Giáo trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết về hàm biến phức và phép biến đổi Laplace là một phần quan trọng của
kiến thức toán học mà các kỹ sư và các nhà khoa học cần phải nắm vững. Đó là vì hàm biến
phức và phép biến đổi Laplace cho ta nhiều phương pháp dễ dàng và hiệu nghiệm để giải
các bài toán trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace được biên soạn theo chương trình hiện
hành, dùng cho sinh viên các ngành Điện - Điện tử, Điện tự động và Kỹ thuật điện - Trường
Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định. Giáo trình gồm bốn chương:
Chương 1 là chương "Hàm biến phức". Trong chương này, được bổ sung và chính
xác hóa khái niệm mà ở cấp phổ thơng cịn đề cập sơ sài hoặc không được đề cập đến. Cốt
lõi của chương này cần nắm được các dạng đại số, lượng giác, dạng mũ của số phức và các
phép toán; khái niệm hàm biến phức, giới hạn, sự liên tục của hàm biến phức, một số hàm
biến phức cơ bản.
Chương 2 là chương "Tích phân phức". Phần này, bạn đọc cần nắm được khái niệm,
các tính chất cơ bản của tích phân phức; các cách tính tích phân phức.
Chương 3 là chương "Lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư". Bạn đọc cần nắm được
khái niệm, tính chất của chuỗi số phức, chuỗi hàm phức và một số chuỗi hàm phức quan
trọng như chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, chuỗi Fourier. Biết khai triển một hàm số thành
chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, chuỗi Fourier.
Chương 4 là chương "Phép biến đổi Laplace". Ban đầu, lý thuyết về phép biến đối
Laplace xuất hiện khi người ta tìm cách chứng minh một số "quy tắc toán tử" do Heaviside
sử dụng cuối thế kỉ 19 để giải một số phương trình trong lý thuyết điện từ. Về sau, trong
khoảng đầu thế kỉ 20, sự cố gắng đó đã thành cơng nhờ các cơng trình của Bromwich,
Carson và nhiều nhà tốn học khác với cơng cụ là hàm biến phức. Trong chương này chỉ
trình bày các kiến thức mở đầu hết sức sơ đẳng của phép biến đổi Laplace; đó là khái niệm,
tính chất của phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược, cách tìm biến đổi Laplace
và Laplace ngược của các hàm cơ bản và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace như:
1

giải phương trình, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, đặc biệt là ứng dụng
trong giải tích mạch điện qua đó giúp người học thấy được tầm quan trọng của môn học đối
với chuyên ngành của mình.
Với mục đích tinh giản nhưng vẫn khoa học, đầy đủ do đó có một số định lý chúng
tơi khơng trình bày phần chứng minh và một số mục chúng tôi đưa vào để các sinh viên khá
tự nghiên cứu thêm. Cuối mỗi chương có phần bài tập, phần hướng dẫn và đáp số để người
học củng cố kiến thức và kiểm tra kết quả học tập của mình.
Giáo trình được biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tơi
mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để giáo trình được hồn thiện hơn.
Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học và hợp tác quốc tế,
các bạn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn - Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định đã nhiệt
tình giúp đỡ để hồn thành giáo trình này.
Nam Định, 2010
Các tác giả

2


MỤC LỤC
Chương 1. Hàm biến phức
1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

