ĐỀ CƯƠNG GIỮA kì 2 TOÁN 11 tài LIỆU GIÁO VIÊN các cấp

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

PHẦN TRẮC NGHIỆM ĐẠI SỐ
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Câu 1.

Câu 2.

L  lim

Tính
A. L  1 .
lim

n 1
n3  3 .

Câu 3.

Giới hạn
A. 2 .

lim

Câu 6.

Câu 7.

1
C. 3 .

D.

1
B. 3 .

1
C. 4 .

1
D. 2 .

C. �.

D. 0 .

C. 0 .

D. 4 .

C. 1.

D. �.

8n 5  2 n 3  1
2n 2  4n5  2019 bằng
B. 4 .

B  lim
Câu 5.

1
B. 2 .

Giá trị của
4
A. 9 .

 3n  1

1
2.

2

bằng:

4
B. 3 .

�3n  2
�
lim �
 a 2  4a � 0
�n  2
� . Tổng các phần tử
Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn
của S bằng
B. 3 .

C. 5 .
lim

an 2  a 2 n  1

 n  1

Cho a �� sao cho giới hạn
đúng?
A. 0  a  2 .

Câu 9.



4n 2  3n  1

4n 2  1  n  2
lim
2n  3
bằng
3
A. 2 .
B. 2.

A. 4 .

Câu 8.

D. L  2 .

n 3  4n  5
3n3  n 2  7 bằng

A. 1 .

Câu 4.

C. L  3 .

1  n2
2n 2  1 bằng

A. 0 .
lim

B. L  0 .

B.

0a

1
2.

 3n  1  3  n 
un 
3
un 
4n  5 



Dãy số
với

2

D. 2 .

 a2  a  1
. Khi đó khẳng định nào sau đây là

C. 1  a  0 .

D. 1  a  3 .

2

a
có giới hạn bằng phân số tối giản b . Tính a.b
1


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

A. 192 .

B. 68 .

C. 32 .

D. 128 .

2n 3  n 2  4 1
lim

an3  2
2 với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng
Câu 10. Biết
A. 12 .
B. 2 .
C. 0 .

D. 6 .

DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC.
Câu 11.

lim



n 2  3n  1  n

 bằng

A. 3 .

B. �.

Câu 12. Tính giới hạn
A. 3 .



lim n  n 2  4n

A. I  �.
Câu 14. Tính giới hạn





n 2  3n  5  n  25

B. 7 .

A. �.
Câu 15. Tính giới hạn

L  lim



3

A. �.
Câu 16. Tính giới hạn

C. 2 .

D. 4 .

C. I  1, 499 .

D. I  0 .

53
C. 2 .

9
D. 4 .

53
C. 2 .

1
D. 2 .



3

.

.
.

n3  2n 2    n  1

5
B. 4 .

A. �.

D.

2n  n 3    n  1

B. 1 .
L  lim

C. 0 .



n2  2  n 2  1 �
�.
3
I
2.
B.

L  lim

3
2.

.

B. 1 .

I  lim �
n
�
Câu 13. Tính



53
C. 2 .

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để
A. 3 .
B. 1 .

lim



D.



n 2  4n  7  a  n  0



5

3.

?
D. 0 .

C. 2 .

DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA.
Câu 18. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
n

�4 �
��
A. �e �.

Câu 19.

lim 2 n

n ��

A. 2 .

n

n

n

�1 �

��
B. �3 �.

�5 �
��
C. �3 �.

�5 �
� �
D. �3 �.

B. �.

C. �.

D. 0 .

bằng.

2


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11
n

�2018 �
lim �
�
�2019 � bằng.
Câu 20.

A. 0 .
Câu 21.



lim 3n  4n



Câu 23. Tính

lim

D. 2 .

B. �.

4
C. 3 .

D. 1 .

6
C. 5 .

D. 6 .

C. 1.

1
D. 2 .

là

A. �.

Câu 22. Tính giới hạn
3
A. 2 .

B. �.

1
C. 2 .

3.2n 1  2.3n 1
4  3n
.

lim

B. 0 .

2n  1
2.2n  3 .

A. 2.

B. 0.

DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN.
1
q
u

1
2.
Câu 24. Tính tổng S của cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu 1
và cơng bội
3
2
S
S
2.
3.
A. S  2 .
B.
C. S  1 .
D.
Câu 25. Tổng vô hạn sau đây
8
A. 3 .
1

Câu 26. Tổng
1
A. 2 .

S  2

2 2
2
 2  ...  n  ...
3 3
3
có giá trị bằng

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

C. 1.

D. �.

1 1 1
   ...
2 4 2n
bằng
B. 2.

� u1  3
�
u
�
un 1   n
*

�
5 . Gọi S  u1  u 2  u3  ...  un là tổng
Câu 27. Cho dãy số (un ), n �� , thỏa mãn điều kiện �
n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim S n bằng
1
3
5
A. 2 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 2 .

u 
Câu 28. Cho dãy số n
A. lim un  1 .

u 1
�
�1
2
�
un 1  un  4, n �N*
�
3
thoả mãn �
. Tìm lim un .
B. lim un  4 .
C. lim un  12 .

D. lim un  3 .

3


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 29. Cho cấp số cộng
1
L
3.
A.

 un 

Câu 30. Cho dãy số

 un  có số hạng đầu u1  2
B.

