SKKN một số giải pháp phát triển năng lực cho học sinh trong giảng dạy phần đại số tổ hợp – môn toán lớp 11

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Nhiệm vụ cấp bách đối với nền giáo dục nước ta hiện nay là đào tạo những
người lao động năng động, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả
năng đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của q trình đẩy mạnh cơng nghiệp hố hiện đại
hố gắn với phát triển nền kinh tế trí thức và xu thế tồn cầu hố. Học sinh trung học
phổ thông là những thế hệ tương lai chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất,
phát triển xã hội. Việc trang bị cho học sinh những kỹ năng, những phẩm chất của
người lao động ngay khi ngồi trên ghế nhà trường là rất quan trọng. Để thực hiện
được nhiệm vụ cấp bách đó sự nghiệp giáo dục và đào tạo cần được đổi mới. Cùng
với những thay đổi về nội dung giảng dạy, cần có những đổi mới về tư duy giáo dục
và phương pháp dạy học bộ mơn, trong đó phương pháp dạy học bộ mơn Toán là một
trong những yếu tố quan trọng, nhất là trong giai đoạn hiện nay đang đổi mới nền giáo
dục Việt Nam.
Luật Giáo dục nước ta quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát
huy tính tích cực tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho HS”. Chủ tịch Hồ Chí Minh là người có quan điểm và chiến lược vượt tầm thời
đại về giáo dục. Về mục đích việc học Bác xác định rõ học để làm việc. Còn về
phương pháp học tập Người xác định học phải đi đôi với hành, học tập suốt đời, học ở
mọi nơi, mọi lúc. Tốn học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khố" trong hầu hết các
hoạt động của con người. Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng cao với các
con số nhưng Tốn học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng nhiều
trong các lĩnh vực trong cuộc sống, là công cụ để học tập nhiều môn học khác nhau
trong trường phổ thông, là công cụ để lao động trong sản xuất và đời sống thực tiễn xã
hội.
Mặc dù có vai trị quan trọng như vậy nhưng có nhiều lý do khác nhau mà SGK

mơn Tốn phổ thơng nói chung chưa thực sự quan tâm đúng mức, chú trọng tới việc
làm rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, nhằm bồi dưỡng cho HS ý thức và
năng lực vận dụng Toán học vào việc học tập các mơn học khác, giải quyết nhiều tình
huống gặp phải trong đời sống. Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Toán ở trường THPT


2

hiện nay có nhiều GV chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lý thuyết, thiếu thực hành và
vận dụng kiến thức môn học vào thực tiễn. Nhiều HS thụ động trong việc học, thậm
chí cịn chưa nắm chắc kiến thức cơ bản chứ chưa nói đến vận dụng kiến thức môn
học vào thực tiễn.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung SGK của Bộ giáo dục
và đào tạo đã xác định rõ: “Cần dạy học theo cách sao cho HS có thể nắm vững tri
thức, kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Tạo cơ sở để HS học tiếp hoặc đi
vào cuộc sống lao động”. Như vậy, trong giảng dạy mơn Tốn nói chung và nội dung
Tổ hợp - Xác suất nói riêng, nếu muốn tăng cường rèn luyện năng lực, kỹ năng và ý
thức ứng dụng Toán học cho HS cần thiết phải mở rộng phạm vi ứng dụng mơn học,
trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt quan tâm thường xuyên góp phần
tăng cường thực hành gắn với thực tiễn cuộc sống làm cho Tốn học bớt trừu tượng
khơ khan và nhàm chán không tạo hứng thú cho học sinh. Học sinh cần biết vận dụng
kiến thức đã học để có năng lực giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và
ngược lại từ bài toán trong thực tế liên hệ với bài học.
Qua nghiên cứu chương trình SGK mơn Tốn THPT, chương Tổ hợp - Xác suất
là chương mới đối với học sinh, là nội dung khó đối khi mới bắt đầu làm quen. Cần
phải hình thành nội dung dần dần qua các VD thực tiễn. Chương này cung cấp những
kiến thức cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và lý thuyết xác suất, một lĩnh vực cơ bản của
Toán học nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống.
Đã có một số cơng trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề năng lực vận dụng Tốn
học vào thực tiễn. Đề tài của tơi dựa trên tính kế thừa, phát triển của những tác giả đi

trước góp phần làm sáng tỏ và cụ thể hóa kết quả nghiên cứu vào việc giảng dạy

mơn

Tốn

ở

trường

THPT. Việc phát triển năng

lực vận dụng kiến thức Toán học cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết
những nhiệm vụ đặt ra của HS như: Vận dụng kiến thức để
giải bài tập, tiếp thu và xây dựng tri thức cho những bài học mới hay cao nhất là vận
dụng để giải quyết những vấn đề trong thực tiễn cuộc sống của các em. Phát triển
năng lực vận dụng kiến thức Tốn học vào thực tiễn có thể giúp cho HS:
- Nắm vững kiến thức đã học để vận dụng những kiến thức giải quyết những

bài tập hay xây dựng kiến thức cho bài học mới; nắm vững kiến thức đã học, có khả
năng liên hệ, liên kết các kiến thức bởi những vấn đề thực tiễn liên quan đến kiến thức
khoa học.


3
- Vận dụng các kiến thức, kỹ năng vào trong học tập, trong cuộc sống giúp các

em học đi đôi với hành. Giúp HS xây dựng thái độ học tập đúng đắn, phương pháp
học tập chủ động, tích cực, sáng tạo; lòng ham học, ham hiểu biết; năng lực tự học.
- Hình thành cho HS kỹ năng quan sát, thu thập, phân tích và xử lý thơng tin,

hình thành phương pháp nghiên cứu khoa học; hình thành và phát triển kỹ năng
nghiên cứu thực tiễn; có tâm thế ln ln chủ động trong việc giải quyết những vấn
đề đặt ra trong thực tiễn.
- Giúp cho HS có được những hiểu biết về thế giới tự nhiên, chu kỳ hoạt động

và tác động tích cực cũng như tiêu cực đối với cuộc sống con người cũng như ảnh
hưởng của con người đến thế giới tự nhiên.
- Thông qua việc hiểu biết về thế giới tự nhiên bằng việc vận dụng kiến thức đã

học để tìm hiểu giúp các em ý thức được hoạt động của bản thân, có trách nhiệm với
chính mình, với gia đình, nhà trường và xã hội ngay trong cuộc sống hiện tại cũng như
tương lai sau này của các em.
- Đem lại niềm vui, tạo hứng thú học tập cho HS. Phát triển ở các em tính tích

cực, tự lập, sáng tạo để vượt qua khó khăn, tạo hứng thú trong học tập.
Việc bồi dưỡng và phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn cho HS
phổ thông được nhiều tác giả quan tâm. Do đó, cá nhân tơi thấy rằng việc nghiên cứu
về trong dạy học Tổ hợp - Xác suất cho HS phổ thơng là điều cần thiết.
Vì những lý do trên, tơi đã chọn đề tài: “Một số giải pháp phát triển năng lực
cho học sinh trong giảng dạy phần Đại số tổ hợp – mơn Tốn lớp 11”
Nghiên cứu về một số giải pháp phát triển năng lực học sinh trong phần giảng
dạy phần Đại số tổ hợp để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến
thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thơng minh nhất trong
việc học tốn cũng như trong cuộc sống. Trong khn khổ thời gian có hạn, chúng tôi
chỉ áp dụng đối với học sinh lớp 11 trường PT DTNT cấp 2-3 tỉnh Vĩnh Phúc trong năm
học 2020-2021 ở các lớp chuyên đề.
2. Tên sáng kiến: “Một số giải pháp phát triển năng lực cho học sinh trong

giảng dạy phần Đại số tổ hợp – môn Toán lớp 11”

3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Đặng Thi Kim Chung
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Đồng Tâm, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc.


