GA BOI DUONG HSGTOAN 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC</b>
<b>NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ</b>
<b>I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC</b>

<i><b>Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức</b></i>

a) A = x5_{- 15x}4_{+ 16x}3_{- 29x}2_{+ 13x tại x = 14}

b) B = x14_{- 10x}13_{+ 10x}12_{- 10x}11_{+ ... + 10x}2_{- 10x + 10 tại x = 9}

c) C = .3650₆₅₁ ₃₁₅4_.₆₅₁ ₁₀₅4
105

1
651

1
.
315

1

2   

<b>Bài 2: </b>

1. Rút gọn biểu thức :<i>_A</i> ₍₄<i>_x</i>2 <i>_y</i>2₎₍₂<i>_{x y}</i>₎₍₂<i>_{x y}</i>₎

   

2. Chứng minh: (7x + 1)2_{– (x + 7)}2_{= 48(x}2_{– 1)}

3. Tìm x,biết : 16x2_{- (4x – 5)}2_{= 15}

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2_{+ 2x + 3}

<b>Bài 3: </b>

1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m:

2 2

(2 5) (2 5) 40

<i>A</i> <i>m</i>  <i>m</i> 

2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ
3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2_{– 10x – (x – 4)(x +4).}

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2_{– 4x +5.}

<b>Bài 4:</b>

<b>1. Chứng minh rằng: (x – y)</b>2_{– (x + y)}2_{= - 4xy}

<b>2. Chứng minh: (7n – 2)</b>2_{– (2n – 7)}2_{luôn luôn chia hết cho 9,}

với mọi n là giá trị nguyên

<b>3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x</b>2_{+ 6x +1.}

<b>4. Chứng minh rằng nếu (a</b>2_{+ b}2_)(x2_{+ y}2_{) = (ax + by)}2

<b> II. HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG</b>
<b>A. Áp dụng hằng đẳng thức </b>

1. Bình phương của một tổng: <i>_A</i> <i>_B</i>2 <i>_A</i>2 ₂<i>_AB</i> <i>_B</i>2





 =<i>A</i> <i>B</i>2 4<i>AB</i>

2. Bình phương của một hiệu: <i>_A</i> <i>_B</i>2 <i>_B</i> <i>_A</i>2 <i>_A</i>2 ₂<i>_AB</i> <i>_B</i>2








 = <i>A</i><i>B</i>2  4<i>AB</i>

3. Hiệu của hai bình phương: <i>A</i>2  <i>B</i>2 <i>A</i> <i>B</i><i>A</i><i>B</i>

4. Lập phương của tổng: <i>A</i><i>B</i>3 <i>A</i>33<i>A</i>2<i>B</i>3<i>AB</i>2 <i>B</i>3 <i>A</i>3<i>B</i>33<i>AB</i><i>A</i><i>B</i>

5. Lập phương của hiệu: <i>A</i> <i>B</i>3 <i>A</i>3  3<i>A</i>2<i>B</i>3<i>AB</i>2  <i>B</i>3 <i>A</i>3 <i>B</i>3 3<i>AB</i><i>A</i> <i>B</i>

6. Tổng hai lập phương: <i>_A</i>3 <i>_B</i>3 <i>_A</i> <i>_B</i>



<i>_A</i>2 <i>_AB</i> <i>_B</i>2



<i>_A</i> <i>_B</i>3 3<i>_AB</i>.(<i>_A</i> <i>_B</i>)












7. Hiệu hai lập phương: <i>_A</i>3 <i>_B</i>3 <i>_A</i> <i>_B</i>



<i>_A</i>2 <i>_AB</i> <i>_B</i>2



(<i>_A</i> <i>_B</i>)3 3<i>_AB</i>.(<i>_A</i> <i>_B</i>)












<i><b>* Một số hằng đẳng thức tổng quát </b></i>

1. an_{– b}n_{= (a- b)(a}n-1_{+ a}n-2_b_{+ … + ab}n-2_{+ b}n-1₎

2. a2k_{– b}2k_{= (a + b )(a}2k-1_{– a}2k-1_{b + … + a}2k-3_b2_–b2k-1₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

3. a2k+1_{– b}2k+1_{= (a + b )(a}2k_{– a}2k-1_{b + a}2k-2_b2_{- … + b}2k₎

4. (a + b)n_{= a}n_{+ na}n-1_{b +}

2
.
1

)
1
( <i>n</i>
<i>n</i>

an-2_b2_+…+

2
.
1

)
1
( <i>n</i>
<i>n</i>

a2_bn-2_+nabn-1_{+ b}n

5. (a -b)n_{= a}n_{- na}n-1_{b +}

2
.
1

)
1
( <i>n</i>
<i>n</i>

an-2_b2_-

…-2
.
1

)
1
( <i>n</i>
<i>n</i>

a2_bn-2_+nabn-1_{- b}n

<b>Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :</b>
1 <i>A</i><i>B</i><i>C</i>2 <i>A</i>2<i>B</i>2<i>C</i>22<i>AB</i><i>BC</i><i>AC</i>

2. <i>A</i><i>B</i><i>C</i>3 <i>A</i>3<i>B</i>3<i>C</i>33<i>A</i><i>B</i> .<i>B</i><i>C</i> . <i>A</i><i>C</i>

3. ₂



<i>_A</i>2 <i>_B</i>2



<i>_A</i> <i>_B</i>2 <i>_A</i> <i>_B</i>2








4.