L

u  2

u  3u
biết
1

n

1
2.

n1  1, n �2

B. L  �.

A. Không xác định.

và công sai d  3 . Tìm
C. L  3 .

, khi đó
C.

L  lim
L

lim

n
un .
D. L  2 .

un
3n

5
6.

D. L  0 .

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Cho các giới hạn:
A. 5 .

lim f  x   2 lim g  x   3
lim �
3 f  x  4g  x �
�
�
; x � x0
, hỏi x �x0
bằng
B. 2 .
C. 6 .
D. 3 .

x � x0

lim f  x   2
lim �f  x   4 x  1�
�.
Cho x�3
. Tính x �3 �
A. 5 .
B. 6 .
C. 11 .
lim  2 x 2  3x  1

Giá trị của
A. 2 .

x �1

Tính giới hạn
A. L  �.

Giới hạn
A. 1 .

lim
x �1

lim x 2  4

x� 3

x �3

lim

D. 0 .

C. L  �.

D. L  1 .

C. 3 .

D. 2 .

C. 5 .

D. 1 .

1
B. 7 .

C. 7 .

D. 3 .

2
B.  .


C. 2 .

D. 1 .

B. L  0 .
x 2  2x  3
x 1
bằng?
B. 0 .

bằng
B. 1 .

2 x  1  5 x2  3
2x  3

x �2

bằng.

1
A. 3 .
lim

Câu 8.

C. �.

x3
x3

A. 5 .

Câu 7.

bằng

B. 1 .
L  lim

D. 9 .

Biểu thức

x�


2

sin x
x

bằng

A. 0 .
DẠNG 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Câu 9.

Tính

lim

x �3

1
x 3 .
4


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

A.



1
6.

D. �.

C. 0 .

B. �.

Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

lim

x �0

1

 �
x
.
lim

Câu 11. Giới hạn x �1

B.

Câu 12.

lim

C.

lim

x �0

1
 �
x5
.

2
.
C. 3

B. �.

D.

lim

x �0

1
 �
x
.

1
.
D. 3

x2
x  1 bằng:
1
B. 2 .

A. �.

Câu 13.

x �0

1
 �
x
.

2 x  1
x  1 bằng

A. �.
x �1

lim

lim 

x � 1

C. �

D.



1
2.



3
2.

3x 2  1  x
x 1
bằng?

1
A. 2 .

B.

lim f ( x)  4

Câu 14. Biết
A. �.

x �1



1
2.

lim

. Khi đó

x �1

3
C. 2

D.

C. �.

D. 0 .

f ( x)

 x  1

4

bằng:

B. 4 .

�2
f  x   �x 2 ax  1 khi x  2
2 x  x  1 khi x �2
�
Câu 15. Tìm a để hàm số
có giới hạn tại x  2.
A. 1 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 1 .
2
�
�x  ax  b , x  2
f  x   � x2  4
�
x �2 có giới hạn hữu hạn khi x dần tới
�x  1,

Câu 16. Gọi a, b là các giá trị để hàm số
2 . Tính 3a  b ?

A. 8.

B. 4.

C. 24.

� x4 2
�
f  x  � x
1
�
mx  m 
4
�
Câu 17. Cho hàm số
giới hạn tại x  0 .
A.

m

1
2.

B. m  1 .

D. 12.

khi x  0
khi x �0

, m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có
m

C. m  0 .

D.

C. 2 .

D. 0 .

1
2.

DẠNG 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC
Câu 18. Tính giới hạn
A.  �.





lim 2 x3  x 2  1

x � �

B.  �.

5


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

lim  4 x 5  3 x 3  x  1

Câu 19. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
A. �.
B. 0 .
C. 4 .
x ��

2x 1
Câu 20. Tính giới hạn x �� 4 x  2 .
1
A. 2 .
B. 1 .

là:
D. �.

lim

Câu 21.

lim

x ��

1
C. 4 .

1
D. 2

1 x
3x  2 bằng:

1
A. 3 .

1
B. 2 .

C.



1
3.

D.



1
2.

x 2  3x  2
2
Câu 22. Giới hạn x �� 2 x  1 có kết quả là
lim

A. �

B. �

2 x5  3 x3  1
3
4
5
Câu 23. Giới hạn x �� 4 x  2 x  x  3 bằng
1
A. 2 .
B. 2 .

C. 2

1
D. 2

C. 3 .

3
D. 2 .

lim

Câu 24.

lim

 x  1  x  2 
x2  9

x ��

bằng

2
A. 9 .

Câu 25. Tìm
A.



B. 1 .



1
9.

C. 1 .

D.

C. 0 .

1
D. 4 .

C. �.

D. 2 .

C. c .

ab
D. c .

C. �.

D. -1

x 2  3x  5
4x 1 .

lim

x ��

1
4.

B. 1 .
lim

Câu 26. Giá trị của
A. 0 .

x ��

2x 1
x 2  1  1 bằng
B. 2 .

cx 2  a
2
hạn x �� x  b bằng?
lim

Câu 27.
Giới

A. a .

Câu 28. Giới hạn
A. �.

B. b .
lim

x ��

x2  2  2
x2

bằng
B. 1.

6


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

 4 x  1  2 x  1
f  x 
7
 3  2x
3

Câu 29. Cho hàm số
A. 2 .

4

. Tính

lim f  x 

x ��

B. 8 .

.

