Sự ổn định của phương trình hàm trên c∗ đại số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

HOÀNG THỊ THU HẢI

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH HÀM TRÊN C ∗-ĐẠI SỐ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đà Nẵng - Năm 2020


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

HOÀNG THỊ THU HẢI

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG
TRÌNH HÀM TRÊN C ∗-ĐẠI SỐ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - Năm 2020


LỜI CAM ĐOAN

Chúng tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
chúng tơi. Các số liệu, kết quả nêu trong đề tài là trung thực và chưa từng
được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Tác giả

Hoàng Thị Thu Hải


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của đề tài tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được khóa luận này.
Tác giả

Hồng Thị Thu Hải


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian định chuẩn - Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Đai số Banach và C ∗ -Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
CHƯƠNG 2. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRONG ĐẠI SỐ BANACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Đẳng cấu trong đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Đạo hàm trên đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CHƯƠNG 3. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

TRONG C ∗ -ĐẠI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1. Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Sự ổn định của phương trình hàm trong C ∗ -đại số . . . . . . . . . . 31
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Năm 1940, Ulam đã đề xuất bài toán về sự ổn định của phương trình
hàm như sau:
Bài tốn 1. Cho một nhóm G1 , một nhóm G2 với metric d và ε > 0.
Khi đó, có tồn tại hay khơng một số δ > 0 sao cho nếu f : G1 → G2 là
một ánh xạ thõa mãn

d(f (xy), f (x)f (y)) ≤ δ với mọi x, y ∈ G1 ,
thì tồn tại một đồng cấu h : G1 → G2 sao cho

d(h(x), f (x)) ≤ ε với mọi x ∈ G1 .
Đến năm 1941, Hyers đã đưa ra câu trả lời riêng cho bài toán trên trong
trường hợp điều kiện xấp xỉ của ánh xạ G1 , G2 là các không gian Banach,
cụ thể:
Định lí 2. Giả sử X và Y là các khơng gian Banach, ε > 0. Khi đó, với
mọi ánh xạ g thõa mãn

sup g(x + y) − g(x) − g(y) ≤ ε,
x,y∈X

thì tồn tại duy nhất ánh xạ: f : X → Y sao cho

sup g(x) − f (x) ≤ ε;
x,y∈X

f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ X .


2

Đến năm 1980, Forti đã chứng minh được định lý sau.
Định lí 3. Giả sử (S, +) là một nửa nhóm bất kỳ, E là một khơng gian
Banach và f : S → E là ánh xạ thõa mãn

sup f (x + y) − f (x) − f (y) ≤ ε,
x,y∈X

thì tồn tại giới hạn

f (2n x)
với mọi x ∈ S
g(x) = lim
n→∞
2n
và g : S → E là ánh xạ duy nhất thõa mãn

f (x) − g(x) ≤ ε; g(2x) = 2g(x).
Từ đó đến nay, bằng cách sử dụng kỹ thuật chứng minh của Forti, người
ta đã đưa ra rất nhiều kết quả đồ sộ về sự ổn định của phương trình hàm

trên khơng gian Banach.
Đồng thời, người ta còn tập trung nghiên cứu và đưa ra rất nhiều kết
quả về sự ổn định của phương trình hàm trong C ∗ -đại số. Những kết quả
nghiên cứu đem lại rất nhiều lợi ích phục vụ cho lĩnh vực nghiên cứu này.
Bởi những lý do như trên cùng sự định hướng của thầy giáo TS. Lương
Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài “Sự ổn định của phương
trình hàm trên C ∗ -đại số” để làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm hiểu thấu đáo hơn về sự ổn định của phương trình hàm trên

C ∗ -đại số. Ngồi ra, chúng tơi mong muốn đưa ra những kết quả mới phục
vụ cho lĩnh vực nghiên cứu này.
3. Đối tượng nghiên cứu


3

Sự ổn định của phương trình hàm trong đại số Banach, sự ổn định của
phương trình hàm trong C ∗ -đại số, phép đẳng cấu trong đại số Banach,
phép đòng cấu trong C ∗ -đại số.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về sự ổn định của phương trình hàm trong đại số Banach,

