Một phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ ĐIỂM

MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH
TRONG KHƠNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành:
Mã số:

TOÁN ỨNG DỤNG
8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Bảng ký hiệu

2

Mở đầu

5

Chương 1. Bài toán chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert

7

1.1

1.2

Tốn tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Ánh xạ khơng giãn và tốn tử chiếu . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert . . . . . . . . 15
1.2.1

Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Phương pháp CQ trong không gian Hilbert hữu hạn chiều 15

Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách trong
không gian Hilbert
2.1

2.2

19

Một phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách . . . . . 19
2.1.1

Bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động

. . . 19

2.1.2

Một phương pháp lặp hiện trong không gian Hilbert . . . 22

Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34


1

Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu luận văn, em đã nhận được rất
nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè và gia đình. Em xin
chân thành cảm ơn lãnh đạo, quý thầy cô giáo của Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường, đồng
thời đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong việc hoàn
thành luận văn. Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc nhất tới cơ giáo PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã tận tình giúp đỡ, hướng
dẫn, truyền tải những kiến thức, kinh nghiệm quý báu và động viên, giúp đỡ
em hoàn thành luận văn của mình. Trong khoảng thời gian hạn hẹp, khi làm
luận văn sẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những
góp ý, giúp đỡ của thầy giáo, cơ giáo để em hồn thành bài luận văn của mình
một cách tốt nhất. Em xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 12 năm 2020

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Điểm


2

Bảng ký hiệu
R

tập các số thực

R+

tập các số thực không âm

RN

khơng gian Euclid N chiều

H

khơng gian Hilbert thực

B(a, r)

hình cầu đóng tâm a bán kính r

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∈

thuộc

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A∗

toán tử liên hợp của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

d(x, C)

khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

Γ

tập nghiệm của bài toán SFP

PC (x)

phép chiếu trực giao (mêtric) của phần tử x lên tập C

∇f

toán tử đạo hàm của f


5

Mở đầu
Trong thực tế, có những mơ hình, chẳng hạn mơ hình IMRT (Intensity–
Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu (xem [6, 7]) yêu cầu tìm
nghiệm của một bài tốn trong khơng gian này sao cho ảnh của nó qua một
tốn tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài tốn trong khơng gian khác.
Bài tốn này có tên là bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem). Bài
toán chấp nhận tách, viết tắt là (SFP), được phát biểu như sau:
Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho A(x∗ ) ∈ Q,

(SFP)

ở đây, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các không
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn.
Bài tốn chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài tốn xử lý
tín hiệu và khơi phục ảnh (xem [4]), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem
[6, 7]), hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế,
lý thuyết trị chơi (xem [10]). Bài tốn chấp nhận tách trong các không gian
Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy
Elfving (xem [5]). Để giải bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian hữu hạn
chiều, Charles Byrne (xem [3]) đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãy
lặp

xn+1 = PC (xn − γAT (I − PQ )Axn ),

n ≥ 0,

(1)

trong đó A là ma trận thực cỡ M × N , AT là ma trận chuyển vị của ma trận

A, C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM , L là giá
trị riêng lớn nhất của ma trận AT A và γ ∈ 0, L2 . Sau đó Hong–Kun Xu (xem


6

[13]) đã xây dựng phương pháp CQ giải bài toán chấp nhận tách trong không
gian Hilbert thực vô hạn chiều:

xn+1 = PCH1 (I H1 − γA∗ (I H2 − PQH2 )Axn ),
với γ ∈ 0,

2
A

2

n ≥ 0,

(2)

, I H1 và I H2 lần lượt là các toán tử đơn vị trong H1 và H2 , A∗

là toán tử liên hợp của A, PCH1 và PQH2 lần lượt là các phép chiếu mêtric từ H1
lên C và từ H2 lên Q và A là ký hiệu chuẩn của toán tử A. Tác giả đã chứng
minh được dãy lặp {xn } xác định bởi (2) hội tụ yếu đến nghiệm của bài tốn
chấp nhận tách (SFP) nếu bài tốn này có nghiệm.
Luận văn trình bày phương pháp CQ và một phương pháp lặp hiện giải bài
tốn chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert thực (hữu hạn và vô hạn chiều).
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 "Bài tốn
chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert". Chương này trình bày khái niệm,
một số tính chất cơ bản của khơng gian Hilbert thực H ; trình bày về phép chiếu
mêtric và tốn tử tuyến tính bị chặn trong khơng gian Hilbert thực. Phần cuối
của chương giới thiệu về bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert thực
và phương pháp CQ giải bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực hữu
hạn chiều. Chương 2 "Phương pháp lặp giải bài tốn chấp nhận tách". Chương
này trình bày một phương pháp lặp hiện giải bài tốn chấp nhận tách trong
khơng gian Hilbert thực vô hạn chiều, chứng minh sự hội tụ của phương pháp,
đồng thời đưa ra một số ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp.