9

Số phức

9

1.1.1. Các khái niệm

9

1.1.2. Các phép tốn

10

Biểu diễn hình học của số phức

16

1.2.1. Biểu diễn hình học của số phức

16

1.2.2. Biểu diễn hình học cácphép toán

19

1.2.3. Dạng lượng giác của số phức

21

1.2.4. Dạng mũ của số phức

27

1.2.5. Mặt phẳng phức mở rộng

28

Các khái niệm hình học

29

1.3.1. Khoảng cách

29

1.3.2. Lân cận

29

1.3.3. Điểm

30

1.3.4. Tập

30

1.3.5. Đường

32

1.3.6. Miền

33

Hàm một biến phức

34

1.4.1. Khái niệm

34

1.4.2. Biểu diễn hình học của hàm phức

35

3


1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

Giới hạn của hàm phức

37

1.5.1. Khái niệm

37

1.5.2. Tính chất

38

Sự liên tục của hàm biến phức

40

1.6.1. Hàm số liên tục

40

1.6.2. Hàm số liên tục đều

42

1.6.3. Tính chất của hàm số liên tục

42

Đạo hàm của hàm một biến phức

43

1.7.1. Khái niệm

43

1.7.2. Tính chất

44

1.7.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

50

1.7.4. Hàm giải tích

52

1.7.5. Hàm điều hịa

53

1.7.6. Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa

54

Các hàm số sơ cấp

55

1.8.1. Hàm lũy thừa

55

1.8.2. Hàm căn bậc n

55

1.8.3. Hàm mũ

55

1.8.4. Hàm Loganepe

55

1.8.5. Các hàm số lượng giác

56

1.8.6. Các hàm Hypebolic

57

4


1.9.

1.8.7. Hàm phân tuyến tính

57

1.8.8. Hàm Jiucopski

58

Bài tập chương 1

58

1.10. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 1
Chương 2. Tích phân phức

66
75

Khái niệm và các tính chất cơ bản

75

2.1.1. Khái niệm

75

2.1.2. Các tính chất của tích phân phức

75

2.2.

Tính tích phân phức bằng cách đưa về tích phân đường loại 2

76

2.3.

Tích phân Cauchy

79

2.3.1. Các định lí Cauchy về tích phân của hàm giải tích trên đường cong

79

2.1.

kín
2.3.2. Cơng thức tích phân Cauchy

81

2.4.

Tích phân loại Cauchy

84

2.5.

Tích phân bất định

85

2.5.1. Tích phân khơng phục thuộc đường đi

85

2.5.2. Tích phân bất định

87

2.5.3. Cơng thức Newton – Leibnitz

88

Một số định lí quan trọng về hàm giải tích

89

2.6.1. Định lí giá trị trung bình

89

2.6.2. Ngun lí mơđun cực đại

89

2.6.

5

2.6.3. Bổ đề Schwartz

89

2.6.4. Định lí Liouville

90

2.7.

Bài tập chương 2

90

2.8.

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 2

92

Chương 3. Lý thuyết chuỗi và thặng dư
3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

93

Chuỗi số phức

93

3.1.1. Dãy số phức

93

3.1.2. Chuỗi số phức

94

Chuỗi hàm phức

96

3.2.1. Khái niệm

96

3.2.2. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều

97

Chuỗi Taylor

98

3.3.1. Chuỗi lũy thừa

98

3.3.2. Chuỗi Taylor

99

3.3.3. Khai triển một hàm thành chuỗi Taylor

100

3.3.4. Không –điểm và định lí về tính duy nhất của hàm giải tích

102

Chuỗi Laurent

103

3.4.1. Khái niệm

103

3.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi Laurent

103

Chuỗi Fourier

106

3.5.1. Chuỗi lượng giác

106

6


3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.5.2. Xác định các hệ số theo phương pháp Euler – Fourier

107

3.5.3. Tính chất của chuỗi Fourier

108

3.5.4. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier

111

3.5.5. Chuỗi Fourier phức

115

3.5.6. Biến đổi Fourier

117

Điểm bất thường cô lập

120

3.6.1. Khái niệm

120

3.6.2. Phân loại điểm bất thường cô lập

120

3.6.3. Mối liên hệ giữa chuỗi Laurent và điểm bất thường cô lập

122

Lý thuyết thặng dư

122

3.7.1. Khái niệm

122

3.7.2. Tính thặng dư dựa vào khai triển Laurent

122

3.7.3. Thặng dư tại cực điểm đơn

123

3.7.4. Thặng dư tại cực điểm cấp m

124

Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

126

3.8.1. Ứng dụng thặng dư tính tích phân phức

126

3.8.2. Ứng dụng thặng dư tính tích phân thực suy rộng

129

Bài tập chương 3

137

3.10. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 3
Chương 4. Phép biến đổi Laplace
4.1.

Phép biến đổi Laplace

143
150
150

7


4.2.

4.3.

