Cơ sở và hệ quả của đạo hàm xuất hiện trong các bài tập Dao động điều hòa có đáp án

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>* Cơ sở:</b>

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2

0
0

2 2

0

2 2

x A cos t
x ' v Asin t

;

x '' a A cos t x

x ''' x ' v
q Q cos t
q ' i Q sin t

q '' Q cos t q

q ''' q ' i

    



     




       


 _{ } _{ }


    



     




      


 _{ } _{ }


<b>* Hệ quả:</b>

 

 

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

x _' x 'v xv' v x

v v v

xv ' x 'v xv' v x ;

v _' v _' 1 v'x vx ' v x

a x x x

q _' i q

i i

qi ' i q
i _' i q

i' q

_{  }   


 _{ }

 _ _ _ _{ }



 _ _{ }

   

_{ } __ _ _ _

     



_{  }  
 _{ }

 _{  }


 _{ }

 
_{ } _
  


<b>Câu 1.</b> Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hịa cùng phương với phương trình lần lượt là x1=
A1cos(ωt + φ1) cm và x2 = A2cos(ωt + φ2) cm. Gọi v1, v2 là vận tốc tức thời tương ứng với hai dao động

thành phần x1và x2. Biết ln ln có v2=2ωx1. Khi x12 2cm; x2 4cm thì tốc độ dao động của vật là?

<b>A.</b>v = 5,26ω. <b>B.</b>v = 4,25ω.
<b>C.</b>v = 3,46ω. <b>D.</b>v = 3,66ω

<i><b>Hướng dẫn</b></i>
<i><b>Cách 1:</b></i>

* Lưu ý: x’ = v và v’ = a =_2_x .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1 2

1 2 2 1

v 0,5 x

v v v 0,5 x 2 x
0,5 .4 2 .2 2 3,66
  

       

      

→ Chọn D.
<i><b>Cách 2:</b></i>

*Từ v2  2 x1 suy ra x1sớm pha hơn x2la π/2 và A2= 2A1

Và phương trình có thể chọn

1

2

1 1

2 2

1 2

1
2

x Acos t

x 2Acos t 2Asin t
2

v x ' A sin t
v x ' 2A cos t

v v v Asin t 2 Acos t
x Acos t 2 2

Cho

x 2Asin t 4
Acos t 2 2
Asin t 2

v .2 2 .2 2 3,66

 






 _ _{ } _ _

 

 _ _



    



  _ _ _ _



        

   




  



  


 

 


      

 Chọn<b>D.</b>

<b>Câu 2.</b> (150177BT) Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương với phương trình lần
lượt là x1A cos t1   1 cm ;x2 A cos t2   2  cm . Biết tại mọi thời điểm thì v2  2 x1 . Tại thời điểm

1

x 2 3 thì x2= 4cm và tốc độ dao động của vật<b>gần giá trị nào nhất</b>sau đây?
<b>A.</b>5ω cm/s. <b>B.</b> 4 5 cm/s.

<b>C.</b>6ωcm/s <b>D.</b>3ω cm.s

<i><b>Hướng dẫn</b></i>

<i><b>*</b></i>Lưu ý: _{x ' v;v' a}_ _{  }2_x

* Từ v2  2 x1 đạo hàm hai vế theo thời gian 2x2  2 v1 hay

1 2

1 2

v 0,5 x
v v v

0,5 x 2 x 0,5 .4 2 .2 3 4,93

 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Chọn A

<b>Câu 3.</b>Hai mạch dao động LC lý tường đang hoạt động. Tại thời điểm t, điện tích trên mỗi tụ là q1và q2và
dịng điện trong hai mạch lần lượt là i1= I01cos(ωt + φ1) (A) ; i2 I cos t02   2 cm . Biết tại mọi thời điểm

i2= 2ωq1. Tại thời điểm i1= 2mA thì i2= 4mA, lúc này tổng điện tích trên hai bản tụ của hại mạch có độ lớn
bao nhiêu?