7

Chương 1

Bài tốn chấp nhận tách trong khơng
gian Hilbert
Chương này trình bày một số tính chất của khơng gian Hilbert thực H , giới
thiệu khái quát về bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực H .
Nội dung của chương được trình bày trong hai mục. Mục 1.1 trình bày một số
tính chất của khơng gian Hilbert thực, khái niệm và ví dụ về tốn tử tuyến
tính bị chặn và tốn tử chiếu trong khơng gian Hilbert thực. Mục 1.2 trình bày
khái niệm bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert thực và một số
bài tốn liên quan. Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [2]–[13].

1.1

Tốn tử chiếu trong khơng gian Hilbert

Cho H là một khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng và chuẩn được ký
hiệu tương ứng là ., . và . .
1.1.1

Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh

Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]). Cho {xn } là một dãy phần tử trong không gian
Hilbert thực H . Dãy {xn } được gọi là
(a) hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu limn→∞ xn , y = x, y với mọi y ∈ H ;


8

(b) hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu lim xn − x = 0.
n→∞

x, tức là dãy {xn } hội tụ yếu đến x và xn → x,

Ta sử dụng ký hiệu xn

tức là dãy {xn } hội tụ mạnh đến x.
Định lý 1.1.2 (xem [2]). Trong không gian Hilbert thực H , nếu dãy {xn } ⊂ H
hội tụ yếu đến x0 ∈ H và dãy { xn } ⊂ H hội tụ đến x0 ∈ H thì dãy {xn }
hội tụ mạnh x0 ∈ H .
Chứng minh. Sử dụng tính chất của chuẩn và tích vơ hướng trong khơng gian
Hilbert thực H ta có
2

xn − x0

= xn − x0 , xn − x0
= xn

2

− x0 , xn − xn , x0 + x0

2

∀n.

Từ giả thiết của định lý ta suy ra:

lim xn

n→∞

2

= x0 2 ,

Do đó, limn→∞ xn − x0

lim xn , x0 = x0 2 ,

n→∞
2

lim x0 , xn = x0 2 .

n→∞

= 0.

Sau đây là một số tính chất của khơng gian Hilbert.
Định lý 1.1.3 (xem [2]). Trong không gian Hilbert thực H ta ln có

(i) x + y

2

= x

2

+ y

2

+ 2 x, y với mọi x, y ∈ H ;

(ii) x − y

2

= x

2

+ y

2

− 2 x, y với mọi x, y ∈ H ;

=t x

2

+ (1 − t) y

(iii) tx + (1 − t)y

2

2

− t(1 − t) x − y

2

với mọi t ∈ [0, 1]

và mọi x, y ∈ H .
Định lý 1.1.4 (xem [2]). Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó,

(i) | x, y | ≤ x
(ii) x + y

2

y với mọi x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz);

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ) (đẳng thức hình bình hành);

(iii) Nếu limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b thì limn→∞ xn , yn = a, b .


9

Định lý 1.1.5 (xem [2]). Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng
thức sau

x−y

2

+ x−z

2

= y−z

2

+ 2 x − y, x − z

∀x, y, z ∈ H.

Bổ đề 1.1.6 (Z. Opial). Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } là một
dãy phần tử trong H sao cho tồn tại tập hợp C ⊂ H khác rỗng thỏa mãn các
điều kiện:
(a) Tồn tại giới hạn limn→∞ xn − z với mọi z ∈ C.
(b) Nếu dãy con {xnk } của dãy {xn } thỏa mãn xnk

Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho xn
1.1.2

x, thì x ∈ C.

x∗ .

Ánh xạ khơng giãn và tốn tử chiếu

Định nghĩa 1.1.7 (xem [2]). Cho C là một tập con khác rỗng của không gian
Hilbert thực H .

(i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn
tại hằng số L ≥ 0 sao cho

T (x) − T (y) ≤ L x − y ,

∀x, y ∈ C.

(1.1)

(ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T
được gọi là ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.1.8. Cho T : H → H là một ánh xạ.
(a) T là ánh xạ không giãn vững nếu 2T − I là ánh xạ không giãn, ở đây I là
ánh xạ đơn vị trong H .
(b) Nếu S : H → H là khơng giãn thì T = (1 − α) I + αS là ánh xạ α-trung
bình, trong đó α ∈ (0, 1).
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau đây.