C. 4 .

D. 0 .

m x2  7 x  5
 4.
2
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn x �� 2 x  8 x  1
A. m  4 .
B. m  8 .
C. m  2 .
D. m  3 .
lim

�4 x 2  3x  1
�
lim �
 ax  b � 0
x ��
� x2
� . Khi đó a  b bằng
Câu 31. Cho hai số thực a và b thỏa mãn
A. 4 .
B. 4 .
C. 7 .
D. 7 .
x 2  3x  ax
lim
3
bx  1
Câu 32. Cho a , 3 , c là các số thực khác 0 . Để giới hạn x ��

thì
a 1
a 1
a  1
3
3
3
A. b
.
B. b
.
C. b
.
D. M .
DẠNG 4. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH
x2  9
lim
Câu 33. Tính x �3 x  3 bằng:
A. 3 .

Câu 34. Tính giới hạn
A. I  1 .

Câu 35. Tính giới hạn
A. A  �.

Câu 36. Cho giới hạn
A. S  20 .
lim

I  lim
x �2

B. 6 .

x �1

x �2

C. I  1 .

D. I  5 .

C. A  3.

D. A  �.

x3  1
.
x 1
B. A  0.

lim

D. 3 .

x2  5x  6
x2 .
B. I  0 .

A  lim

C. �.

x 2  3x  2 a
a

2
x 4
b trong đó b là phân số tối giản. Tính S  a 2  b 2 .
B. S  17 .
C. S  10 .
D. S  25 .

a
x3  1 a

2
a
,
b
x  1 b với
là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Tính tổng

Câu 37. Cho x�1
S  ab.
A. 5 .
lim

B. 10 .

D. 4 .

C. M  1 .

D. M  8 .

x 3  ax  a  1
2
2
x 1
. Tính M  a  2a .

Câu 38. Biết x�1
A. M  3 .
lim

C. 3 .

x 2  ax  b 1

x2  1
2

Câu 39. Cho x �1
A. S  13.

B. M  1 .

 a, b �� .

B. S  9.

2
2
Tổng S  a  b bằng
C. S  4.

D. S  1.
7


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 40.

x3 2
x 1
bằng

lim
x �1

1
A. 4 .

B. �.
x 2  3x  4  2
x
bằng
1

B. 2 .

lim
x �0

Câu 41. Giới hạn
1

A. 2 .

1
C. 2 .

C.

D. 1 .



3
4.

D.



3
2.

1

D. 2 .



2
3.

x2  5x  6
4 x  1  3 là

lim
x �2

Câu 42. Tìm
3
.
A. 2

B.



2
3.

C.

x  2x  1
x2  x  2 .

lim

Câu 43. Tìm x�1
A. 5 .

B. �.
lim
x �5

Câu 44. Giới hạn:
9

A. 4 .

3

lim

Câu 46. Tính x�0
1
A. 12 .

D. 1 .

3x  1  4
3  x  4 có giá trị bằng:
B. 3 .

Câu 45. Cho hàm số
1

A. 12 .

C. 0 .

y  f  x 

C. 18 .

D.



3
8.

2 1 x  3 8  x
lim f  x 
x
. Tính x �0
.
13
B. 12 .
C. �.

10
D. 11 .

1
B. 4 .

1
D. 6 .

8  x2  2
x2
.
1
C. 3 .

2x2  6
a b
3 x 3
( a , b nguyên). Khi đó giá trị của P  a  b bằng
B. 10 .
C. 5 .
D. 6 .

lim

Câu 47. Tính
A. 7 .

x�

lim
Câu 48. Giới hạn
là

x  1  5x  1 a
a


b , với a, b �Z , b  0 và b là phân số tối giản. Giá trị của a  b
x  4x  3

B. 1 .

A. 1 .

Câu 49. Biết

x �3

lim
x �3

8
C. 9 .

x 1  2 a a
 2
x 3
b ( b là phân số tối giản). Tính

1
D. 9 .
a  b  2018 .
8


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

A. 2021 .

B. 2023 .

x �3

x2  2x  8
.
2x  5 1

lim

x �2

Câu 51. Tính

D. 2022 .

x  1  5x  1
a
x  4 x  3 bằng b (phân số tối giản). Giá trị của a  b là
9
B. 8 .
C. 1 .
D. 1 .

lim
Câu 50. Giới hạn
1

A. 9 .

C. 2024 .

1
B. 2 .

A. 3 .

C. 6 .

D. 8 .

a
3x  1  1 a

x
b , trong đó a , b là các số nguyên dương và phân số b tối giản. Tính
Câu 52. Biết x �0
2
2
giá trị biểu thức P  a  b .
lim

A. P  13 .

B. P  0 .

f  x

lim

Câu 53. Cho
A.

T

là đa thức thỏa mãn

12
25 .

Câu 54. Giới hạn

B.

lim
x �3

A. 0 .



lim

Câu 55. Tính
A. 4 .

lim



I  lim





Câu 58. Tìm giới hạn
3
 .
A. 2
lim



x ��

Câu 59. Biết
A. P  32 .



T  lim
x �2

3

6 f  x  5  5
x2  x  6

D.

T

6
25 .

1
C. 3 .

1
D. 6 .

C. 4 .

D. 2 .

C. I  1 .

D. I  1 .

C. �.

D. �.

.

bằng



x ��



x2  4 x  x2  x .