<i>_A</i>2 <i>_B</i>2

 

_.<i>_X</i>2 <i>_Y</i>2



<i>_AX</i> <i>_BY</i>2 <i>_AX</i> <i>_BY</i>2









<b>Bài tập 2. Tính :</b>

a/ A = 12_{– 2}2_{+ 3}2_{– 4}2_{+ … – 2004}2_{+ 2005}2

b/ B = (2 + 1)(22₊₁₎₍₂4_{+ 1)(2}8_{+ 1)(2}16_{+ 1)(2}32_{+ 1) – 2}64

Giải
a/ A = 12_{– 2}2_{+ 3}2_{– 4}2_{+ … – 2004}2_{+ 2005}2

A = 1 + (32_{– 2}2_{) + (5}2_{– 4}2_{)+ …+ ( 2005}2_{– 2004}2₎

A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22₊₁₎₍₂4_{+ 1)(2}8_{+ 1)(2}16_{+ 1)(2}32_{+ 1) – 2}64

B = (22 _{- 1) (2}2₊₁₎₍₂4_{+ 1)(2}8_{+ 1)(2}16_{+ 1)(2}32_{+ 1) – 2}64

B = ( 24_{– 1)(2}4_{+ 1)(2}8_{+ 1)(2}16_{+ 1)(2}32_{+ 1) – 2}64

B = …

B =(232_{- 1)(2}32_{+ 1) – 2}64

B = 264_{– 1 – 2}64

B = - 1

<i>* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2_{– B}2</i>

<b>Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: </b>
a/ A = x2_{– 4x + 7}

b/ B = x2_{+ 8x}

c/ C = - 2x2_{+ 8x – 15}

Giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a/ A = x2_{– 4x + 7 = x}2_{– 4x + 4 + 3 = ( x - 2)}2_{+ 3 > 3}

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.

b/ B = x2_{+ 8x = (x}2_{+ 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)}2_{– 16 > - 16}

Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.

c/ C = - 2x2_{+ 8x – 15 = – 2(x}2_{– 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)}2_{– 7 < - 7}

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.

<i> * Chú ý: </i>

<i> Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:</i>
<i>- Chứng minh A > m với m là một hằng số.</i>

<i>- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.</i>

<i>- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )</i>
<i> Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:</i>

<i>- Chứng minh A < t với t là một hằng số.</i>
<i>- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.</i>

<i>- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )</i>

<b>Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2_{= 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c}</b>

Giải
( a + b + c )2_{= 3(ab + bc + ac )}

a2 _{+ 2ab + b}2_{+ 2bc + 2ac + c}2_{= 3ab + 3bc + 3ac}

a2 _{+ b}2_{+ c}2_{- ab - bc – ac = 0}

2a2 _{+ 2b}2_{+ 2c}2_{- 2ab - 2bc – 2ac = 0}

( a2_{– 2ab + b}2_{) + ( b}2_{– 2bc + c}2_{) + ( c}2_{– 2ac + a}2_{) = 0}

( a – b)2_{+ ( b – c)}2_{+ ( c – a)}2_{= 0}

( a – b)2_{=0 hay ( b – c)}2_{= 0 hay ( c – a)}2_{= 0}

a = b hay b = c hay c = a
a = b = c

<i>* Chú ý:</i>

<i>Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>(a + b + c )2_{= a}2 _{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2ac + 2bc}</i>

<i>(a ± b)2_{= a}2 _{± 2ab + b}2</i>

<b>Bài tập 5. Chứng minh rằng:</b>
a/ 7.52n_{+ 12.6}n

 19 ( n



N)

b/ 11n+2 _{+ 12}2n+1

 133 ( n



N)

Giải
a/ 7.52n_{+ 12.6}n_{= 7.(25}n_{– 6}n_{) + 19.6}n _₁₉

Vì ( 25n_{– 6}n₎__{( 25 – 6) nên ( 25}n_{– 6}n₎__{19 và 19.6}n _₁₉

Vậy 7.52n_{+ 12.6}n __{19 ( n}

_

_N)

b/ 11n+2 _{+ 12}2n+1

 133 = 112 . 11n + 12.122n

= 12.( 144n_{– 11}n_{) + 133.11}n

 133

Vì (144n_{– 11}n₎

 (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

<i>* Chú ý:</i>

<i>Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức </i>

<i>an_{– b}n_{= (a- b)(a}n-1_{+ a}n-2_b_{+ … + ab}n-2_{+ b}n-1_{) do đó (a}n_{– b}n₎</i>_<i>_{(a- b)}</i>

