Rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thông qua việc dạy các định lý về hình học không gian 11

Khoá luận tốt nghiệp
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN ANH CHI

RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO
TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP
THƠNG QUA VIỆC DẠY CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH
HỌC KHƠNG GIAN 11

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

1

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Ngô Thị
Bích Thuỷ đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong khoa Toán
Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ,
đóng góp ý kiến quý báu để bản luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin cám ơn Phòng Thư Viện Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà
Nẵng, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có tài liệu tham khảo làm luận văn.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn những lời động viên, khích lệ tinh thần
của các bạn để tôi hoàn thành tốt luận văn này.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
2

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Anh Chi

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................1
MỤC LỤC .....................................................................................................................3
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................5
1.1 Về mục đích dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng .............................5
1.2 Về lý luận dạy học............................................................................................6
2. Mục đích đề tài ......................................................................................................7
3. Nội dung đề tài .......................................................................................................7
4. Đối tượng sử dụng đề tài........................................................................................8
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN........................................................................................8
1.1. Cơ sở lý luận .......................................................................................................8
1.1.1. Về phương diện tâm lý học .........................................................................8
1.1.2. Về bản chất xã hội của tư duy ......................................................................9
1.2. Đặc điểm của tư duy .........................................................................................10
1.3. Hai thao tác tư duy cơ bản ................................................................................11

1.3.1 Thao tác phân tích .......................................................................................12
1.3.2 Thao tác tổng hợp ........................................................................................13
1.3.3. Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp .......................14

3

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
1.3.4. Tác dụng của thao tác phân tích và tổng hợp trong dạy học Toán ............15
1.3.5. Một vài biện pháp thực hiện khi dạy định lý: ............................................16
1.4 Một số yêu cầu cơ bản khi dạy định lý Toán : ...................................................17
1.5 Các bước tiến hành khi dạy một định lý ............................................................18
CHƯƠNG II: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN
TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC DẠY CÁC ĐỊNH LÝ
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11. .................................................................................21
2.1 Dạy định lý: .......................................................................................................21
2.2.1 Dạy các định lý trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian. Quan hệ song song”.....................................................................................22
2.2.2 Dạy các định lý trong chương “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông
góc” ......................................................................................................................37
KẾT LUẬN .................................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................46

4

SVTH: Nguyễn Anh Chi

Khoá luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1 Về mục đích dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng
Cũng như tất cả các môn khoa học khác, Toán học phát sinh từ những nhu cầu
thực tế của con người: từ việc đo đạt diện tích các đám đất và dung tích các bình chậu,
từ việc tính thời gian, từ cơ học... Nó nghiên cứu một phạm trù của hiện thực khách

5

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
quan các hình dạng không gian và các quan hệ. Do đó Toán học đóng một vai trò to
lớn trong đời sống và khoa học kỹ thuật.
Toán học là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta trong việc rèn luyện phương
pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập và rèn luyện các thao tác
tư duy khi cần giải quyết một vấn đề nào đó.
Môn toán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích,
tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá... Giúp chúng ta bồi dưỡng những đức tính,
phẩm chất quí báu như tính cẩn thận, kiên trì, nhẫn nại, ý chí vượt khó...
Ở trường phổ thông, cùng với những bộ môn khoa học khác, môn Toán đã góp
phần đắt lực vào việc thực hiện mục tiêu đào tạo của ngành là: “Nâng cao chất lượng
giáo dục nhằm mục tiêu hình thành và phát triển toàn diện nhân cách XHCN của thế
hệ trẻ, đào tạo đội ngũ lao động có văn hoá, có kỷ luật và giàu tính sáng tạo, đồng bộ
về ngành nghề, phù hợp với yêu cầu phân công lao động của xã hội” ( Nghị quyết Đại
Hội Đảng lần thứ VI). Để làm được việc này thì nhà trường phổ thông phải đề ra
những mục đích cụ thể, cách đi phù hợp, thực hiện đạt yêu cầu các mục tiêu sau của

môn Toán:
- Phát triển tư duy và ngôn ngữ của học sinh thông qua việc dạy và học Toán ở
phổ thông, luyện tập cho học sinh diễn đạt bằng lời nói và lập luận của mình.
- Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống
những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, hiện đại, sát với thực tiễn Việt Nam và có
kĩ năng vận dụng các tri thức đó vào các tình huống khác nhau của đời sống, và lao
động sản xuất, vào việc học tập các môn học khác.
- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến
những kiến thức thu nhập được thành kiến thức của bản thân mình.
- Giáo dục cho học sinh về tư tưởng, đạo đức và thẩm mỹ của con người mới.
- Phát hiện và bồi dưỡng kịp thời năng lực toán cho học sinh.
1.2 Về lý luận dạy học
Dạy học là quá trình thống nhất biện chứng giữa việc dạy của thầy và việc học
của trò. Muốn nâng cao chất lượng dạy học thì chúng ta cần phải quan tâm nhiều đến
hoạt động học tập của học sinh. Điều đó đòi hỏi giáo viên phải tổ chức việc dạy toán