1
.
B. 2

Ta được M bằng
3
.
C. 2

1
 .
D. 2



4 x 2  ax  1  bx  1

lim x  1  3 x 3  2

x ��

D. P  40 .

.

B. 2 .
M  lim

 10

. Tính
4
T
15 .
C.

B. I  4 .

A. 0 .

Câu 60. Tìm

x2

4
25 .

x 2  4x  1  x

x ��

x 1  x  3

x ��

x �2

B. 2 .

Câu 56. Tìm giới hạn
A. I  2 .
Câu 57.

f  x   20

x 1  3 x  5
x3
.
1
B. 2 .

x2  4 x  2  x

x � �

T

C. P  5 .

2
3
. Tính giá của biểu thức P  a  2b .

B. P  0 .
C. P  16 .
D. P  8 .

.
9


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

A. 1 .
lim



x ��

Câu 61. Cho
A. 10 .

lim



x 2  ax  5  x  5



D. 1 .

. Khi đó giá trị a là

B. 6 .

x � �

Câu 62. Biết
A. 3 .

C. �.

B. �.

C. 6 .



4 x 2  3x  1   ax  b   0

B. 5 .

. Tính a  4b ta được
C. 1 .

D. 10 .

D. 2 .

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 1.

Câu 2.

y  f  x
 a; b là
Cho hàm số
liên tục trên cm . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
A. x �a
và x �b
.
B. x �a
và x �b
.
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
lim f  x   f  a 
lim f  x   f  b 
C. x �a
và x �b
.
D. x �a
và x �b
.

 a; b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn
 a; b  .
A. Nếu f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x )  0 khơng có nghiệm nằm trong
 a; b  .
B. Nếu f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong
 a; b  .
C. Nếu f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong
 a; b  thì f (a). f (b)  0 .
D. Nếu phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong

Câu 3.

Câu 4.

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số khơng liên tục tại x  1 ?

A.

.

B.

C.

.

D.

.

.

Hàm số nào sau đây liên tục tại x  1 :
A.

f  x 

x2  x  1
x 1 .

B.

f  x 

x 1
x2  x  2
x2  x  1
f
x

f  x 


2
x 1 .
x  1 . C.
x
. D.
10

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 5.

Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm x0  1 .
2x 1
x
y
y
y   x  1 x 2  2
x 1 .
x 1 .
A.
. B.
C.

D.

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x  2 ?
3x  4
y
x2 .
A.
B. y  sin x .

D. y  tan x .



Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.



4
2
C. y  x  2 x  1

x
x  1 gián đoạn tại điểm x0 bằng?
Hàm số
A. x0  2018 .
B. x0  1 .
C. x0  0

y

x 1
x2  1 .

y

Cho hàm số

y

D. x0  1 .

x 3
x 2  1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số không liên tục tại các điểm x  �1 . B. Hàm số liên tục tại mọi x ��.
C. Hàm số liên tục tại các điểm x  1 .
D. Hàm số liên tục tại các điểm x  1 .
Câu 9.

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên �?
A. y  x  x .

B. y  cot x .

3

C.

y

2x 1
x 1 .

2
D. y  x  1 .

DẠNG 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 10. Để hàm số
A. 4 .



2
y  x  3x  2
4x  a

khi
khi

x �1
x  1

B. 4.

liên tục tại điểm x  1 thì giá trị của a là
C. 1.
D. 1 .



f  x   3 x  b khi x �1
x  a khi x  1 liên tục tại x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 11. Biết hàm số
A. a  b  2 .
B. a  2  b .
C. a  2  b .
D. a  b  2 .

�

ax 2  bx  5 khi
f  x  �
khi
� 2ax  3b
Câu 12. Biết hàm số
P  a  4b .
A. P  4 .

B. P  5 .

x �1
x 1

liên tục tại x  1 Tính giá trị của biểu thức
C. P  5 .

2
�
�x  4 khi x �2
f ( x )  �x  2
�
khi x  2 liên tục tại x  2
� m
Câu 13. Tìm m để hàm số
A. m  4 .
B. m  2 .
C. m  4 .

D. P  4 .

D. m  0 .

2
�
�x  16 khi x  4
f  x   �x  4
�
mx  1 khi x �4 liên tục tại điểm x  4 .
�
Câu 14. Tìm m để hàm số
7
7
m
m
4.
4.
A.
B. m  8 .
C.
D. m  8 .

11


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11
3
�
�x  1 khi x �1
y  f ( x)  �x  1
�

2m  1 khi x  1 . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm
�
Câu 15. Cho hàm số
x0  1 là:

A.

m

1
2.

B. m  2 .

Câu 16. Tìm a để hàm số
15
A. 4 .

C. m  1 .

� x2 2
�
f  x  � x  2
�
2x  a
�
B.



15
4.

D. m  0 .

khi x �2
khi x  2

liên tục tại x  2 ?
1
C. 4 .

D. 1 .

�x 2  3x  2
�
khi x  2
f  x  � x  2  2
�
m 2 x  4m  6 khi x �2 m
�
Câu 17. Cho hàm số
,
là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m để
hàm số đã cho liên tục tại x  2 ?
A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

�x 2  x  2
�
f  x   � x  1 khi x  1
2
�
�mx  2m khi x �1 liên tục tại x  1.
Câu 18. Tìm m để hàm số
� 3�
� 3�
m ��
1;  �
m ��
 �
m
�
1
 .
� 2 .
�2 .
A.
B.
C.

