Ung dung tich phan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (517.13 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
1

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

II. TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TRONG HÌNH HỌC

Download tại:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ví dụ

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.

I = (2x + 1)dx



Giải: Ta có (đvdt)

và

(AD + BC).CD

S =

=28

2

5
2

= 28

I = (x +x)

a) Dùng cơng thức hình học tính diện tích hp.
b) Tính tích phân sau

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bài tốn: Tính diện tích hp

y = f(x) lt u c/[a;b]
y = 0

x = a; x = b






 o a

y = f(x)

x
y

b

S

y = - f(x) B’

A’

x

o a b

y

y = f(x)

S

B
A

S’

- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì

b
a

S = f(x).dx



- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì b





S = S' = -f(x) .dx



- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì





1 2 3

c d b

a c d

S = S + S + S

= f(x).dx + -f(x) .dx + f(x).dx



c d b

a c d

f(x)

f(x

)

f(x) .dx

=



dx +



dx +



dx





b
a

= f(x) dx



b
a

= f(x) dx



b
a

S = f(x) dx





</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Bài tốn: Tính diện tích hp

y = f(x) lt u c /[a;b]
y = 0

x = a; x = b






 o

a

y = f(x)

x
y

b

S

S = f(x) dx





Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn bởi

3
y = x
y = 0

x = -1; x = 2







Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

2
3
-1

S = x dx



0 3 2 3

-1 0

( - x ).dx + x .dx





</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1
2

'
'

u c/
u c/

[a;b]
[a;b]

y = f (x) lt
y = f (x) lt

x = a; x = b

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1
2

'
'

u c/
u c/

[a;b]
[a;b]

y = f (x) lt

x = a; x = b










- Xét TH f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b].

Khi đó S = S1 - S2

b b b

1 2 1 2

a a a

f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx





1 2
a

S = f (x) - f (x).dx





</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1
2
'
'
u c/
uc/
[a;b]
[a;b]

y = f (x) lt

x = a; x = b








Cách tính:

- Giải pt f1(x) = f2(x)
(f1(x) - f2(x) = 0)

[a;b]

x c

x d













- Tách tích phân thành

b c d b

1 2 1 2 1 2 1 2

a a c d

S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x)



dx

c d b

1 2 1 2 1 2

a c d

= [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx



Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:

1 2

S = f (x) - f (x).dx





1
2
2
2
(x)
(x)
=

= - 4x +1
- 3x + 3

y = f

x

x = 0; x =

y =

3 f

2x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]

y = f (x) lt

x = a; x = b










Ví dụ: Tính diện tích hp:

1 2

S = f (x) - f (x).dx





1
2
2
2
(x)
(x)
=

= - 4x +1
- 3x + 3

y = f

x

x = 0; x =

y =

3 f

2x







Giải: - Ta có

f

1

(x)

-

f

2

(x)

= x

-

x - 2 = 0

x = -1 [0;3]
x = 2 (t/m)








- Ta có 2 2 1 3 1 2

0 2
2 3
2 2
0 2

]
31
6

S = [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x) dx
= (-x +x+2)dx + (x -x-2)dx





</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Ví dụ: Cho các hình phẳng sau

Nhóm 1: Hãy cho biết S1 giới hạn bởi các đường nào?

Nhóm 2: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S1 bằng tích phân trong đó đã phá bỏ
(khơng có) dấu giá trị tuyệt đối?

Nhóm 3: Hãy cho biết S2 giới hạn bởi các đường nào?

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Tóm lại

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài tốn: Tính dt

y = f(x) lt u c/[a;b]
y = 0

x = a; x = b

S






b
a

S = f(x) dx





o a

y = f(x)

x
y

b

S

Bài tốn: Tính dt

1
2
'
'
uc/
uc/
[a;b]
[a;b]

y = f (x) lt

S y = f (x) lt

x = a; x = b









b
1 2
a

S = f (x) - f (x).dx





Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) = 0

- Tách tích phân và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngồi dấu tích phân

[a;b]

x c

x d













b c d b

1 2 1 2 1 2 1 2

a a c d

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

11
11

x

y

O

x

y

O

R

S

1

Ta có:

2 2

4

R

S



S





R



x

Đặt x = Rsint

0;

2 t

 

















/ 2

2 2

0
/ 2

2
0

2 / 2 2

4 os

2

1 os2

sin 2

2 S

R

c

tdt

R

c

t dt

t

R t

R





























V

ới Elíp tương tự t

a có:

S





ab

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Bài tập về nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2
2

2

4 y x

y

x

y











</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(2)

S =



b

a

|f

1

(x)- f

2

(x)|.dx

Ví dụ :