C ∗ -đại số và mỗi liên hệ giữa chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình
thực hiện đề tài. Trước tiên, chúng tôi thu thập các bài báo khoa học của
những tác giả đi trước liên quan đến sự ổn định của phương trình hàm.
Sau đó, bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa những kết quả đó, chúng
tôi sẽ đưa ra những kết quả mới cho đề tài.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, là tài liệu tham khảo cho những ai
quan tâm đến mảng nghiên cứu này.
7. Cấu trúc bài nghiên cứu
Trong đề tài này, chúng tôi trình bày và chứng minh một số định lý về
sự ổn đinh của phương trình hàm trong đại số Banach và trong C ∗ -đại số.
Nội dung đề tài được trình bày trong ba chương. Ngồi ra, luận văn có Lời
cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu
tham khảo.
Chương 1, trình bày về kiến thức cơ sở. Mục 1.1 trình bày về khơng
gian Metric. Mục 1.2, trình bày về Khơng gian định chuẩn - Khơng gian
Banach. Mục 1.3, trình bày về đại số Banach và C ∗ -đại số.
Chương 2, trình bày và chứng minh chi tiết một định lý về sự ổn định
của phương trình hàm trong đại số Banach.


4

Chương 3, trình bày định lý và chứng minh chi tiết một định lí về sự
ổn định của phương trình hàm trong C ∗ -đại số.


5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này dành cho việc trình bày lý thuyết cơ sở về không gian
metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, đại số Banach và C ∗ đại số. Các kết quả trong chương này được lấy trong [1], [2], [3].

1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1 ([2]). Giả sử X = ∅, khi đó ánh xạ f : X × X → R
được gọi là một metric trên X nếu các điều kiện sau được thõa mãn với
mọi x, y, z ∈ X .
1) d(x, y) ≥ 0;

d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Lúc này, (X, d) được gọi là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2 ([2]). Cho không gian metric (X, d), khi đó dãy {xn }
trong X được gọi là dãy hội tụ đến x ∈ X nếu

lim d(xn , x) = 0,

n→∞

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

d(xn , xn ) < ε với mọi n ∈ N∗ mà ≥ n0 .


6

Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (X, d), khi đó dãy {xn } ⊂ X
được gọi là dãy Cauchy nếu

lim d(xn , xm ) = 0,

n,m→∞

nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

d(xn , xn ) < ε với mọi m, n ≥ n0 .
Nhận xét 1.1.4. Mỗi dãy hội tụ thì là dãy Cauchy. Tuy nhiên, mỗi dãy
Cauchy có thể khơng hội tụ.
Chứng minh. (1) Chứng minh dãy hội tụ là dãy Cauchy.
Giả sử xn → x0 , khi đó với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ N∗ sao cho

d(xn , x0 ) <

ε
với mọi n ≥ N .
2

Do đó, với mọi m, n ≥ N ta có

d(xm , xn ) ≤ (xn , x0 ) + d(xm , x0 ) ≤

ε ε
+ = ε.
2 2

Như vậy, {xn } là dãy Cauchy.
(2) Chứng minh tồn tại dãy Cauchy không hội tụ.
Với mọi n ∈ N∗ , ta lấy

xn = 1 +

1
n

n

.

Khi đó, {xn } ⊂ Q ⊂ R. Hơn nữa, ta có xn → e ∈ R. Suy ra {xn } là
Cauchy trong R, kéo theo {xn } là dãy Cauchy trong Q. Mặt khác, vì

xn → e ∈
/Q
nên {xn } là dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi


7

dãy Cauchy trong nó đều là dãy hội tụ.
Định nghĩa 1.1.6. Cho (X, d) và (Y, ρ) là hai không gian metric và

f : (X, d) → (Y, ρ).
Khi đó, f được gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao
cho với mọi x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ ta có

ρ(f (x), f (x0 )) < ε.
1.2. Khơng gian định chuẩn - Không gian Banach
Mục này dành cho việc nhắc lại khái niệm và một số tính chất của
không gian định chuẩn, không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một Φ-không gian vector và . : E → R

là hàm thỏa mãn các điều kiện sau.
1) x ≥ 0 với mọi x, y ∈ E ;

x = 0 ⇐⇒ x = 0.
2) αx = |α| x với mọi x ∈ E và α ∈ Φ.
3) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ E .
Khi đó,

• . được gọi là một chuẩn trên E ;
• Cặp (E, . ) được gọi là khơng gian định chuẩn.
Ví dụ 1.2.2. Giả sử E = Φn và với x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Φn , ta đặt
n

|xi |2 ;

x =
i=1


8

x

1

= max |xi |;
i=1,n
n

x

2

|xi |.