6

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
sao cho học sinh luôn luôn đứng trước những vấn đề mang tính toán học cần giải
quyết. Chính những tình huống có vấn đề sẽ kích thích học sinh tư duy, tích cực suy
nghĩ. Vì vậy việc rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy cho học sinh là một nhiệm
vụ quan trọng trong công tác giảng dạy của người thầy giáo.
Có thể nói việc rèn luyện và phát triển tư duy trong học sinh là một nhiệm vụ
quan trọng trong sự nghiệp giáo dục. Toán học là một môn học có tính trừu tượng cao
và mang tính hệ thống logic, tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau và tri thức sau dựa
vào tri thức trước. Nó đòi hỏi người học phải có một phương pháp tư duy khoa học.

Mặt khác, môn Toán có tiềm năng dồi dào và cũng là môi trường tốt để rèn luyện và
phát triển tư duy cho người học.
Qua quá trình nghiên cứu Sách giáo khoa Hình học 11 – Nâng cao, tôi nhận thấy
hai chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” và
chương “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” chứa nhiều yếu tố để rèn luyện
các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp.
Với những lý do trên, tôi quyết định lựa chọn đề tài: “ Rèn luyện và phát triển các
thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thông qua việc dạy các định lý về
hình học không gian 11 ( Hình học 11 – Nâng cao) trên phạm vi đại trà tác động đến
cả lớp.
2. Mục đích đề tài
Đề tài nêu lên cách rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh mà cụ thể là làm rõ
hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp, vận dụng vào việc dạy phần hình học không
gian trong chương trình toán phổ thông lớp 11 – Nâng cao.
3. Nội dung đề tài
Trong đề tài này tôi sẽ nghiên cứu các nội dung sau:
Chương I: Cơ sở lý luận
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Về phương diện tâm lý học
1.1.2. Về bản chất xã hội của tư duy
1.2. Đặc điểm của tư duy
1.3. Hai thao tác tư duy cơ bản
7

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
1.3.1. Thao tác phân tích
1.3.2. Thao tác tổng hợp

1.3.3. Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
1.3.4 Tác dụng của thao tác phân tích và tổng hợp trong dạy học toán
1.3.5 Một vài biện pháp thực hiện
1.4. Một số yêu cầu cơ bản khi dạy định lý Toán
1.5 Các bước tiến hành khi dạy một định lý.
Chương II. Rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học
sinh thông qua việc dạy các định lý về hình học không gian 11.
2.1 Dạy định lý
2.2.1 Dạy các định lý trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian. Quan hệ song song”
2.2.2 Dạy các định lý trong chương “Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông
góc”
4. Đối tượng sử dụng đề tài
Đề tài này vận dụng những điều về lý luận dạy học vào dạy hai chương: Chương II
“Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” và chương III
“Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc” trong chương trình hình học 11 – Nâng
cao để đưa ra một cách dạy thích hợp nhằm nâng cao chất lượng dạy học của bản thân
và là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên mới ra trường.

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Về phương diện tâm lý học
Theo các nhà tâm lý học thì tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc
tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính qui luật của sự vật hiện
tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.

8

SVTH: Nguyễn Anh Chi

Khoá luận tốt nghiệp
Tư duy là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Khác
với cảm giác và tri giác thì tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ có tính qui luật của sự vật, hiện tượng. Quá trình phản
ánh này mang tính gián tiếp và khái quát nảy sinh trên cơ sở hoạt động thực tiễn.
Vì vậy, trong quá trình giảng dạy của người thầy giáo, việc rèn luyện và phát
triển các thao tác tư duy cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng và rất cần thiết. Nó
sẽ giúp cho học sinh tự tìm tòi, khám phá, phát hiện ra những thuộc tính bản chất của
vấn đề thông qua sự phân tích và tổng hợp của tư duy để từ đó tìm ra các mối liên hệ
giữa các phần của nội dung bài học và giữa các môn học với nhau.
Theo kết quả nghiên cứu của các nhà tâm lý học Liên Xô ( Liên Xô cũ) và
phương tây đã chỉ ra rằng “ Tư duy không chỉ là một trong các thành phần quan trọng
của sự hoạt động hiểu biết của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát
triển có phương hướng rõ rệt thì không thể đạt được những kết quả hữu hiệu trong việc
giảng dạy hệ thống các kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo Toán học”. Vì vậy, đòi hỏi giáo
viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để rèn luyện và phát triển tư duy cho học
sinh, từ đó giúp học sinh có phương pháp tư duy khoa học khi giải quyết các vấn đề
đặt ra trong quá trình học Toán cũng như học các môn khác.
1.1.2. Về bản chất xã hội của tư duy
Cũng như mọi hiện tượng tâm lý khác, tư duy của con người mang bản chất xã
hội. Bản chất xã hội của tư duy được thể hiện ở những mặt sau:
- Mọi hành động tư duy đều dựa vào kinh nghiệm mà các thế hệ trước đã tích luỹ
được, tức là dựa vào kết quả hoạt động nhận thức mà xã hội loài người đã đạt được ở
trình độ phát triển lịch sử lúc đó.
- Quá trình tư duy được thúc đẩy bởi nhu cầu của xã hội, nghĩa là ý chí của con
người được hướng vào việc giải quyết các nhiệm vụ cấp thiết, nóng hổi của giai đoạn
lịch sử đương đại.
- Bề rộng của sự khái quát, chiều sâu của việc phát hiện ra bản chất của các sự
vật, hiện tượng được qui định không chỉ bởi những khả năng của cá nhân mà còn bởi