<b>Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x</b>2_{+ 2y}2_{+ z}2_{+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0}

Giải

2x2_{+ 2y}2_{+ z}2_{+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0}

 (x2_{+ y}2_{+ z}2_{+ 2xy + 2xz + 2yz) + (x}2_{+ 10x + 25) + (y}2_{+ 6y + 9) = 0}

 ( x + y + z)2_{+ ( x + 5)}2_{+ (y + 3)}2_{= 0}

 ( x + y + z)2_{= 0 ; ( x + 5)}2_{= 0 ; (y + 3)}2_{= 0}

 x = - 5 ; y = -3; z = 8

<i>* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức </i>

<i>(a + b + c )2_{= a}2 _{+ b}2_{+ c}2_{+ 2ab + 2ac + 2bc}</i>

<i>(a ± b)2_{= a}2 _{± 2ab + b}2</i>

<b>Bài tập 7: Cho x =</b>   
1
số
chữ

<i>n</i>

15
...

11

<b> ; y = </b>   
1
số
chữ

<i>n</i>

19
...
11

<b> . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính </b>
<b>phương.</b>

Ta cĩ : y =   
1
số
chữ

<i>n</i>

19
...
11

=   
1
số

chữ

<i>n</i>

15
...
11

+ 4 = x + 4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2_{+ 4x + 4 = ( x + 2 )}2

hay xy + 4 =   
1
số
chữ
<i>n</i>

2
17
...
11

là số chính phương.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

= 0

<b>CH Ủ Đ Ề II:</b>

<b>CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ</b>

1/ Đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức , nhóm các hạng tử.
2/Tách các hạng tử .

3/ Thêm bớt một hạng tử .
4/ Phương pháp hệ số bất định
5/ Phương pháp đổi biến .
6/ Phương pháp xét giá trị riêng

<i><b>I/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử</b></i>
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a/ x4 _{+ x}3 _{+ 2x}2 _{+ x +1}

Giải / x4 _{+ x}3_{+ 2x}2 _{+ x +1 = ( x}4 _{+ 2 x}2 _{+ 1 ) + (x}3_{+ x )}

= ( x 2 ₊₁₎2 _{+ x ( x}2₊₁₎

= ( x 2 _{+1) ( x}2_{+x +1)}

b/ x3_{+ 2x}2_{y + xy}2 _{- 9x = x( x}2 _{+ 2x y + y}2 _{- 9 )}

= x( x+ y -3)( x+ y +3)

c/ a3_{+ b}3_+c3_{- 3abc = (a+b )}3_{- 3a}2 _{b – 3ab}2_{+ c}3_{- 3abc}

= [ (a+b )3_{+ c}3_{] -3ab(a+b+c)}

=(a+b+c)[( a+b)2_{- c(a+b) + c}2 _{- 3ab]}

d/ (a+b+c)3_{- a}3_{- b}3_-c3_{= [ (a+b)+c]}3_{- a}3_{- b}3_-c3

= (a+b)3_{+ c}3_{+3c(a+b)(a+b+c) - a}3_{- b}3_-c3

=a3_{+ b}3_{+ 3ab(a+b)+ c}3_{+3c(a+b)(a+b+c) - a}3_{- b}3_-c3

= 3(a+b)(ab+ac+bc+c2 _{) = 3(a+b)(b+c)(c+a)}

e/ x2_(y-z)+y2 _(z-x)+z2_{(x-y) = x}2 _(y-z)+y2 _z-xy2 _+xz2_{- yz}2

=x2_{(y-z)+yz(y-z)-x(y}2 _{- z}2 _{) =(y-z)(x}2 _+yz-xy-xz)

=(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc}

Ta có: a3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc = (a + b)}3_{– 3ab(a+b) + c}3_{– 3abc}

= [(a+b)3_+c3_{] – 3ab(a+b+c)}

= (a+b+c) [(a+b)2_–c(a+b)+c2_{]– 3ab (a+b+c)}

= (a+b+c) (a2_{+ 2ab + b}2_{– ac- ab + c}2_{- 3ab)}

= (a +b + c) (a2_{+ b}2_{+ c}2_{– ab – bc – ac)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

=

2
1

(a + b + c) [(a-b)2_{+ (b-c)}2_{+ (a-c)}2_]

Nhận xét: Nếu a3_{+ b}3_{+ c}3_{= 3abc thì a}3_{+ b}3_{+ c}3_{– 3abc = 0}

=>

2
1

(a+b+c) [(a-b)2_{+ (b-c)}2_{+ (a-c)}2_{] = 0}

=> 














0
)
(

)
(
)
(

0

2
2

2 <i>_b</i> <i>_c</i> <i>_a</i> <i>_c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

=> 










<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i> 0

<i>Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng tốn:</i>
<i>Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

<i>Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.</i>

<i>Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình</i>
<i>Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.</i>

<i><b>II/Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số ngun)</b></i>

Nhận xét: Nếu đa thức khơng chứa nhân tử chung,khơng có dạng hằng đẳng thức,cũng
khơng nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm
các hạng tử.

