .IK = IA2 = 1 ⇒

2

2

( C ) , có A , B ∈ ( C )

và

H = IK ∩ AB .

= 6

IH 1 uuur 1 uur
uuur uur
= ⇒ IH = IK
IK 6
6 ( vì IH , IK cùng hướng).

1
5


a − 1 = 6 ( 0 − 1)
a = 6


1
1

 1
⇔ b − 0 = ( 2 − 0 ) ⇔ b =
⇒ a+b+c =
6
3

 3
1
5


c + 1 = 6 ( 0 + 1)
c = − 6
.


Câu 8.

[2H3-2.7-3] (Ba Đình Lần2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : mx + 2y − z + 1 = 0 ( m là tham số). Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu
2
2
( S) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + z 2 = 9 theo một đường trịn có bán kính bằng 2 . Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số
A.

m?

m = ± 1.

B.

m = ±2+ 5 .

C. m =
Lời giải

±4.

D.

m = 6± 2 5.

Tác giả: Lê Ngọc Hùng; Fb: Hung Le
Chọn D
Từ

( S) : ( x − 2 ) + ( y − 1)
2

R = 3 . Gọi H

+ z 2 = 9 ta có tâm I = ( 2;1;0 ) bán kính

là hình chiếu vng góc của

( P) ∩ ( S ) = C ( H;r )
Ta có

2

với

IH = d ( I ; ( P ) ) ⇔

trên

( P)

và

r= 2
IH =

Theo u cầu bài tốn ta có

⇔

I

2m + 2 − 0 + 1
m2 + 4 + 1

R 2 = IH 2 + r 2 ⇔

m = 6 − 2 5
m 2 − 12m + 16 = 0 ⇔ 
 m = 6 + 2 5 .

=

2m + 3
m2 + 5

( 2m + 3 )
9=
m2 + 5

2

+4


Câu 9.

[2H3-2.7-3] (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục tọa độ

2x + 2 y − z − 7 = 0
song với

( P)

( S) :

và mặt cầu

và cắt

( S)

Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) :

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 . Mặt phẳng ( Q )

theo một đường trịn có chu vi bằng

6π

song

có phương trình là

( Q ) :2 x + 2 y − z + 7 = 0 .
D. ( Q ) :2 x + 2 y − z − 17 = 0 .

( Q ) :2 x + 2 y − z + 17 = 0 .
C. ( Q ) :2 x + 2 y − z − 19 = 0 .

A.

B.

Lời giải
Tác giả: Trần Tố Nga; Fb: Trần Tố Nga
Chọn A

I ( 1; − 2;3) , bán kính R = 1 + 4 + 9 + 11 = 5 .
6π
r
=
=3
C
Đường trịn ( C ) có chu vi bằng 6π nên có bán kính là:
.
2π
Mặt phẳng ( Q ) song song với mp ( P ) nên phương trình mặt phẳng ( Q )
Ta có mặt cầu

( S)

có tâm

là:

2 x + 2 y − z + D = 0 ( D ≠ −7 ) .

( Q)

Vì

( S)

cắt

theo

giao

tuyến

rC = R 2 − d 2 ( I , ( Q ) ) ⇔ 3 = 25 − d 2 ( I , ( Q ) )
⇔

2.1 + 2 ( − 2 ) − 3 + D
4+ 4+1

Kết hợp điều kiện

là

đường

tròn

( C)

nên

⇔ d ( I ,( Q) ) = 4

 D = 17
= 4 ⇔ D − 5 = 12 ⇔ 
 D = −7

D ≠ −7

ta có phương trình

( Q ) :2 x + 2 y − z + 17 = 0 .

Câu 10. [2H3-2.7-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Trong không gian

A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c )

với

a, b, c ≠ 0.

Oxyz ,

Biết rằng mặt phẳng

( ABC )

cho ba điểm
đi qua điểm

 2 4 4

2
2
2
M ; ; ÷
S
:
x
−
1
+
y
−
2
+
z
−
2
= 1. Thể tích khối tứ
(
)
(
)
(
)
(
)
và
tiếp
xúc
với

mặt
cầu
3
3
3


diện

OABC

bằng:
C. 9 .

