CD 1He thuc canh va duong cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề bám sát </b>

hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vng

A. Mơc tiªu.

1. <i>KiÕn thøc cơ bản</i>.

- Hc sinh c khc sõu cỏc nh lý, các hệ thức.

- Hệ thức giữa cạnh góc vng và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
- Một số hệ thc liờn quan n ng cao.

<i>2. Kĩ năng cơ bản<b>.</b></i>

- Rèn cho học sinh vận dụng các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác
vuông để làm bài tốn tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức.

- Rèn cho học sinh kỹ năng trình bày lời giải bài toán hình.

<i>3. V t duy v thỏi .</i>

- Cẩn thËn chÝnh x¸c trong tÝnh to¸n, lËp ln.

- Ph¸t triĨn t duy lôgíc, trí tởng tợng không gian. Biết quy lạ về quen.
<b>B. Nội dung.</b>

<b>I. Lý thuyết:</b>

<i>Kiến thức cơ bản.</i>

1<i>. Hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.</i>

<b>nh lớ 1: Trong 1 tam giác vng, bình phơng mỗi cạnh góc vng bằng tích của các</b>
cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vng đó trên cạnh huyền.

b2_{= a.b}'_{; c}2_{= a.c}'

<i>2. Các hệ thức liên quan đến đ ờng cao.</i>

<b>Định lý 2: Trong một tam giác vng, bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền bằng</b>
tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền.

h2_{= b}'_.c'

<b>Định lý 3: Trong một tam giác vng, tích hai cạnh góc vng bằng tích cạnh huyền</b>
với đờng cao tơng ứng.

b.c = a.h.

<b>Định lý 4: Trong một tam giác vng nghịch đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh</b>
huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phơng của hai cạnh góc vng.

₂ ₂ ₂
c

1
b

1
h

1




<b>II. Bµi tËp.</b>

H

B C

A

c'

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Dạng 1: Trắc nghiệm.</b>

<i><b>Bài 1:</b></i>

HÃy điền biểu thức thích hợp vào ô trống (.)

Xột tam giỏc ABC vng với các yếu tố đợc cho trong hình

b2₌………_.

c2₌………_.

h2₌………_.

2

h
1

= ………
a.h = ………
<b>Bài 2: Chọn câu trả lời đúng:</b>
Tính x trong hình vẽ bên.
A: x = 0,08cm

B: x = 6,4cm
C: x = 3,2cm
D: x = 6cm

<b>Bài 3: Chọn câu trả lời đúng.</b>
Tính y trong hình vẽ bên:

cm
74
35
y
:
D

cm

74
y
:
C

cm
74

35
y

:
B

cm
35

74
y

:
A






<b>Bài 4: Chọn câu trả lời đúng.</b>

3
16
x
:

A  vµ y= 9

B: x = 4,8 vµ y = 10

H

B C

A

c'

b

b'
c

x
8

10

7

y

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

C: x = 5 vµ y = 9,6

D: Cả ba trờng hợp trên đều sai.

<b>Bài 5: Cho hình vẽ. Chọn câu trả lời đúng.</b>

2
y
vµ
3
2
x
:
C

3
2
y
vµ
2
x
:
B

3
y
vµ
3
x

:
A










D: Cả ba trờng hợp trên đều sai.
<b>Bài 6:</b>

Cho ΔABC vuông tại A, đờng cao AH = 32 và HC = 4BH thì HB bằng bao nhiêu.
a. 16; b. 4; c. 8; d. Số khác.

<b>Bài 7: Cho ΔABC vuông tại A, đờng cao AH = a; HC = 2AH thì kết quả nào sau đây</b>
đúng.

a. BC = 3a; b. BH = a; c. AC = a 5 ; d. AB = 2a.

<b>Bài 8:</b>

Tam giác ABC vuông tại A có

4
3
AC

AB

; đờng cao AH = 15cm. Khi đó độ dài CH

b»ng:

A. 20cm; B. 15cm; C.10cm; D. 25cm.
<b>Bµi 9:</b>

Tam giác PQR vng tại P có đờng cao PH = 4cm và

2
1
HR
QH

 khi đó độ dài QR bằng.