kết quả của hoạt động nhận thức mà loài người đã đạt được, và trí tuệ của nhiều người,
hay nói cách khác tư duy mang tính tập thể.

9

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
- Do bản chất xã hội nói trên thì giáo viên trong quá trình giảng dạy nên tạo ra
các tình huống có vấn đề để thúc đẩy nhu cầu nhận thức của học sinh, đó chính là rèn
luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Nhờ tính tập thể của tư duy mà giáo viên nên
kết hợp phương pháp làm việc theo nhóm để giờ học sôi nổi hơn và dễ dàng kích thích
tư duy của học sinh.
1.2. Đặc điểm của tư duy
Thuộc mức độ nhận thức cao – nhận thức lý tính, tư duy có các đặc điểm sau:
a) Tính “có vấn đề” của tư duy
Không phải bất cứ hoàn cảnh nào tư duy cũng xuất hiện. Trên thực tế, tư duy
chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống “có vấn đề”, tức là những
tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương
pháp cũ không đủ sức giải quyết.
Do vậy trong dạy toán cũng như trong công tác giáo dục cần phải đưa học sinh
vào “những tình huống có vấn đề”, nhưng vấn đề phải vừa sức đối với học sinh và
hướng dẫn cho học sinh tự giải quyết vấn đề đó nhờ các thao tác tư duy diễn ra trong
đầu các em.
b) Tính gián tiếp của tư duy
Tính gián tiếp của tư duy thể hiện trước hết ở việc con người sử dụng ngôn ngữ
để tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc,
công thức, quy luật, khái niệm...) vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh,
khái quát...) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng.

Trong việc giảng dạy thì giáo viên nên sử dụng những hình ảnh trực quan sinh
động để học sinh quan sát kích thích quá trình tư duy. Khi đứng trước một bài toán,
giáo viên hướng dẫn cho học sinh các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp... để từ đó
các em có kỹ năng giải quyết bài toán một cách hiệu quả và chính xác nhất.
c) Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những
dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật,
hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ nhưng có
bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù.

10

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Vận dụng đặc điểm này trong dạy học toán: trong thực tế có những bài toán mà
dữ kiện của nó “tung hoả mù” khiến học sinh thấy bối rối, thì giáo viên nên hướng dẫn
cho học sinh xác định được dữ kiện nào là trọng tâm, để từ đó có sự phân tích, tổng
hợp... những sự kiện đó để giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
Trong việc học toán cũng như các môn học khác thì những bài toán thuộc cùng
một dạng nên được tổng hợp thành một nhóm để khi đứng trước một bài toán, học sinh
biết phân tích giả thiết và vận dụng cho phù hợp.
d) Tư duy quan hệ chặc chẽ với ngôn ngữ
Tư duy và ngôn ngữ có quan hệ mật thiết với nhau. Ngôn ngữ cố định lại các
kết quả của tư duy và là phương tiện để biểu đạt các kết quả của tư duy.
Do đó, để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh thì giáo viên nên đặt ra
những câu hỏi để học sinh trả lời, nhận xét, sau đó cho học sinh phân tích, tổng hợp lại
kết quả.
Từ những đặc điểm trên đây của tư duy, ta có thể rút ra những kết luận cần thiết

trong công tác giảng dạy và giáo dục của người giáo viên như sau:
- Phải coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh. Bởi lẽ, không có khả năng
tư duy thì học sinh không học tập và rèn luyện được.
- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải đưa các em vào “tình huống có vấn
đề” và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết “tình huống có vấn đề” đó.
- Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song và thông qua việc truyền
thụ tri thức.
- Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trao dồi ngôn ngữ và rèn luyện cảm
giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ cho học sinh.
1.3. Hai thao tác tư duy cơ bản
Chúng ta biết rằng, quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết
một nhiệm vụ nhận thức nào đó, chúng ta cũng biết rằng không thể tách rời tư duy ra
khỏi tâm lý nói chung trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức. Hành động trí tuệ là
hành động tinh thần có liên quan đến quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng
tới mục đích nhận thức. Mỗi hành động trí tuệ bao hàm trong đó một loạt các thao tác
được thực hiện trong một trật tự xác định và phù hợp với những qui tắc nhất định.