D. 1

� 3�
m ��
1; �
� 2 .

D.

DẠNG 3. LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG
Câu 19. Cho hàm số



2
y   x  x  3 khi x �2
5x  2
khi x  2

A. Hàm số liên tục tại x0  1 .
B. Hàm số liên tục trên �.
C. Hàm số liên tục trên các khoảng
D. Hàm số gián đoạn tại x0  2 .

. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

 �; 2  ,  2;  � .



y  3 x  1 khi x �1
x  m khi x  1 , m là tham số. Tìm m để hàm số liên tục trên �.
Câu 20. Cho hàm số
A. m  5 .
B. m  1 .
C. m  3 .
D. m  3 .

2
�
�x  1 khi x �1
f  x   �x  1
�
m  2 khi x  1 . Tìm m để hàm số f  x  liên tục trên �.
�
Câu 21. Cho hàm số
A. m  1 .
B. m  2 .
C. m  4 .
D. m  4 .

�3 x  a  1 khi x �0
�
f  x  � 1  2x 1
khi x  0
�
x
�
Câu 22. Cho hàm số
. Tìm tất cả giá trị thực của a để hàm số đã cho liên
tục trên �.
12


A. a  1 .

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

B. a  3 .

C. a  4 .

D. a  2 .

DẠNG 4. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
4
2
Câu 23. Cho phương trình 2 x  5 x  x  1  0 (1) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  2;1 .
A. Phương trình
 1 vơ nghiệm.
B. Phương trình
 1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  0; 2  .
C. Phương trình
 1 vơ nghiệm trên khoảng  1;1 .
D. Phương trình

Câu 24. Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng
2
A. 2 x  3x  4  0 .
4
2
C. 3 x  4 x  5  0 .

B.

 0;1
 x  1

D. 3 x

2017

5

 x7  2  0

.

 8x  4  0 .

4
2
 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 25. Cho phương trình 4 x  2 x  x  3  0
 1 vô nghiệm trên khoảng  1;1 .
A. Phương trình
 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  1;1 .
B. Phương trình
 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  1;1 .
C. Phương trình
 1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  1;1 .
D. Phương trình
5
3
Câu 26. Phương trình 3x  5 x  10  0 có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?
 2; 1 .
 10; 2  .

 0;1 .
 1;0  .
A.
B.
C.
D.

Câu 27. Cho phương trình

2 x3  8 x  1  0  1

. Khẳng định nào sai?
A. Phương trình khơng có nghiệm lớn hơn 3 .
B. Phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2 .
 5; 1 .
D. Phương trình có nghiệm trong khoảng

PHẦN TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC
Câu 1.

Câu 2.

BÀI 1. VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
r
ABCD
0
Cho tứ diện
. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ
mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm

cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ?
A. 12 .
B. 4 .
C. 10 .
D. 8 .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
r r r
a
A. Nếu giá của ba vectơ , b , c cắt nhau từng đơi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
r
B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
a
C. Nếu giá của ba vectơ , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng
phẳng.
r r r
D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
13


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 3.

B C D . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB�và CD�
Cho hình hộp ABCD. A����
. Khẳng định
nào dưới đây là đúng?
uur uuu

r
uuuur uu
r
uur uuur
uuur uuu
r
�
�
�
�
AI

CJ
D
A

IJ
BI

D
J
A
I

JC
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.

Câu 4.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur uuur
A. AB  AD  AA '  AC ' .
B. AC  AB  AD .
uuu
r uuur
uuur uuur
AB  CD
C.
.
D. AB  CD .

Câu 5.

Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur uuur r
OG  OA  OB  OC  OD
4
A. GA  GB  GC  GD  0 .

B.
.
uuur 2 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG  AB  AC  AD
AG  AB  AC  AD
3
4
C.
.
D.
.





Câu 6.

Câu 7.









ABCD
Chouutứ
ur diện
uuur uuur .uMệnh
uur đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. BC  AB  DA  DC .
B.
uuur uuur uuur uuur
AC  AD  BD  BC .
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AB

AC

DB

DC
C.
.
D. AB  AD  CD  BC .
Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chọn đẳng thức vectơ đúng:
uuuur uuur uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuuur uuur
AC
'


AB

AB
'

AD
DB
'  DA  DD '  DC .
A.
.
B.
uuuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuuur uuur
C. AC '  AC  AB  AD .
D. DB  DA  DD '  DC .

Câu 8.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?
uur uuu
r uur uuu
r
uur uur uuu
r uuu
r r
A. SA  SD  SB  SC .
B. SA  SB  SC  SD  0 .
uur uuu
r uur uuu
r

uur uur uuu
r uuu
r
SA

SC

SB

SD
SA

SB

SC

SD
C.
.
D.
.

Câu 9.

B C . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A���
thẳng AB ?
uuuu
r
uuuur

uuuur
uuur
�
A
C
C .
��
B.
A. A B .
B.
.
C. A��
D. A�

Câu 10. Cho hình chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có
uur uur uuu
r uuu
r
uur uur uuu
r
uuu
r
SA

SB

SC

SG
SA


SB

SC

2
SG
A.
.
B.
.
uur uur uuu
r uuu
r
uur uur uuu
r
uuu
r
C. SA  SB  SC  3SG .
D. SA  SB  SC  4SG .
uuu
r
Câu 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Khi đó, vectơ bằng vectơ AB là vectơ nào dưới
đây?
uuuuur
uuur
uuu
r
uuuuu
r

A. D ' C ' .
B. BA .
C. CD .
D. B ' A ' .
Câu 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào
uuur uuur uuur
uuur
đẳng thức vectơ: DA  DB  DC  k DG
A. k  2.