10

Nhận xét 1.1.9. (a) Định nghĩa 1.1.8 tương đương với T = (I + S)/2 là ánh
xạ không giãn vững, trong đó S : H → H là khơng giãn.
(b) T là ánh xạ không giãn vững khi và chỉ khi

x − y, T x − T y ≥ T x − T y 2 ,

x, y ∈ H.

(c) Một ánh xạ khơng giãn vững là ánh xạ 1/2-trung bình.
Định nghĩa 1.1.10. Cho A : H → H là một ánh xạ.
(a) A là ánh xạ đơn điệu nếu Ax − Ay, x − y ≥ 0 với mọi x, y ∈ H .
(b) A là ánh xạ β -đơn điệu mạnh với β > 0, nếu

x − y, Ax − Ay ≥ β x − y

2

∀x, y ∈ H.

A là ánh xạ ν -đơn điệu mạnh ngược với ν > 0, nếu
x − y, Ax − Ay ≥ ν Ax − Ay

2

∀x, y ∈ H.

Cho H là không gian Hilbert thực. Ký hiệu Fix (T ) là tập hợp các điểm bất

động của ánh xạ T : H → H , tức là
Fix (T ) = {x ∈ H : T x = x}.
Mệnh đề 1.1.11 (xem [4, 13]). Cho T : H → H là một ánh xạ. Các khẳng
định sau là đúng:

(i) T là ánh xạ không giãn khi và chỉ khi I − T là toán tử 21 -đơn điệu mạnh
ngược.

(ii) Nếu T là toán tử ν -đơn điệu mạnh ngược và γ > 0, thì γT là toán tử γν -đơn
điệu mạnh ngược.

(iii) T là ánh xạ trung bình khi và chỉ khi I − T là toán tử ν -đơn điệu mạnh
ngược với mọi số ν > 21 .


11

(iv) Nếu T1 : H → H là ánh xạ α1 -trung bình và T2 : H → H là ánh xạ
α2 -trung bình, trong đó α1 , α2 ∈ (0, 1), thì T1 T2 : H → H cũng là ánh xạ
α-trung bình với α = α1 + α2 − α1 α2 .
(v) Nếu T1 và T2 là các ánh xạ trung bình từ H vào H và có một điểm bất
động chung, thì Fix(T1 T2 ) = Fix(T1 ) ∩ Fix(T2 ).
Mệnh đề 1.1.12 (xem [13]). Cho H là một không gian Hilbert thực. Nếu ánh
xạ T : H → H là trung bình với tập điểm bất động Fix(T ) = ∅, thì

(i) T là ánh xạ tiệm cận đều, nghĩa là
lim Tn+1 x − Tn x = 0 với mọi x ∈ H.

n→∞

(ii) Với mọi x ∈ H , dãy T k x

∞
k=0

hội tụ yếu đến một điểm bất động của T .

Cho H là một không gian Hilbert thực và hai điểm a, b ∈ H . Tập tất cả các
điểm x = (1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, ký
hiệu là [a, b].
Định nghĩa 1.1.13 (xem [2]). Tập C ⊂ H được gọi là một tập lồi nếu nó
chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác tập C ⊂ H
là tập lồi nếu

(1 − λ)a + λb ∈ C

với mọi a, b ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1.

Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H .
Ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên tập lồi C .
Định nghĩa 1.1.14 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong
không gian Hilbert thực H . Ánh xạ PC : H → C xác định bởi

x − PC (x) = min x − z
z∈C

được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C .


12

Định lý 1.1.15 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong
khơng gian Hilbert thực H . Khi đó với mọi x ∈ H , tồn tại duy nhất phần tử

y = PC (x) ∈ C sao cho
x − y = min x − u .

(1.2)

u∈C

Nhận xét 1.1.16. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert thực H . Tốn tử chiếu PC và ánh xạ I − PC là ánh xạ không giãn và
1
2 -đơn

điệu mạnh ngược trên H tương ứng.

Sau đây là một vài ví dụ về tốn tử chiếu.
Ví dụ 1.1.17. Giả sử a, b ∈ RN , a = 0. Xét nửa không gian C ⊂ RN và mặt
phẳng Q ⊂ RN cho bởi

C = {x ∈ RN :

a, x − b ≤ 0},

Q = {x ∈ RN :

a, x − b = 0}.

Khi đó tốn tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi


x,
nếu
PC (x) =
a, x − b a

x −
,
nếu
a 2


x,
nếu
PQ (x) =
a, x − b a

x −
,
nếu
a 2

a, x − b ≤ 0
a, x − b > 0.
a, x − b = 0
a, x − b = 0.

Một số tính chất của tốn tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng C trong khơng

gian Hilbert thực H được trình bày trong các bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.1.18 (xem [2]). Cho PC là tốn tử chiếu khơng gian Hilbert thực H
lên tập lồi đóng khác rỗng C của H .