4.1.1. Khái niệm

150

4.1.2. Điều kiện để phép biến đổi Laplace tồn tại

152

4.1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng

152

4.1.4. Các tính chất của phép biến đổi Laplace

155

Phép biến đổi Laplace ngược

165

4.2.1. Khái niệm

165

4.2.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

165

Cách tìm phép biến đổi Laplace ngược

170

4.3.1. Sử dụng tính chất của biến đổi thuận và tính duy nhất của biến đổi

170

ngược
4.3.2. Khai triển Heaviside

171

4.4.

Bảng các cặp biến đổi Laplace thông dụng

175

4.5.

Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

176

4.5.1. Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

177

4.5.2. Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng

185

4.5.3. Các hàm kì dị và biến đổi Laplace của chúng

190

4.5.4. Ứng dụng trong giải tích mạch điện

205

4.6.

Bài tập chương 4

223

4.7.

Hướng dẫn và đáp số bài tập chương 4

228

Tài liệu tham khảo

231

8


Chương 1
HÀM BIẾN PHỨC

1.1. Số phức
1.1.1. Các khái niệm
Chúng ta đã biết rằng trong tập hợp số thực, các phương trình bậc hai với biệt số
  0 khơng có nghiệm thực, chẳng hạn phương trình bậc hai đơn giản nhất khơng có

nghiệm thực là phương trình x2  1  0 . Tuy nhiên, thực tế các hiện tượng trong tự nhiên,
trong kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình bậc hai với biệt số   0 vẫn xảy ra tức là
phương trình vẫn có nghiệm. Để mở rộng tập hợp số thực người ta đưa ra khái niệm số i (
gọi là đơn vị ảo ) là nghiệm của phương trình x2  1  0 .
Định nghĩa 1. Mỗi biểu thức dạng z  a  ib trong đó a, b  ¡ , i 2  1 được gọi là một số
phức.
a gọi là phần thực của số phức z . Ký hiệu Re z

b gọi là phần ảo của số phức z . Ký hiệu Im z
Tập hợp các số phức ký hiệu là £ . Vậy
£   z  a  ib a, b  ¡ , i 2  1

Ví dụ 1. Trong các số sau, những số nào là số phức:
1  3i,1  3i, 5i,1

Tất cả các số trên đều là số phức.
Chú ý.
Nếu b  0 khi đó z  a là số thực. Vậy ¡  £
Nếu a  0 khi đó z  ib gọi là số thuần ảo.
Định nghĩa 2. (Hai số phức bằng nhau)
9


Hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 gọi là bằng nhau nếu
a1  a2

 b1  b2

Định nghĩa 3.( Số phức liên hợp)
Số phức z  a  ib gọi là số phức liên hợp của số phức z  a  ib
*) Tính chất:
1) Re z  Re z
2) Im  z   Im  z 
3) z  z
Ví dụ 2.
a) Số phức liên hợp của số phức z  2  3i là z  2  3i
b) Số phức liên hợp của số phức z  1  i là

c) Số phức liên hợp của số phức z  4  3i là z  4  3i
Định nghĩa 4. ( Số phức đối )
Số phức  z  a  ib được gọi là số phức đối của số phức z  a  ib
Ví dụ 3.
a) Số phức đối của số phức z  1  5i là  z  1  5i
b) Số phức đối của số phức z  2i là  z  2i
1.1.2. Các phép toán
a. Phép cộng
Ta gọi tổng của hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 là số phức z   a1  a2   i  b1  b2 
Ký hiệu: z  z1  z2
10


*) Tính chất: z1 , z2 , z3 £
1) z1  z2  z2  z1
2) z1   z2  z3    z1  z2   z3
Ví dụ 1.

1  3i    2  i   1  2  i 3 1  3  2i
b. Phép trừ
Cho hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 , ta gọi số phức z là hiệu của hai số phức z1
và z2 nếu z1  z2  z
Ký hiệu: z  z1  z2
Ví dụ 2.

1  i    2  3i   1  2  i  1  3  1  4i
c. Phép nhân
Ta gọi tích của hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 là số phức z xác định bởi

z   a1a2  b1b2   i  a1b2  a2b1 

Ký hiệu: z  z1. z2
*) Tính chất: z1 , z2 , z3 £
1) z1 z2  z2 z1
2) z1  z2 z3    z1 z2  z3
3) z1  z2  z3   z1 z2  z1 z3
4)  1 z   z
Ví dụ 3.