Ví dụ : 3x2 _{-8x+4 = 3x}2 _{-6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)}

Hay tách 4x2 _{-8x+4 - x}2 _{= (2x-2)}2 _{- x}2 _{= ...}

Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và
thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2

Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành
b1x +b2x sao cho b1.b2 =a.c.

Trong thực hành ta thực hiện như sau:
1/ Tìm tích a.c

2/phân tích a.c ra thừa số nguyên bằng mọi cách.
3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x2 _-4x-3

Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x
thành -6x + 2x .

Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa
thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Ví dụ : Phân tích đa thức : x3_{- x}2_{-4 đa thức này có nghiệm ngun thì phải là}

ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó
đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành :

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

x3_{- x}2 _{-4 = x}3_{-2 x}2_{+ x}2 _{-4 = x}2_{(x-2) +(x-2)(x+2) = ...}

Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau :

1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa
thức cố chứa nhân tử x -1 .

Ví dụ : Phân tích đa thức x3_{- 5x}2 _{+8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa}

nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x3_{- x}2_{- 4 x}2_{+8x -4 = x}2_{(x-1) – 4(x-1)}2`

2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm
của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1.

Ví dụ: Phân tích đa thức x3_{- 5x}2 _{+ 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa}

thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :

x3_{- 5x}2 _{+3x +9 = x}3_{+ x}2_{- 6x}2 _{+3x +9 = x}3_{+ x}2 _{- 6x}2_{-6+3x +3}

=x2 _{(x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = ...}

Trong trường hợp đa thức khơng có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ ,
người ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải
có dạng <i>_qp</i> trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất . Ví
dụ : Phân tích đa thức 3x3_{- 7x}2 _{+17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm}

của đa thức ,xét các số ±₃1 , ±₃5 ta có1₃ là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa
thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau :

3x3_{- 7x}2 _{+17x -5 = 3x}3_{- x}2 _{-6 x}2 _{+2x + 15x-5 =x}2 _{(3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=.}

<b>Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:</b>

a, x2_{- 2x - 3} _{= (x – 3)( x + 1)}

b, 4x2_{- 4x – 3} _{= (2x – 3)(2x + 1)}

c, 6x2_{- 11x + 3} _{= (3x – 1)(2x – 3)}

d, 2x2_{+ 3x - 27} _{= (x – 3)(2x + 9)}

e, 3x2_{- 8x + 4} _{= (x – 2)(3x – 2)}

g, 2x2_{-5xy + 3y}2 _{= (x – 3y)(2x – y)}

h, 2x2_{- 5xy - 3y}2 _{= (x – 3y)(2x + y)}

i, 2x2_{+ 5xy - 7y}2 _{= (2x + 7)(x – y)}

<i><b>3/ Phương pháp thêm bớt một hạng tử:</b></i>

a/Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ : Phân tích da thức 4x4 _{+81 ta thêm bớt 36x}2 _{ta có}

4x4 _{+81 = 4x}4 _+36x2_{+81 -36x}2 _{= (2x}2₊₉₎2_{– (6x)}2_=...

Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử.
b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ : Phân tích đa thức x5`_{+x -1 ta thêm bớt x}4 _,x3_,x2_{như sau:}

x5`<sub> +x -1 = x</sub>5`_+x4 _+x3_+x2 _-x4 _-x3_-x2 _{+x -1}

= (x5`_-x4 _+x3_)+(x4 _-x3_+x2_{) –(x}2 _{-x +1 ) = ...}

Chú ý : Các đa thức có dạng x3<i>m</i>1_{+ x}3 <i>n</i> 2_{+1 đều chứa nhân tử x}2_{+x +1}

Ví dụ : x7 _{+ x}5`<sub>+1; : x</sub>7 <sub>+x</sub>2 <sub>+1 ; x+ x</sub>5`_{+1; x+ x}8_{+1 ...}

<i><b>4/Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm </b></i>
<i><b> KiÕn thøc liªn quan: f(x) = ax</b></i>3_{+ bx}2_{+ cx + d}

<i> (có thể áp dụng đ/v bậc cao h¬n)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

*1, f(x) cã nghiƯm x = α ⇔ f(α) = 0  f(x) = (x - α).g(x)

*2, Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực hiện đợc với ∀ x  R )

x a b c d

α

a1

= a _{= a α +b}b1 _{= b}₁_{α +c}c1 _{= c}₁_{α +d}d1
_Ư(d)

*3, Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có d¹ng ---
_Ư

+(a)

