SKKNSu dung hang dang thuc de giai pt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (189.3 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phòng giáo dục nam đàn

=====***=====

đề tài:

Sử dụng hằng đẳng thức

(AB)

2

=A

2

2AB+B

2

giI ph ng trỡnh

GIáo viên: dơng ngọc hµ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phịng giáo dục nam đàn

=====***=====

đề tài:

Sử dụng hằng đẳng thức

(A



B)

2

=A

2

2AB+B

2

để giảI phơng trình

GI¸o viên: dơng ngọc hà

T: 0984.919.981 & 0386.584.676

Trờng ptcs nam thỵng

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Lời nói đầu ... 3

Lí do chọn đề tài ………. 5

Nội dung đề tài ... 7

Kết luận ... 17

Tài liệu tam khảo ... 19

Lời

nói đầu

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

cũn rt tr nhng do suy nghĩ, tìm tịi đã có những sáng kiến tiết kiệm cho
nhà Nớc hàng chục tỉ đồng. Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo. Trong
dạy học tốn cũng vậy, chúng ta không chỉ dạy cho học sinh y nh trong
sách, hoặc chỉ cho học sinh làm một số bài tập lấy ra từ một cuốn sách
nào đó. Nh thế cha đủ, khi dạy hoặc học đến một phần nào đó ta phải suy
nghĩ tìm tịi, suy rộng ra vấn đề này có liên quan gì đến vấn đề khác và
trên cơ sở liên quan đó có thể rút ra những điều bổ ích.

Trong dạy và học tốn nó cũng giống nh trong đời sống nói chung, có
những vấn đề tởng chừng nh đã quá quen thuộc, ta tởng nh chúng đã quá
tõ ràng khơng có gì đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực ra trong đó vẫn
chứa đựng những vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ vẫn còn nhiều điều đáng

chú ý, đáng nghiên cứu. Thí dụ nh trong chơng trình đại số cấp THCS có
gì quen thuộc hơn " Bảy hằng đẳng thức" !?. ứng dụng của nó là khơng
nhỏ. Tuy nhiên có những ứng dụng của nó mà ta cha may may nghĩ tới,
cũng có thể đã nghĩ tới, đã sử dụng nhng cha phát huy hết tác dụng của
nó.

Trong khn khổ sáng kiến này tôi xin giới thiệu một ứng dụng của
hai hằng đẳng thức đầu tiên dó là

"Sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A22AB+B2 để giải phơng trình".

Mặc dầu trong quá trình tìm tịi tơi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví
dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng dẫu
sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chỉ, đồng
nghiệp góp ý, chỉ bảo.

A/ lí do chọn đề tài đề tài

Trong chơng trình tốn THCS, bảy hằng đẳng thức có một tầm quan
trọng đặc biệt, đặc biệt là hai hằng đẳng thức u tiờn: (A B)2=A2

2AB+B2. Nó không những giúp cho chúng chúng ta một phơng pháp tính

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tuy nhiên ứng dụng của hai hằng đẳng thức này vào giải phơng trình
tuy cha đợc đa vao một bài dạy cụ thể trong chơng trình chính khố, song
khơng ít bài tập trong SGK ( Sách giáo khoa) đã buộc học sinh phải sử
dụng chúng thì mới giải đợc. Tuy vậy ứng dụng của hai HĐT trên đối với
các bài tập trong SGK cũng chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản mà nếu
những HS ở mức trung bình khá mà chú ý đã phát hiện ra ngay. Hơn thế
cũng cha có tài liêu nào giới thiệu cho giáo viên và HS các phơng pháp

biến đổi để ứng dụng hai HĐT này vào giải phơng trình, trong lúc đó
ch-ơng trình tốn THCS, giải phch-ơng trình lại là một dạng tốn cơ bản và khó,
thờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có
rất nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa
về phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phơng trình bậc hai…
Trong đó khá nhiều PT nếu biết sử dụng hằng đẳng thức (A B)2=A2

2AB+B2 th× việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn và rất hiƯu qu¶. ChÝnh

vì lẽ đó tơi đã rút ra đợc một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng hai
hằng đẳng thức này vào giải một số phơng trính khó thờng gặp để phục
vụ cho cơng tác giảng dạy của mình.