 2  2i  . 4  3i    24  23  i  23  24  2  14i
11


d. Phép chia
Cho hai số phức z1  a1  ib1 , z2  a2  ib2 , nếu z2  0 . Khi đó ta có thể tìm được một số
phức z  x  iy sao cho z2 z  z1 .
Theo định nghĩa phép nhân ta có hệ phương trình:
a2 x  b2 y  a1

b2 x  a2 y  b1

(1)

Ta có
a2

b2

b2

a2

 a22  b22  0

vì z2  0 . Nên hệ ( 1) có nghiệm duy nhất. Số phức z gọi là thương của hai số phức z1 và
z2 .

Ký hiệu: z 
Giải hệ (1) ta được z 

z1
z2

a1a2  b1b2
b a b a
 i 1 22 22 1
2
2
a2  b2
a2  b2

Chú ý.
Trong khi giải bài tập ta có thể tìm thương của hai số phức z1 và z2 bằng cách nhân
z

z
z1
với 2
z2
z2

Ví dụ 4.
3  5i  3  5i  2  i  1 13

  i
2i
 2  i  2  i  5 5

e. Lũy thừa bậc n của số phức
Tích của n số phức z gọi là lũy thừa bậc n của số phức z .
Ký hiệu: z n
12


Vậy

zn  {
zz...z
n

Ví dụ 5.

1  i 3 

3

 1  3i 3  3i 2  3 3i 3  8

f. Căn bậc n của số phức
Số phức  được gọi là căn bậc n của số phức z nếu  n  z

Ký hiệu:   n z
Ví dụ 6. Cho z  a  ib . Tìm

z , áp dụng tìm

3  4i

Giải
Giả sử w  x  iy  z  a  ib   x  iy   a  ib
2


a  a 2  b2

x


 x2  y 2  a

2


 2 xy  b

a  a 2  b 2
y  
2


Nếu b>0 thì x,y cùng dấu; nếu b<0 thì x,y trái dấu. Do đó có hai cặp ( x, y ) thỏa mãn bài

toán.
Áp dụng:

2
2
 x   3  3  4  2

2


3  32  42
 1
y  
2


Vậy có hai giá trị của

3  2i là: 2  i và 2  i

Ví dụ 7. Thực hiện các phép tính sau:
a) i3 , i 4 , i5
13


b) 1  i 1  i 
c)  3  5i    2  3i 
d)  2  7i    3  i 
e)

2  5i
1 i

Giải
a)

i3  i 2i  1.i  i

    1

i4  i2

2

 

i 5  i 4i  i 2

2

2

1

i   1 i  i
2

b)

1  i 1  i   12  i 2  1   1  2

c)

3  5i    2  3i   3  2  i 5  3  5  2i

d)

 2  7i   3  i    2  3  i  7  i   5  8i

e)

2  5i  2  5i 1  i   2  5  i  2  5 3 7



 i
1 i
2
2 2
1  i 1  i 

Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình:

3x  i  2  i    x  iy 1  2i   5  6i
Giải
Biến đổi vế trái:

3x  i  2  i    x  iy 1  2i   6 x  1  3x  2 i  x  2 y   2 x  y  i  7 x  2 y  1  5x  y  2  i
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau suy ra:
7 x  2 y  1  5


 5x  y  2  6

14


Giải hệ trên ta được: x 

20
36
,y
17
17

Ví dụ 9. Thực hiện các phép tính sau:
a) i1721
b)

1 i
1 i

c) (1  i 3)3
Giải
a) i1721   i 2  i  i
860

1  i   1  2i  i 2  i
1 i
b)


1  i 1  i 1  i 
1 i2
2





3

c) 1  i 3  1  3 3i  3

 3i    3i 
2

3

 8

Ví dụ 10. Giải phương trình sau: 2 z 2  2 z  5  0
Giải
Ta có   1  10  9   3i 
Suy ra z 