B. k  3.

C.

k

1
2.

D.

k

1
3.

14


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 13. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k
uuuu
r
uuur uuur
MN  k AC  BD
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
1
1
k .
k .
2
3
A. k  2.
B.
C.
D. k  3.
r uuu
r uuur uuur
Câu 14. Cho hình lập phương ABCDEFGH , thực hiện phép toán: x  CB  CD  CG
r uuu
r
r uuur
r uuur
r uuur
x

CE
x


CH
x

EC
A.
.
B.
.
C.
.
D. x  GE .





B C D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
Câu 15. Cho hình hộp ABCD. A����
uuur uuuur uuuur
uuur
BD  D�
D  B��
D  k BB�
A. k  4 .
B. k  1 .
C. k  0 .
D. k  2 .
Câu 16. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm của
MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uuuur uuur r

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
GM

GN

0
MA

MB

MC

MD

4
MG
A.
.
B.
.
uuu
r uuur uuur uuur
C. GA  GB  GC  GD .
D.
uuu
r uuur uuur uuur r

GA  GB  GC  GD  0 .
uuu
r r uuur r uuur r
 b , AC  c . Khẳng định nào sau đây đúng?
B C . Đặt AB  a , AA�
Câu 17. Cho hình lăng trụ ABC. A���
uuuu
r r r r
uuuu
r
r r r
�
�
B
C

a

b

c
B
C


a
b c .
A.
.
B.

uuuu
r
u
u
u
u
r
r
r
r
r r r
�
B�
C  a  b  c .
B
C


a
b c
D.
C.
r uuu
r u
r uuur r uuur
x

AB
,
y

 AC , z  AD . Khẳng
ABCD
G
BCD
Câu 18. Cho tứ diện
có
là trọng tâm tam giác
. Đặt
định nào sau đây đúng?
uuur 2 r u
r r
uuur
r r
2 r u
AG  ( x  y  z )
AG   ( x  y  z )
3
3
A.
.
B.
.
uuur 1 r u
r r
uuur
r
u
r
r
1

AG  ( x  y  z )
AG   ( x  y  z )
3
3
C.
.
D.
.
Câu 19. Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . Chọn khẳng định đúng.
uuur uuuu
r uuur
uuur uuuu
r uuur
BA1 , BD1 , BD
BA1 , BD1 , BC
A.
đồng phẳng.
B.
đồng phẳng.
uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuuu
r
BA1 , BD1 , BC1
BD, BD1 , BC1
C.
đồng phẳng.
D.

đồng phẳng.
Câu 20. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình
hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuur uuur uuur
uuur uur uuur
A. BD , EK , GF đồng phẳng.
B. BD , IK , GC đồng phẳng.
uuur uuur uuur
uuur uur uuur
GF
BD
AK
C.
,
,
đồng phẳng.
D. BD , IK , GF đồng phẳng.

15


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
DẠNG 1. GĨC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

uur
S
.
ABC
a
BC

a
2
Cho hình chóp
có
, các cạnh cịn lại đều bằng . Góc giữa hai vectơ SB và
uuur
AC bằng
A. 60�.
B. 120�.
C. 30�.
D. 90�.
uuur uuuur
c
os
BD, A��
C
B C D . Tính
Cho hình lập phương ABCD. A����
uuur uuuur
uuur uuuur

cos BD, A��
C 0
cos BD, A��
C 1
A.
.
B.
.
uuur uuuur
uuur uuuur 1
2
cos BD, A��
C 
cos BD, A��
C 
2.
2 .
C.
D.
Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc và OA  OB  OC  a .
uuur
uuuur
Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng
A. 135�.
B. 150�.
C. 120�.
D. 60�.
uuu
r uuu
r uuu

r
AB
AB

CA
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Giá trị tích vơ hướng
bằng





















a2
A. 2 .

Câu 5.



a2 2
B. 2 .

a2 3
C. 2 .



3a 2
D. 2 .

Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình
uuur uuu
r
vuông. Gọi M là trung điểm của CD. Giá trị MS .CB bằng
a2
A. 2 .

B.



a2
2 .

a2

C. 3 .

D.

2a 2
2 .

DẠNG 2. GĨC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 6.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A ' B.
A. 60�
B. 45�
C. 75�
D. 90�

Câu 7.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , BC  a . Các cạnh bên
của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC .
A. 45�.
B. 30�.
C. 60�.
D. arctan 2 .

Câu 8.
Câu 9.

B C D . Góc giữa hai đường thẳng A��
C và BD bằng.

Cho hình lập phương ABCD. A����
A. 60�.
B. 30�.
C. 45�.
D. 90�.
Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 45�.
B. 90�.
C. 60�.
D. 30�.

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vng góc với nhau từng đơi một. Gọi
I là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI .
A. 45�.

B. 30�.

C. 90�.

D. 60�.

Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA  a 3 và SA  BC . Góc giữa hai
đường thẳng SD và BC bằng
A. 90�.