<b>A.</b>2/ω mC. <b>B.</b>3/ω mC.

<b>C.</b>4/ω mC. <b>D.</b>1,5/ω mC.

<i><b>Hướng dẫn</b></i>

* Lưu ý i = q’ và _{i '}_{ }2_q

* Từ i2 2 q1 hay q10,5i /2  đạo hàm theo thời gian i1 0,5 q hay q 2 2  2i /1 

 

1 2 2 1

2 1

1 2

1 A 2 A

i 0,5 q hay q 2i /
0,5i 2i
q q q

2

i 2m ;i 4m q mC

     



   




   


Chọn A.

<b>Câu 4.</b>(CĐ−2012) Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau. Phương trình dao động
của các vật lần lượt là x1A cos t cm ; x1    2 A sin t cm2   

Biết 2 2 2

 

2

1 2

64x 36x 48 cm . Tại thời điểm t, vật thứ nhất đi qua vị trí có li độ x1 = 3 cm với vận tốc

1

v  18cm / s. Khi đó vật thứ hai có tốc độ bằng:

<b>A.</b> 24 3cm / s. <b>B.</b> 8 3cm / s <b>C.</b> 8cm / s <b>D.</b>24cm/s.

<i><b>Hướng dẫn</b></i>
* Từ

 

 

2 2 2 2

1 2

2 2 2

2
2

64x 36x 48 cm
64.3 36x 48

x 4 3 cm

 

  

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 

 

1 2

1 1 2 2

1 1
2

2

64x 36x 48 cm
128x v 72x v 0

16x v

v 8 3 cm / s
9x

 

  

 

Chọn B.

<b>Câu 5.</b>(ĐH − 2013): Hai mạch dao động điện từ lý tưởng đang có dao động điện từ tự do. Điện tích của tụ
điện trong mạch dao động thứ nhất và thứ hai lần lượt là qi và q2 với

2 2 17

1 2

4q _q _1,3.10 , q tính bằng C. Ở thời điểm t, điện tích của tụ điện và cường độ dòng điện ưong mạch dao
động thứ nhất lần lượt là 10−9_{C và 6 mA, cường độ dịng điện trong mạch dao động thứ hai có độ lớn bằng :}

<b>A.</b>10mA. <b>B.</b>6 mA. <b>C.</b> 4 mA. <b>D.</b>8 mA.

<i><b>Hướng dẫn</b></i>

* Từ 2 2 17

1 2

4q _q _1,3.10 (1) lấy đạo hàm theo thời gian cả hai vế ta có:

 

1 1 2 2 1 1 2 2

8q q ' 2q q ' 0  8q i 2q i 0 2

Từ (1) và (2) thay các giá tri qi và ii tính được 12 = 8 mA → Chọn D.

<b>Câu 6.</b>Ba chất điểm dao động điều hòa, cùng phương, cùng biên độ A = 10 cm, cùng vị trí cân bằng là gốc
tọa độ nhưng tần số khác nhau. Biết rằng, tại mọi thời điểm li độ (khác 0) và vận tốc (khác 0) của các chất
điểm liên hệ với nhau bằng biểu thức 1 2 3

1 2 3

x

x x ₂₀₁₆

v v v  . Tại thời điểm t, chất điểm 1 cách vị trí cân băng là
6 cm, chất điểm 2 cách vị trí cân bằng 8 cm thì chất điểm 3 cách vị trí cân bằng là

<b>A.</b>8,8 cm. <b>B.</b>9,0 cm. <b>C.</b> 8,5 cm. <b>D.</b>7,8 cm.
<i><b>Hướng dẫn</b></i>

* Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức 1 2 3

1 2 3

x

x x ₂₀₁₆

v v  v  ta được:

' '

' ' ' '

3 3 3 3

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2

1 2 3

x v x v
x v x v x v x v

v v v



 

  thay 2 2 2 2

2 2

A x
x 'v v

xv' x.a x

   

 _

   

 _ _

  

  



























2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

A x x A x x A x x

A x A x A x

           

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

 
2 2 2 2

2 1
2

x 8 ;x 6
3

2 2 2 2 2 2 A 10

1 2 3

1 1 1 _x _{8,8 cm}

A x A x A x

 


     

   Chọn A.