2

1  3i
2

Ví dụ 11. Giải hệ phương trình

 z1  iz2  1

2 z1  z2  1  i

Giải
Đặt

1 i
A

 2 1

suy ra A  1  2i  0 . Sử dụng phương pháp Cramer ta được
15


1 i
1  i 1 4  3i
z1 

1  2i
5
1
i
2 1 i 3  i
z2 

1  2i
5

Vậy nghiệm của hệ là:
4  3i

 z1  5

 z  3i
 2
5

1.2. Biểu diễn hình học của số phức
1.2.1. Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Descartes Oxy và ta biểu diễn số phức
z  a  ib bởi một điểm M (a, b) trong mặt phẳng xOy. Như vậy, các số thực sẽ được biểu
diễn bởi các điểm trên trục Ox, các số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên Oy. Khi đó
mặt phẳng xOy cịn gọi là mặt phẳng phức, Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm M có tọa độ là (a, b) của mặt phẳng xOy ta đặt tương ứng
với số phức z  a  ib .
Vậy có sự tương ứng 1 -1 giữa tập số phức £ và tập tất cả các điểm của mặt phẳng.
Ta gọi:
uuuur
r  OM là môđun của số phức z. Ký hiệu là z

 là góc có cạnh đầu là Ox, cạnh cuối là tia Oz gọi là argument của số phức z .

Ký hiệu Argz .
Số phức z  0 có vơ số argument sai khác nhau 2k , k ¢
Nếu 0    2 gọi là argument chính của z . Ký hiệu argz
16

*)Tính chất:
1) Hai số phức bằng nhau có mơđun và argument bằng nhau.
2) z  z
3) z z  z

2

4) z1 z2  z1 z2
5)

z
z1
 1
z2
z2

6) z1  z2  z1  z2
Ví dụ 1. Tìm mơđun của các số phức sau:
a) 1-4i
b) (2+i)(3-2i)
Giải
a) 1  4i  12  42  17
b)

 2  i 3  2i    2  i  3  2i  

5 13  65

Ví dụ 2. Tìm mơđun và argument các số phức sau:
a) z1  1  i 3

b) z2  1  i 3
Giải
a) Ta có

z1  12 

 3

Argz1  arctan

2

2

3
 2 k
1

vì z1 ở góc phần tư thứ nhất
17


y
z1
3

O

x

1

Hình 1.1
nên
Argz1 


3

 2k  k  ¢ 

b) Ta có

 1

z2 

2

Argz2  arctan



  3



2

2

 3
  2k  1 
1

vì z2 ở góc phần tư thứ ba
y
-1

O
x
 3

z2

Hình 1.2
nên
Argz2 


3

  2k  1   k  ¢ 
18


1.2.2.Biểu diễn hình học các phép tốn
a. Phép cộng
ur

r

r

Cho hai véctơ z1  a1  ib1 và z2  a2  ib2 và các véctơ tương ứng v1  a1i  b1 j ,
uur
r
r
v2  a2i  b2 j .

Tổng 2 số phức z1  z2   a1  a 2   i  b1  b2 
ur

r

r

r

Tổng 2 véctơ v1  v2  (a1  a2 )i  (b1  b2 ) j
ur

r

Vậy tổng z1  z2 tương ứng với véctơ tổng v1  v2
y

ur uur
v1  v2

ur
v1
uur
v2
O

x

Hình 1.3
b. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa 2 điểm M1  a1 , b1  , M 2 a2 , b2  bằng môđun của số phức z1  z2 và

ur uur
bằng v1  v2

ur uur
M1M 2  z1  z2  v1  v2 

 a2  a1   b2  b1 
2

2

y

ur
v1

ur uur
v1  v2

O

uur
v2
x

uur
v2

Hình 1.4
19


c. Tích của số phức và số thực
r

r

r

Cho z  a  ib và véctơ tương ứng v  ai  bj ,   ¡ thì tích  z  a  ib tương ứng
r

r

r

với véctơ v   ai  bj ,   ¡ .
r r

r

r

Nếu   0 thì v , v cùng hướng và v   v
y
M’(a’;b’)

M(a;b)
O

x

Hình 1.5
r

r r

r

Nếu   0 thì v , v ngược hướng và v   v

y
M(a;b)

O

x

M’(a’;b’)

Hình 1.6
r

r

Nếu   0 thì v  0
Ví dụ. Biểu diễn hình học các hệ thức sau trên mặt phẳng phức:
a)  5  4i    3  3i   8  i
b) 2  3  2i   6  4i
20


Giải
a)

y
5+4i
8+i
O

x
3-3i

Hình 1.7

b)

y

x

O
3-2i

6-4i

Hình 1.8
1.2.3.Dạng lượng giác của số phức
a. Tọa độ cực của số phức
Cho số phức z  x  iy , được biểu diễn bởi điểm M  x, y   O 0,0  trong mặt phẳng
Oxy. Số thực r  x 2  y 2  z gọi là bán kính cực của điểm M .



uuur uuuur

Số đo    0, 2  của góc lượng giác OX , OM



là argument của M .