4

- Số điện thoại: 0988.819.866E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Đặng Thi Kim Chung
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: (Nêu rõ lĩnh vực có thể áp dụng sáng kiến và vấn

đề mà sáng kiến giải quyết)
Toán học THPT
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử (ghi ngày nào sớm hơn)

Ngày 20/10/2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1. Nội dung của sáng kiến:
7.1.1. Thực trạng của việc dạy học phần Đại số tổ hợp ở trường phổ thông theo
hướng phát triển năng lực toán học.
Theo Nguyễn Cảnh Tồn có nhận xét về tình hình dạy học tốn học hiện nay:
“Dạy và học tốn tách rời cuộc sống đời thường”; Hồng Tụy cho rằng: “Kiểu cách
dạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những
bài tập ối oăm, giả tạo, khơng phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn”. Qua nghiên cứu
chương trình SGK Toán THPT chương Tổ hợp - Xác suất là hồn tồn mới đối với
HS. Đó là nội dung rất khó đối với những người mới làm quen. Cần phải hình thành
chúng dần dần qua các VD thực tiễn. Trong chương trình giáo dục phổ thơng, việc dạy
học nội dung Đại số tổ hợp phần nào đã đưa được hệ thống các bài toán thực tiễn áp
dụng kiến thức đã học để giải bài toán. Tuy vậy, việc dạy học tốn ở trường phổ thơng

hiện nay vẫn cịn coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào đời sống, năng lực vận
dụng Toán học vào thực tế của HS cịn yếu. HS chưa phát huy được khả năng chuyển
hóa tình huống thực tiễn thành bài tốn.
Những ứng dụng của Tốn học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng
như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường
xuyên. Trong các SGK mơn Tốn và các tài liệu tham khảo về mơn Toán thường chỉ
tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học; số lượng VD, bài
tập Tốn có nội dung liên mơn và thực tế để HS học và rèn luyện cịn rất ít. Một vấn
đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, các GV không
thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn
đó là kiểu dạy Tốn “xa rời cuộc sống đời thường” cần phải thay đổi.


5

7.1.2. Những thuận lợi và khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy học Tổ hợp Xác suất ở trường phổ thông theo hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào
thực tiễn
a) Về phía giáo viên
+ Tổ hợp và xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hầu hết các hệ thống bài tập là

từ thực tiễn đã được chuyển thành các bài tốn có nội dung thực tiễn.
+ GV ý thức được việc vận dụng Toán học vào thực tiễn là hết sức cần thiết trong giai

đoạn hiện nay.
+ Trong các giờ dạy lý thuyết và bài tập HS rất hứng thú với các tình huống và bài tốn

khi GV đặt vấn đề, phần lớn các bài toán đều gần gũi và thiết thực với đời sống. GV dễ
dàng tạo được khơng khí học tập sôi nổi, hào hứng qua các VD thực tế về tổ hợp và xác
suất.
+ Tổ hợp và xác suất là nội dung hay với nhiều ứng dụng trong thực tiễn đời sống. Tuy

nhiên đây là nội dung khó đối với cả người dạy và người học. Những kiến thức toán
học về tổ hợp và xác suất được đưa vào trường phổ thông mới chỉ là những kiến thức
cơ bản nhưng nếu so sánh với những loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích
phân... thì đây vẫn là phần khó. Các thầy cơ giáo cần có thời gian để đúc kết kinh
nghiệm giảng dạy phần này.
+ Nhiều GV chưa có nhiều kinh nghiệm dạy phần Tổ hợp - Xác suất. Khó khăn lớn

nhất là GV chưa được trang bị một cách hệ thống những kiến thức cơ bản để thực hiện
việc dạy học phát triển năng lực liên hệ giữa toán học với thực tiễn khi học tập ở trường
sư phạm. GV chưa được trang bị cách thức khai thác các yếu tố thực tiễn trong dạy học
toán.
+ Do áp lực về thi cử, lo sợ thiếu thời gian hoặc do ý thức của GV mà khi dạy học toán

hầu như GV chỉ lo dạy kiến thức Toán học thuần tuý mà SGK nêu ra để phục vụ cho
việc giải các bài tập tốn mà ít quan tâm đến sự liên hệ giữa kiến thức Toán học với thực
tiễn. Khi dẫn dắt để HS đi đến và nắm được kiến thức mới, có nhiều tình huống đơn
giản để GV lồng ghép kiến thức thực tế với kiến thức Toán học giúp cho HS dễ hiểu, dễ
nhớ nhưng nhiều GV lại không vận dụng. Việc đánh giá kết quả học tập mơn Tốn hiện
nay chủ yếu quan tâm mặt kiến thức thuần tuý, ít quan tâm tới việc đánh giá khả năng
vận dụng kiến thức vào các tình huống thực tiễn. Do vậy, việc dạy và học mơn Tốn
cũng chủ yếu để đáp ứng cách thức đánh giá.


6
+ GV cịn gặp khó khăn trong việc tìm những VD cụ thể minh họa việc dạy học xác

xuất theo đúng bản chất của nó. Trong dạy học để HS hiểu được các khái niệm Toán học
và giải được các bài tốn thì cần phải có một mơ hình thực tế trước khi vào mơ hình
Tốn học. Sự mập mờ ở đây dễ khiến HS có thể nghĩ rằng đang làm việc trên thực tế

nhưng thực ra thì lại đang ở trong một mơ hình tốn học.
b) Về phía học sinh
+ HS khó khăn khi tiếp cận khái niệm ngẫu nhiên. Việc học nội dung xác suất liên hệ

chặt chẽ với các kiến thức tổ hợp đã học trước, học yếu phần tổ hợp thì khơng thể học
tốt được phần xác suất.
+ Khi HS tiếp cận định nghĩa và cách xây dựng cơng thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp thì

nhiều em thấy trừu tượng khó phân biệt được sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp.
+ Khi làm bài tập HS thường nhầm lẫn giữa hai quy tắc đếm: Quy tắc cộng và quy tắc

nhân.
+ HS phần lớn vẫn cịn lung túng trong cách trình bày diễn đạt lời giải bài toán.
+ Đa số HS được hỏi đều rất hứng thú với những bài tốn có nội dung gần gũi với thực

tiễn về Tổ hợp. HS cảm thấy chủ động, tích cực hơn trong học tập, làm cho việc học trở
nên ý nghĩa hơn.
+ Thực tiễn dạy học tốn cho thấy rằng nhiều HS khơng có “vốn” về ngơn ngữ tốn học

hay nói cụ thể hơn là trình độ tốn học cịn thấp. Điều đó thể hiện qua việc không nắm
chắc cả về phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa của các thuật ngữ, ký hiệu,
công thức tốn học.
Tóm lại, HS thấy được ứng dụng rộng rãi của Tổ hợp - Xác suất nhưng chưa nắm vững
được kiến thức cơ bản để giải các bài toán tổ hợp và xác suất. HS chưa có khả năng phát
hiện, phân tích và chuyển các tình huống thực tiễn thành các dạng toán đã học.
7.1.3. Một số biện pháp dạy học Tổ hợp - Xác suất góp phần phát triển năng lực
vận dụng Toán học vào thực tiễn
7.1.3.1. Biện pháp 1: Củng cố kiến thức và kỹ năng cơ bản về Đại số tổ hợp làm cơ sở
cho HS vận dụng vào thực tiễn.
Để HS vận dụng được kiến thức tốn học vào thực tiễn thì đầu tiên GV phải dạy cho HS

nắm chắc kiến thức nền và kỹ năng về Đại số tổ hợp về cả lý thuyết và cách giải các
dạng bài tập cơ bản. Từ đó, HS được trang bị hiểu biết cần thiết để giải quyết một số bài
toán thực tiễn. Cụ thể:


7
- Trong quá trình dạy học và làm bài tập để HS nhớ lại nhanh những kiến thức cần vận

dụng thì GV có thể sử dụng máy chiếu, bảng phụ để nhắc lại những kiến thức cơ bản về
Đại số tổ hợp.
- GV cần dạy cho HS nắm vững khái niệm, định lý, quy tắc, phương pháp, cách giải các

dạng bài tập cơ bản,… Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Trong nội dung Đại số Tổ hợp cần phân biệt cho HS các khái niệm hoán vị,
chỉnh hợp và tổ hợp, cụ thể: Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử
* Mỗi một hoán vị là một bộ sắp xếp tất cả n phần tử của A
* Mỗi một chỉnh hợp là một bộ sắp xếp các phần tử của một tập con của tập A. Do đó

một hốn vị n phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập n của tập A.
* Sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập k của n và tổ hợp chập k của n
- Giống nhau: Đều là một tập con gồm k phần tử của tập A.
- Khác nhau: Mỗi một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử, kể

cả thứ tự của một tập n phần tử
Mỗi một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử không kể thứ tự
của một tập n phần tử.
Tức là muốn hình thành các chỉnh hợp chập k của n phần tử ta có thể tiến hành theo
hai bước liên tiếp:
Bước 1: Tìm tất cả các tổ hợp chập k của n
Bước 2: Tìm tất cả các hoán vị trong từng tổ hợp

