bai tap nguyen ham tich phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất</b>
<b>1/ Tìm ngun hàm của các hàm số.</b>

1. f(x) = x2_{– 3x +}
<i>x</i>
1

ĐS. F(x) = <i>x</i>  <i>x</i> ln<i>x</i><i>C</i>
2

3
3

2
3

2. f(x) = 2 4₂ 3

<i>x</i>

<i>x</i>  _{ĐS. F(x) =}

<i>C</i>
<i>x</i>
<i>x</i>


 3

3

2 3

3. f(x) = 2

1

<i>x</i>
<i>x</i>

ĐS. F(x) = lnx + 1<i>_x</i> + C
4. f(x) = ( 2 ₂1)2

<i>x</i>
<i>x</i> 

ĐS. F(x) = <i>C</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>




 2 1

3
3

5. f(x) = <i>_x</i>_3 <i>_x</i>_4 <i>_x</i> ĐS. F(x) =

<i>C</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





5
4
4
3
3

2 4

5
3
4
2
3

6. f(x) = 1 ₃2

<i>x</i>

<i>x</i>  ĐS. F(x) = <i>x</i> <i>x</i> <i>C</i>
3 2

3
2

7. f(x) =

<i>x</i>
<i>x</i> ₁₎2

(  _{ĐS. F(x) =}

<i>C</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 4 ln 

8. f(x) = 3

1

<i>x</i>
<i>x</i>

ĐS. F(x) = <i>_x</i> _ <i>_x</i>3 _<i>_C</i>
2
3
5

9. f(x) = 2sin2 ₂<i>x</i>_{ĐS. F(x) = x – sinx + C}

10. f(x) = tan2_{x ĐS. F(x) = tanx – x + C}

11. f(x) = cos2_{x ĐS. F(x) =} <i>_x</i>_ _sin₂<i>_x</i>_<i>_C</i>
4

1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)2_{ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C}

13. f(x) =

<i>x</i>
<i>x</i> 2
2 _._cos

sin
1

ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
2

2 _._cos

sin
2
cos

ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =  cos3<i>x</i><i>C</i>

3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =  cos5<i>x</i> cos<i>x</i><i>C</i>

5
1

17. f(x) = ex_(ex_{– 1) ĐS. F(x) =} <i>_e</i> <i>x</i> <i>_ex</i> <i>_C</i>




2
2
1

18. f(x) = ex_{(2 +} ₎

cos2 <i>_x</i>
<i>e</i><i>x</i>

ĐS. F(x) = 2ex_{+ tanx + C}

19. f(x) = 2ax_{+ 3}x_{ĐS. F(x) =} <i>_C</i>
<i>a</i>

<i>ax</i> <i>x</i>




3
ln

3
ln
2

20. f(x) = e3x+1_{ĐS. F(x) =} <i>_e</i>3<i>x</i>1_<i>_C</i>

3
1

<b>2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng </b>

1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2_{+ x + 3}

2. f’(x) = 2 – x2_{và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =} ₁
3

2<i>x</i> <i>x</i>3 

3. f’(x) = 4 <i>x</i>  <i>x</i> và f(4) = 0 ĐS. f(x) =

3
40
2
3

8 2


 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

4. f’(x) = x - 1₂ 2

<i>x</i> và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2
3
2
1
2

2





 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>6. f’(x) = ax + </b> ₂, <i>f</i>'(1) 0, <i>f</i>(1)4, <i>f</i>(1)2

<i>x</i>
<i>b</i>

ĐS. f(x) =

2
5
1
2

2




<i>x</i>
<i>x</i>

<b>II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM</b>

<b>1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = </b><i>f</i>[<i>u</i>(<i>x</i>)].<i>u</i>'(<i>x</i>)<i>dx</i> b ng cách ằ đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) <i>dt</i> <i>u</i>'(<i>x</i>)<i>dx</i>

 I = <i>f</i>[<i>u</i>(<i>x</i>)].<i>u</i>'(<i>x</i>)<i>dx</i> <i>f</i>(<i>t</i>)<i>dt</i>

<b>BÀI TẬP</b>
<b>Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:</b>

1. (5<i>x</i> 1)<i>dx</i> _2.

_

 2 )5

3

( <i>x</i>

<i>dx</i>

3. _ 5 2<i>xdx</i> _4.



₂<i>dx_x</i>_ ₁

5. (2<i>x</i>2 1)7<i>xdx</i> 6. _(<i>x</i>3 5)4<i>x</i>2<i>dx</i> 7. <i>x</i>2 1.<i>xdx</i>

  8.

_

 <i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

5

2

9.

_



<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

3
2
2
5

3

10.



<i>_x</i>₍₁_ <i>_x</i>₎2
<i>dx</i>

11. <i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>



3
ln

12. <i>_x_ex</i>21<i>_dx</i>

.

13.sin4 <i>x</i>cos<i>xdx</i> 14.

_

_cos5<i>x_xdx</i>

sin

15. cot<i>gxdx</i> 16.

_

_cos<i>tgxdx</i>2 <i>_x</i>

17.

_

_sin<i>dx_x</i> 18.

_

_cos<i>dx_x</i> 19. <i>tgxdx</i> 20.



<i>e</i> <i>_x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>

21.

_

 3

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>e</i>
<i>dx</i>
<i>e</i>

22.

_

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>etgx</i>

2

cos 23.  1 <i>x</i> .<i>dx</i>

2 24.



 2

4 <i>x</i>
<i>dx</i>

25.<i>x</i>2 1 <i>x</i>2.<i>dx</i> 26.

_

 2

1 <i>x</i>
<i>dx</i>

27.

_

 2

2
1 <i>x</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

28.



<i>_x</i>2 _<i>_x</i>_₁
<i>dx</i>

29.__cos3<i>x</i>_sin2<i>xdx</i>

30. _<i>x</i> <i>x</i> 1.<i>dx</i> 31.

_

1

<i>x</i>

<i>e</i>
<i>dx</i>

32.