Sau nhiều năm đa ứng dụng này vào giải phựơng trình tôi thấy việc
sử dụng HĐT (AB)2=A22AB+B2 vào giải phơng trình có rất nhiều

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

B/ nội dung đề tài

i/ Mục đích nghiên cứu đề tài

Tác giả muốn đa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học

sinh và đồng nghiệp có số cách vận dụng

đẳng thức (AB)2=A2

2AB+B2 để giải phơng trình

. Thơng qua các ví dụ cụ thể bạn đọc có

thể vận dụng từng phơng pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể.

ii/ cơ sở và phơng pháp nghiên cứu

Trên cơ sở những phơng pháp và dạng toán thờng gặp trong chơng
trình tốn THCS sáng kiến này có nhiệm vụ tổng hợp các phơng pháp

hiện có một cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm ra
những phơng pháp mới mẻ mà những phơng pháp cũ không thể giải quyết
đợc hoặc nếu sử dụng các phơng pháp sẵn có sẽ làm cho bài tốn trở nên
phức tạp hơn. Đồng thời tác giả cũng đa ra một vài phơng pháp mới lạ,
tuy có khó đối với học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh và
tham khảo.

Iii/ Thùc tr¹ng

Trong chơng trình tốn THCS, các bài tốn giải phơng trình ( hoặc bài
tốn tìm x, y, a, b,…) lại là một dạng tốn cơ bản thờng đã có thuật tốn
giải, nhng cũng có bài tốn giải phơng trình nếu khơng đợc trang bị một
số phơng pháp giải thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc tìm lời giải,
đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có rất
nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa về
phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phơng trình bậc hai…Trong
đó khá nhiều PT nếu biết sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A22AB+B2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

đẳng thức này vào giải một số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho
cơng tác giảng dạy của mình.

Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng hằng đẳng thức (AB)2=A2

2AB+B2 để giải phơng trình "

chủ yếu khai thác, nghiên cứu những

dạng toán và phơng pháp giải dành cho đối tuợng là học sinh THCS,

tuy nhiên những phơng pháp này vẫn có thể áp dụng cho đối tợng là

học sinh THPT. Đồng thời tác giả cũng mạnh dạn nêu ra một vài

ph-ơng pháp tph-ơng đối khó áp dụng cho học sinh phổ thông nhng nếu

biết cách vận dụng phù hợp chắc chắn sẽ giúp chúng ta giải quyết

một số bài toán gải phơng trình mà nếu sử dụng phơng pháp khác

ch-a hẳn đã giải quyết đợc.

Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên cứu các dạng biến
đổi phơng trình để vận dụng đợc hai HĐT trên phục vụ cho GPT trên từng
PT cụ thể từ đó rút ra 4 dạng biến đổi cơ bản. Do việc biến đổi củ từng PT
khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức ,
hay phơng pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả các phơng trình dạng
này mà chỉ thơng qua các phơng trình cụ thể đẻ đồng nghiệp và HS có
cách nhìn phù hợp khi giải các tơng tự.

Tuy nãi viƯc vËn dơng hai H§T (AB)2=A22AB+B2 vào giải

phng trỡnh s lm cho cỏch gii d dàng và đơn giản hơn, nhng để có
cách cách biến đổi phù hợp địi hỏi HS phải có khả năng t duy, phân tích
tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao do đó các dạng tốn này chỉ nên áp dụng
cho đối tợng HS giỏi cuối cấp THCS và ơn tập cho HS khi đã có các kỹ
năng giải các PT đơn giản hơn.