* Ghi nhớ: Sau khi chọn được một nhóm đối tượng ta tráo đổi vai trò của hai phần tử

cho nhau nếu được một cách chọn mới thì đó là chỉnh hợp. Nếu khơng được cách chọn
mới thì đó là tổ hợp.
Ví dụ 2: Quy tắc cộng được SGK Đại số và Giải tích 11 (chương trình chuẩn trang 44)
trình bày như sau: “Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu
hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện khơng trùng với
bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc đó có m . n cách thực hiện”. Chú
ý rằng, quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động. Ngồi ra, quy tắc cộng

cịn được trình bày dưới dạng mơ tả
như sau: “Nếu có m cách chọn đối tượng X , n cách chọn đối tượng Y và nếu mỗi cách
chọn đối tượng X không trùng với bất kì cách chọn đối tượng Y nào thì có m+n cách
chọn đối tượng X hoặc Y ”.
Do đó HS có thể phát biểu quy tắc cộng dưới dạng khác như sau: “Một cơng việc A
được hồn thành bởi các hành động sau:


8

+ Hành động 1 có n1 cách thực hiện
+ Hành động 2 có n2 cách thực hiện

…
+ Hành động k có nk cách thực hiện

(Trong đó khơng có bất kì cách thực hiện nào của hành động này trùng với cách thực
hiện của hành động kia) . Khi đó cơng việc A có n1 + n2 + ... + nk cách thực hiện.
Ví dụ 3. Trong q trình dạy học GV cần chú trọng rèn luyện cho HS các kỹ năng: Mô
tả biến cố bằng ngôn ngữ tự nhiên đúng cú pháp và ngữ nghĩa, chuyển đổi biến cố từ

ngôn ngữ tự nhiên sang ngơn ngữ tốn học, xây dựng không gian mẫu mô tả phép thử.
Hướng dẫn HS dùng kí hiệu tốn học để diễn tả các đại lượng trong phần này
- Trong chương trình tốn học THPT chương tổ hợp và xác suất là một phần quan trọng

của đại số và giải tích lớp 11, chủ đề này có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái
niệm mới và chủ đề này cũng có nhiều bài tốn khó. Vì vậy trong quá trình dạy và học
sẽ gặp những khó khăn nhất định. Thực tế giảng dạy cho thấy khơng ít HS cũng yếu
trong việc nắm cú pháp của ngơn ngữ tốn học. HS vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái
niệm được định nghĩa. Đặc biệt HS hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy
tắc cộng với quy tắc nhân.
Ví dụ 4. HS diễn đạt thuật ngữ “biến cố ngẫu nhiên” trong một số tình huống cụ thể
không đúng về mặt cú pháp. Chẳng hạn, đối với bài tốn sau:
Viết ngẫu nhiên một số có 6 chữ số. Tính xác suất để số viết ra có 6 chữ số đơi
một khác nhau.
Ở đây lẽ ra phải đặt biến cố A: “Viết ra được số có 6 chữ số khác nhau” để tính xác suất

của biến cố này thì khơng ít HS lại đặt A: “Xác suất viết ra được số có 6 chữ số khác
nhau bằng bao nhiêu?” Rõ ràng sự diễn tả biến cố ngẫu nhiên của người học là không
đúng về mặt cú pháp, vì rằng biến cố ngẫu nhiên là một sự kiện được diễn tả bởi một
mệnh đề, đó là một câu khẳng định. Trong dạy học toán, cố gắng làm cho HS thấy được
giữa ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ các khoa học khác và ngơn ngữ tốn học cịn có
khoảng cách; từ đó, giúp họ thận trọng khi sử dụng ngơn ngữ tốn học trong việc mơ tả
các tình huống thực tiễn. Đặc điểm của ngơn ngữ tốn học là biểu đạt ngắn gọn, lôgic và
không mang sắc thái biểu cảm. Trong khi đó diễn đạt của ngơn ngữ tự nhiên nhiều khi
mang tính đa nghĩa, ước lệ, mang màu sắc biểu cảm và chấp nhận những suy luận
không lơgic. Điều này đã gây khơng ít khó khăn cho việc mơ tả tình huống thực tiễn
bằng ngơn ngữ tốn học, dựa trên các tư liệu có sự tham gia của ngôn ngữ tự nhiên. Một
dẫn chứng cho kết luận vừa đưa ra ở trên là HS rất ngại giải những bài tốn có nội dung

9

thực tiễn, mặc dù chúng đã được các nhà khoa học giáo dục chuẩn hóa về mặt ngơn
ngữ. Trong dạy học toán, rất cần thiết phải làm cho HS hiểu được cách diễn đạt của
ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ tốn học nhiều khi khơng đồng nhất. Trên cơ sở đó,
người học nắm được bản chất vấn đề để mơ tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác
bằng ngơn ngữ tốn học. Để thực hiện được điều đó, trong dạy học khi dùng các thuật
ngữ toán học, GV phải giải thích ngữ nghĩa của thuật ngữ ấy cho HS, đưa ra các VD về
tính lơgic của các lập luận vẫn thường xảy ra trong cuộc sống đời thường, liên hệ với
những suy luận tương ứng trong Toán học.
Hướng dẫn HS phát triển năng lực vận dụng Toán học, các biến cố ngẫu nhiên bằng
cách mô tả chúng bởi các tập hợp. Thực tiễn dạy học cho thấy nhiều HS (ngay cả một số
GV) cũng làm tắt bỏ qua cơng đoạn này, khi giải quyết các bài tốn xác suất liên quan
đến đời sống thực tiễn. Cần phân biệt cho HS cái biểu diễn và cái được biểu diễn, cái kí
hiệu và cái được kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này,
để góp phần vận dụng Tốn học vào các tình huống thực tiễn. Chẳng hạn, khi cho HS
xét bài tốn sau:
Ví dụ 5. Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm xác suất để:
a. Mặt có số chấm là số chẵn xuất hiện. b. Mặt có số chấm là số lẻ xuất hiện.
GV có thể yêu cầu HS lập bảng sau đây để hướng dẫn các em thực hiện các hoạt động
sau:
Cái được biểu diễn (cái được kí hiệu)
Phép thử: Gieo con súc sắc
Biến cố A: “xuất hiện số chấm là số chẵn”
Khả năng xảy ra biến cố A là: 1/2
Biến cố B: “xuất hiện số chấm là số lẻ”
Khả năng xảy ra biến cố B là: 1/2

Ngơn ngữ Tốn học chủ yếu là các kí hiệu do vậy khi biểu đạt một nội dung Toán học sẽ
rõ ràng, cơ đọng và chính xác hơn ngơn ngữ tự nhiên. Khi diễn đạt nội dung Tốn học,

ngơn ngữ tự nhiên thường dài dịng, thường thể hiện tính khơng đơn trị nên khiến chúng
ta khó nắm bắt được ý nghĩa, tư tưởng chính.
Phân biệt cái được biểu diễn, cái được kí hiệu với cái biểu diễn và cái kí hiệu giúp cho
người học thấy được sự chuyển đổi giữa ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ Tốn học.