(i) PC (x) − PC (y) ≤ x − y với mọi x, y ∈ H .
(ii) x − y, PC (x) − PC (y) ≥ PC (x) − PC (y)

2

với mọi x, y ∈ H .


13

(iii) x − PC (x), y − PC (x) ≤ 0 ∀x ∈ H, y ∈ C.
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC từ H lên C
là một phép chiếu mêtric.
Mệnh đề 1.1.19 (xem [2]). Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian
Hilbert H . Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu
mêtric từ H lên C là

x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.

(1.3)

Nhận xét 1.1.20. Tốn tử chiếu PC là khơng giãn và khơng giãn vững. Thật
vậy, bất đẳng thức (1.3) cho thấy với bất kì C, x và z , ta có

PC z − PC x, PC x − x ≥ 0 và

PC z − PC x, z − PC z ≥ 0.

Cộng hai vế ta nhận được

PC z − PC x, PC x − PC z − x + z ≥ 0,
hoặc

PC z − PC x, z − x ≥ PC z − PC x 2 .

(1.4)

Do vậy tốn tử PC là khơng giãn vững. Từ bất đẳng thức Cauchy ta suy ra

PC x − PC z ≤ x − z

(1.5)

tức là toán tử PC là ánh xạ khơng giãn.
1.1.3

Tốn tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.1.21 (xem [2]). Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên R.
Ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay tốn tử tuyến tính) nếu

(i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ R.


14

Hay A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) với mọi x, y ∈ X và mọi α, β ∈ R.
Định nghĩa 1.1.22 (xem [2]). (a) Tốn tử tuyến tính A từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một
hằng số M > 0 sao cho

Ax ≤ M x ,

∀x ∈ C.

(1.6)

(b) Hằng số M > 0 nhỏ nhất thỏa mãn (1.6) được gọi là chuẩn của toán tử A,
ký hiệu là A .
Ví dụ 1.1.23. Dễ thấy tốn tử tuyến tính A : R2 → R2 xác định bởi

Ax = (2x1 + x2 , x1 − 2x2 ) với mọi x = (x1 , x2 )T ∈ R2
là toán tử tuyến tính bị chặn. Vì:

Ax =

(2x1 + x2 )2 + (x1 − 2x2 )2 =

5(x21 + x22 ) ≤

√

5 x .

Định nghĩa 1.1.24 (xem [2]). Cho A là một tốn tử tuyến tính bị chặn trong

khơng gian Hilbert thực H . Toán tử liên hợp A∗ : H → H của toán tử A được
xác định bởi

Ax, y = x, A∗ y .
Ví dụ 1.1.25. Gọi A∗ là tốn tử liên hợp của A được xác định như trong Ví
dụ 1.1.23. Khi đó, vì

Ax, y = (2x1 + x2 , x1 − 2x2 ), (y1 , y2 )
= (2x1 + x2 )y1 + (x1 − 2x2 )y2
= 2x1 y1 + x2 y1 + x1 y2 − 2x2 y2
= x1 (2y1 + y2 ) + x2 (y1 − 2y2 )
= (x1 , x2 ), (2y1 + y2 , y1 − 2y2 ) = x, A∗ y ,

∀y ∈ R2

nên A∗ : R2 → R2 xác định bởi A(y) = (2y1 + y2 , y1 − 2y2 )T ∈ R2 . Ta thấy

A∗ = A nên A là toán tử tự liên hợp trên R2 .


15

1.2
1.2.1

Bài tốn chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert
Bài tốn chấp nhận tách

Bài toán chấp nhận tách (SFP) là bài tốn
Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho A(x∗ ) ∈ Q,

(SFP)

ở đây, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các khơng
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn.
Ta gọi Ω là tập nghiệm của bài toán (SFP), nghĩa là

Ω = {x ∈ C : Ax ∈ Q} .
1.2.2

(1.7)

Phương pháp CQ trong không gian Hilbert hữu hạn chiều

Phương pháp CQ để giải bài tốn chấp nhận tách (SFP) được mơ tả như
sau: Cho x0 ∈ C tùy ý. Với k = 0, 1, . . . dãy lặp {xk } được xác định bởi

xk+1 = PC (xk + γAT (PQ − I)Axk ),

(1.8)

trong đó C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong RN và RM ,

A là ma trận thực cỡ M × N , AT là ma trận chuyển vị của ma trận A, L là
giá trị riêng lớn nhất của ma trận AT A và γ ∈ 0, L2 .
Với mỗi x ta đặt:

Sx = x + γAT (PQ − I)Ax

(1.9)

và T x = PC (Sx), thì bước lặp của phương pháp CQ là xk+1 = T xk .
Nhận xét 1.2.1. Thuật tốn CQ chỉ bao gồm những tính tốn phép chiếu

PC và PQ lên hai tập C và Q tương ứng, do đó có thể dễ dàng thực hiện được
trong trường hợp tính tốn được các phép chiếu này.
Mệnh đề 1.2.2 (xem [3]). Phần tử cˆ trong C là một điểm bất động của ánh
xạ T , tức là, T cˆ = cˆ nếu và chỉ nếu cˆ là điểm cực tiểu hàm

PQ (Ac) − Ac

với c ∈ C.