*4, Đặc biệt:

f(x) cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng không f(1) = 0

f(x) có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ

⇔ f(- 1) = 0

VD1: f(x) = x3 + 3x2 - 4

F(x) cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng 0 f(x) cã nghiÖm x = 1

x 1 3 0 - 4

1 1 4 4 0

VËy f(x) = (x - 1)(x2_{+ 4x + 4)}

= (x - 1)(x + 2)2

<i>Trình bày:</i>

C1, x3 + 3x2 - 4 C2, x3 + 3x2 - 4

= x3_{- x}2_{+ 4x}2_{- 4} _{= x}3_{- 1 + 3x}2_-3

= x2_{(x - 1) + 4(x}2_{- 1)} _{= (x - 1)(x}2_{+ x + 1) + 3(x}2_-1)

= (x - 1)(x2_{+ 4x + 4)} _{= (x - 1)(x}2_{+ x + 1 + 3x + 3)}

= (x - 1)(x + 2)2_{= (x - 1)(x + 2)}2

VD2: f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3

¦(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 }

¦(2) = { 1 ; 2 } 1 3
NghiƯm h÷u tØ nÕu cã lµ: ± 1 ; --- ; 3 ; ----± ± ±

2 2

Thö nghiƯm: f(1_/

2) = 0  f(x) cã nh©n tư (x - 1/2) hay (2x - 1)

<i>Trình bày:</i>

f(x) = 2x3_{- 5x}2_{+ 8x - 3}

= 2x3_{- x}2_{- 4x}2_{+ 2x + 6x - 3}

= x2_{(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)}

= (2x - 1)(x2_{- 2x + 3)}

<b>Bµi tËp </b>
Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử

a, x3_{- x}2_{- 4} _{= ( x – 2 )( x}2 _{+ x + 2 )}

b, 2x3_{– 5x}2_{– x + 6} _{= ( x + 1 )( x – 2 )( 2x – 3 )}

c, 3x3 _{+ 5x}2_{- 5x + 1} _{= ( 3x – 1 )( x}2 _{+ 2x – 1 )}

d, 2x4 _{- 3x}3_{+ 2x}2_{– 1} _{= ( x – 1 )( 2x + 1 )( x}2_{– x + 1 )}

e, 2x4_{+ x}3_{- 4x}2_{+ x – 6} _{= ( x + 2 )( 2x – 3 )( x}2 _{+ 1 )}

f, x5 _{- 6x}3_{+ x}2_{+ 8x – 4} _{= ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x}2 _{+ x + 1)}

g, x4 _{+ 2x}3_{+ x}2_{+ x + 1} _{= ( x + 1 )( x}2 _{+ x - 1 )}

h, 2x3_{– 3x}2_{+ 3x - 1} _{= ( 2x – 1 )( x}2 _{- x + 1 )}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

i, 3x3_{– 14x}2_{+ 4x + 3 = ( 3x + 1 )( x}2 _{- 5x + 3 )}

<i><b>5. Phương pháp hệ số bất định.</b></i>

Nếu đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun ,cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng
phương phỏp h s bt nh.

<i>Tổng quát : dạng bậc ba</i>

f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d (1)}

= (x + m)(ax2_{+ b' x + c' ) (*)}

= ax3_{+ (am + b' )x}2_{+ (b' + c' )x + c'm (2)}

Đồng nhất hai đa thøc (1) vµ (2) ta cã :
am + b' = b

b' + c' = c  b'= ? , c'= ? , m = ?.

c'm = d

Thay b' , c' , m vào (*) ta có dạng phân tích.

<i><b>Chú ý : Ta chỉ cần chọn một nghiệm nguyên nên ta có thể chọn trớc giá</b></i>

<i><b>trị của c và m sao cho c m = d</b></i>’ ’
VD1: f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 (1)

= (x + m)(x2_{+ b'x + c' )}

= x3_{+ (m + b')x}2_{+ (b'm + c' )x + c'm (2)}

m + b' = 4 m = 1 m = 2
Tõ (1) vµ (2)  b'm + c' = 5  b' = 3 Hc c’ = 1
c'm = 2 c' = 2 b’ = 2

f(x) = (x + 1)(x2_{+ 3x + 2) Hc f(x) = (x + 2)(x}2_{+ 2x + 1)}

= (x + 1)2_{(x + 2)} _{= (x + 1)}2_{(x + 2)}

<i>Trình bày : f(x) = x</i>3_{+ x}2_{+ 3x}2_{+ 3x + 2x + 2}

= x2_{(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)}

= (x + 1)(x2_{+ 3x + 2)}

= (x + 1)2_{(x + 2)}

<i> ( Bµi nµy cã thĨ dïng pp nhÈm nghiƯm.)</i>

VD2 : f(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1

§a thøc không có nghiệm hữu tỉ, nên f(x) có thể pt thành dạng :
(x2_{+ ax + b)(x}2 <i>_{+ cx + d) ( Nªn chän b = 1 , d = 1 )}</i>