10

Thơng qua đó, HS cũng thấy được rằng:

chính là mơ hình tốn của phép thử thứ tự

là các tập hợp mô tả các biến cố A, B. Trong thực tiễn dạy học do khơng tách bạch rõ
ràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái được kí hiệu cái được biểu diễn nên nhiều HS
đã mắc sai lầm.
Ví dụ 6: Đối với dạy học xác suất (Cả chương trình chuẩn và nâng cao).
Trong dạy học GV cần chú ý những khía cạnh sau:
- Giải thích rõ cho HS về ngữ nghĩa các thuật ngữ: “chỉnh hợp”, “tổ hợp”, “hoán vị”, sự

giống và khác nhau của nội dung biểu đạt các thuật ngữ này.
- Tăng cường đưa các VD gắn liền với đời sống thực tiễn có ứng dụng các kiến thức về

Đại số tổ hợp.
- Cần chú ý rèn luyện cho HS một số kỹ năng: Diễn tả biến cố bằng ngôn ngữ tự nhiên

đảm bảo đúng cả về mặt cú pháp và ngữ nghĩa; chuyển việc diễn đạt biến cố từ ngôn
ngữ tự nhiên sang diễn đạt bằng ngơn ngữ tốn học; Xây dựng khơng gian mẫu mơ tả
phép thử.
Những vấn đề này góp phần vào việc hình thành những thành tố: Năng lực sử dụng
ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học, năng lực xây dựng mơ hình tốn học. Đảm

bảo được nội dung cần truyền đạt, vừa rèn luyện năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và
ngơn ngữ tốn học cho HS. Đặc biệt là vấn đề chuyển đổi từ ngôn ngữ tự nhiên sang
ngơn ngữ tốn học thơng qua việc xây dựng tập hợp ΩA mô tả biến cố A và rèn luyện
kỹ năng xây dựng không gian mẫu Ω mô tả phép thử.
Dạy học xác suất phải giúp người học nắm chắc ngữ nghĩa của con số xác suất, đó là
con số đo khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên. Các VD đưa vào trong bài giảng
phải gắn với cuộc sống để người học ý thức được dùng xác suất để phục vụ hoạt động
thực tiễn của bản thân mình. Ngồi ra, cần phải kết hợp với thống kê trong dạy học xác
suất, tăng thêm hiệu quả trong giải quyết các vấn đề liên quan đến cuộc sống. Đối với
dạy học xác suất, quá trình vận dụng xác suất vào trong thực tiễn có thể mơ tả như sau:
Phép thử (sự kiện,hiện tượng) Xây dựng không gian mẫu (mô hình tốn của phép thử)
Dựa trên khơng gian mẫu để đánh giá khả năng (xác suất) xảy ra của các tình huống.
Trên cơ sở đó, HS dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào hoạt động thực tiễn
của bản thân mình.
Thơng qua dạy học xác suất ở trường THPT, ta có thể rèn luyện cho HS về mặt ngôn
ngữ (cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ tốn học) và thơng qua đó rèn luyện cho HS
kỹ năng MHH các bài toán xác suất. Hướng dẫn cho HS dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô
tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp. Thực tế dạy học ở phổ thông, nhiều em


11

khi dùng ngơn ngữ của mình có thể diễn ta biến cố ngẫu nhiên sai về mặt cú pháp.
Hướng dẫn HS “tốn học hóa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mô tả chúng bởi các
tập hợp.
7.1.3.2. Biện pháp 2: Hướng dẫn HS thực hiện quy trình giải bài tốn có nội dung thực
tiễn về Tổ hợp - Xác suất
Mơ hình hóa (MHH) là phương pháp xây dựng và cải tiến một mơ hình tốn học nhằm
diễn đạt và mơ tả các bài toán thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo
dục toán học cũng đã nhận ra tầm quan trọng của phương pháp MHH trong dạy học

tốn ở trường phổ thơng. Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại
biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử
dụng các công cụ, phương pháp tốn học phù hợp. Qua đó, giúp HS hiểu sâu và nắm
chắc các kiến thức Tốn học. Q trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý
tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Do
vậy, GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động MHH như: Các bài tập ở dạng
điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, phân tích các tin
tức trên báo chí, số liệu trong SGK hoặc trên mạng internet. Cụ thể:
- GV chỉ ra cho HS thấy rằng khơng có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán,

ngay cả đối với những bài tốn riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp khơng có
thuật giải. Bài tốn thực tiễn trong cuộc sống rất đa dạng và phong phú xuất phát từ
những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con người. Do vậy càng khơng
thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực tiễn.
- Tuy nhiên, GV cần trang bị cho HS quy trình các bước giải bài tốn có

nội dung thực tiễn về Tổ hợp - Xác suất gồm có 4 bước đã nêu ở chương 1:
+ Bước 1: Từ tình huống thực tiễn xây dựng bài toán thực tiễn
+ Bước 2: Chuyển bài tốn thực tiễn đã xây dựng thành mơ hình Toán học
+ Bước 3: Vận dụng toán học để giải quyết bài tốn trong mơ hình tốn học
+ Bước 4: Chuyển kết quả lời giải bài tốn trong mơ hình toán học sang lời giải của bài

toán thực tiễn
- Để HS có thể vận dụng được quy trình các bước giải bài tốn có nội dung thực tiễn

GV cần hướng dẫn, gợi ý thông qua hệ thống các câu hỏi dẫn dắt HS trả lời để tìm ra lời
giải.
- Sau khi GV cho HS xác định, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố

trong tình huống thực tiễn thì HS tiến hành lập mơ hình tốn học cho tình huống. Khả

năng xây dựng MHH tốn học biểu hiện qua việc HS sử dụng các biến, các ký hiệu, các


12

biểu thức,… để chuyển đổi các thơng tin trong tình huống thực tiễn thành các dữ kiện
toán học, và sắp xếp lại các dữ kiện đó đảm bảo diễn đạt một cách chính xác ý nghĩa của
tình huống, nhằm phát biểu tình huống thực tiễn dưới dạng tốn học thuần túy.
Bài tốn 1. “Bảng trị chơi”
Trong giờ sinh hoạt lớp, HS là những người chơi. HS tham gia trả lời câu hỏi của GV
đặt ra. Chia lớp thành 4 nhóm, các nhóm cử ra một người chơi ném các đồng xu vào
một bảng được kẻ những ô vuông. Nếu một đồng xu dính vào biên thì bị loại. Nếu lăn ra
khỏi bảng, nó sẽ được ném lại. Nhưng nếu đồng xu nằm lọt vào trong ô vuông, người
chơi thắng được trả lời câu hỏi và trả lời đúng sẽ có một phần thưởng. Xác suất để HS
ném đồng xu nằm trong ơ vng là bao nhiêu?

Hình minh họa bảng ơ vuông và đồng xu
Rõ ràng bài tập xuất phát từ tình huống thực tiễn. Trước hết HS nhận ra rằng xác suất để
thắng phụ thuộc vào kích cỡ tương ứng của các ô vuông và đồng xu (xác định các biến
số quan trọng). Sau đó, chuyển vấn đề thực tiễn thành bài toán, HS nhận thấy rằng chỉ
cần xét mối quan hệ giữa một hình vng và một hình trịn nhỏ hơn (cắt gọt bớt thực
tiễn). Các em quyết định xây dựng một VD cụ thể (giải quyết vấn đề thơng qua giải một
bài tốn được xây dựng từ vấn đề đó).
Chẳng hạn, HS xét bài tốn với bán kính của đồng xu là 2 cm và cạnh của hình vuông là
8 cm. Các em đã nhận ra để thắng trị chơi thì tâm của đồng xu phải cách mỗi cạnh ít
nhất 2 cm, khi đó khơng gian cịn lại là hình vng cạnh 4 cm (gọi là hình vng khơng
biến cố); nếu khơng thì cạnh của hình vng sẽ cắt đồng xu. Các mối quan hệ được chỉ
ra trong sơ đồ dưới đây.
8 cm
2 cm

