Nguyen ham

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (373.28 KB, 21 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHƯƠNG III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ

ỨNG DỤNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

05/02/21 2

1./ Khái niệm nguyên hàm

Bài 1: NGUYÊN HÀM

2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu
a) f(x) = 2x

b) f(x) = cosx
Giải :

a)Ta có
nên F(x) =
b) Ta thấy

nên F(x) = sinx

khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x)

x

)

2 (

2 '



x

)

cos

(sin



1./ Khái niệm nguyên hàm

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

05/02/21 4

Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa 
khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) 
được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) 
với mọi x thuộc K.

Câu hỏi :

1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ?
2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ?

Trả lời :

1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y=

2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y =

x

cos
1

10
ln

x

1./ Khái niệm nguyên hàm

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chú ý:

• Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) =
f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là

hay

• Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu
F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng
minh được rằng

F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)

Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].

)
(
)

(
)

(

lim

f a

a
x

a
F
x

F

a
x









)
(
)

(
)

(

lim

f b

b
x

b
F
x

F

b
x









1./ Khái niệm nguyên hàm

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

05/02/21 6

ĐỊNH LÝ 1

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số 
G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của 
f(x) trên K.

Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của 
hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao 
cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

1./ Khái niệm nguyên hàm

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 
thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu 
là

trong đó f(x)dx là vi phân của F(x).

Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất 
kỳ của hàm số f

f ( x )dx F ( x ) C ,C   .





1./ Khái niệm nguyên hàm

( f ( x )dx )'



 f ( x )

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

05/02/21 8

2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

C

dx





0 C

x

dx







1 



C

x

dx

x







1 ln

)

1 (

1 













dx

x

C

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

cos( kx b )

sin( kx b )dx C ,k 0.

k



   



x

x a

a dx C( 0 1 )

ln a



   



kx

kx e

e dx C

k

 



sin( kx b )

cos( kx b )dx C

k



  



2
1

dx tan x C

cos x  



2

1

dx cot x C

sin x  



2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

05/02/21 10

[f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
af ( x )dx a f ( x )dx

  





Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K , 
với a là số thực khác 0 thì:

f ( x )dx ' f ( x )
f ( t )dt F ( t ) C

f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C
f ( u )du F ( u ) C

[ ] 

 

  

 



3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Chú ý:

Nêu f ( x )dx

F ( x ) C thì

1

f ( ax b )dx

f ( ax b )d( ax b )

a

1

F ( ax b ) C

a















C
x

u
dx

x
u






'(( )) ln ( )

C
x

x
dx






C
dx








C
x

n
n
dx

x n n

n




 



1 1

C

x

n
n
x

dx n n

n   





1 1

3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

05/02/21 12

Hỏi nhanh: mệnh đề nào sau đây sai:



e

dx



e



C

.

A

x x



sin

xdx



cos

x



C

.

C



2 dx



2 x



C

.

B







C

2 x

xdx

.

D

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: tìm ngun hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

3 3

f ( x )



x



3x



5 x

3
1
3

1
2

1
3

3

5

(

3

)

(

5

)

)

(

x

f











f

(

x

)

dx





[

x



(

3 x

)



(

5 x

)

]

dx

1
3

1
2

C
x

x
x

C
x

x
x















3 4
3

3 4
3 4

3
4
3

1
3

4
3

1
2

4
5
3

4
3
3

4
3
5

4
3
3

3
2

Giải

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

05/02/21 14
x x 2

f ( x ) ( 3





2 )

2
2

(

3

)

2

.

3

.

2

(

2

)

)

2

3 (

)

(

x

x x x x x x

f









x
x

x

2

.

