Một số khó khăn và sai lầm học sinh thường gặp khi học hình học không gian và các biện pháp khắc phục
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 70 trang )
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
Đề tài:
Ơ
MỘT SỐ KHĨ KHĂN VÀ SAI LẦM THƯỜNG GẶP
KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÀ
CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC
Giáo viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Hữu Chiến
Sinh viên thực hiện : Phan Trương Minh Hiền
Lớp
: 08ST
Đà Nẵng, tháng 05/2012
-1-
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện đề tài, em đã nhận
được nhiều sự quan tâm giúp đỡ từ quý thầy cô giáo cũng
như người thân và bạn bè để hoàn thành đề tài: “Một số
khó khăn và sai lầm học sinh thường gặp khi học Hình
học khơng gian và các biện pháp khắc phục”.
Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo
Nguyễn Hữu Chiến đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em
trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Em cũng xin gửi lời
cảm ơn đến q thầy cơ trong khoa Tốn trường Đại học
Sư Phạm Đà Nẵng, quý thầy cô trong tổ Tốn trường
THPT Ngũ Hành Sơn, gia đình, bạn bè đã động viên và
tạo mọi điều kiện để em hoàn thành đề tài này
Tuy nhiên, em làm khoá luận tốt nghiệp này khơng
thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy em rất mong nhận
được những góp ý từ quý thầy cơ cũng như các bạn để đề
tài được hồn thiện hơn.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Phan Trương Minh Hiền
Lớp 08ST. Khoa Toán. Trường ĐHSP
-2-
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích của đề tài ........................................................................................ 1
3. Giả thiết khoa học .......................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu. .................................................................................... 2
6. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2
7. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
8. Đối tượng sử dụng đề tài ................................................................................ 3
9. Cấu trúc luận văn ........................................................................................... 3
NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Bộ mơn hình học khơng gian 11 ........................................................................ 4
1.1. Sơ lược về mơn hình học khơng gian ....................................................... 4
1.2. Nội dung chương trình HHKG trong sách giáo khoa hình học 11 nâng
cao ............................................................................................................................. 5
1.3. Tóm tắt lí thuyết ..................................................................................... 5
1.3.1. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan
hệ song song ....................................................................................................... 5
1.3.2. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vng góc ......... 7
2. Dạy học giải toán ......................................................................................... 10
2.1.Yêu cầu đối với lời giải toán ....................................................................... 10
2.2. Các bước của hoạt động giải toán ............................................................ 10
2.3. Về tiến trình giải tốn .................................................................................. 10
-3-
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
Chương II: MỘT SỐ KHĨ KHĂN VÀ SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1. Những khó khăn học sinh thường gặp khi học hình học khơng gian .......... 12
1.1. Khó khăn khách quan ............................................................................... 12
1.1.1. Hình học khơng gian là một bộ mơn khó .................................. 12
1.1.2. Nội dung chương trình của mơn hình học khơng gian cịn nhiều
vấn đề ............................................................................................................... 13
1.1.3. Bài tập hình học khơng gian đa dạng, phức tạp ........................ 14
1.2. Khó khăn xuất phát từ bản thân học sinh............................................. 15
1.2.1. Khó khăn từ tư tưởng học tập của các em học sinh .................. 15
1.2.2. Khó khăn trong việc nắm vững kiến thức ................................. 15
1.2.3. Những khó khăn trong việc vẽ hình và đọc hình khơng gian ... 16
1.2.3. Những khó khăn trong việc giải toán ........................................ 17
2. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi học HHKG .......................... 17
2.1. Sai lầm trong lời giải ............................................................................ 18
2.1.1. Sai lầm khi vẽ hình .................................................................... 18
2.1.2. Sai lầm về kiến thức cơ bản ...................................................... 23
2.1.3. Sai lầm về suy luận ................................................................... 26
2.1.4. Sai lầm trong trình bày .............................................................. 28
2.2. Sai lầm trong lập luận .......................................................................... 29
2.3. Lời giải chưa đầy đủ ............................................................................ 30
Chương III: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN, SAI
LẦM TRONG HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1. Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh ...................................................... 32
1.1. Xây dựng và sắp xếp hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp ............ 32
1.2. Giải toán bằng phương pháp phân tích đi lên ................................................. 35
2. Bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện kĩ năng vẽ hình khơng gian 36
2.1. Bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh ........................... 36
2.1.1. Đồ dùng dạy học ....................................................................... 36
2.1.2. Phần mềm dạy học .................................................................... 37
2.2. Nâng cao kĩ năng vẽ hình trong khơng gian ........................................ 40
3. Một số các thao tác dạy học giúp học sinh nắm vững bộ môn HHKG ....... 43
3.1. Chọn lọc kiến thức cơ bản “trọng tâm” ............................................... 43
3.2. Chọn lọc bài tập cơ bản........................................................................ 46
-4-
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
3.3. Mở rộng các bài toán phẳng vào khơng gian ....................................... 49
3.4. Đưa các bài tốn khơng gian về bài tốn phẳng .................................. 53
3.5. Phương pháp sử dụng bản đồ tư duy ................................................... 57
3.6. Phương pháp “mơ hình” ...................................................................... 59
3.7. Phương pháp “phối hợp” giữa các hình ............................................... 60
3.8. Đào tạo đội ngũ cán sự bộ môn của lớp............................................... 61
KẾT LUẬN
Các kết luận sư phạm ...................................................................................... 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 65