Thắng
Thua


13

Xác suất thắng là tỷ số giữa diện tích hình vuông không biến cố và không gian mẫu
(trong VD trên)
Từ đó HS xem xét những đồng xu có kích cỡ khác và tổng quát bài toán bằng cách diễn
đạt lời giải của mình theo ngơn ngữ tốn học. Cuối cùng HS mở rộng những kết quả của
mình cho nhiều tình huống thực hành, các em làm các bảng và thử lại một cách thực
nghiệm (làm cho lời giải tốn có ý nghĩa theo tình huống thực tiễn). Quy trình tốn học
hóa bài tốn trên:
1/ Bắt đầu vấn đề từ tình huống thực tiễn: Xác suất để ném đồng xu nằm lọt trong ô
vuông. Tổ chức vấn đề theo các khái niệm tốn học: Bảng có kẻ những ơ vng thể hiện
các hình vng, đồng xu thể hiện hình trịn. Hình vng chứa hình trịn thì người chơi
thắng, nếu cạnh hình vng cắt hình trịn thì người chơi thua.
2/ Cắt gọt dữ kiện để thốt dần ra khỏi thực tiễn thơng qua quá trình như đặt giả thiết về
các yếu tố trọng tâm, tổng qt hóa và hình thức hóa (chú trọng các yếu tố tốn học của
tình huống và chuyển dịch vấn đề thực tiễn sang bài toán đại diện cho tình huống): Vấn
đề được chuyển thành mối liên hệ giữa diện tích hình trịn (đồng xu) và diện tích của
hình vng.
3/ Giải bài tốn: Dùng cơng thức tính diện tích hình trịn, diện tích hình vng. Tính tỷ
số giữa diện tích hình trịn và diện tích hình vng khơng biến cố. Tỷ số tìm được là xác
suất của bài tốn.
4/ Làm cho lời giải của bài tốn có ý nghĩa đối với tình huống thực tiễn: Thực nghiệm
lại tình huống để đối chiếu với kết quả tìm được nhằm phản ánh về lời giải. Ta nhận ra
rằng xác suất để thắng trò chơi là tương đối thấp (25%). Các yếu tố cạnh hình vng,
bán kính đồng xu là những yếu tố ảnh hưởng đến xác suất thắng trò chơi. Bán kính đồng
xu càng nhỏ hay cạnh hình vng càng lớn thì xác suất ném trúng càng cao.

7.1.3.3. Biện pháp 3: Sưu tầm, bổ sung những bài toán Tổ hợp - Xác suất có nội dung
thực tiễn
- Trong dạy học, GV nên quan tâm đến các loại bài tốn có nội dung thực tiễn, bởi

chúng phản ánh thực tiễn một cách sát thực hơn, ngồi ra chúng cịn là cơng cụ giúp GV
hình thành nhiều loại thao tác tư duy và năng lực trí tuệ quan trọng.
- GV khai thác triệt để các bài tập trong SGK và sách bài tập Đại số và giải tích lớp 11

cơ bản và đưa thêm các bài tập trong sách nâng cao cho HS tham khảo.


14
- Trong tiết học vì thời gian khơng nhiều để GV có thể đưa ra nhiều bài tốn có nội

dung thực tiễn. Chính vì vậy, GV hướng dẫn HS tìm tài liệu ở thư viện nhà trường, nhà
sách, trên mạng internet, các chun đề nước ngồi...
- GV có thể photo bài tập cho HS về tự học tại nhà và giải đáp thắc mắc tại các giờ học

tự chọn trên lớp.
- GV lưu ý HS khi sưu tầm bài toán có nội dung thực tiễn cần chú trọng đến những từ

khóa tìm kiếm như: “Tổ hợp và xác suất”, “thực tiễn”, “bài tốn thực tiễn”, “tốn học
hóa”, “mơ hình hóa”, “năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn” để tìm tài liệu tham
khảo đúng với nội dung cần tìm.
- Những bài toán được sưu tầm phải phù hợp với trình độ nhận thức, hiểu biết xã hội

của cả GV và HS. Đặc biệt, những bài tốn đó phải đúng với mục tiêu dạy học, góp phát
triển năng lực vận dụng toán học ở trường THPT.
Căn cứ vào nội dung bài học, chủ đề mơn học, GV có thể tìm kiếm các bài tốn có nội
dung thực tiễn phù hợp.

- GV giới thiệu cho HS vài nét về PISA và cho HS tham khảo thêm một số bài tốn có

nội dung thực tiễn liên quan đến Tổ hợp - Xác suất theo tư tưởng PISA góp phần phát
triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn.
Các bài toán giới thiệu dưới đây được chúng tơi sưu tầm (có chỉnh sửa lại cho phù hợp
với chương trình dạy học). Về mặt cấu trúc thì nó giống như cấu trúc bài toán của PISA,
gồm 3 phần: Tiêu đề bài toán (chủ đề của tình huống thực tiễn), phần mở đầu là phần đề
dẫn mơ tả tình huống thực tiễn, các câu hỏi của bài tốn giải quyết tình huống thực tiễn.
GV có thể dùng làm tài liệu nghiên cứu dạy học nhằm rèn luyện năng lực vận dụng
Toán học vào thực tiễn cho HS.
Bài toán 2: Những chiếc kẹo màu
Mẹ của Hồng cho phép em chọn một chiếc kẹo màu trong một túi. Cơ bé khơng nhìn
thấy những chiếc kẹo. Số lượng kẹo của mỗi màu nằm trong túi được biểu diễn trong
biểu đồ sau:


15

Biểu đồ : Số lượng viên kẹo màu trong túi Khả
năng để chọn được một chiếc kẹo màu đỏ của Hoa là bao nhiêu?

A. 10% B. 20% C. 25% D. 50% Đáp án: B. 20%
Bài toán 3: Lựa chọn
Trong một cửa hàng pizza, bạn có thể chọn mua một chiếc pizza truyền thống với hai
lớp: Pho mát và cà chua. Bạn cũng có thể gọi pizza theo lựa chọn của mình với các lớp
thêm. Có thể chọn từ bốn lớp thêm sau: Ơ - liu, giăm bơng, nấm và xúc xích.
Như muốn đặt một chiếc pizza với hai lớp thêm khác nhau. Có bao nhiêu lựa chọn kết
hợp mà Như có thể đưa ra?
Đáp án: 6
Bài tốn 4: Xác suất của trận chung kết bóng đá

Ở mùa giải Champions League 2019 - 2020, có 8 đội bóng lọt vào tứ kết bao gồm: Real
Madrid, Atletico Madrid, Barcelona (Tây Ban Nha), Paris Saint - Germain, Monaco
(Pháp), Bayern Munich (Đức), Porto (Bồ Đào Nha), Juventus (Ý).
Theo luật của UEFA, để bắt cặp các trận tứ kết, người ta sẽ bốc thăm để xếp 4 cặp đấu.
Sau đó người ta tiếp tục bốc thăm cho 4 đội thắng cuộc để xác định 2 cặp bán kết. Cuối
cùng, hai đội thắng bán kết sẽ vào chung kết để tranh chức vô địch.
Ta giả định rằng 8 đội bóng vào tứ kết đều mạnh như nhau (khi họ thi đấu, xác suất
thắng là 50/50) và bốc thăm là hồn tồn ngẫu nhiên.
a) Tính xác suất để hai đội bóng Pháp gặp nhau ngay ở tứ kết.
b) Tính xác suất để có một cặp Tây Ban Nha - Tây Ban Nha ở tứ kết. c) Tính xác suất

để có một trận chung kết tồn Tây Ban Nha.
Đáp án: a) 1/7 ; b) 3/7 ; c) 3/28 .
- GV hướng dẫn cho HS tự thiết kế các bài toán thực tiễn về Tổ hợp - Xác suất. Có thể
ban đầu HS chỉ có thể thiết kế được các bài toán đơn giản, dần dần GV gợi cho HS liên


16

hệ với các vấn đề được quan tâm trong XH có sử dụng kiến thức về Tổ hợp - Xác suất.
Chẳng hạn:
Bài tốn 5. Bài tốn tổ chức bóng đá
Trường PT DTNT cấp 2-3 tỉnh Vĩnh Phúc tổ chức giải bóng đá học sinh nhân dịp kỷ
niệm 90 năm ngày thành lập Đồn thanh niên cộng sản Hồ Chí Minh và có 16 lớp
đăng ký tham gia đá theo 3 vòng gồm 4 bảng A, B, C, D, mỗi bảng gồm 4 đội cách
thức thi đấu như sau:
Vòng 1: Mỗi đội tuyển trong cùng một bảng gặp nhau một lần và gặp tất cả các đội có
trong bảng (VD: Bảng A đội thứ nhất phải thi đấu với 3 đội còn lại).
Vòng 2: (bán kết) Nhất A gặp nhất C, Nhất B gặp nhất D
Vòng 3 (chung kết)