6

4

9 



C

dx

x

f

x
x

x







(

)

ln

9 9

2 .

ln

6 6

ln

4 4

Vậy

Ví dụ 2:

Ví dụ 2: tìm ngun hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Vậy

3

2

sin x 2

f ( x )

3 sin x

























x

f

2 2

sin

1

3

2

3 sin

3

2 sin

)

(

C

x

dx

x























sin

3

sin

2

1 3

cos

3

2 cot

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: tìm ngun hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

05/02/21 16

Vậy

3

x

f ( x ) 8 sin

6 sin

3





3 sin

6

3 sin

8 )

(

x

f





x

sin

2 )

3 sin

4

3 sin

3 (

2 









f

(

x

)

dx





(



2 sin

x

)

dx

C

x

C

x











cos

2 )

cos

(

2

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

C

b
ax
a
dx
b

ax    



sin( ) 1 cos( )

C
e

a
dx

eaxb  axb 



1
C
b
ax
a
dx
b

ax    



cos2(1 ) 1 tan( )

C
b
ax
a
b
ax
dx







1 ln

)
1
(
1
)
(
1
)
(
1

















 ax b C

a
dx
b
ax
C
b
ax
a
dx
b

ax    



cos( ) 1 sin( )

C
b
ax
a
dx
b

ax    



sin2(1 ) 1 cot( )

a 0

 

Bảng các nguyên hàm mở rộng

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

05/02/21 18

Vậy

2

1
f ( x )

2 x x 3


 
)
2
3
)(
1
(

1
2
1
3
2
1
)
( 2







x
x
x
x
x
f
)
2
3
1
1
1
(
5
1

)
2
3
)(
1
(
)]
1
(
)
2
3
[(
5
2
2
1











x
x

x
x
x
x
]
2
3
1
1
1
[
5
1
)
(








 dx
x
dx
x
dx
x
f
C
x
x
C

x
x









2
/
3
1
ln
5
1
]
2
/
3
ln
1
[ln
5
1

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: tìm ngun hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vậy

1
f ( x )

2 sin x cos x


 
)
4
cos(
2
2
1
cos
sin
2
1
)
(








x
x
x
x
f
)
8
2
(
sin
2
2
1
)]
4
cos(
1
[
2
1
2 






x
x

C
x
x
dx
dx
x

f    









21 cot(2 8 )

)
8
2
(
sin
2
2
1
)
(
2



Ví dụ 5:

Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

05/02/21 20

x x

f ( x ) e e 2dx

  
|
|
)
(
2
)

( 2 2 2 2 2

x
x

x

x e e e e e

e
x
f










Xét 
x x

2 2 x x

e e 0 x 0

2 2


     
C
e
e
dx
e

e
dx
x
f
e
e
x
f
x
x
x
x
x
x














( ) ( ) 2( )

)

( 2 2 2 2 2 2

x x

2 2

e e 0 x 0


   
C
e
e
dx
e
e
dx
x
f
e
e
x
f
x
x
x
x
x
x

















( ) ( ) 2( )

)

( 2 2 2 2 2 2

Ví dụ 6:

Ví dụ 6: tìm ngun hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3

2

x 3x 2
f ( x )

x( x 2 x 1 )

 

 
2
2
3

)

1 (

4

2

1 )

1

2 (

2

3 )

(













x

f

Ta có 2 2

)
1
(
1
)
1
(
1






 x
c
x
b
x
a
x
x
cx
x
bx
x

a    



 1 ( 1)2 ( 1)

Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1
Do đó


















2
2
3
)
1
(
1
1
1
1
4
2
1
)
1
2
(
2
3
x

x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
x
x
dx
x

f     





( ) 2ln | | 4 ln 4

Ví dụ 7:

Ví dụ 7: tìm ngun hàm của hàm số: tìm nguyên hàm của hàm số:

Giải

</div>

Nguyen ham

<b>CHƯƠNG III </b>

<b>CHƯƠNG III </b>

<b> NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ </b>

<b> NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ </b>

<b>ỨNG DỤNG</b>

<b>ỨNG DỤNG</b>

<b>Bài 1: NGUYÊN HÀM</b>

<b>Bài 1: NGUYÊN HÀM</b>

<i>x</i>

<i>x</i>

)

2

(



<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

)

cos

(sin



lim

lim



<sub></sub>

<i>C</i>

<i>dx</i>





0

<i>C</i>

<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>dx</i>

<sub></sub>





1





<i>C</i>

<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>







1

ln

)

1

(

1

















<i><sub>dx</sub></i>

<i>x</i>

<i><sub>C</sub></i>





