11

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Sau đây ta đi tìm hiểu hai thao tác tư duy cơ bản đó là thao tác phân tích và thao tác
tổng hợp, mối quan hệ giữa hai thao tác này như thế nào? Nó có tác dụng ra sao trong
việc dạy học toán và biện pháp thực hiện như thế nào trong việc dạy và học để đạt
được kết quả tốt nhất?
1.3.1 Thao tác phân tích
Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của một sự vật hoặc hiện tượng
của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và

quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định.
Quá trình đó nhằm mục đích nghiên cứu chúng một cách đầy đủ, sâu sắc hơn và
chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật, hiện tượng.
Phân tích luôn luôn là một việc làm có yêu cầu, diễn biến theo một phương
hướng nhất định nào đó.
Ví dụ :
- Khi học sinh cần nắm một đồ vật và quan sát để nhận dạng hình học của nó, đó
là sự phân tích hành động thực tiễn.
- Khi quan sát một mô hình hình học, học sinh tách một bộ phận nào đó của hình
để xem xét, đó là sự phân tích cảm tính.
- Trong quá trình phân tích cảm tính, học sinh có thể sử dụng các biểu tượng hoặc
các tri thức hình học đã được học từ trước để có được một bài toán hình học mới, đó là
sự phân tích tiến tới hoạt động phân tích trí tuệ.
Như vậy, sự phân tích bằng hành động thực tiễn, sự phân tích cảm tính và sự
phân tích trí tuệ được thực hiện và phát triển trong mối liên hệ tương hỗ với nhau.
Nhìn chung ở học sinh trung học thì sự phân tích trí tuệ là chủ yếu.
Quá trình phát triển của sự phân tích đi từ phiến diện đến toàn diện, được thực
hiện thông qua một loạt các hình thức phân tích ngày càng phức tạp hơn đó là sự phân
tích thử, sau đó phân tích cục bộ hoặc từng phần, tiếp theo là phân tích phức hợp và
cuối cùng là sự phân tích có hệ thống.
Ví dụ 1:
- Khi dạy về “Điều kiện để hai mặt phẳng song song” ta có định lý:

12

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
“Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt

phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)”
Định lý đó được tóm tắc như sau:
a, b   P 



a, bcàõ
t nhau    P  // Q
a //  Q ; b //  Q

Ví dụ 2
- Khi dạy khái niệm “Hàm số f(x) liên tục tại điểm xo” là: Giả sử hàm số f(x) xác
định trên khoảng (a,b) và xo   a, b , hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm xo nếu:
lim f  x  f  xo 

xxo

Khi dạy khái niệm này thì cần cho học sinh phân tích để hiểu sâu sắc hơn về thế nào là
hàm số f(x) liên tục tại điểm xo, tức là:
- Hàm số phải xác định tại xo tức là tồn tại f(xo)
- lim f  x  a
xxo

- lim f  x  b
xxo

- Có đẳng thức a  b  f  xo 
Nhờ đó mà học sinh thấy được mối quan hệ giữa giới hạn của hàm số tại điểm x o và
giá trị của hàm số tại điểm xo
Sau khi cho học sinh phân tích khái niệm đó thì giáo viên đặt câu hỏi: “ Làm thế nào

để xét một hàm số có liên tục hay không?”
Lúc đó học sinh sẽ tổng hợp lại các yếu tố vừa phân tích để có câu trả lời đúng nhất.
1.3.2 Thao tác tổng hợp
Thao tác tổng hợp là một hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy, dùng trí óc
hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác
nhau đã được tách ra, nằm trong cái toàn thể.
Thao tác tổng hợp thể hiện dưới nhiều hình thức và mức độ khác nhau. Ở tiểu
học, chủ yếu học sinh tiến hành tổng hợp bằng hành động thực tiễn. Chẳng hạn từ các
bộ phận khác nhau của đồ vật, trẻ em có thể ghép lại thành nhiều hình khác nhau. Từ
việc tổng hợp hành động thực tiễn được phát triển thành tổng hợp trí tuệ và diễn ra
13