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>3 2 1.

 

<b>2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.</b>

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

<i>u</i>(<i>x</i>).<i>v</i>'(<i>x</i>)<i>dx</i><i>u</i>(<i>x</i>).<i>v</i>(<i>x</i>) <i>v</i>(<i>x</i>).<i>u</i>'(<i>x</i>)<i>dx</i>

Hay

<i>udv</i><i>uv</i> <i>vdu</i> ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

<b>Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:</b>

1. <i>x</i>.sin<i>xdx</i> 2. <i>x</i>cos<i>xdx</i> 3. (<i>x</i>2 5)sin<i>xdx</i> 4.

(<i>x</i>2 2<i>x</i>3)cos<i>xdx</i>

5. <i>x</i>sin2<i>xdx</i> 6. <i>x</i>cos2<i>xdx</i> 7. <i>x</i>.<i>exdx</i> 8. ln<i>xdx</i>

9. <i>x</i>ln<i>xdx</i> 10.ln2 <i>xdx</i> 11.



ln<i>xdx_x</i> 12.<i>e</i> <i>xdx</i>

13.

_

<i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

2

cos 14.<i>xtg</i> <i>xdx</i>

2

15.sin <i>x</i> <i>dx</i> 16.ln(<i>x</i>2 1)<i>dx</i>

17.<i>ex</i>.cos<i>xdx</i> 18.<i>x</i>3<i>ex</i>2<i>dx</i> 19.<i>x</i>ln(1<i>x</i>2)<i>dx</i> 20._2<i>xxdx</i>

21.<i>x</i>lg<i>xdx</i> 22.2<i>x</i>ln(1<i>x</i>)<i>dx</i> 23.

_

 <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
2

)
1
ln(

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>TÍCH PHÂN</b>

<b>I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:</b>

1.

1
3
0

(<i>x</i>  <i>x</i> 1)<i>dx</i>



2. 2 2

1

1 1

( )

<i>e</i>

<i>x</i> <i>x dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

  



2.

3

1

2

<i>x</i> <i>dx</i>



3.

2

1

1

<i>x</i> <i>dx</i>



4.

2

3

(2sin<i>x</i> 3<i>cosx x dx</i>)





 



5.

1

0

(<i>_ex</i> <i>_{x dx}</i>)





6.

1
3
0

(<i>x</i> <i>x x dx</i>)



7.

2

1

( <i>x</i>1)(<i>x</i> <i>x</i>1)<i>dx</i>



<b>8. </b>

2

3

1
(3sin<i>x</i> 2<i>cosx</i> )<i>dx</i>

<i>x</i>





 



9.

1

2
0

(<i>_ex</i> <i>_x</i> 1)<i>_dx</i>

 



10.

2

2 3

1

(<i>x</i> <i>x x</i> <i>x dx</i>)



11.

2

1

( <i>x</i>1)(<i>x</i> <i>x</i>1)<i>dx</i>



12.

3
3
1

x 1 dx

( ).







13.

2

2
2
-1

x.dx
x 



14.

2

e
1

7x 2 x 5_dx

x

 



15.

x 2

5
2

dx
x2 



16.

2
2
1

x 1 dx

x x x

( ).

ln






17.

2 3

3
6

x dx
x

cos .
sin







18. 4

2
0

tgx dx
x

.
cos





19.

1 x x

x x

0

e e

e e dx









20.

1 x

x x

0

e dx

e e

.







21.

2
2
1

dx
4x 8x



22.

3

x x

0

dx

e e

ln

.







23. 2

0

dx
1 sinx







24. 





1

1

2 ₁₎

2

( <i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> 25.

_

 

2

0

3 ₎

3
2
2

( <i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> 26.






2

2

)
3
(<i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i> 27.

_





4

3

2 ₄₎

(<i>x</i> <i>dx</i> 28. <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>













2

1

3
2

1
1

29.

_



2

1
3
2 ₂

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

30.

_

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
1

1

31.

_

16

1

.<i>dx</i>

<i>x</i> 32. <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>e</i>



 

2
1

7
5
2

33.

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>














8

1 33 2

1
4

<b>II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:</b>

1.

2

3 2

3

sin <i>xcos xdx</i>







2.

2

2 3

3

sin <i>xcos xdx</i>







3. 2

0

sin
1 3

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>cosx</i>







4.

4

0
<i>tgxdx</i>





4.

4

6

cot<i>gxdx</i>







5. 6

0

1 4sin<i>xcosxdx</i>






6.

1
2
0

1

<i>x x</i>  <i>dx</i>



7.

1

2

0

1

<i>x</i>  <i>x dx</i>



8.

1
3 2
0

1

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i>



9.

1 2
3

0 1

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i> 



10.

1

3 2

0

1

<i>x</i>  <i>x dx</i>



11.

2
3
1

1
1<i>dx</i>

<i>x x</i> 



12.

1
2
0

1
1<i>x</i> <i>dx</i>



13.

1
2
1

1

2 2<i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>





 

14.

1
2
0

1
1<i>dx</i>

<i>x</i> 



15.

1

2 2
0

1
(1 3 ) <i>x</i> <i>dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

16.

2
sin

4

<i>x</i>

<i>e cosxdx</i>







17.

2

4

sin

<i>cosx</i>

<i>e</i> <i>xdx</i>







18.

2

3 2

3

sin <i>xcos xdx</i>







19. 2

1
2
0

<i>x</i>

<i>e</i>  <i>xdx</i>



20.

2
sin

4

<i>x</i>

<i>e cosxdx</i>







21.

2

4

sin
<i>cosx</i>

<i>e</i> <i>xdx</i>







22. 2

1
2
0

<i>x</i>

<i>e</i>  <i>xdx</i>



23.

2

3 2

3

sin <i>xcos xdx</i>







24.

2

2 3

3

sin <i>xcos xdx</i>







25. 2

0

sin
1 3

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>cosx</i>







26.

4

0
<i>tgxdx</i>





27.
4

6

cot<i>gxdx</i>







28. 6

0

1 4sin<i>xcosxdx</i>






29.