A. 6 2cm; B. 4 2cm; C. 5 2cm; D. 5 3cm

<b>Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Biết AB = 8 và trung tuyến AM</b>
= 5 thì kết quả nào sau đây là đúng:

a. DiÖn tÝch ΔABC = 24 c. BH = 6,4

b. AH = 4,8 d. Cả ba đều đúng.
<b>Đáp án:</b>

2.b 3.b 4.b 5.b 6.a 7.c 8.a 9.a 10.d
<b>Dạng 2: Tính toán yếu tố trong tam giác.</b>

<b>1. VÝ dô:</b>

Cho tam giác ABC; vuông ở A; đờng cao AH. Biết BH = 9cm; CH = 16cm.
a. Tính độ dài các cạnh AB; AC.

b. TÝnh chiỊu cao AH.

<i>Phân tích</i>: Biết độ dài các đoạn BH; CH nên biết độ dài cạnh huyền BC.

Trong tam giác ABC vuung tại A, biết độ dài cạnh huyền, và hai hình chiếu của hai
cạnh góc vng trên cạnh huyền nên sử dụng hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam
giác vuông ta tính đợc độ dài các cạnh góc vng AB; AC và đờng cao AH.

1
x

3

B

A

H C

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>Híng dÉn gi¶</i>i:

Ta cã BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm)
ABC; A = 10; AHBC.

=> AB2_{= BH.BC (¸p dơng hƯ thức về cạnh góc vuông và hình chiếu của nó}

= 9.25 = 225 trên cạnh huyền)
=> AB2 225 15 (cm)




AC2_{= CH.CB = 16.25 = 400}

=> AC 400 20(cm)

b. Cách1: Theo hệ thức liên hệ giữa đờng cao thuộc cạnh huyền và hai hình chiếu của
hai cạnh góc vng trên cạnh huyền, ta có:

AH2_{= BH.HC = 9.16 = 144}

=>AH  144 12(cm)

<b>Cách 2: áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông ABH.</b>
AH2_{= AB}2_{- BH}2_{= 15}2_{- 9}2_{= 225 - 81 = 144.}

=> AH 144 12 (cm)

<b>Cách 3: Theo hệ thức liên hệ giữa 2 cạnh góc vng và đờng cao tơng ứng với cạnh</b>
huyền, ta có:

AH.BC = AB.AC.

=> 12(cm)

25
20
.
15
BC

AC
.
AB

AH

2. Bài tập t<b> ơng tù:</b>

<b>Bài 1: Cho Δ ABC vuông tại A, đờng cao AH; AB = 6cm; AC = 8cm. Tính BC; BH;</b>
CH và AH.

<b>Bài 2: Cho Δ ABC vuông ở A, đờng cao AH.</b>

a. BiÕt AH = 6cm; BH = 4,5cm; TÝnh AB, AC, BC, HC
b. BiÕt AB = 6cm; BH = 3cm. TÝnh AH; AC; CH.

<b>Bài 3: Cho tam giác ABC, vuông tại A, đờng cao AH = 12cm, trung tuyến </b>

AM = cm

2
25

. Tính các cạnh của tam giác.

<b>Bi 4: Cho Δ ABC vuông ở A, đờng cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH = 8cm. Tính</b>
HB; HC; AB và AC.

<b>Bài 5: Cho Δ ABC, A = 90</b>0_{; AB = 12cm; AC = 16cm phân giác AD; đờng cao AH.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài 5: Cho Δ ABC; A = 900_{; AB = 12cm; AC = 16cm phân giác AD; đờng cao AH.}

Tính độ dài các đoạn BH; HC.

<b>Bài 6: Cho Δ ABC vng tại A; đờng cao AH. Tính chu vi của tam giác ABC biết; AH</b>
= 14cm;

4
1
HC
HB



<b>Bµi 7 : cho tam giác ABC vuông tại A cã hai trung tuyÕn Am = 6 vµ Bn = 9. Tính các</b>
cạnh của tam giác ABC.