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x

-3x và y = x

Giải :

Xét PT hđộ gđiểm:



x

- 4x = 0



x

-3x = x

x= 0

x= 2

x= -2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

S=

|x

- 4x|.dx

2 -2



(x

- 4x)dx

=

0 -2



|

+

0 (x

- 4x)dx



|

2 |

=

-2x

)

4 x

|

(

|

-20

|

+

-2x

)

4 x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2/ Tính diện tích hình tròn x

+ y

= R





2 2
1 1
2 2
2 2

( )

(1)

( )

y f x

R x c

R x R

y f x

R x c

 











 

 







( )

( ) 0

x

R

f x

x

R







  







2 2 2 2



2 2

2

R
R
R
R

S

R x

R x dx


















sin

1

2 sin

1

2 x

R

t

x R

t

















 



Đặt x = R sint; Với

,
2 2

t 

 



 





2 2

2 1 sin

cos

S

R

t R

tdt











2 2
2 2
2
2

2 2 2

2 2

1 cos2

2 cos

2 sin 2

2 t

R

tdt

R

dt

t

R

t

R dvdt

 
 





 


























Giaûi

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài tốn: Tính dt hình phẳng

1
2

'
'

uc/
u c/

[a;b]
[a;b]

y = f (x) lt

S y = f (x) lt

x = a; x = b









Ví dụ: Tính diện tích hp:

1 2

S = f (x) - f (x).dx





y = e

y = 1

x = 1; x = 2







Giải: - Ta có pt ex = 1

 x = 0  [1;2]

- Ta có 2 x 2 x

1 1

x 2

S = e - 1dx = (e - 1)dx

= (e - x) = e - e - 1



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16></div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

17
17







x

b

x

a

y

O

CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH

 

b

a

V





S x dx

S(x)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

18
18





x

x

O

h

y

S(x)

THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt và chóp cụt

 

b

a

V





S x dx

Ta có:

X

ét phép:

 

2
2
2

2
0

:

3

x
h
O

h

x

V

S

S x

S

h

S

Sh

V

x dx

h















Cho kh

Cho khối chóp (nối chóp (nón)ón) có có 
diện tích đáy là S, đường

diện tích đáy là S, đường

cao là h. Tính thể tích khối

chóp (n

chóp (nón) ón) đó.đó.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

19
19

• Từ cơng thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác

Từ cơng thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác

định cơng thức tính thể tích khối nón cụt và chóp cụt?

THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt

và chóp cụt





h’

x

O

h

y

S’

S

Ta có:

















2 3 3

2 2

'

3 '

.

3 '

3

h

S

V

x dx

h

hh h

h h

S

h

H

V

S

SS

S

















</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

20
20

O

x

y

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY

f(x

)

a

b

Ta có:

 

2 b

a

V





S x dx







y dx

V

ậy

:

2 b

a

V







y dx

S(x)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Ví dụ:

1/ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình giới hạn

bởi đồ thị hàm số y= sinx , trên đoạn [0;



] quay quanh Ox

Ta coù:

sin

xdx





0 

=

0 



dx

2 cos2x

-1

V =

|

0



(

x -

)

2 sin2x

=

2 π

= (ñ.v.t.t)

2 

x

y

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

2/ Tính thể tích giữa

y

=

x

-4

x

quay quanh

Ox

, với 1



x



4

1
3

x

3

16 +

x

2 -x

5

1 =

π

(

)

15

619 =

π

Giaûi

:

(

)

∫

2
3

-

8

x

+

16

x

dx

x

=

π

(

)

∫

2
2

-

4

x

dx

x

=

V

π

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ung dung tich phan

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

II. TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ

<b> ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN</b>

<b> TRONG HÌNH HỌC</b>

Download tại:

I = (2x + 1)dx

<sub></sub>

(AD + BC).CD

S =

=28

2

= 28

I = (x +x)

<b>S</b>

<b>S</b>

<b>S’</b>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





S = S + S + S

= f(x).dx + -f(x) .dx + f(x).dx

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

f(x)

f(x)

f(x

)

f(x) .dx

=

<sub></sub>

dx +

<sub></sub>

dx +

<sub></sub>

dx



<sub></sub>

= f(x) dx

<sub></sub>

= f(x) dx

<sub></sub>

S = f(x) dx



<sub></sub>

<b>S</b>

S = f(x) dx



<sub></sub>

S = x dx

<sub></sub>

( - x ).dx + x .dx



<sub></sub>

<sub></sub>

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b

f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

S = f (x) - f (x).dx



<sub></sub>

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b

[a;b]

<i>x c</i>

<i>x d</i>









S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x)