1
2
0

1

<i>x x</i>  <i>dx</i>



30.

1

2
0

1

<i>x</i>  <i>x dx</i>



31.

1
3 2
0

1

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i>



32.

1 2
3

0 1

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i> 



33.

1

3 2

0

1

<i>x</i>  <i>x dx</i>



34.

2
3

1

1
1<i>dx</i>

<i>x x</i> 



35.

1

1 ln
<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>




36.

1

sin(ln )
<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>

<i>x</i>



37.

1

1 3ln ln
<i>e</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>





38.

2ln 1

1

<i>e_e</i> <i>x</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>





39.

2
2

1 ln
ln
<i>e</i>

<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i> <i>x</i>




40.

2
2

1
(1 ln )
<i>e</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>cos</i>  <i>x</i>



41.

2

11 1

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
 



42.

1

0 2 1
<i>x</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>



43.
1

0

1

<i>x x</i> <i>dx</i>



44.

1

0

1

1 <i>dx</i>

<i>x</i>  <i>x</i>



45.

1

0

1

1 <i>dx</i>

<i>x</i>  <i>x</i>



46.

3

1

1

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>





46.

1

1 ln
<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>




47.

1

sin(ln )
<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>



48.

1

1 3ln ln
<i>e</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>





49.

2ln 1

1

<i>e</i> <i>x</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>





50.

2 ₂

1 ln
ln
<i>e</i>

<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i> <i>x</i>




51.

2
2

1
(1 ln )
<i>e</i>

<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>cos</i>  <i>x</i>



52.

1

2 3
0

5

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i>



53.

_

_

2
4
0

sin <i>x</i> 1 cos<i>xdx</i>







126. 



3
2

5 <i>x</i> <i>x</i>2 4
<i>dx</i>

54.

4

2
0

4



<i>x dx</i>



55.

4

2
0

4



<i>x dx</i>



56.

1

2

0

1

<i>dx</i>

<i>x</i>





57. <i>e</i> <i>x</i> <i>dx</i>






0

1
3

2 

58.

_



1

0

<i>dx</i>

<i>e</i> <i>x</i> _59.

1

3
0

x _dx

(2x 1)



60.

1
0

x dx
2x 1



61.

1
0

x 1 xdx



62.

1

2
0

4x 11 dx

x 5x 6


 



63.

1
2
0

2x 5 dx

x 4x 4


 



64.

3 3

2
0

x _dx

x 2x 1



65.6 6 6

0

(sin x cos x)dx







66.2 3

0

4sin x dx
1 cosx







67.

4
2

0

1 sin 2xdx
cos x






68.

2
4
0

cos 2xdx





69.

2

6

1 sin2x cos2xdx
sin x cosx





 





70.

1
x
0

1 dx
e 1



. 71.4(cos <i>x</i> sin <i>x</i>)<i>dx</i>

0

4
4

 



72._



4

01 2sin2
2
cos



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _73.





2

02cos3 1
3
sin



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _74.




2

05 2sin
cos



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>  _75. 0

2
2

2 2
2 3

<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>





 

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1
2

1 2 5

<i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>





 

77. 2 3 2
0

cos xsin xdx





78.

2
5
0

cos xdx





79.

4

2
0

sin 4x dx
1 cos x







80.

1

3 2

0

x 1 x dx



81. 2 2 3

0

sin 2x(1 sin x) dx







82.

4
4
0

1 dx
cos x





83.

e
1

1 ln xdx
x





84.4

0

1 dx
cosx





85.

e 2

1

1 ln xdx
x





86.

1

5 3 6

0

x (1 x ) dx



87.

6

2
0

cosx _dx

6 5sin x sin x



 



88.

3 4

0

tg x dx
cos2x



89.4

0

cos sin

3 sin 2

<i>x</i> <i>_{x dx}</i>

<i>x</i>








90. 



2

0 cos2 4sin2

2
sin


<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

91. 


 

5
ln

3

ln <i>ex</i> 2<i>e</i> <i>x</i> 3

<i>dx</i>

92._



2

0(2 sin )2
2
sin



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _93.



3

4
2
sin

)
ln(





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>tgx</i>

94. _{ }4

0

8 ₎
1

(



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>tg</i> 95. 




2

4 1 sin2
cos
sin





<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

96._




2

0 1 3cos

sin
2

sin



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> _97.




2

0 1 cos

cos
2
sin



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> _98.

 

2
0

sin _cos ₎_cos
(



<i>xdx</i>
<i>x</i>

<i>e</i> <i>x</i> 99. _




2

11 1

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

100.

 

<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
1

ln
ln
3

1 _101.





4
0

2
2

sin
1

sin
2
1



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

102.

1

2
0

1 x dx



103.

1
2
0

1 dx

1 x



104.

1

2
0

1 _dx

4 x



105.

1
2
0

1 _dx

x  x 1



106.

1

4 2

0

x _dx

x x 1



107.2

0

1

1 cos<i>x</i> sin<i>xdx</i>



 



108.

2
2
2

2
0

x _dx

1 x



109.

2

2 2

1

x 4 x dx



110.

2
3

2
2

1 _dx

x x 1



111.

3 2

2

1

9 3x dx
x





112.

1

5
0

1

(1 <i>xx dx</i>)






113.

2
2
2

3

1

1<i>dx</i>

<i>x x</i> 



114. 2

0

cos
7 cos2

<i>x</i> <i>_dx</i>
<i>x</i>







115.

1 4

6
0

1

1 <i>x dxx</i>






116. 2

0

cos
1 cos

<i>x</i> <i>_dx</i>
<i>x</i>






117. 






0

1<i>x</i>2 2<i>x</i> 2

<i>dx</i>

118. 




1

01 1 3<i>x</i>

<i>dx</i>

119. _




2

1 5

1

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>  _120. 8

2
3

1
1<i>dx</i>

<i>x x</i> 



121.