-5-
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
A. MỞ ĐẦU.
1. Lí do chọn đề tài
Không ngừng nâng cao chất lượng dạy học là yêu cầu xuyên suốt của
quá trình phát triển của giáo dục Việt Nam. Ngày nay cùng với sự nỗ lực của
đội ngũ các nhà sư phạm trong hệ thống giáo dục, các thầy cơ giáo giảng dạy
ở bộ mơn Tốn đã không ngừng học tập, trao dồi và đổi mới những phương
pháp dạy học để tăng hiệu quả giảng dạy ở bộ môn. Song trên thực tế, hiệu
quả giảng dạy bộ mơn Tốn mang lại chưa được như mong muốn. Các em
học sinh, vẫn cịn một bộ phận khá đơng lúng túng và bộc lộ nhiều khó khăn
khi học bộ mơn Tốn, nhất là khi học sinh chuyển qua học nội dung tốn học
có những đặc trưng địi hỏi học sinh có phương pháp tư duy mới. Hiện tượng
này ta bắt gặp phổ biến đối với học sinh khi đang học hình học phẳng chuyển
sang học mảng Hình học khơng gian (HHKG).
Qua hơn một tháng thực tập tại trường Trung học phổ thông, tôi đã cảm
nhận được một phần nào những áp lực và khó khăn, sai lầm mà các em đã gặp
phải làm hạn chế chất lượng dạy học HHKG cũng như sự cố gắng của thầy trị
để có thể vượt qua mọi khó khăn để học được và học tốt HHKG. Tơi ln trăn
trở, mong muốn góp phần tìm hiểu những khó khăn và sai lầm mà học sinh
lớp 11 thường gặp phải khi học HHKG cũng như các biện pháp khắc phục để
góp phần nâng cao chất lượng dạy học HHKG ở lớp 11.
Xuất phát từ thực tiễn trên, tôi quyết định chọn đề tài “Một số khó
khăn và sai lầm mà học sinh thường gặp khi học Hình học khơng gian và
các biện pháp khắc phục”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những khó khăn, những sai lầm phổ biến của học sinh lớp
11 khi học HHKG, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế cũng
như khắc phục những khó khăn, sai lầm của học sinh khi học HHKG nhằm
rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học bộ
môn HHKG 11 trong các trường THPT.
-6-
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
3. Giả thiết khoa học
Nếu giáo viên tốn ở trường THPT nắm bắt được những khó khăn,
những sai lầm phổ biến của học sinh khi học HHKG, đồng thời biết cách phân
tích ngun nhân từ đó có những biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế khó
khăn, sửa chữa những sai lầm này thì năng lực giải toán HHKG của học sinh
sẽ được nâng cao hơn và chất lượng giảng dạy bộ môn HHKG cũng tốt hơn.
4. Đối tượng nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu đặc điểm, nội dung chương trình và tìm hiểu thực
tế dạy học môn HHKG lớp 11 (ban nâng cao) cùng kinh nghiệm bản thân từ
đó phát hiện những khó khăn, những sai lầm học sinh thường gặp đồng thời
phân tích nguyên nhân của những khó khăn, những sai lầm đó và tìm ra biện
pháp khắc phục.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
- Tìm hiểu những khó khăn thường gặp, những sai lầm phổ biến của
học sinh khi học HHKG 11.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm hạn chế khó khăn và sửa chữa những
sai lầm cho học sinh khi học bộ môn HHKG 11.