<b>Bài 8: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 6, ABC = 60</b>0_{vµ ACB = 45}0_{. TÝnh BC vµ AC.}

<b>Bài 9: Cho tam giác ABC; AB = 6cm; BC = 10cm và góc ABC = 120</b>0_{. Kẻ đờng cao}

AH.

a. TÝnh BH; AH vµ AC.

b. Lấy điểm M trên đoạn BC với CM = x. Đờng song song với AB kẻ từ M cắt AC tại
N. Tính x để chu vi tam giác MNC bằng chu vi hình thang ABMN.

<b>D¹ng 3: Chøng minh c¸c hƯ thøc trong tam gi¸c.</b>

<i>Ví dụ</i>: Cho tam giác ABC có A = 900_{; đờng cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu}

cđa H trªn AB và AC. Chứng minh các hệ thức.
HC

HB
AC

AB
.
a ₂

2

BC
.
CE
.
BD
DE

.

b 2

EC
DB
AC

AB
.
c ₃

3


<i>Híng dÉn:</i>

a. áp dụng hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ABC.
AB2_{= BH.BC}

AC2_{= CH.BC}

=>

HC
HB
AC

AB

2

2



b. áp dụng hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vng ABC; AH  BC.
Ta có AH2_{= HB.HC.}

=>AH4_{= HB}2_.HC2₍₁₎

Trong tam giác vuông AHB có.
HB2_{= BD.AB}

Trong tam gi¸c vu«ng AHC cã.
HC2_{= EC.AC.}

Thay HB2_{, HC}2_{vµo (1) ta cã}

AH4_{= BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH.}

=> AH3_{= BD.EC.BC (2)}

Mà AEHD là hình chữ nhật nên các đờng chéo AH = DE. Thay vào (2) ta có:
B

A

H C

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

DE3_{= BD.CE.BC}

c. Theo c©u a ta cã:

)
3
(
HC
HB
AC
AB
HC
HB
AC
AB
2
2
4
4
2
2




Thay HB2_{= BD.AB vµo (3)}

HC2 _{= EC.AC}









EC
BD
AC
AB
EC
BD
AB
.
AC
AC
.
AB
AC
.
EC
AB
.
BD
AC
AB
AC
.
EC
AB
.
BD
AC
AB
3

3
4
4
4
4
4
4









<i>Chú ý</i>: Khi làm bài một số bài toán cha cho tam giác vuông để áp dụng hệ thức về
cạnh và đờng cao trong tam giác vuông phải kẻ thêm đờng phụ xuất hiện tam giác
vng.

VD2: Cho Δ ABC cân tại A có AH; BK là các đờng cao. CMR:

AC
.
KC
2
BC
.
b
AH

4
1
BC
1
BK
1
.
a
2
2
2
2




<i>Híng dÉn:</i>

Trong tam giác vng AHC kẻ đờng cao AH ta có:
HD//BK (cùng AC)

Do đó BK= 2HD (tính chất đờng trung bình của
tam giác BCK)

¸p dơng hƯ thøc lợng trong tam giác AHC
Có HD AC cho ta hÖ thøc.

2 2 2

2

2
2
2
2
2
BC
1
AH
4
1
BK
1
BC
4
1
1
AH
1
BK
4
1
1
HC
1
AH
1
HD
1










b. ¸p dơng hƯ thøc lợng trong tam giác vuông AHC.
Cho HC2_{= CD.CA.}

Mà BC = 2HC vµ CK = 2CD.
=> BC2_{= 2KC.AC.}

<b>Bµi tËp t¬ng tù:</b>

<b>Bài 1: Cho hình vng ABCD. Một đờng thẳng qua A cắt cạnh BC tại M và đờng</b>
thẳng CD ti N.

CMR: ₂ ₂ ₂

AN
1
AM
1
AB
1

<b>Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D</b>

CMR:

AB2_{+ CD}2_{+ AD}2_{= BC}2_{+ 2AB.CD.}

<b>Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Kẻ HD vng góc với AB và HE</b>
vng góc với AC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

CMR:

2
2

AC
AB
CE

BD
Vµ
AC
AB
HC

HB


















<b>Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Đờng thẳng song song với BC</b>
cắt AB tại D và AC tại E.

CMR:

2
2

AC
AB
HC
HB

</div>

<!--links-->