7 3

3 2

0 1

<i>x</i> <i>_dx</i>
<i>x</i>





122.

3

5 2

0

1

<i>x</i> <i>x dx</i>



123.

ln2
x
0

1 _dx

e 2



124.

7
3
3
0

1

3 1

<i>x</i> <i>_dx</i>
<i>x</i>






125.

2
2 3
0

1

<i>x x</i>  <i>dx</i>



<b>II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:</b>

Cơng thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

<i>b</i> <i>b</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>x</i> <i>d</i> <i>u x v x</i>  <i>v x u x dx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv</b></i>

@ Dạng 1

sin
( )

<i>ax</i>

<i>ax</i>
<i>f x cosax dx</i>

<i>e</i>




 

 

 

 

 



Đặt

( ) '( )

sin sin

cos

<i>ax</i> <i>ax</i>

<i>u</i> <i>f x</i> <i>du</i> <i>f x dx</i>

<i>ax</i> <i>ax</i>

<i>dv</i> <i>ax dx</i> <i>v</i> <i>cosax dx</i>

<i>e</i> <i>e</i>

 

 

 

   

 



     

 

     

     

   

 



@ Dạng 2: <i>f x</i>( ) ln( )<i>ax dx</i>






<i><b> </b></i> <i><b> </b></i>Đặt ln( )_{( )}

( )

<i>dx</i>
<i>du</i>

<i>u</i> <i>ax</i> <i>_x</i>

<i>dv</i> <i>f x dx</i>

<i>v</i> <i>f x dx</i>





 



 



 _{ }





@ Dạng 3: ._sin _

 



<i>eax</i> <i>_cosaxax</i> <i>dx</i>




Đặt

ax ax

sin sin

cos

<i>u e</i> <i>du ae dx</i>

<i>ax</i> <i>ax</i>

<i>dv</i> <i>dx</i> <i>v</i> <i>dx</i>

<i>ax</i> <i>cosax</i>

   

 



   

 

_ _  _ _

 

   

 



Ví dụ<i><b> 1</b></i>: tính các tích phân sau

a/

1 2
2
0( 1)

<i>x</i>

<i>x e</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>



đặt

2

2

( 1)
<i>x</i>

<i>u x e</i>
<i>dx</i>
<i>dv</i>

<i>x</i>
 





 _



b/

3 8
4 3
2( 1)

<i>x dx</i>
<i>x</i> 



đặt

5
3
4 3

( 1)

<i>u x</i>
<i>x dx</i>
<i>dv</i>

<i>x</i>
 









c/

1 1 2 2 1 1 2

1 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1

(1 ) (1 ) 1 (1 )

<i>dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> <i>x dx</i>

<i>dx</i> <i>I</i> <i>I</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

    

   









Tính I1
1

2
01

<i>dx</i>
<i>x</i>






bằng phương pháp đởi biến số
Tính I2 =

1 2
2 2
0(1 )

<i>x dx</i>
<i>x</i>




bằng phương pháp từng phần : đặt

2 2

(1 )

<i>u x</i>
<i>x</i>

<i>dv</i> <i>dx</i>

<i>x</i>







 _



<b>Bài tập</b>

1.

3
3
1

ln

<i>e</i>

<i>x</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>



2.

1

ln

<i>e</i>

<i>x</i> <i>xdx</i>



3.

1

2
0

ln( 1)

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i>



4. 2

1

ln

<i>e</i>

<i>x</i> <i>xdx</i>



5.

3
3
1

ln

<i>e</i>

<i>x</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>



6.

1

ln

<i>e</i>

<i>x</i> <i>xdx</i>



7.

1

2
0

ln( 1)

<i>x</i> <i>x</i>  <i>dx</i>



8. 2

1

ln

<i>e</i>

<i>x</i> <i>xdx</i>



9. 2

0

(<i>x c</i>osx)sinx<i>dx</i>







10. ₁

1
( ) ln

<i>e</i>

<i>x</i> <i>xdx</i>

<i>x</i>




11.

2
2
1

ln(<i>x</i> <i>x dx</i>)



12.

3

2
4

tan

<i>x</i> <i>xdx</i>







13.

2
5
1

ln

<i>x</i>

<i>_dx</i>

<i>x</i>



14.

2
0

cos

<i>x</i>

<i>xdx</i>





15.

1
0

<i>x</i>

<i>xe dx</i>



16.

2
0

cos

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>xdx</i>





</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1)

_

1

0
3
.<i>e</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i>

2)




2
0
cos
)
1
(

<i>xdx</i>

<i>x</i> 3)

_


6
0
3
sin
)
2
(

<i>xdx</i>
<i>x</i> 4)



2
0
2
sin
.

<i>xdx</i>

<i>x</i>

5)

_

<i>e</i>

<i>xdx</i>
<i>x</i>

1

ln 6)

_



<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

1

2_)._ln _.

1

( 7)

_

3

1

.
ln
.

4<i>x</i> <i>xdx</i> 8)




1
0
2_).
3
ln(

. <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i> 9)

_


2

1

2 ₁_). _.

(<i>x</i> <i>ex</i> <i>dx</i> ₁₀₎





0

.
cos
. <i>xdx</i>
<i>x</i>
11)



2

0

2_._cos _.



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 12)

_


2

0

2 ₂ _)._sin _.

(

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
13)
2
5
1
ln xdx
x



14) 2 2

0

x cos xdx





15)

1
x
0

e sin xdx



16)

2
0
sin xdx





17)
e
2
1

x ln xdx



18) 3

2
0

x sin xdx
cos x






19) 0 2

xsin x cos xdx





20)4 2
0

x(2 cos x 1)dx






21)
2
2
1
ln(1 x)dx
x




22)

1

2 2x
0

(x 1) e dx



23)

e

2
1

(x ln x) dx



24)2

0

cosx.ln(1 cosx)dx







25) 2
1
ln
( 1)
<i>e</i>
<i>e</i>
<i>x dx</i>
<i>x</i>



26)

1
2
0

<i>xtg xdx</i>



27) _ 

1
0

2
)
2

(<i>x</i> <i>e</i> <i>xdx</i>

28)
 
1
0
2₎
1

ln( <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i> 29) 

<i>e</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1
ln
30)
 
2

0

3 ₎_sin
cos

(



<i>xdx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 31)

  
2
0
)
1
ln(
)
7
2

( <i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> 32) _ 

3
2

2 ₎

ln(<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i>

<b>III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:</b>

1.