<b>Câu 7.(150119BT)Ba điểm sáng dao động điều hòa trên trục Ox với cùng vị trí cân bằng o, cùng tốc độ cực</b>
đại 1 m/s. Biết rằng mọi thời điểm vận tốc (khác 0) và gia tốc (khác 0) liên hệ với nhau:v / a v / a1 1 2 2 v / a3 3 .

Tại thời điểm tốc độ của điểm sáng thứ nhất và thứ hai là 60 cm/s và 80 cm/s thì tốc độ điểm sáng thứ 3 là
<b>A.</b>0,877 m/s. <b>B.</b>0,777 m/s. <b>C.</b>0,879m/s. <b>D.</b>0,977 m/s.

<i><b>Hướng dẫn</b></i>
Đạo hàm (để ý _2 2_x _{ }2_{A v}2_ 2 )

2

2 2 2 2 2 2

max

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

max

v
v _' v _' 1 xv' vx ' xa v x v A

a x v x x A v v v

    

  _  _ _ _ _ _

  _  _ _ _ _ _ _

   

Từ 1 2 3

1 2 3

v
v v

a a  a đạo hàm hai vế theo thời gian:

2 2 2

max max max

2 2 2 2 2 2 2 2 2

max 1 max 2 max 3 3

v v v 1 1 1

v v v v v v 2 0,6 1 0,8 1 v
 

3 484

v 0,887 m / s
25

    Chọn A.

<b>Câu 8.</b>Hai vật dao động điều hịa cùng tần số góc ω, biên độ lần lượt là A1, A2. Biết A1+ A2= 2 8cm. Tại
một thời điểm, vật 1 có li độ x1và vận tốc v1vật 2 có li độ x2và vận tốc v2thỏa mãn x1x2= 8t cm2. Tìm giá
trị nhỏ nhất của ω.

<b>A.</b>1 rad/s. <b>B.</b>2 rad/s. <b>C.</b>4 rad/s. <b>D.</b> 8 rad/s.
<i><b>Hướng dẫn</b></i>

* Đạo hàm theo t hai vế của phương trình 2 2

1 2 1 2 2 1

x x 8t cm / sx v x v 8cm / s

Chọn 1 1 _ 1_ 1 _ _ x v x v 81 2 2 1

2 2 2 2

x A cos t v A sin t

x A cos t v A sin t

 

     

 _{}_

 _ _{   } _{ } _{  }



  2

1 2 1 2

8 8 ₁ rad

A A sin 2 t _{A A} s

.1
2

 

     _ _

        

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Website<b>HOC247</b>cung cấp một môi trường<b>học trực tuyến</b>sinh động, nhiều<b>tiện ích thông minh</b>, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,</b>
<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm</b>đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

<b>I.</b>

<b>Luyện Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b>Đội ngũ<b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b>từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng
các khóa<b>luyện thi THPTQG</b>các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn:</b>Ơn thi<b>HSG lớp 9</b>và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b>các trường

<i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên khác cùng

<i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II. Khoá Học Nâng Cao và HSG</b>

- <b>Tốn Nâng Cao THCS:</b>Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6,
7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ
thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Tốn:</b>Bồi dưỡng 5 phân mơn<b>Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học</b> và<b>Tổ Hợp</b>dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm:<i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam</i>

<i>Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i>cùng đơi HLV đạt thành

tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b>

<b>Kênh học tập miễn phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b>Website hoc miễn phí các bài học theo<b>chương trình SGK</b>từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn
học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo
phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b>Kênh<b>Youtube</b>cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn phí
từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b>Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%</b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia</b></i>

</div>

<!--links-->
Dạng bài tập đồ thị của dao động điều hòa

• 5
• 12
• 238