Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (113.95 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
TRƯỜNG THCS <b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN</b>
<b>TRỰC THUẬN</b> NĂM HỌC: 2010 - 2011
<b>MƠN: TỐN - LỚP 9</b>
<i>Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề </i>
<b>Câu 1:</b>(4đ) Cho biểu thức:
2 x -9 x +3 2 x +1
A = -
-x -5 -x + 6 x -2 3- x
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị của x để A < 1
3) Tính giá trị của biểu thức A với <sub>x = 29 +12 5 - 29 -12 5</sub>
4) Tìm giá trị nguyên của x để cho A cũng là số nguyên
<b>Câu 2:</b>(3đ) Giải các phương trình sau:
1) <sub>x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x + 3 1- x</sub>2
2) 2 x -4x +5 +2 1x - x +5 = -4x +16x -122 2
4
<b>Câu 3:</b>(3,5đ) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh c(a -c) + c(b -c) ab
2) Cho a > 0, b > 0. Chứng minh 2 ab ab
<b>Câu 4:</b>(7,5đ) Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC
tại D với AB tại M. Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A và tiếp xúc với BC
tại F tiếp xúc với AB tại N. Vẽ đường tròn đường kính DE.
1) Chứng minh rằng: AO OE=
AI IF
2) Chứng minh rằng: A, E, F thẳng hàng
3) Gọi h ,h ,ha <sub>b</sub> c lần lượt là các đường cao vẽ từ A, B, C và r là bán kính đường trịn nội tiếp
S là diện tích, p là nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh:
a) S = p.r
c) <sub>h</sub>1 +<sub>h</sub>1 +<sub>h</sub>1 =1<sub>r</sub>
a <sub>b</sub> c
<b>Câu 5: </b>(2đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
P = 2x + 1- 4x - x
--- Hết
<b>Đ</b>
<b> ÁP ÁN :</b>
<b>Câu 1:</b> Cho biểu thức:
2 x -9 x +3 2 x +1
A = -
-x -5 -x + 6 x -2 3- x
1)(1đ) Rút gọn biểu thức A.
ĐK: x 0, x 4, x 9
2 x -9 x +3 2 x +1
A = -
-x -5 -x + 6 x -2 3- x
2 x -9 x +3 2 x +1
= - +
( x - 2)( x -3) x - 2 x -3 0,5đ
2 x -9-( x +3)( x -3) + (2 x +1)( x - 2)
=
( x - 2)( x -3)
2 x -9 - x +9 + 2x - 4 x + x - 2
=
( x - 2)( x -3)
x - x - 2 ( x - 2)( x +1) x +1
= = =
( x - 2)( x -3) ( x - 2)( x -3) x -3 0,5đ
2)(1đ) Tìm giá trị của x để A < 1.
Với x 0, x 4, x 9 để A < 1 khi và chỉ khi:
x +1 <1
x -3 0,5đ
x +1<sub>-1< 0</sub> 4 <sub>< 0</sub> <sub>x -3 < 0</sub> <sub>x < 9</sub>
x -3 x -3
0,5đ
Vậy 0 x < 9 và x 4, x 9 thì A < 1.
3)(1đ) Tính giá trị của biểu thức A với <sub>x = 29 +12 5 - 29 -12 5</sub>
+
2 2
x = 29 +12 5 - 29 -12 5 = (3+ 2 5) - (3- 2 5)
= 3+ 2 5 - 3- 2 5 = 3+ 2 5 - 2 5 3 = 6 0,5đ
Vậy A = 6 +1 ( 6 +1)( 6 +3) 6 +3 6 + 6 +3 -9- 4 6= = <sub>6-9</sub> = <sub>3</sub>
6 -3 ( 6 -3)( 6 +3) 0,5đ
4)(1đ) Tìm giá trị nguyên của x để cho A cũng là số nguyên
Với x 0, x 4, x 9 để A là số nguyên khi và chỉ khi:
x +1
A
x -3
là số nguyên
4
1+
x -3
là số nguyên
4
x -3
là số nguyên 0,5đ
<sub>4 chia </sub>hết<sub> cho</sub> x -3
hay x -3 là Ư(4) mà Ư(4) =
1) (1,5đ) <sub>x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x + 3 1- x</sub>2 ĐK: 1 x 1
2
x +1 + 2(x +1) = x -1+ 1- x +3 1- x
x +1- 1- x + 2 x +1 x +1- 1- x 1- x x +1- 1- x = 0
(0,75)đ
x +1- 1- x = 0
hoặc 1+ 2 x +1 1- x = 0
x +1 = 1- x
x = 24
25
hoặc x = 0
x +1=1- x
x = 0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 24<sub>25</sub> 0,75đ
2)(1,5đ) 2 x -4x +5 +2 1x - x +5 = -4x +16x -122 2
4
Ta có: VT = 2 x - 4x +5 +2 1x - x +52
4
2
2 1
= 2 x - 2 +1 + x -1 + 4 4
2
(0,5)đ
Dấu “ =” xẩy ra x = 2.