_






5

3

2 ₃ ₂

1
2
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2.

_



<i>b</i>
<i>a</i>
<i>dx</i>

<i>b</i>
<i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i> )( )

(
1

3.

_




1
0
3
1
1
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
4. <i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



_
1
0

2
3
1
1

5.

_


1
0
3
2
)
1
3

( <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>

6.

_




1

0

2

2₍ ₃₎
)

2
(

1 <i>_dx</i>

<i>x</i>

<i>x</i> 7.






2
1
2008
2008
)
1
(
1
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
8.

_

  




0
1
2
2
3
2
3
9
9
6
2
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

9.

_


3
2
2
2
4
)
1

(<i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>

10.

_



1
0
2
3
2
)
1

( <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

11.

_




2
1
2
4

2
)
2
3
(
3 <i>_dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

12.

_


2
1
4₎
1
(
1 <i>_dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
13.

_


2
0
2
4
1 <i>_dx</i>

<i>x</i> 14.





1

0
4
1 <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>

15. <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>



_ _

2

0

2 ₂ ₂

1
16.



_
1
0
3
2₎

1

( <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>
17.

_



4
2
2
3 ₂
1
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 18.



 



3
2
3
2
2
3
3
3
3

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

19.

_



2
1
4
2
1
1
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

20.

_


1
0
3
1
1 <i>_dx</i>
<i>x</i>
21.

_





1
0
6
4
5
6
1
2<i>_dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
22.

_



1
0
2
4
1
2 <i>_dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

23.

_

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

25.

1
2

0

1

<i>dx</i>

<i>x</i>

 

<i>x</i>



26.

_



3
2 1
2<i>_dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

27.

_

<i>_xx</i> <i>dx</i>









1
0
3
1
2
2
28.














0
1
1
2
1
2
2
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

29. <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>













2
0
1
2
1
3

30. <i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



_ 
1
0
2

3
3
2

31. <i>x</i> <i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>















0
1
2
1
2
1
1

32. <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>














1
0
2
1
1
2
2

33.

_




1

0

2 ₄<i>_x</i> ₃
<i>x</i>

<i>dx</i>

<b>IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:</b>

1. 2 <i>_x</i> 4 <i>_xdx</i>
0
2 _cos
sin




2.



2
0
3
2 _cos
sin

<i>xdx</i>

<i>x</i> 3.

_

<i>x</i> <i>xdx</i>

2
0
5
4 _cos

sin

4.




2
0
3
3 _cos ₎

(sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
5.




2
0
4
4 _cos ₎

(sin
2
cos

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 6.

_

 

2

0

2
2 _sin _cos _cos ₎

sin
2
(

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 7.



2
3
sin
1


<i>dx</i>
<i>x</i>
8.



 
2
0

4
4
10

10 _cos _cos _sin ₎

(sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 9.

_


2

0 2 cos



<i>x</i>

<i>dx</i> _10.



_

2

0 2 sin

1

<i>dx</i>
<i>x</i>
11.



_
2
0
2
3
cos
1
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i> _12.



3
6

4 _._cos

sin



 <i>x</i> <i>x</i>

<i>dx</i>
13.



_ _
4
0
2
2 ₂_sin _cos _cos

sin

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i> _14.



_
2

01 cos

cos

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
15.



_
2

0 2 cos

cos

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i> _16.



_
2

0 2 sin

sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i> _17.



_
2
0
3
cos
1
cos

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i> _18.



_ _
2

0sin cos 1

1



<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

19.

_


2
3
2
)
cos
1
(
cos

 <i>x</i>
<i>xdx</i>

20.

_

  



2
2
3
cos
2
sin
1
cos
sin


<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

21.

_

4

0
3



<i>xdx</i>

<i>tg</i> 22.



<i>g</i> <i>xdx</i>

4

6
3
cot



23.

_

3
4
4


<i>xdx</i>

<i>tg</i> 24.

_


4
01
1

<i>dx</i>

<i>tgx</i> 25.





4
0 ₎
4
cos(

cos


<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i>
26.



_ _
2

0 4sin 5cos 5

6
cos
7
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

27.

_




2

0

sin

1 <i>xdx</i> 28.

_




4

0 2sin 3cos 13


<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i> _29.



_
4
0
4
3
cos
1
sin
4

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _30.



 _

2

0 sin cos

2
sin
2
cos
1

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

31.

_


2

01 cos

3
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _32.



_
2
4
sin
2
sin


 <i>x</i> <i>x</i>

<i>dx</i>

33.

_

4

0
2
3
cos
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i> _34.




2
0
3
2 ₎
sin

1
(
2
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

35.

_



0

sin

cos<i>x</i> <i>xdx</i> 36.

_



3
3
3 3
sin
sin
sin


<i>dx</i>
<i>xtgx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
37.



_ _
2

01 sin cos


<i>x</i>
<i>x</i>
<i>dx</i> _38.



_
2

0 2sin 1



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

39.

_

2

4

5
3 _sin

cos





<i>xdx</i>

<i>x</i> 40.



_

4

0

2

cos
1

4
sin



<i>x</i>

<i>xdx</i> _41.



_

2

05sin 3



<i>x</i>

<i>dx</i> _2.



6

6

4 _cos

sin



 <i>x</i> <i>x</i>

<i>dx</i>

43.

_


3

6sin sin( 6)



 <i>x</i> <i>x</i> 

<i>dx</i>

44.

_


3

4sin cos( 4)



 <i>x</i> <i>x</i> 

<i>dx</i>

45.