Tranh giải 3: Hai đội thua trong bán kết
Tranh giải nhất: Hai đội thắng trong bán kết
Giải bóng được tổ chức vào các ngày liên tiếp, mỗi ngày 4 trận. Hỏi ban tổ chức cần
mượn sân vân động trong bao nhiêu ngày?
Vấn đề đặt ra: Số ngày mượn sân vận động phụ thuộc vào số trận đấu được tổ chức. Do
đó cần tính số trận đấu có thể diễn ra.
Phương án giải quyết:
Số các trận đấu trong cùng một bảng là: C 2 = 6 4

Do đó số trận đấu vịng 1 là: 4.C 2 = 24
4

Số trận đấu vòng 2 là: 2; số trận đấu vòng 3 là 2
Vậy số trận đấu có khả năng xảy ra là: 24 + 2 + 2 = 28
Do vậy Ban tổ chức cần mượn sân vận động trong thời gian 28 : 4 = 7 ngày
Bài tốn 6. Bài tốn chọn cầu
Trong trị chơi chọn bóng người chủ trị tay cầm túi vải trong túi có 6 quả cầu màu đen
và 6 quả cầu màu trắng. Điều kiện chơi như sau:
Bạn bỏ ra 2000 đồng thì được chọn 6 quả cầu. Nếu 6 quả bạn chọn được hoặc toàn màu
trắng hoặc toàn màu đen bạn sẽ được thưởng 50.000 đồng. Nếu bạn chọn được 5 quả
màu trắng 1quả màu đen hoặc 5 quả màu đen 1 quả màu trắng thì bạn được thưởng
2.000 đồng. Nếu bạn chọn được 4 quả màu trắng và 2 quả màu đen hoặc 4 quả màu đen
và 2 qủa màu trắng thì bạn được thưởng 200 đồng. Nếu bạn chọn 3 quả màu trắng và 3
quả màu đen thì bạn không được thưởng mà bị mất luôn 20 000 đồng. Vậy vì sao người
chơi ln thua.


17

Vấn đề đặt ra: Từ quy luật chơi trên cần phải biết sau q trình chơi người chơi có khả

năng thu được bao nhiêu tiền.
Phương án giải quyết: Ta thấy rằng khả năng lấy được 6 quả màu đen hoặc 6 quả màu

trắng là chỉ có 1 khả năng.
Nếu lấy 5 màu đen và 1 màu trắng hoặc lấy 5 trắng 1 đen thì có:

Nếu lấy 4 trắng 2
Nếu lấy 3 trắng 3
Vậy các khả năng có thể xảy ra là n = ( 1+ 36 + 225).2 + 400 = 924 khả năng.
Xác suất chọn 6 quả cùng màu là :
Xác suất chọn 5 đen 1 trắng hoặc 5 trắng 1 đen là :
Xác suất chọn 4 trắng 1 đen hoặc 4 đen 1 trắng là:
Xác suất chọn 3 trắng, 3 đen là: 400 0, 433
924

Do vậy nếu bỏ ra 20 000 đồng thì khả năng người chơi thu được
là: (50 000.0,002 + 2000.0,0078 + 200.0,487).10 = 4 534 đồng.
Người chủ trò thu được 16 560 đồng. Vậy rõ ràng người chơi ln
thua.
Một số bài tốn sưu tầm thêm HS tự giải
Bài toán 7. Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ơtơ, tàu hỏa, tàu thủy
hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa,
3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi mỗi ngày có bao nhiêu sự lựa chọn phương
tiện để đi từ tỉnh A đến tỉnh B?
Bài tốn 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố
danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về
con người, 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn 1 đề tài. Hỏi mỗi thí sinh
có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
Bài tốn 9. Số điện thoại di động của mạng Vinaphone gồm 10 chữ số. Hỏi có tối đa bao
nhiêu thuê bao di động biết bốn chữ số đầu là 0914?

Bài toán 10. Hỏi có bao nhiêu cách để xếp chỗ ngồi cho bốn HS vào một bàn dài có 4
chỗ?


18

Bài tốn 11. Một hộp đựng 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu
nhiên 3 bóng đèn (khơng kể thứ tự) ra khỏi hộp. Có bao nhiêu cách lấy để có 1 bóng đèn
bị hỏng?
Bài tốn 12. Một người muốn chọn 6 bơng hoa từ 3 bó hoa để cắm vào một bình hoa.
Biết bó thứ nhất có 10 bơng hồng, bó thứ hai có 6 bơng thược dược, bó thứ ba có 4 bơng
cúc.
a) Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?
b) Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bơng hồng, 2 bơng thược dược và 2 bơng cúc thì

người đó có bao nhiêu cách chọn?
Bài toán 13. Cho tam giác ABC. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường
thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA trong đó khơng có ba
đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được bao nhiêu tam giác và
bao nhiêu tứ giác (khơng kể hình bình hành).
Bài tốn 14. Một bình đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên lần 1 một viên bi
(không bỏ vào lại), rồi lấy lần 2 một viên bi. Tính xác suất để lần đầu lấy một viên bi
xanh, lần 2 lấy một viên bi trắng.
7.1.3.4. Biện pháp 4: Sử dụng bài tốn có nội dung thực tiễn để gợi động cơ trong quá
trình dạy học Tổ hợp - Xác suất
- Trong gợi động cơ mở đầu GV có thể sử dụng bài tốn từ tình huống thực tiễn, qua đó

người học nhận thấy sự gần gũi giữa Tốn học và thực tiễn.
- Bên cạnh đó trong các giờ giảng bài mới GV có thể linh hoạt sử dụng nhiều phương

pháp khác nhau để kết hợp các kiến thức thực tiễn trong giảng dạy. Chẳng hạn, thay cho
lời giới thiệu bài mới ta có thể đưa ra các bài tốn, tình huống thực tiễn liên quan đến
bài học hoặc ứng dụng của bài học đó. Vì phần mở đầu rất quan trọng, chúng ta biết đưa
ra một tình huống thực tiễn, một tình huống giả định yêu cầu HS cùng tìm hiểu, cách
dẫn dắt bài học như vậy sẽ tạo cho người học cố gắng sử dụng các kiến thức được học
để giải thích hoặc sẽ suy nghĩ tại sao lại như vậy,… Đây chính là bước tiền đề thuận lợi
khi học bài mới, tạo hứng thú cho HS và bước đầu giúp các em làm quen với việc thu
nhận thơng tin từ tình huống thực tiễn. Hướng đích và gợi động cơ là một trong những
khâu quan trọng của q trình dạy học nhằm kích thích hứng thú học tập cho HS, làm
cho việc học tập trở nên tự giác, tích cực, chủ động. Việc khai thác các VD thực tế trước
khi trình bày kiến thức cũng là thực hiện gợi động cơ mở đầu bằng cách xuất phát từ nội
dung thực tế. Rõ ràng cách gợi động cơ này dễ hấp dẫn, lôi cuốn học sinh, tạo điều kiện
để các em thực hiện tốt các hoạt động kiến tạo tri thức trong quá trình học tập về sau.