16

Chứng minh. Giả sử cˆ là điểm cực tiểu của hàm PQ (Ac) − Ac với c ∈ C .
Khi đó,

PQ (Aˆ
c) − Aˆ
c ≤ PQ (Ac) − Ac ≤ q − Ac

với mọi q ∈ Q.

Chọn q = PQ (Aˆ
c) ta nhận được

PQ (Aˆ
c) − Aˆ

c ≤ Ac − PQ (Aˆ
c)

với mọi c ∈ C.

Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức (1.3) trong Mệnh đề 1.1.19 cho thấy

Ac − Aˆ
c, Aˆ
c − PQ (Aˆ
c) ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Từ

c − Sˆ
c

2

= c − cˆ

2

+ 2γ Ac − Aˆ
c, Aˆ
c − PQ (Aˆ
c) + số hạng trừ c

chỉ ra rằng cˆ là điểm cực tiểu của hàm c − Sˆ
c với c ∈ C hay

cˆ = PC (Sˆ
c) = T cˆ.
Bây giờ giả sử T cˆ = cˆ. Khi đó, cˆ = PC (Sˆ
c), từ bất đẳng thức (1.3), ta có

c − cˆ, cˆ − Sˆ
c ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Do đó,

Ac − Aˆ
c, Aˆ
c − PQ (Aˆ
c) ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Ta cũng có

PQ (Aˆ
c) − PQ (Ac), Aˆ
c − PQ (Aˆ
c) ≥ 0.
Cộng hai vế, ta được

PQ (Ac) − Ac, PQ (Aˆ
c) − Aˆ
c ≥ PQ (Aˆ
c) − Aˆ
c 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

PQ (Ac) − Ac ≥ PQ (Aˆ
c) − Aˆ

c .
Điều phải chứng minh.


17

Đặt F là tập hợp (có thể rỗng) của tất cả các phần tử c ∈ C mà tại đó hàm

PQ Ac − Ac đạt giá trị cực tiểu trên C . Chúng ta có định lý sau liên quan
đến phương pháp CQ.
Định lý 1.2.3 (xem [3]). Giả sử tập F khác rỗng. Khi đó dãy lặp {xk } được
xác định bởi (1.8) hội tụ đến một phần tử của F với bất kỳ xấp xỉ ban đầu

x0 ∈ C .
Hệ quả 1.2.4 (xem [3]). Dãy lặp {xk } được xác định bởi (1.8) hội tụ đến một
nghiệm của bài tốn chấp nhận tách (SFP) nếu bài tốn có nghiệm.
Định nghĩa 1.2.5 (xem [2]). Cho H là một không gian Hilbert thực. Hàm

f : H → R được gọi là hàm lồi nếu:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

(1.10)

∀λ ∈ (0, 1) và ∀x, y ∈ H.
Nhận xét 1.2.6. Hàm khả vi f là hàm lồi khi và chỉ khi:

f (z) ≥ f (x) + ∇f (x), z − x

∀z ∈ H.

(1.11)

Định nghĩa 1.2.7 (xem [2]). Ta có các định nghĩa sau:
(a) Một phần tử g ∈ H được gọi là dưới gradient của hàm f : H → R tại x
nếu:

f (z) ≥ f (x) + g, z − x

∀z ∈ H.

(1.12)

Nếu hàm f : H → R có ít nhất một dưới gradient tại x thì nó được gọi
là khả dưới vi phân tại x. Tập dưới gradient của f tại x được ký hiệu là

∂f (x).
(b) Một hàm được gọi là khả dưới vi phân nếu nó khả dưới vi phân tại mọi
điểm x ∈ H .
(c) Một hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x nếu xn

x

nghĩa là

f (x) ≤ lim inf f (xn ).
n→∞

(1.13)

18

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên H nếu nó nửa liên tục dưới
yếu tại mọi điểm x ∈ H .
Nếu đặt

1
Ax − PQ Ax 2
(1.14)
2
thì f là hàm lồi khả vi và có gradient liên tục Lipschitz được cho bởi công thức:
f (x) =

∇f (x) = A∗ (I − PQ )A.