_

3

4
6
2

cos

sin



 <i>x</i>

<i>xdx</i>

46.

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>tgxtg</i> )
6
(

3

6










47.



_

3

0

3

)
cos
(sin

sin
4



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>xdx</i> _48.

_

 

0

2

2

)
sin
2
(

2
sin

 <i>x</i>

<i>x</i>

49.



2

0
3

sin



<i>dx</i>

<i>x</i> 50.

_

2

0

2_cos



<i>xdx</i>
<i>x</i>

51.





2

0

1
2

.
2
sin



<i>dx</i>
<i>e</i>

<i>x</i> <i>x</i> 52. <i>_e</i> <i>_dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>



_

2

01 cos

sin
1



53.

_


4

6

2
cot

4
sin
3
sin





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>g</i>
<i>tgx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

54.



_ _

2

0

2 ₅_sin ₆

sin
2
sin



<i>x</i>

<i>x</i>

<i>xdx</i>

55.

_

2

1

)

cos(ln<i>x</i> <i>dx</i> 56.

_

3
6

2

cos
)
ln(sin





<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

57. <i>_x</i> <i>_x_dx</i>





2

0

2

cos
)
1
2
(



58.





0

2
cos

sin<i>x</i> <i>xdx</i>
<i>x</i>

59.



4

0
2



<i>xdx</i>

<i>xtg</i> 60.





0

2
2 _sin <i>_xdx</i>
<i>e</i> <i>x</i>

61.

_

2

0

3
sin2 _sin _cos



<i>xdx</i>
<i>x</i>

<i>e</i> <i>x</i> 62.





4

0

)
1

ln(



<i>dx</i>
<i>tgx</i>

63.



_

4

0

2

)
cos
2
(sin



<i>x</i>
<i>x</i>

<i>dx</i> _64.



_  _

2

0

2 ₎

cos
2
)(
sin

1
(

cos
)
sin
1
(



<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> _65.

2

2

sin 2 sin 7





<i>x</i>

<i>xdx</i>





66.

2

4 4

0

cos (sin



cos )



<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x dx</i>



67.

2 ₃

0

4sin

1 cos





<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>



68.

_



2

2

3
cos
.
5
cos





<i>xdx</i>
<i>x</i>

69.

_



2

2

2
sin
.
7
sin





<i>xdx</i>

<i>x</i> 70.



4

0

cos
2
sin



<i>xdx</i>

<i>x</i>  _71.



4

0
2

sin



<i>xdx</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>



<i>b</i>

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>

<i>R</i>( , ( )) <i><b>Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: </b></i>

+) R(x,

<i>x</i>
<i>a</i>

<i>x</i>
<i>a</i>

_{) Đặt x = a cos2t, t} _]
2
;
0
[

+) R(x, <i>_a</i>2 <i>_x</i>2

) Đặt x = <i>a</i>sin<i>t</i> hoặc x = <i>a</i>cos<i>t</i>

+) R(x, <i>n</i>

<i>d</i>
<i>cx</i>

<i>b</i>
<i>ax</i>

) Đặt t = <i>n</i>

<i>d</i>
<i>cx</i>

<i>b</i>
<i>ax</i>




+) R(x, f(x)) =




  

<i>b</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>ax</i> ₎ 2

(

1

Víi (<i>x</i>2<i>x</i>)’ = k(ax+b)

Khi đó đặt t = <i>x</i>2<i>x</i>_{, hoặc đặt t =}
<i>b</i>
<i>ax</i>

1

+) R(x, 2 2

<i>x</i>

<i>a</i> ) Đặt x = <i>atgt</i> , t ]

2
;
2
[  


+) R(x, <i>_x</i>2 <i>_a</i>2

 ) §Ỉt x =

<i>x</i>
<i>a</i>

cos , t

[

;0

\]

{

₂

}







+) R



n1 _x n2 _x ni _x



; ;...; Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)

Đặt x = tk

Bi tp vn dụng
1.

_



3
2

5 <i>x</i> <i>x</i>2 4
<i>dx</i>

2.



_

2

3

2 <i>x</i> <i>x</i>2 1
<i>dx</i>

3.

_

   

2
1

2

1(2<i>x</i> 3) 4<i>x</i>2 12<i>x</i> 5
<i>dx</i>

4.

_



2

1 <i>x</i> <i>x</i>3 1
<i>dx</i>

5.

_


2

1

2 ₂₀₀₈<i>_dx</i>

<i>x</i> 6.

_



2

1 <i>x</i>2 2008
<i>dx</i>

7.

_



1

0

2
2 ₁ <i>_x</i> <i>_dx</i>

<i>x</i> 8.

_



1

0

3
2₎
1

( <i>x</i> <i>dx</i>

9.

_




3

1 2 2
2

1
1

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

10.



_

2
2

0 1

1

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _11.

_



1

0 (1 <i>x</i>2)3
<i>dx</i>

12.

_



2
2

0 (1 <i>x</i>2)3
<i>dx</i>

13.

_



1

0

2

1 <i>x</i> <i>dx</i> 14.




2

2

0 2

2

1 <i>x</i>
<i>dx</i>

<i>x</i> _15.



_

2

0 7 cos2

cos



<i>x</i>

<i>xdx</i> _16.





2

0

2

cos
cos

sin



<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

17.




2

0 2 cos2

cos



<i>x</i>

<i>xdx</i> _18.



_ 

2

0 1 3cos

sin
2
sin



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> _19.




7

0 3 2
3

1 <i>x</i>
<i>dx</i>

<i>x</i>

20.

_



3

0

2
3 ₁₀ <i>_x</i> <i>_dx</i>
<i>x</i>

21.

_



1

0 2<i>x</i> 1
<i>xdx</i>

22.

_




1

0 2

3
1
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

23.

_



7

2 2<i>x</i> 1 1
<i>dx</i>

24.

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





1

0

8

15 ₁ ₃

25.





2

0

5
6₁ _cos3 _sin _cos



<i>xdx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 26.