B. 60�.

C. 45�.

D. 30�.

16


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

B C có AB  a và AA�
 a 2 . Góc giữa hai đường
Câu 12. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A���
thẳng AB�và BC �bằng
A. 90�.

B. 30�.

C. 60�.

D. 45�.

cos  AB, DM 
Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của
.
3
3
2
1
A. 2 .
B. 6 .
C. 2 .
D. 2 .
Câu 14. Cho tứ diện ABCD có AC  3a, BD  4a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết
AC vng góc BD . Tính MN .

7a
a 7
a 5
MN 
MN 
2 .
2 .
2 .
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD ' và
A ' C ' bằng.
MN 

5a
2 .

0
A. 30 .

MN 

0
B. 90 .

0
C. 60 .

0
D. 45 .

DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Câu 16. Trong khơng gian, cho đường thẳng d và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vng
góc với đường thẳng d ?
A. 3.

B. vơ số.

C. 1.

D. 2.

Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
B ���
C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,
Câu 18. Trong hình hộp ABCD. A�
mệnh đề nào sai?
C  BD .
 A�
D.
B  DC �
 BD .
A. BB�
B. A��

C. A�
.
D. BC �

B C D . Đường thẳng nào sau đây vng góc với đường thẳng
Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. A����
BC �
?
D.
A. A�
B. AC .
C. BB�
.
D. AD�
.
Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA  SC , SB  SD . Trong các mệnh đề
sau mệnh đề nào sai?
A. AC  SD .

B. BD  AC .

C. BD  SA .

D. AC  SA .

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

Câu 2.

 P  , trong đó a   P  . Chọn mệnh đề sai.
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng
b //  P 
b   P
A. Nếu b // a thì
.
B. Nếu b // a thì
.
b   P
b //  P 
C. Nếu
thì b // a .
D. Nếu
thì b  a .
Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước?
17


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 3.

C. 3 .

B. 2 .

A. Vô số.

D. 1 .

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vng góc với một mặt phẳng cho trước.

   chứa a
B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Ln có mặt phẳng
và

   b .

   chứa a và mặt
C. Cho hai đường thẳng a và b vng góc với nhau. Nếu mặt phẳng
   chứa b thì        .
phẳng
D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vng góc với một đường thẳng khác.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Câu 4.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , SA  SC , SB  SD . Trong các khẳng
định sau khẳng định nào đúng?
SA   ABCD 
SO   ABCD 
SC   ABCD 
SB   ABCD 
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.

Câu 5.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy ( ABCD) .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. CD  ( SBC ) .
B. SA  ( ABC ) .

Câu 6.

CM   ABD 

B.

AB   MCD 

.

C.

AB   BCD 

.

D.

DM   ABC 

.

B.

AM   SCD 

.

C. AM  CD .

D.

AM   SBC 

.

SA   ABC  .
Cho hình chóp SABC có
Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và
ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A.
C.

Câu 9.

.

SA   ABCD 
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,

. Gọi M là hình chiếu
của A trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM  SD .

Câu 8.

D. BD  ( SAC ) .

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của
AB . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

Câu 7.

C. BC  ( SAB ) .

BC   SAH 
BC   SAB 

HK   SBC 

.

B.

.

.

D. SH , AK và BC đồng quy.

Cho hình chóp S . ABC đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vng góc với đáy. Gọi M , N
lần lượt là trung điểm của AB và SB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. CM  SB .
B. CM  AN .
C. MN  MC .
D. AN  BC .

SA   ABC 
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có
và H là hình chiếu vng góc của S lên BC . Hãy
chọn khẳng định đúng.
A. BC  SC .
B. BC  AH .
C. BC  AB .
D. BC  AC .

18


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 11. Cho tứ diện S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vng góc với mặt phẳng

 ABC  . Gọi

M , N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên cạnh SB và SC . Khẳng định
nào sau đây sai?
A. AM  SC .
B. AM  MN .

C. AN  SB .
D. SA  BC .
Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Mệnh đề
nào sau đây sai?
A. MN  AB .
B. MN  BD .
C. MN  CD .
D. AB  CD .
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?
B. SB và SC .
C. SA và SB .
D. SB và BC .
A. SB và AB .
a, SA   ABCD  , SA  a 2.
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vng cạnh
Tính góc giữa

SC và mặt phẳng  ABCD  .
0
A. 30 .

0
B. 45 .

0
C. 60 .

0

D. 90 .

B C có AB  3 và AA�
 1 . Góc tạo bởi giữa đường thẳng
Câu 15. Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
AC �và  ABC  bằng
o
A. 45 .

o
B. 60 .

o
C. 30 .

o
D. 75 .

 BCD  . Tính
Câu 16. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi  là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
cos
A. cos  0 .

B.

cos 

1
2.

C.

cos 

3
3 .

D.

Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng
giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng
A. 45�.

B. 75�.

C. 30�.

cos 

2
3 .

2a . Độ lớn của góc

D. 60�.

Câu 18. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy, AB  a và SB  2a . Góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng.
0
A. 60 .

0
B. 45 .

0
C. 30 .

0
D. 90 .

 SBD  là góc
phẳng
�
A. ASO .

�
B. SAO .

�
C. SAC .

�
D. ASB .

SO   ABCD 
Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O ,
. Góc giữa SA và mặt

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt

 SAB  .
đáy và SA  a 2 . Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
o
o
o
o
A. 45 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 60 .
19


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

SA   ABCD 
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a ,
và SA  a 3 . Gọi  là

 SAC  , khi đó  thỏa mãn hệ thức nào sau
góc tạo bởi giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
đây:
A.

cos  

2
8 .