B. 6 .

A. 4 .

D. 12 .

Lời giải
Tác giả: Hồng Thị Hồng Hạnh.
Chọn C
Mặt cầu

( S)

có tâm

I ( 1;2;2 )

2

bán kính
2

R = 1.
2

2  4  4 
IM =  − 1÷ +  − 2 ÷ +  − 2 ÷ = 1 = R
Ta có
3  3  3 


Suy ra mặt phẳng

( ABC )

tiếp xúc với mặt cầu

( S ) tại điểm M .

uuur 1 2 2 
MI  ; ; ÷
Nên mặt phẳng ( ABC ) có véctơ pháp tuyến
 3 3 3 .
Phương trình mặt phẳng
Suy ra

Vậy

( ABC ) :1 x −


2  4  4
x y z
+
2
y
−
+
2
z
−
=
0
⇔
+ + =1
÷ 
÷ 
÷
3  3  3
6 3 3 .

a = 6; b = 3; c = 3 .

VOABC =

1
abc = 9.

6

Câu 11. [2H3-2.7-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian với hệ
trục

tọa

độ

Oxyz ,

( S ) :( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)
2

Gọi
A.

M ,N

2 2.

2

cho
2

đường

d:

thẳng

x− 2 y z
= =
2
−1 4

và

mặt

cầu

= 2 . Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) .

là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng

4
B. 3 .

MN .

C.
Lời giải

6.

D.

4.

Tác giả:Phan Thị Tuyết Nhung
Chọn B

d nằm trên hai mặt phẳng ( P) và (Q)

nên

d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó

( S ) có tâm I ( 1;2;1) và bán kính R = 2 .
Mặt phẳng ( α ) đi qua I và vng góc với đường thẳng d có phương trình:
2 ( x − 1) − 1( y − 2 ) + 4 ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − y + 4 z − 4 = 0 .
Gọi K là hình chiếu của I trên d , do K ∈ d ⇒ K ( 2 + 2t ; − t ;4t ) và K ∈ ( α )
⇒ 2. ( 2 + 2t ) + t + 4.4t − 4 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ K ( 2;0;0 ) .
Mặt cầu


Mặt phẳng

(α )

cắt

( S)

theo giao tuyến là đường tròn lớn

H = IK ∩ MN . Suy ra H
2

2

2

và gọi

MN .

là trung điểm của

( 2 − 1) + ( 0 − 2) + ( 0 − 1)

IK =

( C ) . Ta có M , N ∈ ( C )

= 6.
2

2 4
 2 
2
MN = 2 HM = 2 IM 2 −  ÷ = 2 2 − =
IH .IK = IM = 2 ⇒ IH =
3
3.
Ta có
 6
6 nên

2

Câu 12. [2H3-2.7-3]

(Sở

Phú

( S ) : ( x + 2 ) + ( y − 1)
2

(

3

)

Trong

không

(

2

Oxyz ,

gian

cho

mặt

cầu

)

+ z + 2 = 9 và hai điểm A −2;0; −2 2 , B ( −4; −4;0 ) . Biết rằng tập

2

( S)

hợp các điểm M thuộc
đường trịn đó bằng
A.

Thọ)

.

B.

sao cho

2

uuuur uuur
MA + MO.MB = 16
2

C. 2
Lời giải

.

2

là một đường trịn. Bán kính của

.

D.

5

.

Tác giả: Nguyễn Thành Nhân; Fb: Nguyễn Thành Nhân
Chọn C
Gọi

M ( x; y; z )

(

là điểm thuộc mặt cầu

)

2

uuuur uuur

( S ) .Vì MA2 + MO.MB = 16 nên

( x + 2 ) + y 2 + z + 2 2 + x2 + y 2 + z 2 + 4 x + 4 y = 16
2

⇔ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 8 x + 4 y + 4 2 z + 12 = 16
⇔ x2 + y 2 + z 2 + 4x + 2 y + 2 2z − 2 = 0 ( S ′ ) .
Ta thấy rằng tọa độ
Như vậy điểm

M

M

thỏa phương trình

( S′)

cũng là phương trình mặt cầu.

nằm trên giao tuyến của hai mặt cầu

( S)

và

( S ′ ) ,đó là một đường trịn.