(1.15)

Do đó thuật tốn CQ có thể sử dụng để giải bài tốn cực tiểu hàm lồi:

min f (x).
x∈C

(1.16)

Ta cũng có thể dùng một thuật toán chiếu gradient dưới đây để giải bài toán
chấp nhận tách SFP:

xn+1 = PC (xn − τn ∇f (xn )),

(1.17)

trong đó, τn được chọn thuộc khoảng 0, L2 ở mỗi bước lặp thứ n, L là hằng
số Lipschitz của ∇f . Tuy nhiên, ta quan sát thấy rằng việc xác định τn phụ
thuộc vào chuẩn A của toán tử A (hoặc giá trị riêng lớn nhất của A∗ A). Điều
này có nghĩa là để thực hiện thuật tốn CQ trước tiên ta phải tính A , nhìn
chung đây khơng phải là một việc dễ dàng trong thực tế.
Trong Chương 2 sẽ trình bày một phương pháp lặp hiện khác giải bài toán
chấp nhận tách (SFP) nhằm khắc phục hạn chế này.


19

Chương 2

Phương pháp lặp giải bài toán chấp
nhận tách trong khơng gian Hilbert
Chương này trình bày một phương pháp lặp hiện giải bài tốn chấp nhận
tách trong khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều. Nội dung của chương được
trình bày trong hai mục. Mục 2.1 trình bày một phương pháp lặp giải bài tốn
chấp nhận tách trong khơng gian Hilbert thực vô hạn chiều cùng sự hội tụ của
phương pháp. Mục 2.2 đưa ra và tính tốn một số ví dụ số minh họa cho sự
hội tụ của phương pháp. Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu
[3]–[5], [11] và [13]. Ví dụ minh họa ở cuối chương là do tác giả tìm hiểu và tự
lập trình tính tốn trên ngơn ngữ MATLAB.

2.1
2.1.1

Một phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách
Bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động

Cho C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác rỗng trong các không gian
Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là một tốn tử tuyến tính bị chặn. Bài
toán chấp nhận tách, đã được đề cập trong Chương 1, là bài tốn
Tìm x∗ ∈ C

sao cho Ax∗ ∈ Q.

(2.1)


20

Năm 2010, Xu [13] đã phát triển phương pháp CQ để giải bài tốn chấp nhận
tách trong khơng gian Hilbert vô hạn chiều với dãy lặp {xk } được xác định bởi


x0 ∈ C được chọn tùy ý,
(2.2)

xk+1 = PC xk + γA∗ PQ (Axk ) − Axk ,
trong đó 0 < γ <

2
A

2

và A∗ là toán tử liên hợp của A, PC và PQ lần lượt là

phép chiếu mêtric lên C và Q. Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ C ∩ A−1 (Q)}
của bài toán chấp nhận tách (2.1) khác rỗng, khi đó dãy lặp {xk } xác định bởi
(2.2) hội tụ yếu đến nghiệm của bài tốn chấp nhận tách.
Ta có thể sử dụng phương pháp điểm bất động để giải bài toán (2.1) dựa
trên phân tích sau đây. Cho γ > 0 và giả sử rằng x∗ ∈ Ω. Vì Ax∗ ∈ Q nên

(I − PQ )Ax∗ = 0, suy ra γA∗ (I − PQ )Ax∗ = 0, do đó ta có phương trình điểm
bất động

I − γA∗ (I − PQ )A x∗ = x∗ .

(2.3)

Vì x∗ ∈ C , nên từ phương trình (2.3) ta nhận được

PC I − γA∗ (I − PQ )A x∗ = x∗ .

(2.4)

Ta sẽ chỉ ra nghiệm của phương trình điểm bất động (2.4) là nghiệm của bài
tốn chấp nhận tách (2.1).
Mệnh đề 2.1.1 (xem [13]). Cho C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác
rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là một tốn tử
tuyến tính bị chặn, x∗ ∈ H1 . Khi đó x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách
(2.1) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của phương trình điểm bất động (2.4).
Chứng minh. Theo phân tích trên, nếu x∗ là nghiệm của bài tốn chấp nhận
tách (2.1) thì nó cũng là nghiệm của phương trình điểm bất động (2.4).
Bây giờ ngược lại, giả sử rằng x∗ là nghiệm của phương trình điểm bất động
(2.4). Khi đó sử dụng tính chất của phép chiếu (Mệnh đề 1.1.19) ta nhận được

I − γA∗ (I − PQ )A x∗ − x∗ , z − x∗ ≤ 0,

z ∈ C.


21

Tức là,

A∗ (I − PQ )A x∗ , z − x∗ ≥ 0,

z ∈ C.

Ax∗ − PQ Ax∗ , Ax∗ − Az ≤ 0,

z ∈ C.

