Gián án CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KG 12

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
N
1. Tọa độ của điểm :
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ :
( )
; ;u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;

B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z
= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z
± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz
=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z
= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. Các công thức tính độ dài và góc

2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
1. Cho
2 , 3 5( ), 2 3u i j v i j k w i j k= − = + − = + −
r r r ur r r r uur r r r

a) Tìm tọa độ các vecto đó
b) Tìm cosin của các góc
( ) ( )
; , ;u i v j
r r r r
c) Tính tích vô hướng của
. , . , .u v u w v w
r r r ur r ur
2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ D và tính góc giữa hai vecto
,AC BD
uuur uuur
4. Tính tích vô hướng của
.a b
r r
, biết
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
5. Tìm góc giữa hai vecto
;u v
r r
a)

( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
6. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
7. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
9. Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
10. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác đònh bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k= + −
uuur r r r
, C(2; 4;
3),
OD 2i 2j k= + −
uuur r r r
. Chứng minh :AB
⊥
AC, AC
⊥
AD, AD
⊥
AB
11. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)

a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a
2
+ b
2
+ c
2
– d >0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −
2. Chú ý:

a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
⇒
 ÷
 
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào
phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
-6x +4y -2z – 86 = 0

b) x
2
+y
2
+z
2
+3x + 4y – 5z +6 = 0
c) x
2
+y
2
+z
2
–6x + 4y + 2z – 11 = 0
d) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z – 2)
2
= 49
e) x
2
+y
2
+z
2
–2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)

b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu của A lên Oxy.
Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
ln là phương trình của một
mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
ln là phương trình
của một mặt cầu. Tìm
α
để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Cơng thức tích có hướng
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur

;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
1.
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ N BÁI
2
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2.
u v v u∧ = − ∧
r r r r
3.
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧
r r r r r r
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =

uuur uuur r
Bài tập:
1. Tính tích có hướng của các vect ơ:
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
c)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
d)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
2. Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Tính
; ;AB AC BA BC∧ ∧
uuur uuur uuur uuur
b) Tính
( ); ( )AD AB AC BD BA BC∧ ∧
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
3. Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm góc giữa hai vecto
;AB CD
uuur uuur

Tính
( ); ( )AD AB AC BD BA BC∧ ∧
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
4. Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Tính :
;HI HK IK KH∧ ∧
uuur uuur uur uuur
5. Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx. Tính :
;HI HK IK KH∧ ∧
uuur uuur uur uuur
6. Trong khoâng gian Oxyz cho B(1; 1; 1), C(1/3; 1/3; 1/3).Chöùng minh O, B, C thaúng haøng.
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
( là vectơ vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x
0
) + B(y-y
0

) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)
∈
(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur
có giá song
song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:
'n u u= ∧
r r ur

3. Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp song song với các mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0,
song song với (Oyz): Ax + D = 0 ,
song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0
song song với Oy: Ax + Cz + D = 0
song song với Oz: Ax + By + D = 0
chứa trục Ox: By + Cz = 0
chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
3
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
chứa trục Oz: Ax + By = 0
d) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −

r
r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3).
3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
3OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD

c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ độ.
9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ độ
10. ( TN 07 -08)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Viết phương trình mp
đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là
( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD

=
=
 

⇔ ⇔
 
≠
≠




r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
'
A B C k A B C
n kn
P P
D kD
D kD

=
=
 
≡ ⇔ ⇔
 
=
=





r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc
Chú ý:
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
4
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu
( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=
r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α

) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (
β
):2x−y+3z+1=0.
b) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z− + =
d) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 2 6 0x y+ − =

3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M và song song
với (P)
5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P
2
) : 3x + 2y −
z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0
b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến
( )
≠
r ur
n= A;B;C 0

của mặt phẳng (α):
(α):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x- x +B y - y +C z- z = 0
(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D= 0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+m= 0
,
( )
α
uur uur
β

n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m= - Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2

( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
5
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài tập:
Loại 1 : Khoảng cách từ M (x
M
;y
M
;z
M
) đến mặt phẳng (α):
Ax+By+Cz+D= 0
:
( )
α
M M M
2 2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ
M điểm đó đến mặt phẳng kia.
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:

a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm khoảng cách giữa
2 mặt phẳng (P) và (Q).
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS: m=±1
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương trình: 2x – 2y + z
– 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//(P) và khoảng cách giữa (P) và
(Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ (y -2)
2

+ (z -2)
2
= 36 và mặt phẳng (P): x +2y +
2z + 18 = 0. Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến (P).
10.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
11. (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0)
12.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể tích tứ diện ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4;
0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
6
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A
và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp

xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc toạ
độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3;
0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )
,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung.
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu
( )
( )
,d I P R<
thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là hình chiếu
của I lên (P) và bán kính
( )
( )

,
2 2
I Pr R d= −
19. Cho mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 1 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
α
2x – 2y – z + 9 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α

cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
20. Cho mặt cầu (S) :
6 4 2 5
2 2 2
0
x x y z
y z
− + − +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α
không cắt mặt cầu (S) .

21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0
x x y z
y z
− + + +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
23. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox
và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3.
24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m
2
– 3m = 0 và mặt cầu (S):

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 9x y z− + + + − =
. Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu.
Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc. Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
7
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
( )
( )
,d I P R=⇔
25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình
x
2
+ y
2
+z
2
- 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )

α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
–3x – 6y – 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0
0
0

x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

PTCT:
0 0 0
; , , 0
x x y y z z
a b c
a b c
− − −
= = ≠
2. Chú ý
a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó đt d có VTCP:
'
; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
 

= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

BÀI TẬP:
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)
b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0
b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuông góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
4
1
3

x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

WRITTEN BY LÊ VĂN CHƯƠNG TRƯỜNG THPT DT NỘI TRÚ YÊN BÁI
8