VP = -4x +16x -12 = 4- 4 x - 4x + 4 = 4- 4 x - 22
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. (0,5)đ
<b>Câu 3:</b>(3,5đ) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)(2đ) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh c(a -c) + c(b -c) ab
Ta có:
:
c(a -c) + c(b -c) ab
2
c(a -c) + c(b -c) ab
c(a -c) + c(b -c) + 2c (a -c)(b -c) ab
2
c - 2c (a -c)(b -c) + (a -c)(b -c) 0
(luôn đúng với a > c, b > c, c > 0 ).
2)(1,5đ) Cho a > 0, b > 0. Chứng minh 2 ab ab
a + b
Với a > 0, b > 0 theo BĐT Cosi ta có: a + b 2 ab
1 1
a + b <sub>2</sub> <sub>ab</sub>
2 ab 2 ab
a + b <sub>2</sub> <sub>ab</sub>
2 ab <sub>ab</sub>
a + b
Vậy 2 ab ab
a + b với a > 0, b > 0.
<b>Câu 4: </b>(7,5đ)
1) (2đ)Ta có đường trịn (O) và (I) tiếp xúc với AB tại M
và N nên AB là tiếp tuyến của (O) và (I).
Suy ra: OMAB và IN AB ( tính chất tiếp tuyến).
OM // IN ( theo quan hệ từ vng góc đến song song)
AO OM=
AI NI ( theo định lí Talet)
mà OM = OE, NI = IF ( bán kính đường tròn)
Vậy AO OE=
AI IF
2) (2đ)Lại có đường trịn (O) và (I) tiếp xúc với BC tại D
và F nên BC là tiếp tuyến của (O) và (I).
Suy ra: OD BC và FI BC( tính chất tiếp tuyến)
OE // FI ( theo quan hệ từ vng góc đến song song)
<sub>AOE = AIF</sub> (dh)
Xét AOE và AIF:
AO OE<sub>=</sub>
AI IF (cmt)
AOE = AIF(cmt)
Suy ra: AOE đồng dạngAIF(c-g-c)
<sub>OAE = IAF</sub> ( hai góc tương ứng)
Vậy A, E, F thẳng hàng.
3)
a)(1đ)
Ta có SABC= SAOB + SAOC + SBOC = <sub>2</sub>1r.AB + 1<sub>2</sub>r.AC + 1<sub>2</sub>r.BC= 1<sub>2</sub>r(AB + BC +AC) = p.r
b)(2,5đ)
Ta có: S<sub>S</sub>OBC = r
ha
ABC ;
S <sub>r</sub>
OAC =
S<sub>ABC</sub> h<sub>b</sub> ;
S <sub>r</sub>
OAB =
S<sub>ABC</sub> <sub>hc</sub>
Suy ra SOBC
SABC + SOACSABC + SOABSABC
r
=
hb + <sub>ha</sub>r + <sub>hc</sub>r = SABC 1
SABC
<sub>h</sub>1 +<sub>h</sub>1 +<sub>h</sub>1 =1<sub>r</sub>
a <sub>b</sub> c
<b>Câu 5:</b> (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
P = 2x + 1- 4x - x
ĐK:
0
2
1- 4x - x
2
x + 2 5
-2- 5 x 2 + 5
0,5đ
Ta có:
hc
<b>N</b>
<b>E</b>
<b>M</b>
<b>F</b>
<b>D</b> <b>C</b>
<b>B</b>
<b>A</b>
<b>I</b>
<b>O</b>
b
2
2
P + 4 = 2(x + 2) + 1- 4x - x
Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a – cốp –xki ta có (1,5đ)
2
2
2 2 2
P + 4 2 +1 x + 2 + 1- 4x - x = 25
P 1
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy giá trị lớn nhất của P = 1
Dấu “=” xẩy khi và chỉ khi: <sub>x + 2 = 1- 4x - x</sub>2
x = 0