Do đó,
(2.5)

Mặt khác, lại theo tính chất của phép chiếu (Mệnh đề 1.1.19) ta có

Ax∗ − PQ Ax∗ , v − Ax∗ ≤ 0,

v ∈ Q.

(2.6)

Cộng hai bất đẳng thức (2.5) và (2.6) ta nhận được

Ax∗ − PQ Ax∗ , v − Az ≤ 0,

v ∈ Q,

z ∈ C.

(2.7)

Thay z = x∗ ∈ C và v = PQ Ax∗ ∈ Q trong (2.7) suy ra Ax∗ = PQ Ax∗ ∈ Q.
Tức là x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách (2.1).
Từ kết quả của Mệnh đề 2.1.1 nhận thấy rằng có thể sử dụng phương pháp
điểm bất động để giải bài toán chấp nhận tách (2.1). Phương pháp CQ trong
(2.2) có thể được viết lại như sau:

xk+1 = T xk ,

k ≥ 0,

(2.8)

ở đây toán tử T : H → H được cho bởi

T (x) = PC I − γA∗ (I − PQ )A (x).

(2.9)

Định lý 2.1.2 (xem [13]). Cho C và Q lần lượt là hai tập con lồi đóng khác
rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là một tốn
tử tuyến tính bị chặn. Giả sử bài tốn chấp nhận tách (2.1) có nghiệm. Nếu

0 < γ < 2/ A 2 , thì dãy xk sinh bởi dãy lặp (2.8) hội tụ yếu đến một nghiệm
của bài toán chấp nhận tách (2.1).
Chứng minh. Với 0 < γ < 2/ A

2

thì tốn tử T : H → H được xác định

bởi (2.9) là ánh xạ trung bình. Theo Mệnh đề 1.1.12 và Mệnh đề 2.1.1, ta suy
ra dãy xk được xác định bởi (2.8) hội tụ yếu đến một nghiệm của bài toán
chấp nhận tách (2.1).


22

2.1.2

Một phương pháp lặp hiện trong không gian Hilbert

Cho C và Q là các tập con lồi khác rỗng của không gian Hilbert thực H1
và H2 , A : H1 → H2 là tốn tử tuyến tính bị chặn. Ta giả sử rằng bài tốn
chấp nhận tách (2.1) có nghiệm, tức là Ω = {x∗ ∈ C ∩ A−1 Q} = ∅. Ta nghiên
cứu một phương pháp lặp hiện giải bài toán này như sau: Cho u ∈ C và điểm

x0 ∈ C , dãy xk+1 được định nghĩa bởi


y k
= αk u + (1 − αk )xk
f (y k )∇f (y k )


xk+1 = PC y k − τk
,
∇f (y k ) 2

(2.10)

k ≥ 0,

trong đó {αk } ⊂ (0, 1) và {τk } ⊂ (0, 2), f và ∇f được xác định bởi

f (x) =

1
Ax − PQ Ax
2

2

(2.11)

và

∇f (x) = A∗ (I − PQ )A.

(2.12)

Trong những phần tiếp theo ta sẽ giả sử rằng ∇f (y k ) = 0 với mọi k .
Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp (2.10), ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.3 (xem [13]). Giả sử {ak } là dãy số thực không âm thỏa mãn:

ak+1 ≤ (1 − γk )ak + δk

(2.13)

trong đó {γk } ∈ (0, 1) và {δk } là các dãy số thực thỏa mãn:
∞

γk = ∞

(1)
k=1

δk
≤ 0 hoặc
(2) lim supk→∞
γk

∞

|δk | < ∞,
k=1

thì lim ak = 0.
k→∞

Bổ đề 2.1.4 (xem [13]). Cho {sk } là một dãy số thực không giảm theo nghĩa
là tồn tại một dãy con {ski } của dãy {sk } sao cho ski < ski +1 với mọi i ≥ 0.

23

Với mỗi k ≥ k0 , xác định một dãy số nguyên {τ (k)}:

τ (k) = max n ≤ k : ski < ski+1

(2.14)

Khi đó τ (k) → ∞ khi k → ∞ và với mọi k ≥ k0

max sτ (k) , sk ≤ sτ (k)+1 .