6. Phạm vi nghiên cứu
Do một số hạn chế về vấn đề thời gian và kinh nghiệm bản thân, nên đề
tài chỉ nghiên cứu những khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp và đề xuất
các biện pháp khắc phục trong phạm vi chương trình HHKG 11 nâng cao.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu các lí luận về mặt phương pháp dạy học toán học, phương
pháp dạy học hình học, tâm lí học để phân tích nguyên nhân của những khó
khăn, sai lầm và đề ra một số biện pháp khắc phục.
7.2. Nghiên cứu thực tiễn
Tiến hành tìm hiểu về những khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp khi
học sinh học HHKG 11 thông qua các giáo viên toán ở một số trường trung
học phổ thông, kinh nghiệm học tập bộ môn HHKG của bản thân, các em học
sinh và thơng qua việc tìm hiểu các tài liệu có liên quan đến mơn học HHKG.
-7-
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
8. Đối tượng sử dụng đề tài
Đề tài này hi vọng sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên
sư phạm Toán, các giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn và học sinh THPT.
9. Cấu trúc luận văn
Khố luận gồm có ba phần:
- Phần mở đầu:
- Phần nội dung: có ba chương
+ Chương I: Cơ sở lí luận.
+ Chương II: Một số khó khăn và sai lầm thường gặp khi học
hình học khơng gian.
+ Chương III: Các biện pháp khắc phục khó khăn, sai lầm khi
học hình học khơng gian.
- Phần kết luận: Rút ra các kết luận sư phạm và đưa ra một số đề xuất.
-8-
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
B. NỘI DUNG.
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Bộ mơn hình học khơng gian 11:
1.1. Sơ lược về mơn hình học khơng gian:
HHKG là một mảng cơ bản trong chương trình tốn học nói chung,
hình học nói riêng.
Đối tượng bộ mơn là những hình khơng gian quen thuộc, gần gũi trong
cuộc sống. Ở cấp Trung học cơ sở, học sinh đã được học hình học khơng gian
qua một số hình như: hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình
cầu... và mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng nhưng chỉ ở mức độ
làm quen với hình học khơng gian. Đến lớp 11 thì các khái niệm HHKG mới
chính thức được dạy ở chương trình HHKG. HHKG lớp 11 nghiên cứu về
điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. Cơ sở của sự khác biệt giữa
HHKG và hình học phẳng chính là việc đưa thêm vào khái niệm “mặt phẳng”.
HHKG 11 cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về HHKG cụ
thể là về điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các quan hệ về vị trí tương đối của
chúng đồng thời dạy cho học sinh về quan hệ song song; quan hệ vng góc
của đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Sách giáo khoa HHKG 11
đã trình bày nội dung của không gian Ơclic ba chiều theo phương pháp tiên
đề. Bằng suy luận, giáo viên đã xây dựng các khái niệm mới và kịp cho học
sinh làm quen với việc chứng minh một số định lí của HHKG và giải một số
bài toán cơ bản của HHKG.
Được đánh giá là một mơn học có tính trừu tượng cao trong trường phổ
thơng nhưng HHKG cũng được coi là một bộ môn phong phú, sinh động và
có khả năng khơi dậy năng lực sáng tạo và bồi dưỡng về trí tưởng tượng
khơng gian cho các em học sinh.
-9-
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
1.2. Nội dung chương trình HHKG trong sách giáo khoa hình học 11 nâng
cao:
Chương trình hình học lớp 11 gồm ba chương:
Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng.
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ
song song
Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
Như vậy, học sinh được học xong hình học phẳng và chuyển qua học
HHKG từ chương II. Nội dung chương trình HHKG 11 gồm:
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ
song song
Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2: Hai đường thẳng song song.
Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Bài 4: Hai mặt phẳng song song.
Bài 5: Phép chiếu song song
Ơn tập chương II.
Chương III: Vectơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc
Bài 1: Vectơ trong khơng gian. Sự đồng phẳng của các vectơ.
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 3: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Bài 4: Hai mặt phẳng vng góc.
Bài 5: Khoảng cách
Ơn tập chương III
Bài tập ơn cuối năm
1.3. Tóm tắt lí thuyết phần HHKG 11:
1.3.1. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Quan hệ
song song
a. Các tính chất thừa nhận trong khơng gian:
* Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân
biệt cho trước.
* Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không
thẳng hàng cho trước.
- 10 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
* Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm khơng cùng nằm trên một mặt phẳng.
* Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì
chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai
mặt phẳng đó.
* Tính chất 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học
phẳng đều đúng.
* Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
b. Hai đường thẳng song song:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt: Có 3 vị trí
- Hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng song song.
- Hai đường thẳng chéo nhau.
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng
phẳng và khơng có điểm chung.
Các tính chất, định lí:
- Tính chất 1: Trong khơng gian, qua một điểm nằm ngồi một đường
thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
- Định lí: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
c. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song
với nhau nếu chúng khơng có điểm chung.
Các định lý và hệ quả:
- Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P).
- Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi
mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
+ Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó
song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
- 11 -
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
+ Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
- Định lý 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất
một mặt phẳng chứa a và song song với b.
d. Hai mặt phẳng song song:
Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng khơng có
điểm chung.
Các tính chất, định lí, hệ quả:
- Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngồi mặt phẳng có một và chỉ một
mặt phằng song song với mặt phẳng đó
+ Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy
nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với (Q).
+ Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng
thứ ba thì song song với nhau.
- Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và giao tuyến của chúng song song.
- Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
- Định lí 2 (định lí Ta – lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra
trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Định lí 3 (định lí Ta – lét đảo): Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau
a và a’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao cho:
AB
BC
CA
A' B' B' C' C' A'
Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng
song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.
1.3.2. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vng góc
a. Vectơ trong khơng gian:
Sự đồng phẳng của ba vectơ:
- Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song
song với một mặt phẳng.
- Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c với a, b không
cùng phương. Ta có: a, b , c đồng phẳng !m, n : c ma nb
- 12 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
b. Hai đường thẳng vng góc:
Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc
của chúng bằng 900.
c. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vng góc với một mặt phẳng
nếu nó vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Các tính chất, định lí:
- Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho
trước và vng góc với một đường thẳng a cho trước.
- Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng a đi qua một điểm O cho
trước và vng góc với một mặt phẳng (P) cho trước.
- Định lí 1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau
a và b nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vng góc với mặt phẳng
(P).
- Định lí 2: (Định lí ba đường vng góc)
Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng
b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là b vng
góc với hình chiều a’ của a trên (P).
Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng:
- Tính chất 1:
a) Mặt phẳng nào vng góc với một trong hai đường thẳng song song
thì cũng vng góc với đường thẳng cịn lại
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì
song song với nhau.
- Tính chất 2:
+ Đường thẳng nào vng góc với một trong hai mặt phẳng song song
thì cũng vng góc với mặt phẳng cịn lại.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì
song song với nhau.
- Tính chất 3:
+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường
thẳng nào vng góc với (P) thì cũng vng góc với a.
- 13 -
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng
đó) cùng vng góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
d. Hai mặt phẳng vng góc:
Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
Định nghĩa (hai mặt phẳng vng góc): Hai mặt phẳng gọi là vng góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
Các định lí và hệ quả:
- Định lí 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với
một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.
- Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) vng góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P), vng góc với giao tuyến của (P) và (Q)
đều vng góc với mặt phẳng (Q).
- Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vng góc với
(Q) sẽ nằm trong (P).
- Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba.
- Hệ quả 3: Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có
duy nhất một mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P).
e. Khoảng cách:
Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng d)
là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên mặt phẳng (P) (hoặc đường thẳng d)
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- 14 -
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc
chung của hai đường đó.
2. Dạy học giải toán:
2.1. Yêu cầu đối với lời giải bài tốn:
- Lời giải khơng có sai lầm: Lời giải khơng có sai sót về về kiến thức
tốn học, về suy luận và tính tốn, về hình vẽ và kí hiệu, về trình bày…
- Lập luận phải có căn cứ chính xác: Các bước trong lời giải phải có cơ
sở lí luận, nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí, tính chất, qui tắc,
cơng thức… đã được học, các giả thiết đã cho.
- Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có
thể xảy ra đối với một tình huống.
- Trình bày phải đủ, rõ ràng.