_

3
ln

0 <i>ex</i> 1
<i>dx</i>

27.

_

   

1

11 <i>x</i> <i>x</i>2 1
<i>dx</i>

28.



_

2
ln

0
2

1
<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

29.



 

1

4
5

2 ₈

4

12<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i>_30.





<i>e</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
1

ln
ln
3
1

31.

_

<i>x</i>  <i>x</i> <i>xdx</i>
4

0

2
3 ₂

32.






3

0 2

3
5

1 <i>x</i> <i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

33.

_





0

1

3

2 ₁₎

(<i>e</i> <i>x</i> <i>dx</i>

<i>x</i> <i>x</i> _34.



_

3
ln

2
ln

2

1
ln
ln

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

35.




3

0

2
2

cos
3
2
cos

2
cos



<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>tgx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

36.

_



2
ln

0 ( <i>x</i> 1)3

<i>x</i>

<i>e</i>
<i>dx</i>
<i>e</i>

37.



_

3

0 2 cos2

cos



<i>x</i>

<i>xdx</i> _38.




2

0 1 cos2

cos



<i>x</i>

<i>xdx</i> _39. <i>_dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>



_

7

0 3 3
2

40.





<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
2

0

2
2

<b>VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:</b>

<i><b>Bài toán mở đầu</b></i>: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

_



_

 



<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>

0

)]
(
)
(
[

)

(

VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn

[-2
3
;
2
3 

] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 2cos2<i>x</i>,

TÝnh:

_



2
3

2
3

)
(





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>

+) TÝnh

_

 


1

1

2
4

1
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i><b>Bài toán 1</b></i>: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:

_



<i>a</i>

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>f</i>( ) = 0.
VÝ dơ: TÝnh:

_





1

1

2₎

1

ln(<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i>

_





2

2

2

)
1
ln(
cos





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài toán 2</b></i>: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:

_



<i>a</i>

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>f</i>( ) = 2

_

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
0

)
(

VÝ dơ: TÝnh

_

  

1

1

2

4 <i>_x</i> ₁

<i>x</i>
<i>dx</i>

<i>x</i> 2

2

2

cos

4 sin









<i>x</i>

<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>





<i><b>Bài toán 3</b></i>: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

_



_





<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i> <i>dx</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>dx</i>
<i>b</i>

<i>x</i>
<i>f</i>

0
)
(
1

)
(

(1b>0, a)

Ví dụ: Tính:



3

3
2

2
1

1
<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

2

2

1

5
cos
3
sin
sin

<i>dx</i>
<i>e</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài toán 4</b></i>: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;

2

], thì







2

0
2

0

)
(cos
)

(sin




</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

VÝ dô: TÝnh



_

2

0

2009
2009

2009

cos
sin

sin



<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>



_

2

0 sin cos

sin



<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài toán 5</b></i>: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:

_



_





0
0

)
(sin
2

)

(sin<i>x</i> <i>dx</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>dx</i>
<i>xf</i>

Ví dụ: Tính



01 sin
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>



02 cos
sin

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i><b>Bài toán 6</b></i>:



  

_

<i>b</i>

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>f</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>f</i>( ) ( ) 

_

 

_

<i>b</i>
<i>b</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>f</i>

0
0

)
(
)

(

VÝ dụ: Tính



0

2
cos
1

sin
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

4

0

)
1
ln(
4
sin

<i>dx</i>

<i>tgx</i>
<i>x</i>

<i><b>Bài toán 7</b></i>: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:

_



_

<i>T</i> <i>T</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>

0
)
(
)

( 

_



_

<i>T</i>
<i>nT</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>
<i>f</i>
<i>n</i>
<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>f</i>

0
0

)
(
)

(

VÝ dô: TÝnh

_



2008

0

2
cos

1 <i>xdx</i>

<b>Các bài tập áp dụng:</b>

1.



1

1

2
2
1

1

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 2.

4

4

4
3
5
7

cos

1

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

3.

_

  

1

1

2₎

1
)(
1

( <i>e</i> <i>x</i>

<i>dx</i>

<i>x</i>

4.

_

 


2

2

2

sin
4

cos





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

5.

_

 


2

1

2
1

)
1
1
ln(
2

cos <i>dx</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> 6. sin(sinx <i>nx</i>)<i>dx</i>

2

0







7.

_

 

2
2

5

cos
1

sin





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

8. ₁ ₍₁ ₎ 1

cot

1 2

1 2











<i>ga</i>

<i>e</i>
<i>tga</i>

<i>e</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>xdx</i>

(tana>0)

<b>VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:</b>

1.

_





3

3

2 ₁<i>_dx</i>

<i>x</i> _2.

_

 

2

0

2 ₄<i>_x</i> ₃<i>_dx</i>

<i>x</i> _3.

_



1

0

<i>dx</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _4.





2

2

sin




<i>dx</i>
<i>x</i>

5.

_








<i>dx</i>
<i>x</i>
sin

1 6.

_

 

3

6

2

2 _cot ₂





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>g</i>
<i>x</i>

<i>tg</i> 7.

_

4
3

4

2
sin





<i>dx</i>

<i>x</i> 8.

_





2

0

cos

1 <i>xdx</i>

9.

_







5

2

)
2
2

(<i>x</i> <i>x</i> <i>dx</i> 10.

_



3

0

4
2<i>x</i> <i>dx</i>

11.

_




3

2

3

cos
cos

cos





<i>dx</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

12.

4
2
1

x 3x 2dx



 



13.

5
3

( x 2 x 2 )dx



  



14.

2
2

2
1

2

1

x 2dx

x

 



5.

3
x

2  4dx



16. 1 cos2xdx






17.