(2.15)

Sự hội tụ của phương pháp (2.10) được trình bày trong định lý sau đây.
Định lý 2.1.5 (xem [13]). Cho C và Q là các tập con lồi khác rỗng của không
gian Hilbert thực H1 và H2 , A : H1 → H2 là tốn tử tuyến tính bị chặn, f và

∇f được cho bởi (2.11) và (2.12). Giả sử rằng bài toán chấp nhận tách (2.1)
có nghiệm, tức là Ω = {x∗ ∈ C ∩ A−1 Q} = ∅. Nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
∞

αk = ∞;

(i) lim αk = 0,
k→∞

k=1

(ii) inf k τk (2 − τk ) > 0

thì dãy xk được xác định bởi (2.10) hội tụ mạnh đến PΩ (u).
Chứng minh. Lấy v ∈ Ω, ∇f (v) = 0 với mọi v ∈ Ω. Vì f là hàm lồi khả vi
nên từ (1.11) ta suy ra:

f (y k ) = f (y k ) − f (v) ≤ ∇f (y k ), y k − v .
Do đó từ (2.10) và (2.16) ta có:

x

k+1

−v

2

= PC

f (y k )∇f (y k )
y τk
∇f (y k ) 2
−

2

−v
2

f (y k )∇f (y k )
≤ y − τk
−v

∇f (y k ) 2
f (y k )
k
2
= y − v − 2τk
∇f (y k ), y k − v
k
2
∇f (y )
2 k
f (y )
+ τk2
∇f (y k ) 2
k

(2.16)


24

hay

xk+1 − v

2

≤ yk − v

2

k

2

= y −v

− 2τk

f 2 (y k )
∇f (y k )

2

+ τk2

2

f 2 (y k )
− τk (2 − τk )
, yk − v
k
2
∇f (y )

= αk (u − v) + (1 − αk )(xk − v)
≤ αk u − v

f 2 (y k )
∇f (y k )

2

2

(2.17)

2

+ (1 − αk ) xk − v 2 .

Do đó:

xk+1 − v

2

≤ αk u − v

2

+ (1 − αk ) xk − v

f 2 (y k )
− τk (2 − τk )
∇f (y k )
≤ αk u − v

2

2

(2.18)

+ (1 − αk ) xk − v

u − v 2 , xk − v

≤ max

2

2

2

.

Bằng phương pháp quy nạp, ta suy ra:

xk+1 − v ≤ max { u − v , x0 − v } .

(2.19)

Do đó dãy xk bị chặn. Mặt khác

yk − v

2

= αk (u − v) + (1 − αk )(xk − v)

≤ (1 − αk ) xk − v

2

2

+ 2αk u − v, y k − v .

(2.20)

Do đó

xk+1 − v

2

≤ (1 − αk ) xk − v

2

f 2 (y k )
+ 2αk u − v, y − v − τk (2 − τk )
∇f (y k )
k

= (1 − αk ) xk − v

2

+ 2αk u − v, αk (u − v) + (1 − αk )(xk − v)

f 2 (y k )
− τk (2 − τk )
∇f (y k )
= (1 − αk ) xk − v

2

2

(2.21)
2

+ 2αk2 u − v

f 2 (y k )
− τk (2 − τk )
.
∇f (y k ) 2

2

+ 2αk (1 − αk ) u − v, xk − v


25

Từ đó suy ra

xk+1 − v

+ αk

2

− xk − v
xk − v

2

2

− 2αk u − v
2

+ τk (2 − τk )

2

+ 2αk u − v, xk − v

(2.22)

k

f (y )
∇f (y k )

≤ 2αk u − v, xk − v .

2

Tiếp theo, ta chứng minh xk → v . Đặt wk = xk − v

2

với mọi k ≥ 0. Bởi vì

αk → 0 và inf k τk (2 − τk ) > 0, khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử rằng
τk (2 − τk ) ≥ σ , σ > 0. Khi đó ta viết lại (2.22) ở dạng
w

k+1

σf 2 (y k )
− w + αk U +
≤ 2αk u − v, xk − v
k
2
∇f (y )
k

k

(2.23)

trong đó

U k = xk − v

2

− 2αk u − v

2

+ 2αk u − v, xk − v .

Xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1. Giả sử wk là dãy giảm, nghĩa là tồn tại N > 0 sao cho wk
giảm với k > N , trường hợp này wk hội tụ và từ (2.23) ta có:

0≤

σf 2 (y k )
≤ wk − wk+1 − αk U k + 2αk u − v
k
2
∇f (y )
k

≤w −w

k+1

xk − v
(2.24)

+ M αk ,

trong đó M > 0 là hằng số sao cho

sup 2 u − v

xk − v + U k

< M.

k

Cho k → ∞ từ công thức (2.24) ta được:

lim f (y k ) = 0.

(2.25)

k→∞

Vì dãy y k bị chặn, nên tồn tại một dãy con y ki

của y k hội tụ yếu đến

x˜ ∈ C. Vì xk − y k → 0, ta cũng có xki của xk hội tụ yếu đến x˜ ∈ C. Từ
tính nửa liên tục dưới yếu của f ta có:

0 ≤ f (˜
x) ≤ lim inf f (y ki ) = lim f (y k ) = 0.
i→∞

k→∞

(2.26)