=
i=1

Khi đó, . , . 1 , .

2

là các chuẩn trên E .

Định lí 1.2.3. Cho (E, . ) là một không gian định chuẩn. Khi đó, phép
cộng (x, y) → x + y với x, y ∈ E và phép nhân ngoài (α, x) → αx với
α ∈ Φ và x ∈ E là các ánh xạ liên tục.
Chứng minh. • Giả sử phép cộng là

f :E×E →E
(x, y) → f (x, y) = x + y.
Ta chứng minh f liên tục.
Giả sử (x0 , y0 ) ∈ E × E và {(xn , yn )} ⊂ E × E sao cho

(xn , yn ) → (x0 , y0 ).
Ta phải chứng minh f (xn , yn ) → f (x0 , y0 ).
Thật vậy, vì (xn , yn ) → (x0 , y0 ) nên xn → x0 và yn → y0 , kéo theo
xn − x0 → 0 và yn − y0 → 0. Do đó,

0 ≤ f (xn , yn ) − f (x0 , y0 ) = (xn , yn ) − (x0 , y0 )

= (xn − x0 , yn − y0 )
= xn − x0 + yn − y0 → 0.
Như vậy, f là hàm liên tục.

• Giả sử phép nhân ngồi là
g :Φ×E →E
(α, x) → g(α, x) = αx.


9

Ta chứng minh g liên tục.
Giả sử (α0 , x0 ) ∈ Φ × E và {(αn , xn )} ⊂ Φ × E sao cho

(αn , xn ) → (α0 , x0 ).
Ta phải chứng minh

g(αn , xn ) → g(α0 , x0 ).
Thật vậy, vì (αn , xn ) → (α0 , x0 ) nên αn → α0 trong Φ và xn → x0 trong
E . Do đó,

0 ≤ g(αn , xn ) − g(α0 , x0 )
= αn xn − α0 x0
= α0 (xn − x0 ) + (αn − α0 )x0 + (αn − α0 )(xn − x0 )
≤ α0 (xn − x0 ) + (αn − α0 )x0 + (αn − α0 )(xn − x0 )
= α0

xn − x0 + αn − α0

x 0 + αn − α0

xn − x0 → 0.

Suy ra g(αn , xn ) → g(α0 , x0 ).
Như vậy, g là ánh xạ liên tục.
Định lí 1.2.4. Cho (E, . ) là khơng gian định chuẩn, ta đặt

d:E →R
(x, y) → d(x, y) = x − y .
Khi đó, d là một metric sinh bởi chuẩn.
Chứng minh. Với mọi x, y, x ∈ E , ta có

• d(x, y) = x − y ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = y .
• d(x, y) = x−y = (−1)(y−x) = |−1| y−x = y−x = d(y, x).


10

• d(x, z) = x − z = (x − y) + (y − z) ≤ x − y + y − z .
Bởi vì x − y = d(x, y), y − z = d(y, z) nên
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Như vậy, d là một metric.
Định nghĩa 1.2.5. Không gian định chuẩn (E, . ) được gọi là khơng gian
Banach nếu nó là khơng gian metric đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn.
(n)

Ví dụ 1.2.6. Cho n ≥ 1 và C[0,1] là tập gồm tất cả các hàm f : [0, 1] → R
sao cho f có đạo hàm cấp n liên tục. Ta đặt

sup |f (k) (x)| .

f = max

0≤k≤n

x∈[0,1]

(n)

Khi đó, C[0,1] là khơng gian Banach.
Định lí 1.2.7. Cho A, B là khơng gian Banach và X = {g : A → B}.
Với mọi g, h ∈ X , ta đặt

d(g, h) = inf C > 0 : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) với mọi x ∈ A
Khi đó,
1) d(g, h) là một metric trên X .
2) (X, d) là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. (1) d(g, h) là một metric trên X .
Giả sử g, h ∈ X , ta đặt