2.2. Các bước của hoạt động giải toán:
Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau:
1.Tìm hiểu bài tốn
2. Tìm kiếm, lựa chọn phương hướng giải (chương trình giải)
3. Soạn thảo lời giải.
4. Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải; đề xuất hướng giải
khác (nếu có)
2.3. Về tiến trình giải tốn:
Giải tốn là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài
tốn là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ tốn học, cần có sự
chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy, giải bài tốn
là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục
đích của bài tập. Đó là một q trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ
năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh
khi giải một bài tốn có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng qt hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển
từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và
chứa đựng tập hợp ban đầu.
- 15 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển
bài tốn ban đầu thành những bài tốn thành phần có quan hệ logic với nhau.
Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài tốn ban đầu sang một tập hợp con
của nó, rồi từ tập con đó tìm ra lời giải của bài tốn hoặc một tình huống hữu
ích cho việc giải bài toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài tốn phức
tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một,
rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài tốn đang tìm
cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên
quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài tốn, từ đó rút ra
những điều hữu ích để giải bài toán đã cho.
Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động:
“Hiểu rõ bài tốn, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình và
khảo sát lời giải đã tìm được”. Theo ơng điều quan trọng trong q trình giải
bài tốn là qua đó học sinh nảy sinh lịng say mê, khát vọng giải tốn, thu
nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo.
- 16 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KHĨ KHĂN VÀ SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1. Những khó khăn học sinh thường gặp khi học hình học khơng gian:
Ở phần này, tơi xin trình bày những khó khăn chung xun suốt cả q
trình học tập hình học không gian của các em học sinh lớp 11.
1.1. Khó khăn khách quan:
1.1.1.Hình học khơng gian là một bộ mơn khó:
Như ta đã biết, bản thân bộ mơn HHKG là một mảng khó của tốn học.
Mơn học này khó vì những lí do sau:
- Tuy đối tượng bộ mơn là những hình khơng gian quen thuộc, gần gũi
với học sinh (với bất kì hình khơng gian nào được học trong chương trình ta
đều có thể lấy ví dụ bằng những đồ vật rất quen thuộc trong cuộc sống), song
nội dung bộ môn được xây dựng theo phương pháp tiên đề. Bên cạnh đó hệ
tiên đề đưa ra vẫn chưa đầy đủ (do tính sư phạm), suy luận cịn có phần dựa
vào trực giác nhưng nhìn chung quá trình chứng minh cần đảm bảo tính chặt
chẽ, các suy luận, chứng minh phải có căn cứ. Đây là một điều rất khó đối với
học sinh.
- Nhưng điều khó hơn đối với các học sinh là phải nắm vững bộ môn.
Nghĩa là khơng chỉ phải hiểu, phải nhớ tất cả các lí thuyết đã học mà còn phải
biết các phương pháp giải tốn hình để vận dụng lí thuyết nhằm giải được một
bài tốn hình học khơng gian ở mức độ u cầu nhất định (phù hợp với mục
đích yêu cầu của chương trình). Như vậy, vẫn cịn một khoảng cách khá xa
giữa lí thuyết và thực hành.
- Mặt khác, hình học không gian là một bộ môn phong phú, sinh động,
mang nhiều tính sáng tạo (với mỗi học sinh q trình giải một bài tốn có thể
được xem là một q trình sáng tạo). Học sinh cần được giúp đỡ nhiều về trí
tưởng tượng khơng gian, óc quan sát, phán đốn và những suy luận có lí (các
phương pháp tương tự đặc biệt hóa, khái quát hóa …) mà về những mặt này,
học sinh còn chưa quen, còn bỡ ngỡ nhiều.
- 17 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
1.1.2. Nội dung, chương trình của mơn hình học khơng gian có nhiều vấn đề:
* Nội dung kiến thức:
- Cấu trúc chương trình hình học lớp 11 được chia làm ba chương,
trong đó, hình học khơng gian chiếm hai chương (chương II và chương III).
Bố cục các chương bao gồm:
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Quan hệ
song song
Chương II trình bày đại cương về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ
song song giữa chúng, thể hiện qua 5 bài và một bài ôn tập chương. Học xong
chương này học sinh cần đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng.
- Nắm vững các vị trí tương đồi giữa các đường thẳng, giữa các mặt
phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là quan hệ song song giữa
chúng.
- Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt
phẳng.
- Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình.
- Nắm vững được định nghĩa và cách vẽ ba hình khơng gian: Hình
chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt.
* Phân phối thời gian dự kiến cho chương II là 16 tiết.