Iv/ các biện pháp đã tiến hành

Đề tài " Sử dụng hằng

đẳng thức (AB)2=A22AB+B2 để giải

ph-ơng trình

" đợc nghiên cứu dựa trên những dạng bài tập thờng gặp,

thơng qua tìm tịi sáng tạo bản thân tôi đã vận dụng và hớng dẫn học

sinh khối 8;9 vận dụng vào các bài toán tuơng tự từ đó rút ra dạng

tồn cơ bản sau:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(AB)2 = 0 (AB) = 0

Dạng 2: Phơng trình quy về d¹ng

(AB)2 = (C D)2

)
(C D
B

A

D
C
B
A

Dạng 3: Phơng trình quy về d¹ng

(AB)2 + (CD)2 + (EF)2 = 0

0 F

E

D

C

B

A

Dạng 4. Nghiệm nguyên quy về d¹ng

(A B)2 p với A,B là các số nguyên và p nguyên dơng.

Dạng 1:Phơng trình quy về dạng
(AB)2 = 0 (AB) = 0

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: x2( x4 - 1 )( x2 + 2 ) + 1 = 0 (1)

Lời giải:

Phơng trình (1)  x2( x2 +1) ( x2 - 1) ( x2 + 2) + 1 = 0

 ( x4 + x2 )( x4 + x2 - 2) + 1 = 0

 ( x4 + x2 )2 - 2(x4 + x2 ) + 1 = 0

 ( x4 + x2 - 1)2 = 0

 x4 + x2 - 1= 0

Đây là một phơng trình trùng phơng quen thuộc mà ta đã có phơng phỏp
gii.

Đặt x2 = t điều kiện t  0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

t2 + t - 1 = 0

t = 12 - 4.1.(-1) = 5

t1 =

5
1

 > 0 ( Thảo mÃn điều kiện); t

2 =
2

5
1

< 0 ( loại vì

không thoả mãn điều kiện t > 0 ). Lúc này do đặt x2 = t nên ta có x2 =

2
5
1


 x = 

2
5
1


Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

x1=
2

5
1

 ; x

2 =
-2

5
1

Ví dụ 2. Giải phơng trình:
 20 







1
2
x
x 2

+ 5 







1
2
x
x 2

- 20

1
4
2
2
x
x

= 0 (2)
Lời giải: Điều kiện x1

Đặt

1
2
x
x

=y ;

1
2
x
x

= z lỳc ú phng trình (2) có dạng
20y2 + 5z2 - 20yz = 0

 5(2y - z)2 = 0  2y = z dẫn đến 2 








1
2
x
x
=
1
2


x
x

 2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )
 2x2 - 6x + 4 = x2 + 3x + 2

 x2 - 9x + 2 = 0

Ta dễ dàng tìm đợc x1 =

73
9 ; x

2 =
2

73
9 .

Vậy phơng trình (2) cố tËp nghiƯm lµ 

2
73
9 ;

2
73
9 .

VÝ dụ 3: Giải phơng trình: x2 + 2 = 2 x31 (3)

Lời giải: Điều kiện: x1.

Thờm v bt x vế trái của (3) để xuất hiện hằng đẳng thức, lúc đó (3)
 x+1 + x2 - x + 1 - 2 ( 1)( 2 1)




 x x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 ( x1)2 - 2 (x1)(x2  x1) + ( 2 1

 x

x )2

 ( x1- 2 1

 x

x )2 = 0

 x1 = 2 1


 x

x

 x + 1 = x2 - x + 1

 x2 - 2x = 0

 x1 = 0 và x2 = 2 ( thảo mÃn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của PT(3) là:0;2

Dạng 2

Phơng trình quy về d¹ng
(AB)2 = (C D)2  









)
(C D
B
A
D
C
B
A

VÝ dơ 4 : Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (4)

Lời giải: Thêm 4x2 + 4 vào hai vế của phơng trình (4) ta đợc:

x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36

 ( x2 + 2)2 = ( 2x + 6 )2



)
6
2
(
2
6
2
2
2
2
x
x
x
x

)
(
0
8
2
)
(
0
4
2
2
2
ii
x
x
i
x
x

Phơng trình (i) có hai nghiệm phân biệt x = 1 5.

Phơng trình (ii) vô nghiệm.