M = {C > 0 : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) với mọi x ∈ A}.
Khi đó, d(g, h) = inf M . Hơn nữa, với mọi g, h, t ∈ X ta có

(1.1)


11

• Bởi vì M ≥ 0 nên d(g, h) = inf M ≥ 0. Hơn nữa,

d(g, h) = 0 ⇐⇒ inf M ≥ 0
⇐⇒ tồn tại C0 = 0 sao cho g(x) − h(x) ≤ 0 ϕ(x, 0) với mọi x ∈ A
⇐⇒ g(x) − h(x) = 0 với mọi x ∈ A
⇐⇒ g(x) − h(x) = o với mọi x ∈ A
⇐⇒ g − h = 0
⇐⇒ g = h.
• d(g, h) = d(h, g).
Thật vậy, ta có

d(g, h) = inf{C > 0 : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0) với mọi x ∈ A}
= inf{C > 0 : h(x) − g(x) ≤ Cϕ(x, 0) với mọi x ∈ A}
= d(h, g).
Như vậy, d(g, h) = d(h, g).

• d(g, h) ≤ d(g, t) + d(t, h).
Thật vậy, ta có

g(x) − h(x) ≤ g(x) − t(x) + t(x) − h(x) .
Suy ra d(g, h) ≤ d(g, t) + d(t, h).
Như vậy, d là một metric trên X .
(2) (X, d) là không gian metric đầy đủ.
Thật vậy, giả sử {gn } là dãy Cauchy trong X . Khi đó,

• {gn (x)} là dãy Cauchy trong B với mọi x ∈ A.
Thật vậy, với mọi ε > 0, ta có

◦ Trường hợp 1. ϕ(x, 0) = 0.


12

ε
. Khi đó, ε > 0. Bởi vì {gn } là dãy Cauchy nên tồn
2ϕ(x, 0)
tại N = N (x, ε) ∈ N∗ sao cho
ε
d(gn , gm ) < ε =
với mọi m, n ≥ N.
2ϕ(x, 0)
Ta lấy ε =

Mặt khác, vì

d(gn , gm ) = inf M
nên tồn tại C0 ∈ M sao cho

d(gn , gm ) +
kéo theo

ε
> C0 ,
2ϕ(x, 0)

ε
2ϕ(x, 0)
ε
ε
<
+
2ϕ(x, 0) 2ϕ(x, 0)

ε
=
.
ϕ(x, 0)

C0 < d(gn , gm ) +

Suy ra C0 ϕ(x, 0) < ε. Do đó,

gn (x) − gm (x) < C0 ϕ(x, 0) < ε.
◦ Trường hợp 2. ϕ(x, 0) = 0.
Bởi vì C0 ∈ M nên

gn (x) − gm (x) < C0

ϕ(x, 0)
= 0 < ε.
0

Như vậy, với mọi x ∈ A, tồn tại N ∈ N∗ sao cho

gn − gm < ε với mọi m, n ≥ N.
Suy ra {gn (x)} là dãy Cauchy trong X . Do đó, tồn tại giới hạn

lim gn (x) ∈ B.

n→∞

Ta đặt g : A → B được xác định bởi g(x) = lim gn (x) với mọi x ∈ A.
n→∞

13

• gn → g trong X .
Thật vậy, với mọi x ∈ X ta có

gn (x) − gm (x) < Cϕ(x, 0),

C ∈ M;

gn (x) − gm (x) ≤ inf Cϕ(x, 0).
C∈M

Bởi vì {gn } là dãy Cauchy trong X nên với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ N∗
sao cho
ε
d(gn , gm ) < , với mọi m, n ≥ N.
2
Suy ra
ε
gn (x) − gm (x) < ϕ(x, 0), với mọi x ∈ A.
2
Qua giới hạn khi m → ∞ ta được
ε
gn (x) − g(x) < ϕ(x, 0)với mọi x ∈ A, n ≥ N.
2
ε
Suy ra tồn tại C = > 0 sao cho
2

gn (x) − g(x) < Cϕ(x, 0) với mọi x ∈ A,
kéo theo

d(gn , g) = inf N ≤

ε
< ε với mọi n ≥ N .
2

Do đó, gn → g .
Như vậy, (X, d) một metric đầy đủ.