Chương III: Véc tơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc.
Chương III: Bao gồm 5 bài và một bài ôn tập chương. Nội dung mà học
sinh cần đạt được sau khi học xong chương này là:
- Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vng góc và
giải một số bài tốn hình học khơng gian.
- Sử dụng được các điều kiện vng góc của đường thẳng và mặt phẳng
vào việc giải toán.
- Nắm được khái niệm và cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối
tượng trong hình học khơng gian.
* Phân phối thời gian dự kiến cho chương này là 17 tiết.
Nhận xét: Như vậy, thời gian dành cho bộ môn này là khoảng 33-35
tiết, chia đều cho 24 tuần, mỗi tuần học từ 1 đến 2 tiết. Nhìn vào thực tế ta có
thể thấy được, nội dung của mơn học thì nhiều, u cầu sau mỗi chương cũng
- 18 -
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
khá cao nhưng thời gian dành cho mơn học lại ít, số tiết trải ra cịn khá rời rạc,
do đó thời gian để rèn luyện các kĩ năng giải bài tập cũng rất hạn chế. Điều
đó gây khó khăn cho việc ghi nhớ, củng cố và khắc sâu kiến thức của các em.
* Cấu tạo chương trình:
- Chương trình học của ta được cấu tạo theo một đường thẳng, các kiến
thức chỉ được học một lần. Do đó, khơng có nhiều điều kiện để các em có thể
củng cố và khắc sâu kiến thức. Vì vậy dễ dẫn tới tình trạng học sinh học lướt,
khơng được rèn luyện nhiều về suy nghĩ logic và kĩ năng giải bài tập.
- Ta cũng có thể nhận thấy được bước chuyển khá đột ngột giữa hình
học phẳng và hình học không gian. Sự ngắt quãng này dễ dần tới ngộ nhận
nhiều chi tiết, quan hệ không gian sang các chi tiết, quan hệ trong mặt phẳng,
hay nói cách khác các em vẫn còn quá nhiều những ảnh hưởng của hình học
phẳng khi học hình học khơng gian. Điều này gây khơng ít khó khăn cho việc
tiếp cận các kiến thức của hình học khơng gian và tư duy hình khơng gian.
1.1.3.Bài tập Hình học khơng gian đa dạng, phức tạp:
- Bài tập hình học khơng gian rất đa dạng và phong phú ở nhiều mức độ
khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên, sách bài tập Hình học không
gian 11 chưa đáp ứng tốt các yêu cầu của chương trình. Những chương đầu
cịn thiếu nhiều bài tập. Mỗi khi dạy thầy cô thường phải tự soạn bài tập, điều
này dễ đi đến không thống nhất về mức độ và phương hướng.
- Các bài tập chứng minh, hay chứng minh định lí trong hình học đều
được chứng minh theo con đường lập luận logic, chứng minh suy diễn theo
công thức hằng đúng sau:
A1 ^ A2 ^ A3 … ^ An => B
Trong đó Ai hoặc là giả thiết hoặc là các tiên đề, các định lí, các mệnh đề đã
được chứng minh đúng đắn trước đó; B là mệnh đề cần chứng minh, trong khi
đó chứng minh lại dựa vào các hình vẽ trực quan. Chẳng hạn “điểm”, “đường
thẳng”, “mặt phẳng” là những khái niệm cơ bản, trừu tượng chỉ hiểu qua các
tiên đề, trong khi đó lại biểu thị chúng bằng hình ảnh vật chất: các dấu chấm
bằng phấn, bút chì, bút mực; các nét phấn, bút chì, bút mực vẽ nhờ thước; nét
phấn vẽ hình bình hành biểu diễn một phần mặt phẳng ở trên bảng … Nhiều
học sinh bị ngộ nhận đồng nhất giữa những cái trừu tượng với cái dùng để mô
- 19 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
tả trực quan chúng. Do đó, gây nên nhiều khó khăn khi học sinh giải các bài
tập HHKG.