Vậy tËp nghiƯm cđa PT (4) lµ:



1 5; 1+ 5

Dạng 3

Phơng trình quy về dạng

(AB)2 + (CD)2 + (EF)2 = 0

0 F

E

D

C

B

A

Ví dụ 5: Giải phơng trình: x + y + z + 4 = 2 x 2+ 4 y 3 + 6 z 5 (5)

Lời giải: Điều kiÖn x2 ; y3 ; z5

PT(5)  x-2-2 x 2+1 +y - 3 - 4 y 3 + 4 + z - 5 - 6 z 5 + 9 = 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vế trái của phựơng trình là tổng của ba biểu thức không âm nên sẽ bằng
0 khi vµ chØ khi:

















0
3
5
0
2
3
0

1
2
z
y
x













3
5
2
3
1
2
z
y
x
























9

5

4

3

1

2 z

y

x

14

7

3 z

y

x

(Thoả mÃn điều kiện), vậy nghiệm của phơng trình là: (x,y,z)=(3,7,14)
Dạng 4

Nghiệm nguyên quy về dạng (A B)2 p với A,B là các

số nguyên và p nguyên dơng.

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = 0 (6)

Lêi gi¶i: PT(6)  2( x2 + y2 ) -2xy + x + y - 10 = 0

 2( x + y )2 - 4xy - 2xy + x + y - 10 = 0

 2( x + y )2 - 6xy + x + y - 10 = 0

Đặt S1 = x + y ; S2 = xy th× ta cã phơng trình:

2S12 - 6S2 + S1 - 10 = 0

 S2 =
6
1

( 2S12 + S1 - 10)

Do S2  Z nªn S1 2 ( S1 là số nguyên chẵn )

Mt khỏc ( x - y)2  0 nên ( x + y )2 - 4xy  0  S
2 
4
2
1
S
Do đó
6
1

( 2S12 + S1 - 10) 

2
1
S

S12 + 2S1 - 20  0  ( S1 +1 )2  21

Vì S1 là số nguyên chẵn nên ( S1 +1 )2 1;9

Do đó S1 =  4;2;0;2

Muèn cho S2 =
6
1

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>













3

4

2
1

S

hoặc









0

2

2
1

S

Do đó















3

4 xy

y

x

hoặc











0

2 xy

y

x

Giải hai hệ phơng trình này ta tìm đụơc các nghiệm nguyên (x;y) của
PT(6) là (-1;-3); (-3;-1); (0;2); (2;0)

V/ hiệu quả của việc sử dụng đề tài

Trường PTCS Nam Thượng là một trong những trường ở huyện Nam Đàn

có học sinh ít. Từ năm học: 2008-2009, tồn trường chỉ có 4 lớp, trong đó mỗi
khối 1 lớp. Do đó rất khó khăn cho việc lựa chọn đối tượng để thực hiện đề
tài. Chính vì điều kiện ấy bắt buộc tơi phái sử dụng cùng là đối tượng học sinh

lớp 9, nhưng là hai năm học liên kề nhau để so sánh kết quả đạt đựoc sau khi
sử dụng đề tài.

Nội dung đề tài chỉ đề cập đến một phạm vi hẹp trong chương trình tốn
THCS. Vì vậy đã gây rất nhiều khó khăn cho việc đánh giá hiệu quả của đề
tài. Tôi đã nghĩ ra cách ra đề bài kiểm tra( không đưa vào để đánh giá học tập
của học sinh, mà chỉ dùng để đánh giá hiệu quả của đề tài) trong đó được lồng
ghép các bài tập là các dạng tốn giải phương trình đã nêu trong đề tài.

Bảng thống kêđiểm kiểm tra khi chưa sử dụng đề tài ở lớp 9
năm học 2008-2009

B ng 1ả

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số học sinh đạt được 0 1 3 3 7 10 6 3 1 1 0

Tỉ lệ (%) 0 2.8 8.4 8.4 21.6 28 16.8 8.4 2.8 2.8 0
Điểm trung bình

của lớp ( sĩ số: 35)

x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Từ bảng 1 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp chỉ đạt 4,8 điểm.
Số học sinh đạt điểm thấp cịn nhiều, 14 em ( 41,2%) có điểm dưới trung bình.
Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 9

năm học 2009-2010:

B ng 2ả

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số học sinh đạt được 0 0 0 1 4 15 7 3 1 1 0

Tỉ lệ (%) 0 0 0 3.1 12.4 46.9 22.1 9.3 3.1 3.1 0
Điểm trung bình

của lớp ( sĩ số: 32)

x

= 3.14.55.15326.77.28.19.1= 5,4

+ Từ bảng 2 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp đã đạt được 5,4 điểm.
Số học sinh đạt điểm thấp chỉ cịn ít, 5 em ( 18,6%) có điểm dưới trung bình.

- Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I của năm học:
2008-2009 và học kì I năm học: 2008-2009-2010 của lớp 9 trường PTCS Nam Thượng.

B ng 3ả

Loại
Cách dạy

Giỏi
( %)

Khá
(%)

TB
(%)

Yếu
(%)

Kém
(%)

Trên TB
(%)

ĐiểmTB
(đ)

Cũ 2.8 11.2 44.8 30 11.2 58.8 4,8

Mới 3.1 12.4 69 15.5 3.1 81.4 5,4

- Dựa vào bảng 3 ta có thể thấy rõ hiệu quả của việc sử dụng đề tài:
- Loại giỏi tăng: 0.3%.

- Loại khá tăng: 1.2%.

- Loại trung bình tăng: 24.2%.
- Loại yếu giảm: 14.5%

- Loại kém giảm: 8.1%

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

KÕt luËn

Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng trình bày
4 dạng bài giả phơng trình bằng cách sử dụng HĐT (AB)2=A2
2AB+B2. Mỗi dạng tốn nh vậy có ít nhất là hai ví dụ minh hoạ cơ bản.

Có những ví dụ tơi đã đa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện
so sánh và tìm hớng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng
tự.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Trong đề tài này có một số dạng tốn mà trong q trình nghiên cứu
bản thân tôi cha thể nêu ra đợc cách giải tổng qt mà chỉ thơng qua các
ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách t duy sáng tạo, tuy nhiên
nếu khi đã quen thuộc các dạng tốn ta có thể tìm ra một phơng pháp cụ
thể cho từng dạng toán để phát triển và nhân rộng.

Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT này vào chơng trình dạy học tơi
thấy việc giải quyết các bài tập về phơng trình học sinh giải quyết linh
hoạt hơn và có những bài giải ngắn gọn và rết dễ hiểu, học sinh dễ tiếp
thu và vận dụng nhất là số học sinh giải đợc nhiều giải phơng trình tơng
đối khó nhất là trong các kỳ thi . Do đó bản thân tơi mạnh dạn viết sáng
kiến kinh nghiệm này hy vọng rằng nó sẽ giúp cho quý vị đồng nghiệp,
các em học sinh và các bạn yêu tốn những điều thú vị và bổ ích.

Mặc dầu trong q trình tìm tịi tơi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví
dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng dẫu
sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chí, đồng
nghiệp góp ý, ch bo.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

SKKNSu dung hang dang thuc de giai pt

<b>Phòng giáo dục nam đàn</b>

<b>đề tài:</b>

<b>Sử dụng hằng đẳng thức </b>

<b>(AB)</b>

<b>=A</b>

<b>2AB+B</b>

<b> </b>

<b> giI ph ng trỡnh</b>

<b>GIáo viên: dơng ngọc hµ </b>

<b>Phịng giáo dục nam đàn</b>

<b>đề tài:</b>

<b>Sử dụng hằng đẳng thức </b>

<b>(A</b>

<b>B)</b>

<b><sub>=A</sub></b>

<b><sub>2AB+B</sub></b>

<b><sub> </sub></b>

<b>để giảI phơng trình</b>

<b>GI¸o viên: dơng ngọc hà </b>

<b></b>

<b>T: 0984.919.981 & 0386.584.676</b>

<b>Trờng ptcs nam thỵng</b>

<b>MỤC LỤC</b>

<b>Lời</b>

<b>nói đầu</b>

<b>A/ lí do chọn đề tài đề tài</b>

<b>B/ nội dung đề tài</b>