14

1.3. Đai số Banach và C ∗ -Đại số
Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một Φ-không gian vector. Trên A, ta trang
bị thêm phép nhân trong (x, y) → xy thõa mãn 7 tiên đề sau.
1) (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ A;
2) x(y + z) = xy + yz, (x + y)z = xz + yz với mọi x, y, z ∈ A;
3) (αx)y = x(αy) = α(xy) với mọi x, y ∈ A, α ∈ Φ;
4) A là một không gian Banach với . nào đó;
5) xy ≤ x . y với mọi x, y ∈ A;
6) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x với mọi x ∈ A;
7) e = 1.
Khi đó, A được gọi là một đại số Banach.
Định nghĩa 1.3.2 ([3]). Giả sử U là một đại số Banach. Khi đó, ánh xạ
u → u∗ với u ∈ U được gọi là ánh xạ đối hợp trên U nếu nó thỏa mãn
những điều kiện sau đây.

1) u∗∗ = u với mọi u ∈ U ;
2) (αu + βv)∗ = αu∗ + βv ∗ với mọi u, v ∈ U , α, β ∈ C;
3) (uv)∗ = u∗ v ∗ với mọi u, v ∈ U.
Nếu thêm vào điều kiện

u∗ u = u
thì U được gọi là một C ∗ -đại số.

2

với mọi u ∈ U,


15

Định nghĩa 1.3.3. Giả sử U , V là các C ∗ -đại số. Khi đó, một ánh xạ
C-tuyến tính H : U → V được gọi là một đồng cấu trên C ∗ -đại số nếu H
thỏa mãn

H(xy) = H(x)H(y), H(x∗ ) = h(x)∗ với mọi x, y ∈ U.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X, Y là hai C-không gian vector. Khi đó, ánh xạ

f : X → Y được gọi là C-tuyến tính nếu
1) f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ X .
2) f (λx) = λf (x) với mọi x ∈ X , λ ∈ C.
Định nghĩa 1.3.5. Một ánh xạ C-tuyến tính δ : U → U được gọi là một
đạo hàm trên U nếu δ thỏa mãn:

δ(xy) = δ(x)y + xδ(y) với mọi x, y ∈ U.

16

CHƯƠNG 2

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRONG ĐẠI SỐ BANACH

Chương này dành cho việc nghiên cứu về sự đẳng cấu trong đại số
Banach và đạo hàm trên đại số Banach kết hợp với phương trình hàm sau:

1
f (qx + qy + qz) = f (x) + f (y) + f (z) .
q

(2.1)

Kết quả chính trong chương này được lấy trong tài liệu [3].

2.1. Đẳng cấu trong đại số Banach
Bổ đề 2.1.1. Cho X và Y là không gian định chuẩn và f : X → Y là
một ánh xạ thỏa mãn f (0) = 0 và

f (x) + f (y) + f (z) ≤

1
f (qx + qy + qz)
q

với mọi x, y, z ∈ X . Khi đó, f là cộng tính, nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y).
Chứng minh. Trong (2.2), cho z = 0 và y = −x ta được

1
f (qx + q(−x) + q(0)
q
1
⇐⇒ f (x) + f (−x) ≤ f (0) = 0 với mọi x ∈ X.
q

f (x) + f (−x) + f (0) ≤

Khi đó, f (x) = f (−x) với mọi x ∈ X.

(2.2)


17

Trong (2.2), cho z = −x − y ta được

1
f (qx + qy + q(−x − y))
q
1
⇐⇒ f (x) + f (y) − f (x + y) ≤ f (0) = 0 với mọi x, y ∈ X.
q
f (x) + f (y) + f (−x − y) ≤

Như vậy, f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ X .
Định lí 2.1.2. Giả sử A, B là hai không gian định chuẩn, r = 1, θ là một
số thực dương và f : A → B là một song ánh thỏa mãn f (0) = 0 và

µf (x) + f (y) + f (z) ≤

1
f (qµx + qy + qz)
q

f (xy) − f (x)f (y) ≤ θ

x

2r

+ y

2r

(2.3)
(2.4)

với mọi µ ∈ T1 := {λ ∈ C : λ = 1} và x, y, z ∈ A. Khi đó, ánh xạ f là
một đẳng cấu.
Chứng minh. (1) Trước tiên ta chứng minh f tuyến tính.
Trong (2.3), cho µ = 1 ta có

f (x) + f (y) + f (z) ≤

1
f (qx + qy + qz) .
q

Như vậy, theo Bổ đề (2.1.1), ta suy ra

f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ A.
Bây giờ, trong (2.3), ta lấy

z = 0, y = −µx.