= x4_{+ (a + c)x}3_{+ (ac + b + d)x}2_{+ (ad + bc)x + bd}

Đồng nhất đa thøc ta cã :

a+c = 6

ac + b + d = 7  a = b = d = 1 ; c = 5
ad + bc = 6

bd = 1

<i>Trình bày : f(x) = x</i>4_{+ x}3_{+ x}2_{+ 5x}3_{+ 5x}2_{+ 5x + x}2_{+ x + 1}

= x2_(x2_{+ x + 1) + 5x(x}2_{+ x + 1) + (x}2_{+ x + 1)}

= (x2_{+ x + 1)(x}2_{+ 5x +1)}

<i> Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách này trong trờng hợp bất đắc dĩ</i>

<i> Dựa vào kết quả pt trên để trình bày theo pp thêm, bớt .</i>

<b> Bµi tËp</b>
Bµi 1: Pt đt thành nhân tử

a, x4 _{+ 324} _{= ( x}2_{+ 6x + 18 )( x}2_{- 6x + 18 )}

b, 4x4_{+ 4x}3_+5x2_{+ 2x + 1} _{= ( 2x}2_{+ x + 1)}2

c, x4_{- 8x + 63} _{= ( 1x}2_{+ 4x + 9 )( 1x}2_{- 4x + 7 )}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

d, 3x2_{+ 22xy +11x +37x +7y}2_{+ 10}

= ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 )

<i>H</i>

<i> íng dÉn : d, dạng pt là : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' )</i>

Bài2: Pt đt thành nh©n tư

a, 4x4_{+ 6x}3_+11x2_{+ 6x + 1} _{= (x}2 _{+ 3x + 1)}2

b, 3x2_{– 22xy – 4 x + 8y + 7y}2_{+ 1}

= (3x – y – 1)(x – 7y – 1)
c, 12x2 _{+ 5x – 12y}2_{+ 12y – 10xy – 3}

= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1)

Bài 3: Phân tích đa thức x4 _-6x3_+12x2_{-14x +3. Nếu đa thức này phân tích thành}

nhân tử thì có dạng (x2_{+ax +b )(x}2 _{+ cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả}

x4 _+(a+c)x3_+(ac+b+d)x2 _+(ad+bc)x+bd

đồng nhất đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện
a+c = -6

ac+b+d = 12
ad+bc = -14
bd = 3

Xét bd =3 với bd



Z  _b



{ ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành
a +c = -6

ac = 8
a+ 3c = -14

 2c = -14 – (-6)  c = -4  a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành
(x2 _{-2x +3 )(x}2 _{-4x + 1 )}

<i><b>I V/ Phương pháp đổi biến</b></i>

Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn
Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2_+10x)(x2 _{+10x + 24 )}

đặt x2 _{+10x + 12 =y}_ _{(y-12)(y+12) +128 = y}2 _{-16 = (y-4)(y+4) =...}

VD1: f(x) = x4 - 8x2 + 12 Đặt : x2 = t

f(t) = t2_{- 8t + 12}

= (t - 2)(t - 6) Thay t = x2

f(x) = (x2_{- 2)(x}2_{- 6)}

VD2: f(x) = (x2 +x)2 + 4x2 + 4x - 12

= (x2_{+ x)}2_{+ 4(x}2_{+x) - 12 Đặt x}2_{+ x = t}

f(t) = t2_{+ 4t - 12}

= ( t - 2)( t + 6) Thay t = x2_{+ x}

f(x) = (x2_{+ x - 2)(x}2_{+ x + 6)}

= (x + 2)(x - 1)(x2 _{+ x + 6)}

VD3: f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12

<i> C1</i>, Đặt x2 + x = t

f(t) = (t + 1)(t + 2) -12
= t2 _{+ 3t + 2 - 12}

= t2 _{+ 5t - 2t - 10}

= t(t + 5) - 2(t + 5)
= (t + 5)(t - 2)

f(x) = (x2_{+ x + 5)(x}2_{+ x - 2)}

= (x + 2)(x - 1)(x2_{+ x + 5)}

<i> C2</i>, §Ỉt x2 + x + 1 = y

f(t) = t(t +1) - 12
= t2 _{+ t -12}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

= (t - 3)(t + 4)

f(x) = (x2 _{+ x + 1 - 3)(x}2 _{+ x + 1 + 4)}

= (x + 2)(x - 1)(x2 _{+ x + 5)}

<i><b> Tỉng qu¸t:</b></i>

B1, ViÕt f(x) = f(g(x)) = f(t) Víi t = g(x)

B2 Pt®t f(t) Thành nhân tử

B3, Thay t = g(x) vµo f(t), råi pt

Bµi tËp 1:

Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử
a, (x2 _{+ 3x + 1)}2_{+ 2x}2_{+ 6x – 13}

= (x2 _{+ 3x + 1)}2_+2(x2 _{+ 3x + 1) – 15}

= t2_{+ 2t – 15}

= (t + 5)(t – 3)