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
trong mối liên hệ tương hỗ, chặc chẽ. Ở học sinh trung học thì nhìn chung sự tổng hợp
trí tuệ là chủ yếu.
Hoạt động tổng hợp bắt đầu từ sự tổng hợp cục bộ thông qua sự chuyển hoá tiến
đến sự tổng hợp đầy đủ và cuối cùng là tổng hợp có hệ thống.
Ví dụ: Sau khi học bài “Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng”, giáo viên cho
học sinh tổng hợp lại các cách để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc?
- Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90o
- Cách 2:

a   P 

   P    Q
a   Q 


- Cách 3:

 R   Q
   P    Q
 P  //  R 

 P    Q  a

 R  a


- Cách 4:  P    R  b    P    Q
 Q   R  c 
 b, c  90o 
1.
3.3. Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập của
một quá trình thống nhất, F.Angghen viết: “Không có phân tích thì không có tổng
hợp”. Bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là
tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra thành từng phần cũng chỉ
nhằm mục đích làm bộc lộ mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích
một cái toàn thể chính là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn.
Sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể
ban đầu (tổng hợp I) – định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích ở mặt nào, khía
cạnh nào. Kết quả của sự phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn
(tổng hợp II)
Tổng hợp I – Phân tích – Tổng hợp II

14

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp có mặt trong mọi hoạt động trí tuệ, chẳng
hạn muốn so sánh hai hay nhiều đối tượng thì trước mắt phải tách từng mặt của mỗi
đối tượng (tổng hợp II), xem chúng có mặt nào giống nhau, mặt nào khác nhau.
Ví dụ 1:
- Khi học về các khái niệm thế nào là hình chóp có đáy là đa giác đều, thế nào là
hình chóp đều thì học sinh sẽ có sự phân tích hai khái niệm để thấy sự giống và khác
nhau giữa chúng.
+ Giống: đều là hình chóp
+ Khác: Hình chóp có đáy là đa giác đều chỉ có đáy là một đa giác đều còn hình
chóp đều thì có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Khi đã phân tích như vậy thì học sinh sẽ không nhầm lẫn hai khái niệm này.
Cũng như vậy, khi gặp một bài toán thì trước hết học sinh sẽ phân tích giả thiết của bài
toán; sau đó tổng hợp lại những điều đã phân tích được để tìm ra mối liên hệ giữa các
dữ kiện, từ đó có cách giải chính xác cho bài toán đó.
1.
3.4. Tác dụng của thao tác phân tích và tổng hợp trong dạy học Toán
Giúp cho học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng
lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý.
Ví dụ 1:
Khi học khái niệm hình thoi: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng
nhau”. Nếu gặp bài toán chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi thì học sinh sẽ dựa
vào các dữ kiện của bài toán để có cách chứng minh phù hợp. Cụ thể học sinh sẽ phân
tích như sau:
- Ý thứ nhất: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì có thể chứng minh một trong
ba trường hợp:

+ Có hai cặp cạnh đối song song.
+ Có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
+ Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Ý thứ hai: Có hai cạnh kề bằng nhau thì có thể chứng minh:
AB = BC hoặc AB = AD hoặc AD = DC hoặc DC = BC

15

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Từ những thuộc tính riêng lẻ đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy
đủ một đối tượng.
Đây là hai thao tác cơ bản được sử dụng để tiến hành các thao tác khác.
Ví dụ 2:
- Phân tích để thấy được sự giống và khác nhau giữa các đối tượng (hay phân tích
để so sánh các đối tượng)
Khi học về phép quay và phép vị tự học sinh sẽ phân tích để thấy sự khác nhau như
sau
Phép vị tự

Phép quay

Phép quay tâm O, góc quay φ biến M Phép vị tự tâm O tỉ số k biến M thành M’

OM  OM '
thành M’ thì ta có: 

OM , OM '  

thì ta có :
uuuur
uuuuur
OM  k.OM '

1.3.5. Mợt vài biện pháp thực hiện khi dạy định lý:
Khi dạy định lí thì giáo viên phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết
luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự
giống và khác nhau giữa các định lý gần gũi nhau.
Ví dụ 1:
- Định lý về hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba: ( hệ quả 2 sách giáo
khoa trang 107 hình học nâng cao 11)
“Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba”
- Phân tích giả thiết và kết luận bài toán:
+ Giả thiết:

 P    R
Q   R
 P    Q  

+ Kết luận:    R
- Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh:
+ Hiểu rõ giả thiết:  P   R  a   P và a   R
16