19
- GV tổ chức các hoạt động tìm hiểu thực tế, mô tả các số liệu thực tế bằng cách sử

dụng ngơn ngữ Tốn học như kí hiệu, bảng biểu, hình vẽ, biểu đồ, đồ thị, mơ hình,….
Từ tình huống thực tiễn, địi hỏi HS phải dùng kiến thức Tốn học để giải quyết vấn đề
trong tình huống.
- Đối với hoạt động củng cố kiến thức GV cũng có thể dùng hình thức liên hệ với thực

tiễn mà cụ thể có thể cho HS ứng dụng kiến thức vừa học vào giải quyết một bài tốn
nào đó.
Một vài ví dụ minh họa cho việc sử dụng biện pháp:
- GV nêu ra một hệ thống những bài toán về hai quy tắc đếm (từ cụ thể đến khái quát),

ghi trên phiếu học tập, phát cho từng nhóm nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải.
- Trước hết mỗi HS cần độc lập nghiên cứu lời giải các bài toán được ghi trong phiếu

học tập. Sau đó cả nhóm thảo luận và phát hiện quy tắc tính cho mỗi dạng như thế nào,
phân biệt chúng như thế nào. Các nhóm khác nhau có các hệ thống bài tương đương với
nhau.
- Các hệ thống bài tốn trong một phiếu học tập có thể cho như

sau: Hệ thống 1, gồm các bài tốn có nội dung cụ thể:
1/ Trong một hộp có 6 viên bi trắng khác nhau và 2 viên bi đen khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra một cặp viên bi: trắng, đen?
2/ Trên giá sách có 4 quyển Tốn và 3 quyển Sử. a) Có bao nhiêu cách chọn một quyển
sách?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 2 quyển sách cùng loại?
3/ Nam có 3 kiểu quần và 5 kiểu áo.
a) Có bao nhiêu cách chọn một quần hoặc một áo để mặc?
b) Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Hệ thống 2, gồm các bài toán khái quát từ các bài cụ thể ở trên:
1/ Một công việc được hoàn thành bởi hai hoạt động: hoạt động một có m cách, hoạt
động hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hồn thành cơng việc?
2/ Một cơng việc được hoàn thành bởi hai hoạt động liên tiếp: hoạt động một có m cách,
hoạt động hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hồn thành cơng việc?
3/ Một cơng việc được hồn thành bởi hai phương án: phương án một có m cách,
phương án hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hồn thành công việc?


20

4/ Một cơng việc được hồn thành sau hai cơng đoạn: cơng đoạn một có m cách, cơng
đoạn hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hồn thành cơng việc?

Hệ thống 3, gồm các bài tốn để củng cố tiếp các bài toán khái quát ở trên:
1/ Một trung tâm thương mại ở Thái Nguyên có 4 cửa để ra, vào.
a) Có bao nhiêu cách vào rồi ra khỏi trung tâm thương mại?
b) Có bao nhiêu cách vào rồi ra khỏi trung tâm thương mại bằng hai cửa khác nhau?

2/ Một tập bài có 4 quân đỏ khác nhau và 6 quân đen khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra một quân bài?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra hai quân bài khác màu?

Bằng cách này HS có thể tự phát hiện được hai quy tắc đếm.
Thơng qua biện pháp sư phạm này, GV tổ chức các hoạt động trong giờ lên lớp và ngoài
giờ lên lớp nhằm giúp HS tập luyện việc thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn, từ
đó có thể nhận diện một số vấn đề tốn học từ tình huống thực tiễn.
Ngồi ra, GV u cầu HS diễn đạt lại tình huống hay bài tốn có nội dung thực tiễn do
GV ủy thác cho bằng cách hiểu riêng của mình, cần phải chính xác hóa tình huống
nghĩa là phải loại bỏ những gì khơng phải là bản chất (do chủ thể quan niệm), những
mối quan hệ thứ yếu (lý tưởng hóa), sắp xếp lại theo trình tự lơgic. Giai đoạn này hàm
chứa q trình phân tích, tổng hợp, so sánh, lý tưởng hóa, để có thể rút ra được những
vấn đề cốt lõi nhất là tình huống, là quá trình xác định mơ hình định tính cho tình huống
thực tiễn. Đây là cơ hội cho người học tham gia hoạt động ngôn ngữ, cần hướng dẫn HS
sử dụng ngôn ngữ diễn đạt ngắn gọn, chuẩn xác, biểu đạt đầy đủ nội dung; tính chuẩn
xác ở đây thể hiện ở chỗ dùng ngôn ngữ phổ thông và đúng về mặt ngữ pháp.
- GV thường xun sử dụng ngơn ngữ tốn học để giải thích các sự vật, hiện tượng sẽ

giúp các em rèn luyện về ngôn ngữ, đồng thời họ quen dần với việc xây dựng mơ hình
tốn học để giải quyết vấn đề.
+ GV có thể đưa ra ví dụ: Trong đời sống hằng ngày, có thể gặp những khẳng định sau:

“Khả năng Thái Nguyên có mưa là 70%” hoặc “Hương Giang có nhiều cơ hội đạt giải
hoa hậu”, “Hải có thể là người cao điểm nhất lớp mơn Tốn trong kì thi học kì II”…

Trong mỗi trường hợp ta đều đề cập đến một biến cố mà ta không chắc chắn có thể xảy
ra hay khơng, nhưng bằng những thơng tin trong quá khứ hay những hiểu biết về phép
thử mà ta có mức độ tin tưởng nào đó vào khả năng đúng đắn của các giả định. Có
những biến cố thường xun xảy ra, có những biến cố ít xảy ra,… Như vậy, vấn đề đặt


21

ra là phải đo lường mức độ xảy ra của các biến cố. “Con số đo lường mức độ xảy ra của
các biến cố gọi là xác suất của nó”.
Thực hiện một hành động nào đó là ta thực hiện một phép thử.
+ GV đưa ra VD như: Tung một con xúc xắc, mua một vé xổ số, làm một thí nghiệm....

Một khả năng hay tình huống có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố. Trong đời
sống hàng ngày ta thường gặp phép thử ngẫu nhiên nghĩa là phép thử mà ta không
khẳng định được kết quả trước khi nó được thực hiện.
+ GV nêu VD mua một vé xổ số là một phép thử ngẫu nhiên vì trước khi mua ta khơng

thể khẳng định được là mình trúng hay khơng.... Để đặc trưng cho khả năng xảy ra của
một biến cố, người ta dùng một con số khơng âm, biến cố nào có khả năng xuất hiện
nhiều hơn được đặc trưng bởi con số lớn hơn và ngược lại. Con số đặc trưng cho khả
năng xuất hiện của một biến cố được gọi là xác suất của biến cố.
7.1.3.5. Biện pháp 5: Sử dụng câu hỏi và bài tập có nội dung thực tiễn trong kiểm tra,
đánh giá kết quả học tập Đại số tổ hợp của HS
Trong quá trình dạy học thì kiểm tra, đánh giá là một khâu quan trọng nhằm xác định
mức độ hiểu biết về kiến thức, kỹ năng và khả năng vận dụng của người học. Kiểm tra,
đánh giá không chỉ là biện pháp sử dụng ở khâu cuối cùng mà còn đánh giá trước, đánh
giá thường xuyên trong suốt quá trình GV dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất theo
hướng phát triển năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn. Những bài kiểm tra là cơ sở
quan trọng để GV đánh giá về tình hình học tập, về tình hình kiến tạo tri thức, rèn luyện

kỹ năng của HS và cả về mặt năng lực, thái độ và phẩm chất của họ. Qua đó cho GV
thấy được thành công hay thất bại của công việc dạy học làm căn cứ để điều chỉnh quá
trình dạy học về sau, cũng như tạo tiền đề cho việc đi sâu vào giáo dục cá biệt. Mặt khác
kiểm tra cũng giúp cho HS ý thức được họ đã đạt được mục tiêu ở mức độ nào, còn
những lỗ hổng hoặc sai sót nào cần phải nỗ lực khắc phục. Do đó, trong các đề kiểm tra
GV nên đưa vào các bài tập gần gũi với đời sống thực tế. Qua đó sẽ đánh giá được được
sâu sắc hơn sự thơng hiểu bài học của HS. Và hơn thế nữa nó sẽ góp phần rèn luyện ý
thức vận dụng Tốn học vào thực tiễn.
Cụ thể:
- Trước khi GV sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực vận dụng tốn

học vào thực tiễn cho HS thì GV nên tiến hành khảo sát chất lượng. GV cần phải nắm
được kiến thức, kỹ năng, năng lực hiện có của HS. Phân loại HS theo học lực, mức độ
hiểu biết về tự nhiên và xã hội,...