2

1 sin xdx






18. _<i>x</i>  <i>xdx</i>

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:</b>

<b>TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG</b>
<b>Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi </b>

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1_{, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1}

b/ Đồ thị hàm số y = ex_{+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1}

c/ Đồ thị hàm số y = x3_{- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4}

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

<b>Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi </b>

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1_{, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1}

b/ Đồ thị hàm số y = ex_{+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1}

c/ Đồ thị hàm số y = x3_{- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4}

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

<b>Bài 1</b>:<b> </b> _{Cho (p) : y = x}2_{+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng}

giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4_{- 4x}2_{+m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở}

phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau

<b>Bài 3:</b>_{Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng gii hn bi}

0

1

3

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>o</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

Có hai phần diện tích bằng nhau

<b>Bài 4:</b>_{(p): y}2_{=2x chia hình phẳng giới bởi x}2_+y2_{= 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi}

phần

<b>Bài 5:</b> Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

4
2

4
2
2

1

1

3

2

<i>a</i>

<i>ax</i>

<i>a</i>

<i>y</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>ax</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

Tỡm a din
tớch ln nht

<b>Bài 6:</b> Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2

2

x

y 4

4
x
y

4 2



 





 _



2) (H2) :

2

y x 4x 3

y x 3

   




 




3) (H3):

3x 1
y

x 1
y 0
x 0

 




 _




 



4) (H4):

2
2

y x

x y

 








5) (H5): ₂

y x
y 2 x

 



 



6) (H6):

2

y x 5 0

x y 3 0

   


  


7) (H7):

ln x
y

2 x
y 0
x e
x 1









 






8) (H8) :

2
2

y x 2x

y x 4x

  




 




9) (H9):

2 3 3

y x x

2 2

y x



  



 


</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

10) (H10):

2

y 2y x 0

x y 0

   



 

 11)

















)

(

2

:)

(

:)

(

<i>Ox</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>d</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>C</i>

12)



















1

:)

(

2

:)

(

:)

(

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>d</i>

<i>e</i>

<i>y</i>

<i>C</i>

<i>x</i>
13)















1

1

2

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

14)



















0

3

4

2
2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

15)





















0

0

2

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

16



















2
2

1

1

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

17















3

,0

,

2

2

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

18)



















<i>e</i>

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

,

1

0

,

ln

19.





















3

;

6

cos

1

;

sin

1

2
2





<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

20): y = 4x – x2_{; (p) vµ tiÕp tun cđa (p) ®i qua M(5/6,6)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

36)





















2

1

2

2

2
2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

37)















2

/2

3

/

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

38)

















1

/6

5

/

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

39)



















2

2

₃

_/2

/

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

40)















3

/3

4

/

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

41)



















1

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>y</i>

<i>e</i>

<i>y</i>

<i>x</i>
<i>Ï</i>
42)



















1

;0

6
2
2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

43)















/

/

/

sin/

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

44)





















8

4

4

2

2
2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

45)





















0

0

1

2

2

2

2

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

46)


  
0
)
( 2 2
2
2


<i>a</i>
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
47)













<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>



sin

)1

(

2
48)













2

/1

/

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

49)













2

/1

/

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

32)



















0

sin

)1

(

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

33)





















2

4

4

4

2
2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

34)















0
;
1
2
1
;
0
4 <i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
35)























<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

3

;0

0

5

2
36)















16

6

2
2
2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

37)












<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
27
27
2
2
38)















<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

4

)

4(

2
3
2
39)











10
,
10
1

0
/
log
/
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
40)













2
2

<i>x</i>

<i>ay</i>

<i>y</i>

<i>ax</i>

(a>0) 41)























<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

0

sin

2
42)















2
2
2

)1

(8

27

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

43) x2_/25+y2_{/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)}

44) Cho (p): y = x2_{và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác định k để}

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

45)

















0

3

4

2

2
3

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<b>TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY</b>
Công thức:

<b> </b><i>V</i> <i>b</i>



<i>f</i> <i>x</i>



<i>dx</i>

<i>a</i>

2

)
(



 <i>V</i> <i>b</i>



<i>f</i> <i>y</i>



<i>dy</i>

<i>a</i>

2

)
(




<b> </b>

<b>Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x</b>2_{+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0}

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
<b>Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : </b>y x;y 2 x;y 0  

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
<b>Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : </b>_{y (x 2)}2

  và y = 4

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox

b) Trục Oy

<b>Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : </b><i>_y</i> ₄ <i>_{x y x}</i>2_; 2 ₂

    .

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
<b>Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : </b> ₂1 ; 2

1 2

<i>x</i>

<i>y</i> <i>y</i>

<i>x</i>

 



Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
<b>Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x</b>2_{và y = 2x + 4}

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
<b>Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y</b>2_{= 4x và y = x}

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
<b>Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = </b> 2 2

1

.
<i>x</i>

<i>e</i>

<i>x</i> ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
<b>Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e</b>
Tính thể tích khối trịn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

<b>Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x</b> ln(1_<i>_x</i>3) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

1)













4

)2

(

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

<i>a</i> <i>_y</i>_₀ <i>_b</i>

)
(
:

)

(<i>C</i> <i>y</i><i>f</i> <i>x</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>x</i>

<i>b</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

<i>O</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>x</i>
<i>y</i>

0


<i>x</i>

<i>O</i>

)
(
:
)

(<i>C</i> <i>x</i><i>f</i> <i>y</i>
<i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

2)













4

4

,

2

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

3)





















1

,0

,0

1

1

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

4)













0

2

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

5)



















<i>e</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

;1

0

ln

.

quay quanh trôc a) 0x;

6)























1

10

3

)0

(

2

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

7)













<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

2

quay quanh trôc a) 0x;

8) Miền trong hình tròn (x 4)2 _{+ y}2_{= 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y}

9) MiÒn trong (E): 1
4
9

2
2


 <i>y</i>

<i>x</i>

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)





















1

0

;,

1

0

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>xe</i>

<i>y</i>

<i>Ï</i>

quay quanh trôc 0x;

11)



















<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i>

;
2
0

sin
cos4 4

quay quanh trôc 0x;

12)













<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

3

10

2

quay quanh trôc 0x;

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

14)














2
;0
4

4

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i> quay quanh trôc 0x;

15)





















0

;0

2

1

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

</div>

<!--links-->