SVTH: Nguyễn Anh Chi

Khoá luận tốt nghiệp

Q   R  b  Q

và b   R

+ Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu
của bài toán, phân tích thành các trường hợp sau:
* Trường hợp 1: a   hay b  
Theo giả thiết, ta có: a   R và b   R nên    R \
* Trường hợp 2: a   và b  
Lấy điểm A ; từ điểm A kẻ đường thẳng 1 vuông góc với (R)
Do  P    R nên 1   P
Và  Q   R nên 1  Q
Vậy 1       R
Ví dụ 2:
- Phân tích để thấy sự giống và khác nhau giữa các định lý nhận biết hình bình
hành; tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau
từng đôi một, tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, tứ giác có hai
đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
1.4 Một số yêu cầu cơ bản khi dạy định lý Toán :
a) Làm cho học sinh biết cách phát hiện, dự đoán mợt định lý sắp học trước khi
chứng minh nó.
b) Làm cho học sinh biết cách chứng minh định lý : tổng hợp, qui nạp, phản
chứng…
c) Làm cho học sinh biết phát biểu định lý một cách ngắn gọn, chính xác về ngôn
ngữ cũng như nội dung và biết được dạng của định lý (điều kiện cần, đủ, cần và đủ)
d) Làm cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các định lý, định nghĩa của một
vấn đề có liên quan, tạo thành một hệ thống dấu hiệu nhận biết vấn đề đó.
Ví dụ 1 : Nhận biết một tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.

- Cách 1 :

B

góc A + góc C = 1800
hay góc B + góc D = 1800

C
A

17

O

SVTH: Nguyễn Anh Chi
D


Khoá luận tốt nghiệp

B
C

-

Cách 2:

A và B cùng nhìn CD dưới những góc bằng nhau
O
A

-

D

Cách 3:
B
A

M

MA.MB  MC.MD

O
C
D

e) Tập cho học sinh biết vận dụng những định lý đã học để giải bài toán.
f) Rèn luyện và phát triển năng lực trí tuệ của học sinh.
1.5 Các bước tiến hành khi dạy một định lý
Để đạt những yêu cầu đã đề ra khi dạy học sinh chứng minh định lý, ta nên tiến
hành theo các bước sau:
-

Bước 1: làm cho học sinh thấy được sự cần thiết của định lý sắp học. Bước này
nhằm gây hứng thú, tạo động cơ cho học sinh.
Trong sách đại số 10 nâng cao các tác giả đã nêu hai ví dụ trước khi nêu ra

định lý biến đổi tương đương nhằm tạo ra sự cần thiết cho việc học hai định lý này.

18

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Ví dụ;
+ Biến đổi một phương trình như thế nào để có một phương trình mới tương
đương.
+ Tại sao phải định rõ tương đương trên tập nào.
Để thực hiện những bước này có thể sử dụng một số biện pháp sau:
+ Giải quyết một mâu thuẫn nảy sinh:
 Tìm cực trị của một hàm số mà định nghĩa chưa thể giải quyết được.
 Các định lý về tìm giới hạn của hàm số.
+ Xét một vấn đề tổng quát hơn, hoàn chỉnh hơn so với điều kiện đã biết:
 Đã biết cách giải các phương trình bậc hai ax2  bx  0;ax2  c  0 còn
phương trình bậc hai tổng quát?
 Định lý hàm cosin là dạng tổng quát hơn định lý pitago
+ Tìm tịi và phát hiện mối liên hệ giữa các đối tượng.
 Vị trí tương đối giữa hai đường tròn phụ thuộc vào các yếu tố nào đã
biết.
 Diện tích tam giác còn được tính theo các ́u tớ cạnh và góc nào
ngoài yếu tố cạnh và đường cao mà ta đã biết.
 Mối liên hệ giữa tính liên tục và có đạo hàm tại một điểm.
+ Thử lập mệnh đề đảo của một định lý
 Định lý tales đảo trong mặt phẳng và trong không gian.
 Định lý đảo dấu tam thức.
-

Bước 2: Phát biểu và tìm lối chứng minh định lý.

+ Từ bước trên cho học sinh phát hiện, dự đoán và phát biểu thành một mệnh

đề.
+ Hướng dẫn học sinh tìm đường lối chứng minh mệnh đề trên.
-

Bước 3: Tập cho học sinh biết cách trình bày nội dung chứng minh sao cho:
+ Gọn và rõ, có luận chứng chặt chẽ, không bị lầm lẫn bởi “dễ dàng có”, “dĩ

nhiên là”…

19

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá ḷn tớt nghiệp
+ Trình bày đúng các phép chứng minh mà các em đã học như phương pháp
phản chứng, qui nạp, qui nạp hoàn toàn... Giúp các em sử dụng đúng các qui tắc
suy luận trong toán.
-

Bước 4: Tập cho học sinh nắm được một số biện pháp chủ yếu để củng cố kiến
thức:
+ Nhận dạng và thể hiện định lý tức là phải xem xét một tình huống đã cho có

ăn khớp với định lý vừa học hay không, hoặc tạo ra một tình huống phù hợp với
định lý vừa học.
Ví dụ 1:
- Sau khi học xong định lý cosin và sin có thể tạo ra cho học sinh bài tập: cho

^

ABC biết A  600 và AB = 3cm; AC = 5cm. Tính các yếu tố còn lại của tam giác.