Để tìm bán kính của đường trịn giao tuyến ta làm như sau:
Bằng cách khử đi
Phương trình

( P)

Như vậy điểm
phẳng

( P) .

Mặt cầu

( S)

M

x2 , y2 , z 2

từ phương trình

và

( S′)

ta được phương trình

y = 0 ( P)

là phương trình của một mặt phẳng.
nằm trên giao tuyến của mặt cầu

có tâm

Khoảng cách từ tâm

(

I − 2;1; − 2

I

( S)

(hoặc của

( S′)

) và bán kính R = 3 .

đến mặt phẳng

Vậy bán kính đường trịn giao tuyến là
Bình luận:

( S)

( P)

là:

d = d ( I,( P) ) = 1.

r = R2 − d 2 = 9 − 1 = 2 2 .

cũng được) với mặt


uuuur uuur

+ Thực ra bản chất của giả thiết MA2 + MO.MB = 16 là muốn cho thêm điểm M nằm trên một
mặt cầu khác nữa. Chỗ này ta có thể thay đổi giả thiết để có bài tốn tương tự. Ngồi ra ta cũng
có thể thay đổi điều kiện để được điểm M nằm trên một mặt phẳng có tương giao với mặt cầu

( S) .

+ Trong Lời giải trên, ta thấy rằng khi cho hai mặt cầu tương giao, sau khi loại trừ phần bậc
hai, ta thu được phương trình của một mặt phẳng. Mặt phẳng đó được gọi Mặt đẳng phương
của hai mặt cầu .Khái niệm này chính là sự mở rộng tự nhiên của hái niệm Trục đẳng phương
của hai đường tròn trong mặt phẳng. Việc sử dụng mặt đẳng phương để giải làm cho bài toán
trở nên hết sức đơn giản. Sau đây chúng ta sẽ xét thêm một số ví dụ tương tự với nhiều cách
giải khác nhau. Qua đó ta thấy cách giải sử dụng mặt đẳng phương như trên là nhanh gọn nhất.
Sau đây ta đưa ra một số bài tương tự câu 42 được thực hiện theo nhiều cách giải khác
nhau:
Câu 13.

Oxyz , cho điểm M thuộc mặt cầu
A ( 1;0;0 ) , B ( 2;1;3) ; C ( 0;2; − 3) . Biết rằng

( S ) : ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 2 ) = 9 và bauuuđiểm
r
uu
u
u
r
quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA2 + 2 MB.MC = 8 là đường trịn cố định, tính bán kính r
Trong

khơng
2

gian

với

2

hệ

tọa

độ

2

đường trịn này.

3.

A.
Câu 14.

B.

6.

C. 3 .

D.

6.

2
2
Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 3) = 8 và hai điểm A ( 4;4;3) ,
B ( 1;1;1) . Gọi ( C ) là tập hợp các điểm M ∈ ( S ) để MA − 2MB đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
( C ) là một đường trịn bán kính R . Tính R .
A. 7 .
B. 6 .
C. 2 2 .
D. 3 .
2

Trong không gian

Câu 15. [2H3-2.7-3] (Sở Hà Nam) Trong không gian

Oxyz ,

( P ) : 2 x + y + 2 z − 1 = 0 . Phương trình mặt cầu có tâm I

cho điểm

I ( 2; − 5; − 2 )

và mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

A.

( x − 2) 2 + ( y + 5) 2 + (z + 2) 2 = 16 .

B.

( x − 2)2 + ( y + 5)2 + (z+ 2)2 = 4 .

C.

( x + 2)2 + ( y − 5)2 + (z− 2)2 = 4 .

D.

( x − 2)2 + ( y + 5)2 + (z + 2)2 = 2

( P)

là:

Lời giải.
Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt; Fb: Huỳnh Anh Kiệt
Chọn B

Ta có:

d ( I;( P) ) =

Mặt cầu có tâm

2.2 + ( −5 ) + 2 ( −2 ) − 1
4 +1+ 4

I ( 2; − 5; − 2 )

và có

R= 2

6
= =2
.
3
nên

( S ) : ( x − 2) + ( y + 5) + ( z + 2 )
2

2

2

= 4.