= (x2 _{+ 3x + 6) (x}2 _{+ 3x - 2)}

b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

= (x2 _{+ 10x)(x}2 _{+ 10x + 24) +128}

= t (t + 24) + 128
= t2_{+ 24t + 128}

= t2_{+ 16t + 8t + 128}

= (t + 16)(t + 8)

= (x2 _{+ 10x + 16) (x}2 _{+ 10x + 8)}

= (x + 8)(x + 2)( x2 _{+ 10x + 8)}

c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3

= (x2 _{+ 5x + 4)(x}2 _{+ 5x + 6) – 3}

= t (t + 2) – 3
= t2_{+ 2t – 3}

= (t + 1)2_{– 4}

= (t + 3)(t – 1)

= (x2 _{+ 5x + 7)(x}2 _{+ 5x + 3)}

d, x4_{+ 6x}3_{+ 7x}2_{- 6x + 1}

C1, 











 2 2 6 7 61 1₂
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

























 2 2 1₂ 6 1 7

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Đặt
<i>x</i>
<i>x</i> 1 = t
t2₌

2

2 1

<i>x</i>
<i>x </i> - 2

= x2_(t2 _{+ 6t + 9) = x}2_{(t + 3)}2

=





_

2

_

2

2
2
2

2 3 1 ₃ ₁






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

C2, ( thêm bớt dùng hằng đẳng thức (a + b + c)2₎

= x4 _{+ 9x}2_{+ 1 + 6x}3 _{– 2x}2_{– 6x}

Bài 2: Phân tích đa thức (x-y)3_{+ (y – z)}3_{+ (z - x)}3_{thành phân tử.}

Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)3_{+ (y – z)}3_{+ (z - x)}3_{= 3(x-y) (y-z) (z-x)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Bài 3: Phân tích đa thức (x2_{+ y}2₎3_{+ (z}2_{– x}2₎3_{– (y}2_{+ z}2₎3_{thành nhân tử.}

Ta có (x2_{+ y}2₎3_{+ (z}2_{– x}2₎3_{– (y}2_{+ z}2₎3_{= (x}2_{+ y}2₎3_{+ (z}2_{– x}2₎3_{+ (-y}2_{- z}2₎3

Ta thấy x 2_{+ y}2_{+ z}2_{– x}2_{– y}2_{– z}2_{= 0 => áp dụng nhận xét ta có:}

(x2_+y2₎3_{+ (z}2_-x2₎3_{+ -y}2_-z2₎3 _{= 3(x}2_{+ y}2_{) (z}2_–x2_{) (-y}2_{– z}2_{) = 3(x}2_+y2_{) (x+z)(x-z)}

(y2_+z2₎

Bài 4 : Phân tích đa thức (x+y+z)3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_{thành nhân tử}

(x+y+z)3_{– x}3_-y3_-z3_{=[(x +y) +z]}3_{– x}3_{– y}3_{– z}3_.

= (x+y)3_{+ 3 (x+y) (x+y+z) – x}3_-y3_-z3

= x3_{+ y}3_+3xy(x+y)+z3_{+3z(x+y)(x+y+z) –x}3_-y3_-z3_.

= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2_{) = 3(x+y)(y+z)(z+x)}

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

(x+y+z)3_–(x+y-z)3_-(x-y+z)3_-(-x+y+z)3

Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.

=>x+y+z = a+b+c

=>(a+b+c)3_{- a}3_{- b}3_-c3_{= 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz}

<i><b>V/ Phương pháp giá trị riêng.</b></i>

Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá
trị cụ thể để xác định nhân tử.

Ví dụ: Phân tích đa thức P = x2 _{(y-z)+ y}2 _{(z-x) + z}2 _(x-y)

Giả sử ta thay x =y P= y2_{(y-z)+ y}2_{(z-x) = 0}

Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P khơng đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng
chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)

Ta thấy k là hằng số vì đẳng thức

P = x2_{(y-z)+ y}2_{(z-x) + z}2_{(x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x,y,z nên ta gán}

cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được

4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2)  _{k = -1 vậy P = -(x –y)(y-z)(z-x)}

Chú ý : Khi chọn giá trị riêng của x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi một khác nhau sao cho
( x –y)(y-z)(z-x)  0

<b>VI/ Bài tập áp dụng :</b>

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

a/ x2 _{-2x -4y}2_{-4y b/ a(a}2 _+c2 _{+ bc )+b(c}2_+a2_{+ ac ) +c(a}2_+b2 _{+ ab )}

c/ 6x2 _{-11x +3 d/ 2x}2 _{+3x -27 e/x}3_+5x2_{+8x +4 f/ x}3_-7x

+6

g/2x3_-x2 _{+5x +3. h/ x}3_-7x2_-3.