Ví dụ 2:
- Sau khi cho học sinh nắm được định lý đảo về dấu tam thức bậc hai thì cho
bài tập: Cho f  x   3x2  7x 1  0 . Hãy so sánh các số -2, 1, 5 có là nghiệm của
phương trình trên.
+ Hoạt động ngôn ngữ:
 Phân tích cấu trúc logic hay nội dung của định lý như:
A  B;A1  A2  B;A  B1  B2...

Ví dụ:
- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng khác
thì hoặc là đường thẳng nằm trong mặt phẳng thứ nhất, hoặc là đường thẳng song song
với mặt phẳng này.
    
 / / 
Nợi dung: Nếu 
thì 
    
     

Cấu trúc: A1  A2  B1  B2
Tập cho học sinh phát biểu định lý theo những cách khác nhau mà không làm thay
đổi nội dung định lý.
Ví dụ:
- Định lý “Hai mặt phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song
với nhau” có thể phát biểu khác:

20

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Một đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt thì hai mặt phẳng
này song song với nhau.
Điều kiện đủ để hai mặt phẳng phân biệt song song với nhau là chúng cùng vuông
góc với một đường thẳng.
+ Các hoạt động củng cố khác:
 Từ định lý vừa học tập cho học sinh khái quát hóa, đặc biệt hóa, xét
mệnh đề tương tự, mệnh đề đảo, hệ thống hóa các định lý có liên quan
và vận dụng để giải toán…cũng có thể thay đổi một vài điều kiện
trong giả thiết để học sinh suy luận qua đó hiểu sâu định lý.
Ví dụ:
- Học xong định lý đảo về dấu tam thức có thể hỏi: “Tại c thuộc R mà a.f(c)>0 thì
ta có kết luận gì?”
- Học xong định lý “một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm
trong mặt phẳng (P) thì vuông góc với mặt phẳng đó” ta có thể hỏi nếu hai đường
thẳng này không cắt nhau thì sao?
- Học xong đẳng thức logx.y=logx + logy với x, y >0, có thể hỏi học sinh “nếu ta có
logab thì ta có ngay logab = loga + logb khơng? Tại sao?
Hay có thể cho học sinh mở rộng đẳng thức đến n số dương.
-

Học xong định lý “Một đường thẳng a song song với một đường thẳng b nằm
trong mặt phẳng (P) thì song song với (P) hoặc nằm trên mặt phẳng (P)” có thể
hỏi học sinh “Tại sao phải có thêm ý hoặc nằm trên (P)? muốn không có ý này
thì phải thay đổi giả thuyết như thế nào?”.

CHƯƠNG II: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƯ DUY
PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC DẠY CÁC
ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11.
2.1 Dạy định lý:
Khi dạy các định lý thì giáo viên cần tập cho học sinh phân tích giả thiết và kết
luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh và cũng nhờ sự phân tích
đó mà học sinh có thể phân biệt được sự giống nhau và khác nhau giữa các định lý gần
gũi nhau.
21

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
Hướng dẫn học sinh chứng minh định lý là giáo viên phân tích giả thiết thành dưới
dạng các câu hỏi gợi mở để từ đó kích thích quá trình tư duy của học sinh. Học sinh sẽ
đưa ra những câu trả lời tương ứng rồi tổng hợp các câu trả lời đó, học sinh có được
cách chứng minh định lý.
Sau đây ta đi sử dụng hai thao tác tư duy cơ bản là phân tích và tổng hợp vào
chứng minh một vài định lý hình học không gian 11. Áp dụng định lý vào rèn luyện và
phát triển tư duy bằng cách giải một số bài tập tương ứng.
2.2.1 Dạy các định lý trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Quan hệ song song”
1. Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ( hình học 11 nâng cao trang 53 bài
“hai đường thẳng song song”)
- Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

+ Sử dụng phương pháp tư duy phân - HS lắng nghe và trả lời các câu hỏi của
tích, giáo viên hướng dẫn học sinh phân giáo viên để từ đó tổng hợp lại cách chứng
tích giả thiết và từ đó giáo viên đặt ra minh định lý.
những câu hỏi gợi mở giúp học sinh tìm
ra hướng chứng minh định lý.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt - Học sinh tóm tắt định lý và suy nghĩ cách
chứng minh định lý.
giả thiết và kết luận.
Giả thiết:
-

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R)

-

a   P   R 

-

b   Q   R 

-

c   P    Q

Chứng minh:
a // b // c
a  b  c  I trong đó a, b, c phân biệt



22

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp

+ Hai mặt phẳng giao nhau được gì?