18

Khi đó, với mọi x ∈ A ta có

µf (x) + f (−µx) + f (0) ≤

1
f (qµx + q(−µx) + q(0)) .
q

Suy ra

1
f (qµx − q(µx))
q
1
= f (0)
q

= 0.

µf (x) − f (−µx) ≤

Khi đó,

0 ≤ µf (x) − f (−µx) ≤ 0 ⇐⇒ µf (x) + f (−µx) = 0.
Suy ra µf (x) = f (µx). Như vậy, f tuyến tính
(2) Tiếp theo ta chứng minh f đẳng cấu.
Trường hợp 1: r < 1.
Theo (2.4), ta có

f (xy) − f (x)f (y) = lim f (xy) − f (x)f (y)
n→∞

4n
= lim n f (xy) − f (x)f (y)
x→∞ 4
1
= lim n f 2n x2n y − f 2n x f 2n y
n→∞ 4
1
≤ lim n θ x 2r + y 2r
n→∞ 4
4nr
= lim n θ x 2r + y 2r
n→∞ 4
1 n
= lim 1−r θ x 2r + y 2r = 0.
n→∞ 4

Do đó, với mọi x, y ∈ A, ta có

0 ≤ f (xy) − f (x)f (y) ≤ 0.


19

Suy ra f (xy) = f (x)f (y).
Trường hợp 2: r > 1
Cũng theo (2.4), ta có

0 ≤ f (xy) − f (x)f (y) = lim 4n f
n→∞

≤ lim 4n θ
n→∞

1
1
1 1
x
y
−
f
x
f
y
2n 2n
2n
2n

1 2r
1 2r
x + ny
2n
2

4n
θ( x
x→∞ 4nr

= lim

2r

+ y

2r

) = 0.

Do đó, với mọi x, y ∈ A ta có

0 ≤ f (xy) − f (x)f (y) ≤ 0.
Điều này suy ra rằng

f (xy) = f (x)f (y).
Như vậy, song ánh f là một đẳng cấu.
Định lí 2.1.3. Cho A, B là hai không gian Banach, r = 1, θ là một số
thực dương và f : A → B là song ánh với f (0) = 0, thỏa mãn (2.3) và

f (xy) − f (x)f (y) ≤ θ( w r . x r )
với mọi x, y ∈ A. Khi đó, song ánh f : A → B là một đẳng cấu.

Chứng minh. (1) Trước tiên ta chứng minh f tuyến tính.
Trong (2.3), cho µ = 1 ta có

f (x) + f (y) + f (z) ≤
Theo (2.1.1), ta có

1
f (qx + qy + qz) .
q

(2.5)


20

f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ A.
Lấy z = 0, y = −µx trong (2.3) ta suy ra với mọi x ∈ A ta có

µf (x) + f (−µx) + f (0) ≤

1
f (qµx + q(−µx) + q(0)) .
q

Suy ra

1

f (qµx − q(µx))
q
1
= f (0)
q
= 0.

µf (x) = f (−µx) ≤

Như vậy, µf (x) + f (−µx) = 0, kéo theo µf (x) = f (µx). Do đó, f là ánh
xạ tuyến tính.
(2) Bây giờ ta chứng minh rằng f là đẳng cấu.
Trường hợp 1: r < 1.
Theo (2.5), ta suy ra với mọi x, y ∈ A ta có

1
f (4n xy) − f (4n x)f (y)
n
n→∞ 4
1
≤ lim n θ w r 4n x r
n→∞ 4
4nr
= lim n θ w r . x r
n→∞ 4
= 0.

f (xy) − f (x)f (y) = lim

Do đó, với mọi x, y ∈ A ta có

f (xy) = f (x)f (y).
Trường hợp 2: r > 1.
Cũng theo (2.5) ta có