B.

sin  

2
8 .

C.

sin  

2
4 .

D.

cos  

2
4 .

B C có đáy ABC là tam giác vng tại B , AB  BC  a ,
Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
B�
.
BB '  a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A�
B và mặt phẳng  BCC �
A. 45�.
B. 30�.
C. 60�.
D. 90�.

SA   ABC 
Câu 23. Cho khối chóp S . ABC có
, tam giác ABC vuông tại B , AC  2a , BC  a ,
SB  2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng  SBC  .
A. 45�.
B. 30�.
C. 60�.

D. 90�.

B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC  2, BC  1,
Câu 24. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
B�
).
AA�
 1 . Tính góc giữa AB�và ( BCC �
.
A. 45�

.
B. 90�

.
C. 30�

.
D. 60�

 SAB  và
Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Hai mặt phẳng

 SAC 

cùng vng góc với đáy

 ABCD 

và SA  2a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng

SB và mặt phẳng  SAD  .
5
A. 5 .

2 5
B. 5 .

1
C. 2 .

D. 1 .

DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 26. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại C . Gọi H là hình chiếu

 ABC  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
vng góc S lên mặt phẳng
A. H là trung điểm của cạnh AB .
B. H là trọng tâm tam giác ABC .
C. H là trực tâm tam giác ABC .

D. H là trung điểm của cạnh AC .

Câu 27. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Độ dài cạnh bên của hình
chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60�.
2a
A. 3 .

a
B. 6 .

a 3
C. 6 .

2a
D. 3 .

Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với
0
   đi qua A và vng góc với SC
đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 45 . Một mặt phẳng
C D có diện tích bằng:
cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là tứ giác AB���

a2 3
A. 4 .

a2 3
B. 2 .

a2 3
C. 6 .

a2 3
D. 3 .
20


ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

Câu 29. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , các mặt bên là các tam

   là mặt phẳng qua G vng góc với
giác vng cân tại S . Gọi G là trọng tâm của ABC ,
SC . Diện tích thiết diện của hình chóp S . ABC khi cắt bởi mặt phẳng    bằng
4 2
2 2
4 2
2 2
a
a
a
a
A. 9 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 9 .
Câu 30. Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 . Gọi M là trung

 A ' C ' M  là
điểm của AB . Diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng
7 2 2

a
A. 16
.

3 35 2
a
B. 16
.

3 2 2
a
C. 4
.

9 2
a
D. 8 .

PHẦN TỰ LUẬN ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
x2  2x  3
lim
1) x �3 3  x ;
lim
4)

x �0

4x
9 x 3 ;

lim ( x  x  2 x)
2

7)

x ��

lim

10) x ��

x2  x  2x
2x  3
;

x2  4
lim 2
2) x �2 x  3x  2 ;

5)

lim  3 x3  5 x 2  7 

x ��



3)

;

lim
8) x ��

x �1

x3 2
x 1 ;

6)

x  2x  x  3
2

lim

2

2 x 2  x  10
lim 3
11) x �� x  3x  3 ;

;

lim  x 2  x  1

x ��

lim

9) x ��

12)

lim

x �3

x2  x  2x
2x  3
;
1  2 x2
x 3 .

Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của nó:
�x 2  x  2
�
x 2  25
�
�
,
khi
x

1
f  x   � x 1
f  x   � x  5 , khi x �5
2
�
�

10,
khi x  5 .
�x  x  1, khi x �1 ;
�
a)
b)
�
1  x3
�
f  x   �1  x , khi x �1
�
2m  1, khi x  1 tại x  1 .
�
Bài 3. a) Tìm m để hàm số sau liên tục
� 4 x  4 x
�
, khi  4 �x �0
y�
x
�
khi 0 �x �4
 4; 4 .
�a  10 x,
b) Tìm a để hàm số
liên tục trên
4
3
2
 1;1 .
Bài 4. a) CMR phương trình x  x  3 x  x  1  0 có nghiệm thuộc

3
b) CMR phương trình: x  15 x  1  0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.

SA   ABCD 
Bài 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  a ,
. Gọi H , K lần lượt là
trung điểm của cạnh SB, SD ; O là tâm hình vng ABCD .
1) Chứng minh:
BC   SAB 
a)
;
2) Chứng minh:

b)

AH   SBC 

;

c)

SC   AHK 

.

21


a)

 SAB    SBC 

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2 MƠN TỐN KHỐI 11

b)
mp  AHK 

 SAC    SBD  .

3) Gọi M là giao điểm của SC và
. CMR: AM   HK ;
4) Tính góc giữa:
SB và  ABCD 
SC và  ABCD 
a)
;
b)
.
B C D cạnh a .
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD. A����
1) Tính góc giữa:
C,
C ;
a) AB và B�
b) AC và B��
2) Chứng minh:
A�
B
 ACC �
   BDD��

C  BD; AC �
 BD .
a) A�
b)
.
3) Tính khoảng cách:
d  A;  BDA�
d  A;  BCD�
A�
 ;
 ;
a)
b) Tính
4) Tính góc giữa:
AC �và  ABCD 
D  và  ABCD 
 AB��
a)
.
b)
.

C và B�
C.
c) A��

c)

d  AB�
; BC �

.

22