+ Giao của hai mặt phẳng là một đường
thẳng được gọi là giao tuyến.

+ Bây giờ ta sẽ dùng phương pháp phản
chứng để chứng minh định lý này.
+ Hai đường thẳng a và b phân biệt cùng Có hai vị trí tương đối là a // b và a cắt b
tḥc mợt mặt phẳng (R) thì có bao
nhiêu vị trí tương đối?
+ Ứng với mỗi vị trí tương đối của a và + HS suy luận chia làm ra các trường hợp,
b tìm vị trí tương đối của c đối với a và vẽ hình với mỗi trường hợp và từ đó tìm
hiểu vị trí tương đối cua c với a và b.

b.
+ Trường hợp khi a cắt b tại điểm I
( a b  I )
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình
-

(P)

Vẽ ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt

(R)

nhau.
-

a   P    Q

-

b   Q   R 

-

c   R    P

-

a b  I

a

c
b
(Q)

+ Hướng dẫn học sinh cách chứng minh
định lý.

-

I thuộc a thì I thuộc những mặt
phẳng nào?

-

I thuộc b thì I thuộc những mặt
phẳng nào?

+ I thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R)
+ I thuộc mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R)

+ Từ đó ta suy ra được I tḥc đường

+ Có vì ta có I   P  ;I   Q . Mà đường

thẳng c không? Vì sao?

thẳng c   P   Q nên I thuộc đường
thẳng c.

23

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
+ Vậy ba đường thẳng a, b, c như thế + Ba đường thẳng a, b, c đồng qui nhau tại

I (đpcm)

nào?

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh tổng chứng minh:
hợp các phân tích trên thành cách chứng Vì a  b  I
 I  a nên I   P ;I   R

minh trường hợp a cắt b .

Và I  b nên I   Q ;I   R
 I   P  ;I   Q nên I  c   P    Q
 I  a,b,c

Vậy a  b  c  I
+ Trường hợp khi a // b.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh cách vẽ
M

hình
-

(P)
a

Vẽ ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt

m

nhau.

-

a   P   R 

-

b   Q   R 

-

c   P    Q

-

a // b

(R)
c

(Q)
b

+ Sử dụng phương pháp tư duy phân
tích, giáo viên hướng dẫn học sinh phân
tích giả thiết và từ đó đưa ra hướng
chứng minh định lý.
+ Giả sử a cắt c tại K. Mà a // b thì vị trí
tương đới của c và b là gì?
+ Với K là giao điểm của a và c thì K
thuộc những mặt phẳng nào?

+ Và M là giao điểm của b và c thì M
thuộc những mặt phẳng nào?
+ Như vậy có phải KM là giao tuyến

24

+ c cắt b. Gọi M là giao điểm của c và b.
+ Mặt phẳng (R), (Q) và (P).
+ Mặt phẳng (P), (Q), (R)
+ Phải.

SVTH: Nguyễn Anh Chi


Khoá luận tốt nghiệp
chung của ba mặt phẳng (P), (Q), (R)?
+ Như vậy có đúng với giả thuyết bài + Trái giả thút suy ra vơ lý.
tốn khơng?
+ Như vậy suy ra được điều gì?

+ Ta suy ra được a / /b / /c (đpcm)

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh tổng + Chứng minh:
hợp các phân tích trên thành cách chứng Giả sử gọi K=a  c
 K   P ,  Q ,  R

minh với trường hợp a // b:

Giả sử gọi M= b c
 M   P ,  Q ,  R

 KM   P ,  Q ,  R

Vậy KM là giao tuyến chung của 3 mặt
phẳng ( trái giả thiết a // b)
Vậy a // b // c

Ví dụ 1 (sách giáo khoa trang 54): Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. Chứng minh ba
đoạn thẳng MN, PQ VÀ RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G gọi là
trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

+ Từ định lý về giao tuyến của ba mặt + Học sinh lĩnh hội ý kiến của giáo viên.
phẳng đã chứng minh ở trên. Giáo viên
hướng dẫn học sinh rèn luyện và phát
triển tư duy phân tích và tổng hợp thông
qua việc áp dụng chứng minh ba đoạn
MN, PQ VÀ RS đồng quy.

A

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình.
M

R

-

Cho tứ diện ABCD

-

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là

Q

trung điểm của các đoạn thẳng AB,

G
C

B

P
S

N
D

CD, BC, DA, AC, BD

25

SVTH: Nguyễn Anh Chi