Cặp có thứ tự  r ,   gọi là toạ độ cực của M . Ký hiệu M  r ,   .
21


Điểm O có r  0 và  khơng xác định. Dễ dàng chứng minh được:
 x  r cos 


 y  r sin 

*) Tính chất:
1) Nếu x  0  tan  

y
y
   arctan  k
x
x
0 nÕu x  0, y  0

k  1 nÕu x  0, y  ¡
 2 nÕu x  0, y  0


2) Nếu x  0, y  0

 2 nÕu y  0
 
3  nÕu y  0
 2

b. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z  x  iy ta có thể biểu diễn z ở dạng z  r  cos  i sin   trong đó
r  z ,   Argz gọi là dạng lượng giác của số phức z .

Ví dụ 1.Viết các số phức sau sang dạng lượng giác:
a) z1  1  i
b) z2  1  i 3

c) z3  1  i 3
d) z4  2
e) z5  3i
Giải:
a) z1  1  i
22


r

 1   1
2

  arctan

2

 2

y

5
   arctan1      
x
4
4

5
5 


 z1  2  cos
 i sin

4
4 


b) z2  1  i 3
r

  arctan

 1

2



 3

2

2

y
1
2
   arctan
 
x

3
3

2
2 

 z2  2  cos
 i sin

3
3 


c) z3  1  i 3
r

1

  arctan

2



  3



2

2

y
5
 arctan  3 
x
3

5
5 

 z3  2  cos
 i sin

3
3 


d) z4  2
r  22  02  2

  arctan

y
0
 arctan  0
x
2

 z4  2(cos 0  i sin 0)

e) z5  3i
r  02   3  3
2

23




3
2

3
3 

 z5  3  cos
 i sin

2
2 


c. Các phép toán
1. Phép nhân
Cho z1  r1  cos 1  i sin 1  , z2  r2  cos 2  i sin 2  . Khi đó:
z1.z2  r1r2 cos(1  2 )  i sin 1  2 

Ví dụ 2.
7

7

z1  2  cos
 i sin
4
4






 , z2  2  cos  i sin 
6
6



23
23 

z1.z2  2 2  cos
 i sin

12
12 


2. Phép chia
Cho z1  r1  cos 1  i sin 1  , z2  r2  cos 2  i sin 2   0 . Khi đó:

z1 r1
 cos(1  2 )  i sin 1  2 
z2 r2 

Ví dụ 3.
Cho z1  1, z2  z  r  cos   i sin  
z1 1 1
   cos     i sin    
z2 z r

3. Luỹ thừa của một số phức
Định lý.(Công thức Demoivre)
Cho z  r  cos   i sin   và n  ¥ ta có
24


z n  r n  cos n  i sin n 

Chứng minh
Dùng công thức nhân với z  z1  z2   zn ta được:
 




z n  rr
r
cos



.



i
sin


.





   r n  cos n  i sin n 
{
1
4
2
4
3
1
4
2
4
3





n 
n
n



 

Ví dụ 4. Tính 1  i 

100

Giải



1  i  2  cos  i sin 
4
4

100
100

 (1  i)100  ( 2)100  cos
 i sin
4
4


1  i 

100

Ví dụ 5. Tính z 



3 i

 1  i 3 




50
  2  cos25  i sin 25 


5

10

Giải
Ta có:

 
1  i  2  cos 
 4



   
  i sin 


 4 


 
  
3  i  2  cos    i sin   
6
 6 


Thay vào biểu thức ta được z  1
4. Căn bậc n số phức
Cho z  r1  cos   i sin   ,   r2  cos  i sin 
 n  r2n  cos n  i sin n 

25