Bài2: a/ (x2_{+x )- 2(x}2 _{+x ) -15 b/ / x}2 _+2xy+y2_{-x-y -12}

c/ (x2_{+x +1)(x}2 _{+x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24}

e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a4

f/ (x2_{+ y}2 _{+ z}2 _)(x+y+z)2_+(xy+yz+xz)2

Bài3: Dùng phương pháp hê sô bất định:
a/ 4x4 _+4x3_+5x2_{+2x+1 b/x}4 _-7x3_+14x2 _-7x+1

c/ (x+1)4 _+(x2 _{+x +1) e/x}4 _x3_{-x +63}

Bài 4:

Cho x2_{+ y}2_{= 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y}

2( x6_{+ y}6_{) - 3( x}4_{+ y}4₎

Bài 5:

Cho x + y = 2; x2_{+ y}2_{= 10.}

Tính giá trị của biểu thức x3_{+ y}3

Bài 6:

1. Chứng minh : (a – b)3_{+ 3ab(a - b) = a}3_{+ b}3

2. Rút gọn: (x – 3)3_{– (x + 3)}3_.

3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3_{- b}3_{= 1 + 3ab.}

<b>Bài 7:Chứng minh biểu thức luôn dương:</b>
a) A= 16 2 8 3


 <i>x</i>

<i>x</i>

b) 2 5 8




<i>y</i> <i>y</i>

<i>B</i>

<b>Bài 8: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:</b>

a) 2 6 1



<i>x</i> <i>x</i>

<i>M</i>

b) 10 5 2 3



 <i>y</i> <i>y</i>

<i>N</i>

<b>Bài 9: Thu goïn:</b>

a) 2 1



22 1



24 1






 <b>. . . . .</b>



232 1



 264
b) ₅_₃



₅2_₃2



₅4_₃4



<b>_{. . . . .}</b>

_

_

2
3
5
3

5

128
128
64

64 _ _ 

Bài 10:

1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2_{+ c}2_{+ 2bc – a}2_{= 4p(p – a).}

2. CMR nếu a2_{+ b}2_{+ c}2_{= ab +bc + ca thì a = b = c.}

3. Tìm x,y biết : x2_{+ y}2_{– 2x + 4y + 5 = 0.}

Bài
11:

1. Chứng minh : (a + b)3_{– 3ab(a +b) = a}3_{+ b}3

2. Tính x3_{+ y}3_{,biết x + y = 3 và xy = 2}

3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a3_{+ b}3_{= 1 – 3ab.}

Bài 12:

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

a) x2_{- 2x -1} _{b) 4x}2_{+ 4x + 5}

Bài 13:

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 2x - x2_{- 4} _{b) -x}2_{- 4x}

* HD: đưa các biểu thức đã cho về dạng A2_{hoặc -A}2

Ví dụ: a)A= x2_{- 2x -1= ( x – 1 )}2_{– 2}__{- 2}_ _{MaxA = -2. Dấu “ =’’xảy ra}_ _x=1

HS làm các phần khác tương tự
Bài 14:

Cho x - y = 7. Tính:

a) x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37

b) x2_{(x + 1) - y}2_{(y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) – 95}

 HD: Rút gọn từng biểu thức làm xuất hiện x-y
 VD:

a, x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37 = x2_+2x+y2_{-2y-2xy +37}

= (x2 _+2xy+y2_{) +(2x-2y ) +37}

= ( x-y)2_{+ 2( x-y) +37}

= 49 +14 +37 = 100
Bài 15:

Cho x + y = a; x2_{+ y}2_{= b; x}3_{+ y}3_{= c}

Chứng minh: a3 _{- 3ab + 2c = 0}

* Lưu ý mối liên hệ x2_{+ y}2_{= ( x+y)}2_{– 2xy}

x3_+y3_{= ( x+y) (x}2_{+ y}2_{– xy)}

a3 _{- 3ab + 2c = (x + y)}3_{- 3(x + y)( x}2_{+ y}2_{) +2(x}3_{+ y}3₎

= x3_+y3_+3x2_{y+ 3xy}2_{- 3x}3_-3xy2_-3x2_{y -3y}3_{+ 2x}3_{+ 2y}3

a, x4_{+ 4} _{= ( x}2_{+ 2 )}2_{– 4x}2

= ( x2_{+ 2x + 2 )( x}2_{- 2x + 2)}

b, x4_{+ 64} _{= ( x}2_{+ 8 )}2_{– 16x}2

= (x2_{+ 4x + 8 )( x}2_{- 4x + 8)}

c, ( x2 _{– 8 )}2 _{+ 36} _{= x}4_{– 16x}2_{+ 100}

= ( x2_{+ 10 )}2_{– 36x}2

= ( x2_{+ 6x + 10 )( x}2_{- x + 10 )}

d, 64x4 _{+ 1} _{= ( 8x}2_{+ 1)}2_{– 16x}2

= ( 8x2_{+ 4x + 1 )( 8x}2_{- 4x + 1)}

e, (1 + x2₎2 _{– 4x(1 – x}2₎ _{= (1 - x}2₎2_{+ 4x}2 _{– 4x(1 – x}2₎

= [(1 – x2_{) – 2x]}2

= (x2 _{+ 2x – 1)}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15></div>

<!--links-->