Câu 16. [2H3-2.7-3] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong không gian với hệ tọa độ
cầu

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 6 z + m − 3 = 0 . Tìm số thực m

( S)

theo một đường trịn có chu vi bằng

A.

m = −3.

B.

m = −4.

để

Oxyz , cho mặt

( β ) : 2x − y + 2z − 8 = 0

8π .
C.

m = − 1.

D.

m = −2.

cắt


Lời giải
Tác giả: Hoàng Ngọc Quang; Fb: Hoàng Ngọc Quang
Chọn A
Mặt cầu

( S)

I ( − 1;2;3) , bán kính R = 17− m (điều kiện m< 17).

có tâm

I

Khoảng cách từ tâm

đến mặt phẳng

Đường trịn giao tuyến có bán kính là:
Ta có

d( I ,( β ) ) = 2.

(β)

là:

r=

8π
=4
.
2π

R2 = d2 ( I ,( β ) ) + r 2 ⇔ 17− m= 4 + 16 ⇔ m= − 3 (thỏa mãn).

Câu 17. [2H3-2.7-3] (Chuyên KHTN) Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ
phẳng

( P)

và

( Q)

cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm

đồng thời cắt các trục tọa độ

x + b1 y + c1 z + d1 = 0

và

b1b2 + c1c2 .

A.7.

( Q)

Ox, Oy

tại hai điểm cách đều

có phương trình

B.-9.

A ( 1;1;1)

O . Giả sử ( P )

x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 .
C.-7.

Oxyz
và

có hai mặt

B ( 0; − 2;2 ) ,

có phương trình

Tính giá trị biểu thức
D.9.

Lời giải
Tác giả:Trần Đức Phương; Fb:Phuong Tran Duc
ChọnB
Cách 1
Xét mặt phẳng

A ( 1;1;1)

và

(α )

đi qua

Vì

(α )

có phương trình

x + by + cz + d = 0 thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm

B ( 0; − 2;2 ) , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy
A ( 1;1;1)

và

B ( 0; − 2;2 )

tại hai điểm cách đều

O.

nên ta có hệ phương trình:

1 + b + c + d = 0

 − 2b + 2c + d = 0

( *)

 −d 
M ( − d ;0;0 ) , N  0; ;0 ÷
Mặt phẳng ( α ) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại
 b .
Vì

M,N

Nếu

cách đều

d=0

O nên OM = ON . Suy ra:

d =

d
b .

thì chỉ tồn tại duy nhất một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán (mặt phẳng này sẽ

đi qua điểm

O ).


Do đó để tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn thì:



Với

b = 1,

c + d = −2
⇔
2
c
+
d
=
2


d =

d
⇔ b = ±1
.
b

c = 4

 d = − 6 . Ta được mặt phẳng ( P ) :

( *) ⇔ 

x + y + 4z − 6 = 0


Với

b = − 1,

c + d = 0
c = −2
⇔
 2c + d = − 2  d = 2 . Ta được mặt phẳng ( Q ) :

( *) ⇔ 

x − y − 2z + 2 = 0
Vậy:

b1b2 + c1c2 = 1. ( − 1) + 4. ( − 2 ) = − 9 .

Cách 2 (Mai Đình Kế)

uuur
AB = ( − 1; − 3;1)
Xét mặt phẳng

A ( 1;1;1)

x + by + cz + d = 0 thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm

ur
u1 = (− 1;1;0)
suy ra

O

là một véc tơ cùng phương với

uuuur
MN . Khi đó

uuuur
MN = (− a; a;0) ,

chọn

uuuur

MN = (a; a;0) ,

chọn

r
uuur ur

n P =  AB, u1  = (−1; −1; −4) ,

( P ) : x + y + 4 z + d1 = 0

uur
u2 = (1;1;0)
suy ra

( α ) chính là ( P ) . Ta có

khi đó

M (− a;0;0), N (0; a;0) với a ≠ 0

TH2:

tại hai điểm cách đều

M , N . Vì M , N cách đều O nên ta có 2 trường hợp sau:

M (a;0;0), N (0; a;0) với a ≠ 0

TH1:

Vậy:

có phương trình

B ( 0; − 2;2 ) , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy

và

lần lượt tại

(α )

khi đó

( α ) chính là ( Q ) . Ta có

uuuur
MN . Khi đó

là một véc tơ cùng phương với

r
uuur uur

n Q =  AB, u2  = (−1;1;2) ,

( Q ) : x − y − 2z + d2 = 0

b1b2 + c1c2 = 1. ( − 1) + 4. ( − 2 ) = − 9 .

Câu 18. [2H3-2.7-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Trong không
gian với hệ tọa độ
phẳng
A.

Oxyz , cho mặt cầu ( S )

đi qua điểm

M ( 2;5; − 2 )

( α ) : x = 1 , ( β ) : y = 1 , ( γ ) : z = −1 . Bán kính của mặt cầu ( S )

4.

B.

3 2.

C. 1 .

và tiếp xúc với các mặt
bằng
D.

3.

Lời giải
Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Đoàn Minh Triết

Chọn D


I ( a; b; c )

Gọi
Do

( S)

là tâm mặt cầu

( S) .

tiếp xúc với cả ba mặt phẳng

Mặt khác, ta lại có

(α ) , ( β ) , (γ )

nên ta có

( 2 − a) + ( 5 − b) + ( − 2 − c)
2

R = IM =

2

a−1 = b−1 = c+1 = R.

2

.

Do đó ta có hệ:

( 2 − a ) 2 + ( 5 − b ) 2 + ( − 2 − c ) 2 = ( a − 1) 2

2
2
2
2

( 2 − a ) + ( 5 − b ) + ( − 2 − c ) = ( b − 1) ( 1)

2
2
2
2
( 2 − a ) + ( 5 − b ) + ( − 2 − c ) = ( c + 1)
.
3
2
2

( a − 1) > ( a − 2 ) ⇔ a > ⇔ a − 1 > 0
2

2

2
( b − 1) > ( b − 5 ) ⇔ b > 3 ⇔ b − 1 > 0

( c + 1) 2 > ( c + 2 ) 2 ⇔ c < − 3 ⇔ c + 1 < 0
2
Quan sát ta thấy rằng 
.
Do đó

a − 1 = b − 1 = c + 1 ⇒ a − 1 = b − 1 = − c − 1.
a − 1 = b − 1 = −c − 1

Từ

( 1) ⇔ 

 ( a − 2 ) + ( b − 5) + ( c + 2 ) = ( a − 1)

Vậy

2

2

2

2

a = 4


⇔ b = 4
c = −4 .


R = IM = 3 .

Câu 19. [2H3-2.7-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Trong không gian
mặt cầu tâm

I ( − 1;2;1)

tiếp xúc với mặt phẳng

( x − a) + ( y − b) + ( z − c)
2

2

2

có phương trình là

= d . Giá trị T = a + b + c + d bằng

B. 5 .

A. 11 .

( P) : x − 2 y − 2z − 2 = 0

Oxyz,

D. 13 .

C. 1 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Quân; Fb: Nguyễn Minh Quân
Chọn A

R

Gọi

là bán kính mặt cầu. Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

d ( I,( P) ) = R
Từ

⇒

− 1 − 2.2 − 2.1 − 2
1 + ( −2) + ( − 2)
2

2

( x − a ) + ( y − b) + ( z − c)

Vậy

2

2

2

2

=R

( P)

nên ta có:

⇔ R = 3 . Suy ra d = 9 .

= d và tâm I ( − 1;2;1) suy ra a = − 1 ; b = 2 ; c = 1 .

T = a + b + c + d = − 1 + 2 + 1 + 9 = 11 .


Câu 20. [2H3-2.7-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong khơng gian
cho mặt cầu

( S)

lượt cắt

( S)

có tâm thuộc trục

Oz . Biết mặt phẳng ( Oxy )

và mặt phẳng

theo hai đường trịn có bán kính 2 và 4. Phương trình của

( S)

A.

x 2 + y 2 + ( z − 2 ) = 16 .