22
- Trong quá trình dạy học, GV lồng ghép những câu hỏi phỏng vấn tại chỗ, câu hỏi thảo

luận nhóm để kiểm tra mức độ hiểu bài tại lớp của HS. Trên cơ sở đó, đánh giá xem
những bài tập, nội dung giảng dạy đã phù hợp với trình độ nhận thức của HS chưa và kịp
thời thay đổi. Một số chủ đề thảo luận nhóm liên quan đến nội dung bài học Tổ hợp Xác suất như: Lãi suất đầu tư, mua xổ số, chơi cổ phiếu,...
- Điểm số bài kiểm tra chỉ đánh giá phần nào năng lực vận dụng của HS, GV phải đưa

thêm những câu hỏi mở, những câu hỏi dẫn dắt để HS trả lời.
GV có thể sử dụng hệ thống một số phương pháp kiểm tra, đánh giá trong dạy học qua
sơ đồ sau:
Các PP kiểm tra đánh giá

Quan sát

Tự luận

Bài kiểm
tra

Theo quan điểm phát triển năng lực, việc đánh giá kết quả học tập không lấy việc kiểm
tra khả năng tái hiện kiến thức đã học làm trung tâm của việc đánh giá. Đánh giá kết quả
học tập theo năng lực cần chú trọng khả năng vận dụng sáng tạo tri thức trong những
tình huống ứng dụng khác nhau.
- GV có thể kiểm tra, đánh giá qua chuyên đề dùng làm bài tập về nhà cho HS: Mỗi HS

được phát chuyên đề về nhà, có thể tham khảo tài liệu hoặc trao đổi với nhau, viết bài
thu hoạch và nộp lại cho GV. Hình thức này phù hợp với đa số HS. Tuy nhiên sử dụng
hình thức này GV cần có kế hoạch cụ thể về thời gian nộp bài, chấm bài nghiêm túc,
nhận xét cụ thể và chốt lại các kiến thức cần thiết. Tránh tình trạng HS sao chép lại của
nhau, GV không chốt lại vấn đề và giải đáp thắc mắc của HS.
- Xây dựng bài tốn có nội dung thực tiễn trong đề kiểm tra đánh giá HS, GV phải dựa

trên khung ma trận đề kiểm tra và chuẩn kiến thức kỹ năng.
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến:


23

Sau khi thực hiện giảng dạy đề tài ở hai lớp 11a1, 11a3 năm học 2020-2021 với các đối
tượng khác nhau của trường PT DTNT tỉnh Vĩnh Phúc;
Qua nghiên cứu vấn đề, chúng tôi nhận thấy năng lực vận dụng tốn học vào thực tiễn
của HS THPT cịn hạn chế. Khi gặp tình huống thực tiễn hay giải các bài tốn có nội
dung thực tiễn HS lớp đối chứng đều lúng túng. HS khó khăn trong việc mơ tả tình

huống thực tiễn bằng ngơn ngữ tốn học, chẳng hạn: Chưa liên tưởng đến kiến thức toán
học sẽ sử dụng (chỉ bắt chước các bài tập mẫu để thực hiện một cách hình thức), chưa
tìm được bản chất của tình huống. Khả năng sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
tốn học cịn hạn chế, đặc biệt là việc chuyển đổi thơng tin thực tiễn thành dữ kiện tốn
học, dẫn đến diễn đạt tình huống thực tiễn bằng ngơn ngữ tốn học khơng chính xác. Các
em chưa thực sự hứng thú với các bài tốn có nội dung thực tiễn. GV dạy thực nghiệm
áp dụng một số biện pháp đã đề xuất trong luận văn đều tin rằng có thể giúp HS vận
dụng tốt kiến thức toán học vào thực tiễn, đáp ứng mục tiêu dạy học mơn tốn. Các
thành tố của năng lực và biểu hiện của HS trong việc phát triển năng lực vận dụng toán
học vào thực tiễn đã phần nào được thể hiện:
- HS nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản về Đại số tổ hợp để vận dụng giải các

bài tốn có nội dung thực tiễn.
- HS có khả năng phát hiện, chuyển đổi và mơ hình hóa một số bài tốn thực tiễn thành

bài toán đã biết phương pháp giải.
- HS ghi nhận kiến thức tốn học được tích hợp trong tình huống thực tiễn sẽ có hứng

thú khi học tốn, thấy được sự hữu ích của tốn học trong cuộc sống. HS chủ động giải
quyết tình huống thực tiễn để đáp ứng nhu cầu bản thân; phát huy tính chủ động, tích cực
sáng tạo trong học tập.
Kết quả của đề kiểm tra 45 phút (xem phụ lục số 2) cho các lớp TN – ĐC là các dữ liệu
để tôi xử lý đánh giá, thể hiện như sau:
Bảng phân bố về điểm bài kiểm tra 45 phút
lớp TN (11A1, 11A3) và lớp ĐC (11A2, 11A4)
Lớp

Số
HS

TN
11A1

39

ĐC
11A2

36


24
TN
11A3
ĐC
11A4

Từ các kết quả trên ta có nhận xét sơ bộ sau:
- Điểm trung bình lớp TN cao hơn lớp ĐC.
- Tỉ lệ % số HS có điểm dưới trung bình ở lớp TN ít hơn lớp ĐC.
- Tỉ lệ % số HS có điểm khá giỏi ở lớp TN cao hơn lớp ĐC.
- Nhìn chung HS ở lớp TN nắm chắc kiến thức cơ bản, các em biết trình bày lời giải một

cách rõ ràng, khoa học có căn cứ trong bài tự luận và tính được kết quả nhanh, chính xác
trong bài trắc nghiệm. Điều đó thể hiện tính tích cực của tư duy và thể hiện được năng
lực nắm chắc bài học của các em.
- Như vậy, nếu dạy học theo các biện pháp đã được đề xuất sẽ phát huy tính tích cực học

tập của HS, giúp các em chủ động trong mọi tình huống từ đó các em nắm chắc kiến
thức, dẫn tới kết quả học tập cao hơn.

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Học sinh lớp 11 có nhận thức trung bình..
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả:
Sáng kiến đã thu được một số kết quả chính sau đây:
Sáng kiến đề cập đến thực trạng, sự cần thiết của việc vận dụng tốn học vào thực tiễn
trong dạy học mơn tốn nói riêng và trong cuộc sống nói chung.
Sáng kiến đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học vào
thực tiễn cho HS THPT trong dạy học phần Đại sô tổ hợp đồng thời giúp HS tiếp thu
kiến thức một cách chủ động, phát huy tính tích cực và sáng tạo của người học.
Chúng tơi hy vọng các biện pháp phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho
HS THPT được áp dụng rộng rãi trong giảng dạy tốn. Các biện pháp tơi đề xuất có thể
làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp nghiên cứu, sử dụng trong quá trình dạy học
mơn tốn ở trường phổ thơng.


25

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song phần trình bày đề tài khơng thể tránh khỏi những sai
sót. Kính mong nhận được sự bổ sung, góp ý của quý thầy cô và các bạn để Sáng kiến
kinh nghiệm được hồn thiện hơn
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

Qua tham khảo ý kiến thầy cô giáo cùng chuyên môn trong trường và một số
đồng nghiệp trường bạn, các em học sinh đã được trải nghiệm chuyên đề, đề tài được
đánh giá như sau:
Với đề tài này, học sinh hiểu được, vận dụng được một cách thông minh các kiến thức cơ
bản của phần Đại số tổ hợp để phát triển được các năng lực vận dụng giải quyết các vấn
đề thực tiễn.... Học sinh được phát triển tư duy, yêu thích, tích cực và hăng say học tập
phần Đại số tổ hợp . Điều đặc biệt hơn cả là đề tài này cịn là tài liệu bổ ích cho các thầy
cơ tham khảo tự bồi dưỡng chuyên môn và các em học sinh tự học. Đây cũng là mong
muốn mà bản thân tơi trong q trình giảng dạy của mình. Điều quan trọng hơn, đề tài
này làm thay đổi suy nghĩ của các em học sinh, nhất là các em học sinh tôi trực tiếp
giảng dạy khi học phần Đại số tổ hợp. Đề tài này có thể mở rộng thêm các phương pháp
khác, để các em có thể vận dụng phát triển các năng lực chung và năng lực giải quyết
vấn đề thực tiễn.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng

kiến lần đầu (nếu có):
Số
TT
1

2

Vĩnh n, ngà

Thủ
Chính q

(Ký tên, đóng dấu)

Đặng Thị Kim Chung