1.2. Những khó khăn xuất phát từ bản thân học sinh:
1.2.1. Khó khăn từ tư tưởng học tập của các em học sinh:
Trong thực tế, tư tưởng của học sinh thường ngại hoặc sợ học mơn hình
học, các em thường có suy nghĩ là hình học chỉ chiếm 1/3 thời lượng chương
trình bộ mơn tốn, nên khơng ít em có chủ trưởng hi sinh mơn hình, chỉ học
đại số. Từ tư tưởng tiêu cực đó dẫn tới khi tiếp xúc với HHKG, các em
thường cảm thấy môn học này q khó, khơng thể hiểu và tiếp thu kiến thức,
do đó, các em thường né tránh, bỏ bê việc học tập bộ mơn HHKG ngay từ
đầu, vì thế các em dễ dàng mất những kiến thức căn bản về HHKG, đây là
khó khăn lớn cho những thầy cơ trực tiếp giảng dạy HHKG 11.
1.2.2. Khó khăn trong việc nắm vững kiến thức:
Trong chương trình mơn hình học phẳng, học sinh chủ yếu được học và
làm quen với hai đối tượng cơ bản là điểm và đường thẳng, tìm hiểu các mối
quan hệ liên quan như: Quan hệ giữa điểm với điểm, điểm với đường thẳng và
đường thẳng với đường thẳng. Với những mối quan hệ đơn giản, các em đã
được học trải ra trong nhiều năm, điều này là một thuận lợi lớn cho việc nắm
vững hình học phẳng của học sinh.
Tuy nhiên, khi tiếp xúc với HHKG, sự khác biệt cơ bản giữa HHKG và
hình học phẳng chính là đưa thêm vào chương trình học khái niệm mặt phẳng.
Từ đó, tạo nên nhiều mối quan hệ như:
+ Quan hệ giữa điểm với đường thẳng
+ Quan hệ giữa điểm với mặt phẳng.
+ Quan hệ giữa đường thẳng với đường thẳng
+ Quan hệ giữa đường thẳng với mặt phẳng
+ Quan hệ giữa mặt phẳng với mặt phẳng.
Điều này khiến cho môn học HHKG trở nên phức tạp, vì vậy việc nắm
vững kiến thức của bộ môn này trong thời gian hạn hẹp là điều rất khó đối với
học sinh.
- 20 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
1.2.3. Những khó khăn trong việc vẽ hình và đọc hình khơng gian:
- Trong hình học phằng, hình biểu diễn là những hình vẽ có thể biểu
diễn một cách tường minh, phản ánh trung thực hình dạng và có thể cả về
kích thước. Mọi quan hệ như quan hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song
song, quan hệ vng góc… giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách
trực quan. Do vậy, việc học hình học phẳng, học sinh thường dựa hồn tồn
vào trực quan để có thể phỏng đốn kết luận, hay tìm ra hướng giải cho một
bài tốn.
- Trong HHKG, hình không gian được biểu diễn trên mặt phẳng thông
qua các phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song hoặc là phép chiếu
vng góc (cịn gọi là các phép chiếu afin). Do vậy, hình vẽ là những hình
phẳng khơng thể phản ánh trung thực các mối quan hệ như quan hệ vng
góc, quan hệ bằng bằng nhau… của các đối tượng. Do đó, muốn vẽ hình và
đọc được hình thì học sinh khơng thể dựa hồn tồn vào trực quan, mà phải
dựa vào hệ thống qui ước kết hợp với tư duy logic, trí tưởng tượng khơng
gian.
- Mặc khác, do thói quen khi học hình học phẳng đồng thời năng lực
tưởng tượng khơng gian của các em học sinh cịn yếu nên gây nhiều khó khăn
trong việc vẽ hình, đọc hình và tìm ra những mối quan hệ dựa vào hình vẽ.
Ngồi ra, một số trường hợp hình vẽ chưa thể hiện được hết giả thiết của bài
tốn, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc tìm lời giải.
Ví dụ:
Trong hình học phẳng, cho bốn điểm A, B, C, D (với ba điểm bất kì
khơng cùng thuộc một đường thẳng). Ta tạo được tứ giác ABCD và hai
đường chéo AC và BD luôn cắt nhau tại một điểm.
Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D (với ba điểm bất kì
khơng cùng thuộc một đường thẳng). Ta phải xét hai trường hợp:
- 21 -
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
+ Trường hợp 1: Nếu A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng, ta có
được ABCD với hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại một điểm (như ở trên).
+ Trường hợp 2: Nếu A, B, C, D khơng cùng thuộc một mặt phẳng
thì ta có được tứ diện ABCD với hai đường AC và BD chéo nhau (không cắt
nhau).