B.

x 2 + y 2 + ( z − 4 ) = 16 .

C.

x 2 + y 2 + ( z − 4 ) = 20 .

D.

x 2 + y 2 + ( z − 2 ) = 20 .

2

Oxyz ,

(α ) :z = 2

lần

là

2

2

2

Lời giải
Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm
Chọn C
Giả sử mặt cầu

mặt

R=

(

)

và có tâm

I ( 0;0; c )

(vì tâm

I

thuộc trục

Oz ).

d ( I ;( α ) ) = c − 2 .

( S)

cắt

theo

đường trịn

có

bán

kính

bằng 2 nên

d ( I ; ( Oxy ) ) + 4 = c 2 + 4 .

( d ( I ;( α ) ) )

Suy ra:

và

( Oxy )

phẳng

2

(α ) :z = 2

Vì mặt phẳng

R=

R

có bán kính

d ( I ; ( Oxy ) ) = c

Ta có:
Vì

( S)

2

+ 16 =

( S)

cắt

( c − 2)

2

theo đường trịn có bán kính bằng 4 nên

+ 16 .

c 2 + 4 = ( c − 2 ) + 16 ⇔ 4c = 16 ⇔ c = 4 ⇒ I ( 0;0;4 )
2

Vậy phương trình mặt cầu

( S)

là:

và

R = 20 .

x 2 + y 2 + ( z − 4 ) = 20 .
2

Câu 21. [2H3-2.7-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian tọa độ

I ( 4;9;16 ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oyz )

Oxyz , mặt cầu tâm

có phương trình là

A.

( x + 4 ) + ( y + 9 ) + ( z + 16 )

2

= 4.

B.

( x − 4) + ( y − 9 ) + ( z − 16 )

2

=4.

C.

( x + 4 ) + ( y + 9 ) + ( z + 16 )

2

= 16 .

D.

( x − 4 ) + ( y − 9) + ( z − 16 )

2

= 16 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb:
Chọn D
Phương trình mặt phẳng

( Oyz )

là

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

x= 0.

( Oyz ) có bán kính R = d ( I , ( Oyz ) ) = 4 .

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

( x − 4 ) + ( y − 9) + ( z − 16 )
2

2

2

= 16 .


Câu 22. [2H3-2.7-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian
cho các mặt phẳng

Oxyz ,

( P ) : 2 x + 4 y − z − 7 = 0 , ( Q ) : 4 x + 5 y + z − 14 = 0 , ( R ) : x + 2 y − 2 z − 2 = 0

( S ) : x + 2 y − 2z + 4 = 0 .

2
2
2
Biết mặt cầu ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = D có tâm nằm trên ( P )
( R ) và ( S ) . Giá trị a + b + c bằng
và

A.

2.

B.

3.

C.

5.

và

( Q ) , cùng tiếp xúc với
D.

4.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Nam Sơn; Fb: nguyennamson
Chọn C
Gọi

I ( a ; b; c)

là tâm của mặt cầu

( S′ ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c)
2

2

2

= D.

 2a + 4b − c − 7 = 0

Vì I nằm trên ( P ) và ( Q ) nên:  4a + 5b + c − 14 = 0 ( 1)
Mặt khác,

( S′)

cùng tiếp xúc với

( R)

và

( S)

nên:

a + 2b − 2c − 2 a + 2b − 2c + 4
=
d I ,( R) = d I ,( S )
3
3
 a + 2b − 2c − 2 = a + 2b − 2c + 4
−2 = 4
⇔
⇔
 a + 2b − 2c − 2 = − a − 2b + 2c − 4  a + 2b − 2c + 1 = 0

⇔ a + 2b − 2c + 1 = 0 ( 2 )

 2a + 4b − c − 7 = 0
a = −1


 4a + 5b + c − 14 = 0 ⇒  b = 3

c = 3
Từ ( 1) và ( 2 ) ta được hệ:  a + 2b − 2c + 1 = 0


⇒ a + b + c = 5.

(

) (

)

⇒