Tuy nhiên, đối với học sinh, khi cho bốn điểm A, B, C, D trong
không gian, thì các em ln cho rằng chỉ xảy ra trường hợp thứ nhất.
- Bên cạnh đó, một số học sinh cịn chịu ảnh hưởng q nặng nề của
hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy
móc về độ dài, diện tích, góc… điều này cũng gây khó khăn cho việc giải tốn
HHKG.
1.2.3. Những khó khăn trong việc giải tốn:
- HHKG khá trừu tượng nên việc nắm vững các định lí là rất khó khăn
và trực giác không mang lại kết quả như trong hình học phẳng do đó nảy sinh
nhiều vấn đề trong định hướng tìm thuật giải, cách giải đối với các bài tốn
khơng gian.
- Trong các bài tốn hình học khơng gian, khi đã tìm ra được hướng
giải quyết của một bài tốn nào đó, các em thường rơi vào bế tắc cho việc
trình bày bài giải logic, chặt chẽ và hợp lí.
2. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi học HHKG:
Những khó khăn kể trên (mục 1 trên đây) là trở ngại rất lớn trong quá
trình học HHKG và nó cũng chính là ngun nhân sinh ra những sai lầm đáng
tiếc cho học sinh khi học HHKG. Những sai lầm ấy thông thường sẽ thể hiện
trong lời giải bài tập của học sinh. Việc chỉ ra những sai lầm là điều cần thiết
song điều quan trọng hơn chính là tìm ra ngun nhân của những sai lầm đó.
Sau đây là một số sai lầm và phân tích nguyên nhân của những sai lầm ấy,
đồng thời định hướng cách khắc phục những sai lầm ấy.
- 22 -
Khoá luận tốt nghiệp
Khoa Toán
2.1. Sai lầm trong lời giải:
2.1.1. Sai lầm khi vẽ hình:
Do khơng nắm vững về qui tắc vẽ hình khơng gian nên nhiều học sinh
đã mắc phải những sai lầm sau:
a. Không thể hiện đúng những nét đứt và những nét liền:
Ví dụ 1: Vẽ hình chóp S.ABCD
* Một số học sinh đã vẽ như sau:
hoặc
* Sai lầm:
- Ở hình bên trái, học sinh khơng tưởng tượng được các đoạn thẳng
AB, AD bị khuất hoặc quên vẽ các đường AB, AD là nét đứt.
- Ở hình bên phải, học sinh không nắm vững được các qui tắc vẽ hình
nên khơng vẽ các đường AS, AB, AD là những đường khuất
- Thông thường, lỗi này các em hay mắc phải khi các em mới bắt đầu
làm quen với hình khơng gian.
* Hình vẽ đúng:
Trong khơng gian, SA; AB; AD là những đường bị che khuất nên được
biểu diễn bằng các nét đứt.
- 23 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
Ví dụ 2: Vẽ tứ diện ABCD, điểm M là trung điểm của BC và N là
trung điểm của AD.
* Hình vẽ của một số học sinh
* Sai lầm:
Đoạn MN trong hình vẽ là đường khơng nhìn thấy, tuy nhiên học sinh
đã vẽ MN bằng nét liền. Sai lầm này xuất phát từ suy nghĩ của một số em cho
rằng điểm M và điểm N là những điểm nhìn thấy, nên đoạn MN cũng là đoạn
có thể nhìn thấy được.
* Hình vẽ đúng
Đường MN là đường bị che khuất, nên ta biểu diễn đường MN bằng nét
đứt.
- 24 -
Khố luận tốt nghiệp
Khoa Tốn
b. Hình vẽ thể hiện sai một số tính chất:
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, với các mặt của tứ diện là những tam giác
nhọn. Dựng AH BC.
* Một số học sinh vẽ như sau:
* Sai lầm: Các em vẫn chịu ảnh hưởng từ tư duy trực quan của hình học
phẳng, vẽ đường AH BC, tuy nhiên trong khơng gian tính chất vng góc
khơng nhất thiết phải thể hiện như hình vẽ của hình học phẳng.
* Hình vẽ đúng:
Vì tam giác ABC nhọn nên với AH là đường cao thì H nằm giữa hai
điểm B, C. Ở đây, giáo viên cần nhấn mạnh các qui tắc của biểu diễn hình
khơng gian như tính vng góc khơng nhất thiết phải thể hiện như trong hình
học phẳng.
- 25 -
